13.3等腰三角形 华东师大版初中数学八年级上册同步练习（含详细答案解析）

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13.3等腰三角形华东师大版初中数学八年级上册同步练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在中，点在上，，，则的度数为( )
A. B. C. D.
2.如图，，，为了使图中的是等边三角形，再增加一个条件可以是( )
A. B. C. D.
3.如图，在中，，，是的中线，是的平分线，交的延长线于点，则的长为 ( )
A. B. C. D.
4.如图，将等边三角形绕点顺时针旋转得到，连接，，则下列结论：；；其中正确的个数是 ( )
A. B. C. D.
5.如图，，，则的度数为 ( )
A. B. C. D.
6.在中，，，是边上的动点不与、重合，连接，若为等腰三角形，则的度数为( )
A. B. C. 或 D. 或
7.如图，在中，，，是的两条中线，是上一个动点，则的最小值和下列线段长度相等的是 ．
A. B. C. D.
8.如图，在等腰直角三角形中，，，分别为边，上的点，，交于点，过点作交的延长线于点，交于点现有以下结论：≌；；是等腰三角形；其中恒成立的有 ( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
9.若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形顶角的度数为( )
A. B. C. 或 D. 或
10.如图所示，已知，点在边上，，点，在边上，若，则的长为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.如图，在中，，，为的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为 时，能够在某一刻使与全等．
12.如图，过，，三点的圆的圆心为点，过，，三点的圆的圆心为点如果，那么 ．
13.已知中，，，点为直线上异于，的一点，若是等腰三角形，则的度数为 ．
14.如图，是一个钢架结构，要使该钢架更加牢固，需在其内部从左至右顺次焊上长度相等的钢条，在，足够长的情况下，若最多只能焊上根，且，则度数的最大值为 结果保留整数．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，平分，，垂足为点，．
求证：是等腰三角形．
16.本小题分
如图，，为上一点，，求证：．
17.本小题分
如图，在和中，，，，且点，，在同一条直线上，连接，，，分别为，的中点，连接，，．
求证：
；
．
在图的基础上，将绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变，得到如图所示的图形．请判断中的两个结论是否仍然成立，并说明理由．
18.本小题分
如图，在中，的平分线交于点，过点作交于点．
求证：；
若，，求的度数．
19.本小题分
小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空．
【阅读定义】如图，内有一点，满足，那么点称为的“布洛卡点”，其中、、被称为“布洛卡角”如图，当时，点也是的“布洛卡点”一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”．
【解决问题】说明：说理过程可以不写理由
问题等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度
问题在等腰三角形中，已知，点是的一个“布洛卡点”，是“布洛卡角”．
与的底角有怎样的数量关系请在图中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理．
当如图所示，时，求点到直线的距离．
20.本小题分
如图，在中，，为内一点，，交的延长线于点，，．
求证：为等边三角形；
探究，与之间的数量关系，并证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键 先根据等腰三角形的性质求出的度数，再由平角的定义得出的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．
【解答】
解：中，，，
，
，
，
．
故选B．
2.【答案】
【解析】略
3.【答案】
【解析】略
4.【答案】
【解析】略
5.【答案】
【解析】略
6.【答案】
【解析】解：
，，
，
，
为等腰三角形，
当时，，
；
当时，，
这时点与点重合，不符合题意，
当时，，
，
综上，的度数为或．
故选：．
根据三角形内角和为，为等腰三角形，分三种情况分别计算即可．
本题考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质，体现了分类讨论的思想．掌握等腰三角形的两个底角相等是解题的关键．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查轴对称最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
如图连接，只要证明，即可推出，由，推出、、共线时，的值最小，最小值为的长度．
【解答】
解：如图，连接，
，，
，
，
，
，
、、共线时，的值最小，最小值为的长度，
故选：．
8.【答案】
【解析】提示：由条件易证≌，故正确；因为≌，所以，所以，故正确；因为，所以，因为，所以，所以，因为，，所以，所以，即为等腰三角形，故正确；过点作，交的延长线于点，因为，，所以，因为，所以，所以，所以，因为，，所以，又因为，，所以≌，所以，因为，所以，故正确．
9.【答案】
【解析】略
10.【答案】
【解析】略
11.【答案】或
【解析】略
12.【答案】
【解析】提示：连接，，则，所以，易得，所以因为，所以，所以．
13.【答案】或或
【解析】略
14.【答案】
【解析】提示：设因为，所以，所以，所以，，所以且，所以，所以度数的最大值约为．
15.【答案】解：平分，
．
，
．
．
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
【解析】本题主要考查等腰三角形的判定和平行线的性质以及角平分线的定义的运用．
直接利用平行线的性质得出，进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出，根据等腰三角形的判定即可得出答案．
16.【答案】证明：在上截取，连接，如图：
，
是等边三角形，
，，
，
，
，即，
，，
即，
，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】此题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质以及三角形的外角的性质，通过作辅助线构造等边三角形是解题关键在上截取，连接，构造等边，利用证明
，进而根据全等三角形的性质可得结论．
17.【答案】【小题】
，，即在和中，≌≌，由，知，又，分别为，的中点，在和中，≌
【小题】
中的两个结论仍然成立理由：由题意，易知点，，在同一条直线上．在和中，≌，，，分别为，的中点，在和中，≌．

【解析】 略
略
18.【答案】解：证明：在中，的平分线交于点，
，
，
，
，
．
，
，
的平分线交于点，
，
，
，
故的度数为．
【解析】本题主要考查等腰三角形的判定．平行线的性质，熟练掌握判定和性质是关键．属较容易题．
先根据角平分线定义，得，由平行线性质得到：，得到，根等角对等边判断即可．
先根据三角形内角和，求的度数，再利用角平分线性求的度数，利用平行线性质求得．
19.【答案】解问题；；
问题：．
因为点为的一个“布洛卡点”，是“布洛卡角”．
可设，则．
因为，所以．
所以可设，则，那么．
因为在中，
所以，
同理，
所以．
过点作，交的延长线于点．
因为，，所以．
由问题同理可得．
在与中，
所以，
可得，．
因为，所以．
因为，所以，
所以．
即点到直线的距离为．
【解析】【分析】
本题主要考查新定义问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等的判定和性质．
问题：根据新定义结合等边三角形的性质即可求解；
问题：与的底角的数量关系是由题意设，则，根据等腰三角形的性质可设，则那么得出，，然后根据周角的概念即可证明结论；
过点作，交的延长线于点先证明得出，，再根据新定义得出，可得，进而可得答案．
【解答】
解：问题：等边三角形得中线、高线、角平分线交于同一点，
所以“布洛卡点”有个；
“布洛卡点”为三个相等内角的角平分线的交点，
所以“布洛卡角”为；
问题：见答案；
见答案．
20.【答案】【小题】证明： ，
，
，，
，即，
，
为等边三角形；
【小题】
；
在上截取，连接．
为等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
．

【解析】 见答案
见答案
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