甘肃省靖远县第一中学2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试卷（含解析）

甘肃省靖远县第一中学2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．设全集,,，则( )
A. B. C. D.
2．复数( )
A. B. C. D.
3．双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
4．已知等比数列,是其前n项和,,则( )
A. B.8 C.7 D.14
5．若函数的单调递增区间是，则( )
A. B. C. D.2
6．某服装品牌市场部门为了研究销售情况，统计了一段时间内该品牌不同服装的单价x(元)和销售额y(元)的数据，整理得到下面的散点图：
已知销售额单价销量z，根据散点图，下面四个回归方程类型中最适宜作为服装销量z与单价x的回归方程类型的是( )
A. B. C. D.
7．已知椭圆C的方程为，其中,,,依次将椭圆C的下半部分分成10等份，若F是椭圆的右焦点，则( )
A.10 B.16 C.20 D.12
8．已知方程在区间上恰有3个不等实数根，则实数k的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下药物效果与动物试验列联表：
患病 未患病 合计
服用药 10 45 55
没服用药 20 30 50
合计 30 75 105
由上述数据给出下列结论，其中正确的是( )
附：；
0.05 0.025 0.010 0.005
3.841 5.024 6.635 7.879
A.能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为药物有效
B.不能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为药物有效
C.能在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为药物有效
D.不能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为药物有效
10．下列说法正确的是( )
A.设随机变量X服从二项分布，则
B.已知随机变量X服从正态分布，且，则
C.设随机变量服从二项分布，若，则
D.已知随机变量服从两点分布，，且，则随着p的增大而增大，随着p的增大而增大
11．如图，在直四棱柱中，四边形为正方形，,P为面对角线上的一个动点，则下列说法正确的有( )
A.平面
B.三棱锥的体积为定值
C.异面直线与所成角的正切值为1
D.异面直线与所成角的余弦值为
三、填空题
12．已知点,,.若点在平面内，则________.
13．某车间加工零件的数量与加工时间的统计数据如下表：
零件数x/个 10 20 30
加工时间y/分钟 21 39
现已求得上表数据的线性回归方程为，但由于某种失误，丢失了其中一个数据，则丟失的数据是________.
14．抛物线镜面有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点A反射后，再经过抛物线上的另一点B反射后，平行于入射光线射出，则________.
四、解答题
15．某学校为丰富学生的课余生活，利用下午放学后的1个小时时间，组织多种形式的文体兴趣小组.经过一个学期后，学校对兴趣小组满意度进行调查，现从该校的初、高中学生中随机抽取200人作为样本，得到下表（单位：人次）.
满意度 初中学生 高中学生
男生 女生 男生 女生
满意 45 40 35 30
不满意 5 10 15 20
（1）通过上表判断能否有95%的把握认为对兴趣小组的满意度与初、高中学生有关；
（2）现利用分层抽样的方法从调查的学生中按满意与不满意的标准抽取出8人，再从这8人中任选2人，记X为这2人中为满意的人数，求X的分布列和数学期望.
16．如图，是圆柱底面圆O的直径，点C F是的两个三等分点， 为圆柱的母线.
（1）求证：平面；
（2）设，M为的中点，求二面角的余弦值.
17．前些年，为了响应绿色环保出行，提供方便市民的交通，某市大力推行“共享单车”，根据统计，近6年这个城市“共享单车”保有量数据如下表：
年份代号x 1 2 3 4 5 6
保有量y（万辆） 1 1.8 2.7 4 5.9 9.2
（1）从这6年中任意选取两年，记单车保有量超过4万辆的年份数量为X，求X的分布列及期望；
（2）用函数对两个变量x，y的关系进行拟合，求y关于x的回归方程（系数精确到0.01）.
参考数据：
,,,设,,,,
参考公式：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：,
18．已知椭圆及直线.
（1）若直线l与椭圆没有公共点，求实数t的取值范围；
（2）P为椭圆C上一动点，若点P到直线l距离的最大值为，求直线l的方程.
19．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，设.
（ⅰ）证明：函数在区间内有唯一的零点；
（ⅱ）记（ⅰ）中的零点为，证明：当时，.
参考答案
1．答案：D
解析：因为，所以或，
因为，所以.
故选：D.
2．答案：B
解析：根据复数的运算法则，可得.
故选：B.
3．答案：B
解析：因为，，所以，，
所以该双曲线的渐近线方程为，即.
故选：B.
4．答案：C
解析：设等比数列的公比为q,
因,可得,即,所以,
所以.
故选:C.
5．答案：D
解析：，
若，则可得在R上单调递减，
若，令，可得，
所以在上单调递增，
又因为的单调递增区间是，所以.
故选：D.
6．答案：B
解析：由散点图可知，y与x成线性相关，设回归方程为，
由题意，所以，对应B最适合.
故选：B.
7．答案：C
解析：因为若F是椭圆的右焦点，且，可得，
设椭圆C的左焦点为，连接,,，
由椭圆的对称性，可得,，
所以.
故选：C.
8．答案：A
解析：，
直线过点，
设,，
所以在P点处的的切线方程为，
即，将代入得,,，.
，即在函数的图象上，
,.
要使方程在区间上恰有3个不等实数根，
则，即k的取值范围是.
故选：A
9．答案：AD
解析：根据列联表，计算，
所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为药物有效，A正确；
能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为药物有效，B错误；
不能在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为药物有效，C错误；
不能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为药物有效，D正确，
故选：AD.
10．答案：ACD
解析：对于A中，因为随机变量X服从二项分布，
则，所以A正确；
对于B中，因为随机变量X服从正态分布，且，
所以正态曲线的对称轴是，则，所以B错误；
对于C中，由二项分布的方差公式知，所以C正确；
对于D中，由随机变量服从两点分布，且，可得,，由一次函数和二次函数的性质知，当时，则随着p的增大而增大，随着p增大而增大，所以D正确.
故选：ACD.
11．答案：BCD
解析：
以D为坐标原点，,,所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
设，则，,,,,，
对于A选项，，，则，
故与不垂直，进而可知与平面不垂直，故A错误；
对于B选项，在正四棱柱中，且，
所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，
平面，所以平面，所以点P到平面的距离为定值，
又的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，故B正确；
对于C选项，因为，所以与所成的角为，
因为四边形为正方形，所以，故C正确；
.对于D选项，,，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为，故D正确.
故选：BCD.
12．答案：-2
解析：,，
因为点在平面，所以存在m,n使得，
即，
故，解得.
故答案为：.
13．答案：30
解析：由车间加工零件的数量与加工时间的统计数据表，可得,，
因为线性回归方程一定经过点，可得，
解得.
故答案为：30.
14．答案：
解析：令，得，即.
由抛物线的光学性质可知直线经过焦点F，设直线的方程为，
代入，消去y得，则，
所以，所以.
故答案为：.
15．答案：（1）有95%的把握认为对兴趣小组的满意度与初、高中学生有关；
（2）分布列见解析，.
解析：（1）根据题意，得到的列联表，如下表所示：
初中学生 高中学生 合计
满意 85 65 150
不满意 15 35 50
合计 100 100 200
所以，
所以有95%的把握认为对兴趣小组的满意度与初、高中学生有关.
（2）由题意，满意的中学生抽取人，不满意的学生中抽取人，
则随机变量X的可能取值为0，1，2，
可得，，，
所以变量X的分布列为：
X 0 1 2
P
所以，期望为.
16．答案：（1）证明见解析；
（2）.
解析：（1）证明：连结，
点C F是的两个三等分点，
，平面；
又 均为圆柱的母线，，
平面，
又，平面平面，
又平面，平面.
（2）连结，
是圆O的直径，，
又为圆柱的母线，故 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，
由条件，，，，
，，，
，，
设平面的法向量，则，
取，得，
显然平面的法向量，
，
故所求二面角的余弦值为.
17．答案：（1）答案见解析，；
（2）.
解析：（1）X的所有取值为0，1，2，由题意知，
，，，
X的分布列为：
X 0 1 2
P
.
（2）对两边取自然对数得：，设，
，，
，
又，，.
18．答案：（1）；
（2）或.
解析：（1）联立方程组，整理得，
因为直线l与椭圆C没有公共点，所以，
解得或，所以实数t的取值范围为.
（2）由题意，点到直线距离的最大值，
等价于与直线l平行且与椭圆C相切的直线与直线l间的距离，
由（1）中，，解得或，
此时直线或直线与椭圆C相切，
当与l之间的距离为时，可得，解得或（舍去）；
当与l之间的距离为时，可得，解得或（舍去），
综上可得，所求直线l的方程为或.
19．答案：（1）答案见解析；
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析
解析：（1）由，，令，得或.
当时，由，得或，由，得.
所以在和上单调递增，在上单调递减，
当时，由，得，
所以在R上单调递增.
当时，由，得或，由，得.
所以在和上单调递增，在上单调递减.
综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减，
当时，在R上单调递增.
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（2）(i)当时，，
与的单调性相同，
由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
，
所以函数在区间内有唯一的零点.
(ii)设，则，
由，得，
由，得.
所以在上单调递减，在上单调递增.
又因为，所以要证明当时，，即证，
只要证明，即证，即证，
因为，即，
所以只要证明，即证.
因为在上单调递增，所以只需证明.
因为，所以只需证明.
因为，设，，
则，
所以在上单调递增，
所以，所以，得证.