九年级数学上册 23.2 解直角三角形及其应用 导学案（知识清单 典型例题 巩固提升）

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23.2 解直角三角形及其应用 导学案
（一）学习目标：
1.理解解直角三角形的含义，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形；
2.能通过作高线构造直角三角形解非直角三角形；
3.会用解直角三角形中的有关知识建立数学模型,解决某些简单的实际问题.
（二）学习重难点：
重点：会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形
难点：会利用解直角三角形，解决简单的实际问题。
阅读课本，识记知识：
知识点一 解直角三角形
1.解直角三角形的概念
一般地,直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形.
在直角三角形中,除直角外的五个元素中,已知其中的两个元素(至少有一个是边),可求出其余的三个未知元素(知二求三)
一个直角三角形可解，则其面积和周长可求.但在一个解直角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积和周长
2.直角三角形中五个元素（除直角外的）之间的关系
如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，
三边之间的关系：.（勾股定理）
∠A＋∠B＝90°
边角之间的关系： ;;;
;;;.
3.解直角三角形的类型和解法
条件 解法步骤 图示
两 边 ①两直角边 由，求； ;
②斜边,一直角边（如） 由，求； ;
一 边 一 角 一直角边 和一锐角 ③锐角,邻边 如（） ；
④锐角,对边 如（） ；
⑤斜边,锐角 如（） ；
知识点二 解直角三角形在实际问题中的应用
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤
(1)将实际问题抽象为数学问题;
(2)根据问题中的条件选用合适的锐角三角函数解直角三角形;
(3)得到数学问题的答案;
(4)得到实际问题的答案.
2.实际问题中，常见的基本图形及相应的关系式
图形 关系式 图形 关系式
3.解直角三角形的常见类型
仰角和俯角
在测量中,我们把在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的叫做仰角.
视线在水平线下方的叫俯角.
如图所示，PQ 为水平线,视线为PA时，则∠APQ为仰角;视线为PB时,则∠BPQ为俯角.
知识点三 方向角
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角,叫方向角.
如图所示，目标方向线OA，OB，OC形成的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏东45°、北偏西30°，其中南偏东45°习惯上又叫做东南方向,北偏东 45°习惯上又叫做东北方向，北偏西45°习惯上又叫做西北方向,南偏西45习惯上又叫做西南方向.
知识点四 坡度与坡角
（1）坡角:坡面与水平面所成的夹角.如图中的
（2）坡度:我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度.坡度也可写成的形式,在实际应用中常表示成的形式
（3）坡度与坡角的关系：.坡度是坡角的正切值,坡角越大，坡度也就越大
【例1】如图，在中，，，点P是BC延长线上一点，，且，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据，，求出，则，求出，分别求出当时，当时的的度数，即可求出的取值范围．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
当时，
∴，
∴，则；
当时，
∴，
∴，则；
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是掌握解直角三角形的方法和步骤，以及各个特殊角度的锐角三角函数值．
【例2】 如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点作，垂足为，根据题意可得，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，
根据题意可得，
在中，，
，
在中，，
，
．
故则这栋楼的高度为．
故选：B．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数的定义，根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键．
选择题
1.如图，在中，，，，则的长为（ ）

A． B． C．4 D．5
2．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（ ）

A．48 B．50 C．52 D．54
3.如图，以的顶点O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若，，，，则点A的坐标是（　　）
A．（，） B．（，）
C．（，） D．（，）
4．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
6.如图，某农林部门用钢管为树木加固，已知钢管为4米，钢管与地面所成角，则固定点离地面的高度为（ ）米

A． B． C． D．
7．如图，小诚在距离旗杆底部B点的A处测得旗杆顶部C的仰角为，则旗杆BC的高为（ ）
A． B． C． D．
8.如图，在铁路建设中，需要确定隧道两洞口A和B的距离．点D，点E分别位于测绘点C的正北和正西方向．已知测得两定位点E和D与隧道口A和B的距离分别为和，测绘点H，G分别为，的中点，测绘方在测绘点H测得点G在点H的南偏西的方向上，且，则隧道的长约为（ ）（参考数据：）

A．1600m B．1300m C．980m D．900m
9．某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．甲侦测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，，请求出点到的距离（ ）．（参考数据，，）

A．140 B．340 C．360 D．480
10．某兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动，如图，当张角时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为，此时用眼舒适度不太理想，小组成员调整张角大小继续探究，最后发现当张角（点是点的对应点），用眼舒适度较为理想，则此时顶部边缘处离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
填空题
11．如图，在中，，，是的中点，是的中点，，则线段的长为 ．

12．如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是 ．
13．如图，在矩形中，，连接，点在上，平分 ．

14．如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球与楼的水平距离，则这栋楼的高度约为 m（，，结果保留整数）．
15．如图，小明在滨海大道的A处测得鸟岛P在北偏东的方向，他向正东方向前行200米到达B处，这时测得鸟岛P在他的北偏东方向，则岛P到滨海大道的A处的距离为 米（精确到1米）．

三、解答题
16．如图，中，，点D为边上一点．

(1)求作四边形，使得四边形是菱形（尺规作图，保留作图痕迹）；
(2)与的交点为O，连结，若， ，求的长．
17．如图，是的内接三角形，是的直径，，，点在上，连接并延长，交于点，连接，作，垂足为．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
18.研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为核心素养教育下的新内容和新方式．某中学组织学生进行研学活动，学生到达基地后，他们先从如图所示的基地门口A处沿南偏西方向走了400米，到达昆虫博览馆B处，再从B处向正东方向走了400米到达农耕体验区D处，然后从D处沿正北方向到达户外拓展区C处，最后再从C处沿北偏西方向回到A处．求户外拓展区C处与基地门口A处之间的距离．（参考数据：）

（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
参考答案
1.D
【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可．
【详解】如下图，作于，

在中，，，
，，
在中，，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键．
2．A
【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据进行计算即可求出结果．
【详解】解：连接，如图所示

，，
，
四边形的面积为48
故选：A．
【点睛】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添加辅助线，构造直角三角形解决问题．
3.B
【分析】过点A作轴，垂足为B，根据正弦和余弦的定义，求出，，从而得到坐标．
【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为B，
∴，，
∴，，
∴点A的坐标是（，），
故选B．
【点睛】本题考查了坐标与图形，解直角三角形，解题的关键是根据三角函数的定义求出，的长．
4．C
【分析】过B、D两点分别作AC的垂线，利用∠AOD=60°，可推出DG=DO，BH=BO，再利用四边形ABCD的面积等于△ACD的面积加上△ABC的面积，即可求出；
【详解】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H，
∵∠AOD=60°，
∴∠AOD=∠BOC=60°，
∴DG=DO，
同理可得：BH=BO，
S四边形ABCD=×AC×DG+×AC×BH
=×AC××（DO+BO）
=，
故选：C．
【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30°直角三角形的性质和不规则四边形面积的计算是解决本题的关键．
5．B
【分析】由已知可知高所对的斜边都为5，由正弦的定义可得到高关于正弦的表达式，比较正弦值即可得到答案．
【详解】解：如图，分别作出两三角形的高
∵
∴
∵
∴
∵
∴
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形，依题意作高构造直角三角形是解题的关键．
6．D
【分析】根据题意可得：， 然后在 中， 利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答；
【详解】由题意得：
在中， 米，
∴ (米)，
故选：D
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键
7．B
【分析】利用的正切求解即可．
【详解】解：由题意得，，，
∵，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
8．B
【分析】先解直角三角形求出，然后根据三角形中位线定理求出，即可求解．
【详解】解：由题意知：，，，，
在中，，
∴，
∵点H，G分别为，的中点，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用—方位角问题，三角形中位线定理等，明确题意，熟悉相关性质是解题的关键．
9．D
【分析】作于，于，设，根据矩形的性质用表示出、，根据正切的定义用表示出，根据题意列式计算即可．
【详解】解：作于，于，

则四边形为矩形，
，，
设，则，，
在中，，
，则，
在中，，
由题意得，，
解得，，
即点到的距离约为480，
故选：D．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．
10．B
【分析】根据，得到，再根据，得到，在中根据三角函数即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
在中，，
∴，
由题意得：，
∵，
∴，
在中，
∴此时顶部边缘处离桌面的高度的长约为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
11.
【分析】根据含角的直角三角形的性质可知，进一步可知，根据等腰三角形的性质可知，，根据，求出的长，再根据，即可求出的长．
【详解】解：，，
，，
是的中点，
，
，
是的中点，
平分，，
，，
，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，特殊角的三角函数，熟练掌握这些知识是解题的关键．
12．
【分析】根据等边三角形的性质可得，，推得，根据全等三角形的判定和性质可得，，过点作，交的延长线于点，延长到，使得，连接，，与交于点，连接，，根据三角形内角和定理可得，根据含角的直角三角形的性质可得，根据等边三角形的判定可得为等边三角形，根据特殊角的锐角三角函数可求得，根据垂直平分线的性质可得，，求得，当与重合时，即、、三点共线时，的值最小，即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵是等边三角形，是高，
∴，，
过点作，交的延长线于点，延长到，使得，连接，，与交于点，连接，，如图：
则，
在中，，
∴，，
故，
∴，
∴为等边三角形，
在中，，
∵，，
即垂直平分，
∴，，
∴，
，
∴当与重合时，即、、三点共线时，的值最小为：，
∴的周长的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，含角的直角三角形的性质，解题的关键在于证明三角形全等，确定点运动轨迹．
13．/
【分析】过点D作，由平分可得是等腰直角三角形，再根据矩形性质和勾股定理易求对角线长，进而解三角形求出、即可解答．
【详解】解：过点D作，如图：

∵平分，
∴，
∴，
∵在矩形中，，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形性质和解三角形，解题关键是过点D作构造是等腰直角三角形，再解三角形．
14．273
【分析】根据题意可得：，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得：，
在中，，，
，
在中，，
，
，
这栋楼的高度约为，
故答案为：273．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
15．
【分析】在图中两个直角三角形中，先根据已知角的正切函数，分别求出，根据它们之间的关系，构建方程求出，再利用直角三角形30度角的性质求解即可．
【详解】过点P作于点D
由已知得，在中，，
在中，，
解得，，
∴（米），
∴(米)，
答：岛P到滨海大道的A处的距离为米．
故答案为．

【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用，关键明确解一般三角形的问题可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
16(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）如图所示，①作线段的垂直平分线，交于点D；②以点B为圆心，以为半径画弧，交垂直平分线于点E；即得所求．
（2）过点E作于点F，由菱形得，，，可证四边形是矩形，解得，，由勾股定理，由斜边中线定理，得．
【详解】（1）解：如图所示，①作线段的垂直平分线，交于点D；
②以点B为圆心，以为半径画弧，交垂直平分线于点E；
③连接，，，即得所求．
（2）过点E作于点F，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，

在中，∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，O是的中点，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题考查尺规作图，菱形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形；构造直角三角形求解线段是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据圆周角定理得，进而可以证明结论；
（2）过点作，垂足为，证明，得，代入值即可解决问题．
【详解】（1）解：证明：为直径，
，
，
，
所对的圆周角为和，
，
；
（2）如图，过点作，垂足为，
，，，
，
，
，
，
，
AC=FC
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识点，解决本题的关键是得到．
18．250米
【分析】过点A作于点E，过点C作于点F，解直角三角形，求出的长，进而求出的长，再解直角三角形，求出的长即可．
【详解】解∶如图，过点A作于点E，过点C作于点F，则四边形是矩形，

∴，
根据题意可知∶米，米，，
∴（米），，
∴（米），
∴米．
在中，，
∴（米）．
答：户外拓展区C处与基地门口A处之间的距离为250米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．
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