九年级数学上册 23.1 锐角的三角函数 导学案（知识清单 典型例题 巩固提升）

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23.1 锐角的三角函数 导学案
（一）学习目标：
1.理解正弦、余弦、正切、余切这四个锐角三角函数的概念,能准确地用直角三角形两边的比表示这些函数。
2.掌握特殊角的三角函数值,会计算含有特殊角的三角函数的运算式,能根据特殊角的三角函数值得出对应锐角的度数。
3.能推导并熟记30°、45°、60°角的三角比值，并能根据这些值说出对应的锐角度数；能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角比的运算式。
（二）学习重难点：
重点：能准确地用直角三角形两边的比表示这些函数；能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角比的运算式。
难点：能推导并熟记30°、45°、60°角的三角比值，并能根据这些值说出对应的锐角度数。
阅读课本，识记知识：
正弦
（1）定义：在中，，锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即；
（2）符号语言:在中,，.
2.余弦
（1）定义：在中，，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即；
（2）符号语言:在中,，.
3.正切
（1）定义：在中，，锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即；
（2）符号语言:在中,，.
4.余切（拓展）
（1）定义：在中，，锐角的邻边与对边的比叫做的余切，记作，即；
（2）符号语言:在中,，.
【例1】如图，在矩形中，连接，点E是上一点，连接，若，，，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由矩形的性质得，再由，求得，即可求得的长为8，根据勾股定理求得的长为10，即可求得．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理、锐角三角函数，解题的关键是根据面积等式求出的长进而求出的长．
【例2】 如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别是D，E，点F是边的中点，连接，，．则下列结论错误的是（　　）
A． B．，
C． D．
【答案】D
【分析】根据等边三角形的判定定理得到为等边三角形，根据等边三角形的性质得到，判断A选项；证明，根据全等三角形的性质判断B、C选项；解直角三角形，用分别表示出、，判断D选项．
【详解】解：A、由旋转的性质可知，，，
∴为等边三角形，
∴，本选项结论正确，不符合题意；
B、在中，，，点F是边的中点，
∴，，
由旋转的性质可知，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，，本选项结论正确，不符合题意；
C、∵，
∴，本选项结论正确，不符合题意；
D、在中，，
∴，
同理可得， ，
∴，
∴故本选项结论错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，正确理解旋转变换的概念是解题的关键．
选择题
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,若△ABC的三边都缩小为原来的,则sin A的值 (　　)
A.放大为原来的5倍　　　B.缩小为原来的　　　C.不变　　　D.无法确定
2.如图，的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则的值为（ ）

A． B． C． D．
3.如图,在Rt△ABC中,D是AB的中点,BC=5,AC=12,则sin∠DCA的值为 (　　)
A.　　　B.　　　C. 　　　D.
4.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,AC=5,则cos C= (　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
5.如图,锐角△ABC中,以BC为直径的半圆O分别交AB、AC于D、E,且S△ADE∶S四边形BCED=1∶2,则cos∠BAC的值是 (　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
6.计算|1-tan 60°|的值为 (　　)
A.1-　　　B.0　　　C.-1　　　D.1-
7.若锐角A、B满足(tan A-3)2+|2cos B-1|=0,则△ABC是 (　　)
A.直角三角形　　　B.等边三角形
C.含有60°角的任意三角形　　　D.顶角为钝角的等腰三角形
8.若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，菱形的对角线，，，则下列结论正确的是（ ）

A． B． C． D．
填空题
11． 如图,将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠,B点恰好落在AD边上,设此点为F,若AB∶BC=4∶5,则sin∠CFD=　　　　.
12.如图,在半径为3的☉O中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD,若AC=2,则tan D=　　　　.
13．如图,AB∥CD,∠ABD的平分线与∠BDC的平分线交于点E,若cos∠1=,则∠2的正切值为　　　　.
14．如图，一块含有的直角三角板的直角顶点和坐标原点O重合，角的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在反比例函数的图象上，则k的值为 ．

15．如图，中，，，，P是上方一动点，射线，连接交的外接圆于点D，则的最小值为 ．
三、解答题
16．如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,求sin A和sin B的值.
17.如图，在矩形中，于点E，连接点A、点E，已知，．求

(1)的值；
(2)的面积．
18．如图，在中，．

(1)在边上求作一点D，使得平分的周长（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，将绕点B顺时针旋转α得到，若点A的对应点在的延长线上，求证：三点共线．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
参考答案
【答案】　C　
【分析】∵∠C=90°,∴sin A=,
∵△ABC的三边都缩小为原来的,∴∠A的对边与斜边的比不变,
∴sin A的值不变.故选C.
2.D
【分析】找到格点，连接，可得，再根据三角函数的定义求解即可．
【详解】解：连接，如下图：

由题意可得：，
由勾股定理可得：，，
故选：D
【点睛】此题考查了勾股定理，三角函数的定义，解题的关键是构造出直角三角形．
3.【答案】　B　
【分析】过点D作DE⊥AC于点E,在Rt△ABC中,AB==13.∵点D是AB的中点,∴CD=AB=,∵DE⊥AC,∠ACB=90°,∴∠DEA=∠BCA=90°,∴DE∥BC,∴DE=BC=,∴sin∠DCA==.故选B.
4.答案　D　在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,AC=5,由勾股定理得BC===4,所以cos C==.故选D.
5．答案　D　连接CD.∵∠ADE=∠ACB,∠DAE=∠CAB,∴△ADE∽△ACB.∵S△ADE∶S四边形BCED=1∶2,
∴S△ADE∶S△ACB=1∶3,∴=.∵BC为直径,∴∠BDC=90°,∴∠ADC=90°,∴cos∠BAC==.故选D.
【答案】　C　
【分析】|1-tan 60°|=|1-|=-1.故选C.
【答案】　B　
【分析】∵(tan A-3)2+|2cos B-1|=0,∴tan A-3=0,2cos B-1=0,∴tan A=,cos B=,∴∠A=60°,∠B=60°,∴△ABC是等边三角形.故选B.
8．D
【分析】对原式左右两边进行平方计算，然后结合同角三角函数关系求解即可．
【详解】解：∵，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查同角三角函数之间的关系，熟记并熟练运用基本结论是解题关键．
9．A
【分析】在中，，，设，则，根据余弦的定义即可得到答案．
【详解】解：在中，，，
设，则，
∴．
故选：A．

【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
10．D
【分析】首先根据菱形的性质可得，，，再利用勾股定理计算出的长，然后根据锐角三角函数定义分别进行计算可得答案．
【详解】
在菱形中，
有，，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，，，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质及锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分的性质及锐角三角函数的定义与计算．
11.【答案】　
【解析】　由折叠可知,CB=CF.在矩形ABCD中,∵AB=CD,AB∶BC=4∶5,∴sin∠CFD===.
12. 答案　2
解析　如图,连接BC,∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∵AB=2×3=6,AC=2,∴BC===4,又∵∠D=∠A,∴tan D=tan A===2.
13．【答案】　
【解析】　∵AB∥CD,∴∠ABD+∠CDB=180°.∵BE是∠ABD的平分线,∴∠1=∠ABD.∵DE是∠CDB的平分线,∴∠2=∠CDB,∴∠1+∠2=90°.∵cos∠1=,∴∠1=30°,∴∠2=60°,∴tan∠2=tan 60°=.
14．
【分析】过作于点，过作于点，即可得证，再根据相似三角形的性质得到和利用特殊角的正切值得出，然后设点的坐标为，继而根据反比例函数图像上点的特征得到，再次利用反比例函数图像上点的特征即可求得答案．
【详解】解：过作于点，过作于点，如图：

∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴设点的坐标为，则，
∴，，
∴，
∵在反比例函数的图象上，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴．
故答案是：
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、相似三角形的判定和性质、特殊的锐角三角函数值，能够求得是解题的关键．
15．/
【分析】连接，取中点M，连接，，中，根据，，可得，即可得是直角三角形，且，再根据，可得，进而得，即有点D在以为直径的圆上，即点M为该圆圆心，结合图形有，当且仅当A、M、D三点共线时取等号，即当A、M、D三点共线时，有最小值，最小值为：，问题随之得解．
【详解】解：连接，取中点M，连接，，如图，
∵中，，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点D在以为直径的圆上，即点M为该圆圆心，
∵如图，，当且仅当A、M、D三点共线时取等号，
∴当A、M、D三点共线时，有最小值，最小值为：，
∵中，，，
∴，
∵，
∴，
即有最小值，最小值为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形、圆周角定理、勾股定理等知识，构造合理的辅助线，证明是直角三角形，点D在以为直径的圆上，是解答本题的关键．
16．解析　(1)∵AC=5,BC=3,∠C=90°,
∴AB=,
∴sin A===,
sin B===.
(2)∵AC=1,BA=,∠C=90°,
∴BC=2,
∴sin A===,sin B===.
17.(1)
(2)
【分析】（1）根据矩形的性质得出，，，根据勾股定理求出，最后根据三角函数的定义求出结果即可；
（2）根据等积法求出，根据勾股定理求出，最后求出的面积即可．
【详解】（1）解：∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握勾股定理和三角函数的定义．
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）过点作的垂线段，交于点D，根据和等腰三角形的性质，即可求出，故需要等于2，以点C为圆心，为半径画弧交于点D，即可解答；
（2）画出图形，根据旋转可得，从而证明是等腰三角形，且，最后证明即可解答．
【详解】（1）解：如图，过点作的垂线段，交于点D，

，，
，
，
，
∴，
，
的周长为8，
，
故只需要以点C为圆心，为半径画弧交于点D，
如图，即为所求图形

（2）证明：如图，按题意画出图形，

根据（1）中可得，，
将绕点B顺时针旋转α得到，
，
，，，
，
，
，
，
，即三点共线．
【点睛】本题考查了余弦的概念，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的性质，旋转的性质，正确画出图形，运用等腰三角形的性质是解题的关键．
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