13.5逆命题与逆定理 华东师大版初中数学八年级上册同步练习（含详细答案解析）

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13.5逆命题与逆定理华东师大版初中数学八年级上册同步练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，直线，，表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )
A. 一处 B. 两处 C. 三处 D. 四处
2.如图，是内一点，若，则 ( )
A. 点在的平分线上 B. 点在的平分线上
C. 点在边的垂直平分线上 D. 点在边的垂直平分线上
3.如图，在中，，的平分线交于点，于点，若与的周长分别为和，则的长为 ( )
A. B. C. D.
4.如图，在四边形中，，，，对角线平分，则的面积为( )
A. B. C. D.
5.在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为的正方形，、是方格纸中的两个格点即正方形的顶点在这张的方格纸中，找出格点，使，则满足条件的格点有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6.如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为和，则的面积为( )

A. B. C. D.
7.如图所示，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为和，则的面积为 ．
A. B. C. D.
8.如图，在中，，平分，交于点，，垂足为若的周长为，的周长为，则的长为 ( )
A. B. C. D.
9.如图，，是线段的中点，平分，，，则的值等于 ( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，，的平分线交于点，于点，若与的周长分别为和，则的长为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.如图，等腰的底边长为，面积为，边的垂直平分线分别交，于点，，若点为的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为______．
12.如图，在中，是的角平分线，过点作，交于点，平分，交于点若，则 ．
13.如图，是内一点，且点到三边，，的距离若，则 ．
14.如图，，分别平分，，交于点，交于点，若，，，则的周长是__________．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，已知，为上一点．
尺规作图：作直线，使得点与点关于直线对称，直线交直线于点，交直线于点保留作图痕迹，不写作法
连接，，交于点，若平分，请在的基础上说明．
16.本小题分
如图，平分，，垂足为，交于点求证：是等腰三角形．
17.本小题分
如图，在中，，是的中点．求证：点到，的距离相等．
18.本小题分
如图，，，垂足分别为，，与交于点，求证：点在的平分线上．
19.本小题分
如图，在中，．
如图，已知边的垂直平分线与边交于点，连接，求证：；
如图，以点为圆心，线段的长为半径画弧，与边交于点，连接若，求的度数．
20.本小题分
分如图，已知是上的一点，平分．
当，且时，求的度数；
当，且时，求的度数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应用，小心别漏解．由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有个，可得可供选择的地址有个．
【解答】
解：内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
内角平分线的交点满足条件；
如图：点是两条外角平分线的交点，
过点作，，，
，，
，
点到的三边的距离相等，
两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有个；
综上，到三条公路的距离相等的点有个，
可供选择的地址有个．
故答案为：．
2.【答案】
【解析】解：，
在线段的垂直平分线上，
故选D．
根据到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上由即可得出在线段的垂直平分线上．
本题考查了角平分线的性质和线段垂直平分线定理，注意：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，角平分线上的点到角的两边的距离相等．
3.【答案】
【解析】解：，平分，，
，
在和中，
，
≌，
，
与的周长分别为和，
，，
，
．
故选：．
先根据角平分线的性质定理证得，再证明≌得出，进而根据与的周长分别为和证得．
本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握并熟练运用角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了三角形的面积、角平分线的性质，角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等过点作于点利用角平分线的性质得到，然后由三角形的面积公式来求的面积．
【解答】
解：如图，
，
过点作于点，
，
，
平分，
，
又，
．
5.【答案】
【解析】分析
本题考查了网格的特点和线段的垂直平分线，注意不要漏点，根据线段垂直平分线的性质，点在的垂直平分线上，最后根据方格纸确定点的个数．
详解
解：如图，满足，故点在的垂直平分线上，有个，
故选A．
6.【答案】
【解析】【分析】本题考查角平分线性质，全等三角形的判定与性质及三角形面积，作交于，作，利用角平分线的性质得到，进而得出一组三角形全等，将的面积转化为的面积来求即可。
【解答】
解：如图，过作于点，在上取一点，连接，使，
，，
是的角平分线，，
，，
在和中，
，
，
，
又，，
，
，
和的面积分别为和，
，
．
故选B．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求．作交于，作，利用角平分线的性质得到，将三角形的面积转化为三角形的面积来求．
【解答】
解：作交于，作，
，，
，
是的角平分线，，
，
在和中，
，
≌，
和的面积分别为和，
，
．
故选B．
8.【答案】
【解析】略
9.【答案】
【解析】提示：延长和交于点因为，所以因为是线段的中点，所以又因为，所以≌，所以，因为平分，所以所以，所以所以因为，所以，所以．
10.【答案】
【解析】解：，平分，，
，
在和中，
，
≌，
，
与的周长分别为和，
，，
，
．
故选：．
先根据角平分线的性质定理证得，根据与的周长分别为和证得．
本题考查了角平分线的性质，掌握并熟练运用角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：连接，
是等腰三角形，点是边的中点，
，
，
解得，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，
的长为的最小值，
的周长最短．
故答案为：．
连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，可得出，再由，即可得出，由是线段的垂直平分线，可知点关于直线的对称点为点，故CD的长为的最小值，即可得出答案．
此题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质，垂直平分线的性质是解答此题的关键．
12.【答案】
【解析】，由题意，知平分，平分，，，，，，．
13.【答案】
【解析】略
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查角平分线的定义，平行线的性质及等腰三角形的判定．
根据角平分线的性质以及平行线的性质，把三条边转移到同一条线段上，即可解答．
【解答】
解：因为、分别是、的角平分线，
所以，，
因为，，
所以，，
所以，，
所以，．
所以的周长．
15.【答案】【小题】解：如图
【小题】
平分，由知，垂直平分，，在和中，≌．

【解析】 略
略
16.【答案】解：，
．
平分，
．
．
，
，．
．
．
是等腰三角形．
【解析】此题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，正确得出是解题关键，直接利用平行线的性质得出，进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出，即可得出答案．
17.【答案】证明：连接，过作于，于，
为的中点，
，
在和中
，
≌．
，
，，
，
即到、的距离相等．
【解析】本题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定及性质；作出辅助线是解答本题的关键．
连接，过作于，于，证明≌即可证明，即是的平分线，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知到、的距离相等．
18.【答案】证明：，，
，
在和中，
，
≌，
，且，，
点在的平分线上．
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法求证两个三角形全等是解题的关键．
利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．
19.【答案】【小题】证明：线段的垂直平分线与边交于点，
．
．
，
．
【小题】解：根据题意可知，
．
，且，
．
，
．
．

【解析】 本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等．
根据线段垂直平分线的性质可知 ，根据等腰三角形的性质可得 ，根据三角形内角和定理邻补角即可证得 ．
本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理．
根据题意可知 ，根据等腰三角形的性质可得 ，再根据三角形的内角和公式即可解答．
20.【答案】【小题】解：因为，，
所以，
因为平分，
所以，
所以．
【小题】
解：设，
因为，
所以，
因为平分，
所以， ，
因为，
所以，解得，
所以，，
所以 ．

【解析】 本题主要考查了角的平分线，角的计算，解题的关键是掌握利用角平分线的定义求角的度数的思路与方法；根据、的度数，求出的度数，根据平分，得出，再根据进行解答，即可求解．
本题主要考查了角的平分线，角的计算，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握利用角平分线的定义求角的度数的思路与方法；设，则，根据平分，得出， ，根据，得到关于的方程，解方程，求出的值，进而得出、的度数，即可求出的度数．
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