14.2勾股定理的应用 华东师大版初中数学八年级上册同步练习（含详细答案解析）

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14.2勾股定理的应用华东师大版初中数学八年级上册同步练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框使其不变形若米，米，则木条结果保留根号
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
2.荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动，小亮想利用所学的勾股定理知识测算公园里一架秋千立柱的高度如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度为米，将踏板往前推送，使秋千绳索到达的位置，测得推送的水平距离为米，此时秋千踏板离地面的垂直高度为米，则立柱的高度为( )
A. 米
B. 米
C. 米
D. 米
3.在平静的湖面上，有一枝荷花，高出水面，一阵风吹过来，荷花被吹倒伏，花朵齐及水面，其示意图如图所示．已知荷花移动的水平距离为，则水深为 ( )
A. B. C. D.
4.如图，米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足到墙底端的距离为米，若梯子的顶端沿墙下滑米，那么梯足将向左移( )
A. 米
B. 米
C. 米
D. 米
5.如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，点到的距离是米，有一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是米．
A. B. C. D.
6.如图，在桌面上放置一个正方体，正方体的棱长为，点为一条棱的中点．蚂蚁在正方体表面爬行，从点爬到点的最短路程是( )
A. B. C. D.
7.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，那么梯子顶端到地面的距离为由以上信息可知小巷的宽为 ( )
A. B. C. D.
8.小明要用铁杆制作一个直角三角形天线，要求最短边的长为，最长边的长为，则小明需要铁杆的总长度为( )
A. B. C. D.
9.如图，在离水面点高度为的岸上点处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，则船向岸边移动的距离的长为假设绳子是直的
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
10.如图，韩彬同学从家记作出发向北偏东的方向行走了米到达超市记作，然后再从超市出发向南偏东的方向行走米到达卢飞同学家记作，则韩彬家到卢飞家的距离为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.小明打算测量学校旗杆的高度，他发现旗杆顶部的绳子垂到地面后还多出，当他把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部，由此可计算出学校旗杆的高度是 __．
12.如图，小明在时测得某树的影长为，时测得该树的影长为若两次日照的光线互相垂直，则该树的高度为
13.如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔的处，该轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，则处与处之间的距离为 ．
14.如图，这是我国古代数学著作九章算术中的一个问题：一根竹子高丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端尺处，折断处离地面的高度是 尺丈尺
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图是世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．
定理证明：
图是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形阴影如果直角三角形较小的直角边长为，较大的直角边长为，斜边长为，请你根据图证明勾股定理；
问题解决：
如图，圆柱的底面半径为，高为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点爬到点的最短路程是多少厘米？结果保留
16.本小题分
如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度是米．一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端与地面点距离是米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端与地面点距离是米．求此时梯子底端到右墙角点的距离是多少米．
17.本小题分
如图是可调躺椅示意图，与的交点为，测得，．
若，求的长；
为躺着更加舒服，准备将躺椅高度进行调节，调整后测得，问与中长度相比，此时的长度有何变化？参考数据：，
18.本小题分
如图，有两条公路，相交成角，沿公路方向离点处有一所学校当重型运输卡车沿道路方向行驶时，在以点为圆心，长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车与学校的距离越近噪声影响越大．已知重型运输卡车沿道路方向行驶的速度为．
求对学校的噪声影响最大时，卡车与学校的距离；
求卡车沿道路方向行驶一次，给学校带来噪声影响的时间．
19.本小题分
如图，有一个正方体盒子，在盒子内的顶点处有一只蚂蚁，而在对角的顶点处有一块糖，蚂蚁应沿着什么路径爬行，才能最快吃到糖请画出蚂蚁爬行的路线．
20.本小题分
为了美化校园，学校要在一块直角三角形的草地上种植出如图阴影部分的图案划出一个三角形后，测得米，米，米，米求图中阴影部分的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：米，
故选：．
在直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方，据此解答即可．
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
2.【答案】
【解析】解：设绳索的长度为，
则，，
，
，
由题意得：，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
即立柱的高度为，
故选：．
设绳索的长度为，则，，得到，求得，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理得出方程是解题的关键．
3.【答案】
【解析】略
4.【答案】
【解析】解：在直角中，已知米，米，
则由勾股定理得米．
，
米．
在直角中，，且为斜边，
由勾股定理得米，
米．
故选：．
在直角中，已知，根据勾股定理即可求的长度，根据即可求得的长度，在直角中，已知，即可求得的长度，根据，即可求得的长度．
本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：如图，过作于，连接，
米，米，
米，
米，
米，
这只蚂蚁的最短行程应该是米，
故选：．
可将教室的墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．
本题主要考查了平面展开最短路径问题，解题关键是立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面展开最短路径问题，关键是知道两点之间线段最短，找到起点终点，根据勾股定理求出．分两种情况求出路径长，比较大小，求出最短路径．
【解答】
解：如图，
它运动的最短路程，
如图，
它运动的最短路程，
，
从点爬到点的最短路程是，
故选C．
7.【答案】
【解析】略
8.【答案】
【解析】略
9.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．
在中，利用勾股定理计算出长，再根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长．
【解答】
解：在中：
，，，
，
此人以的速度收绳，秒后船移动到点的位置，
，
，
，
即船向岸边移动了．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查勾股定理在实际生活中的运用，关键是得出韩彬行走的路程和距离构成的是直角三角形，然后根据勾股定理可求出解，根据题意可得，米，米，然后利用勾股定理求得．
【解答】
解：如图，连接，
依题意得：，米，米，
则由勾股定理，得：
米
故选D．
11.【答案】
【解析】解：如图，旗杆绳垂到地面处时多出，，把绳子斜拉直时，绳子底端距离旗杆底部，
可知比多，，
设，
则，
，
，
解得，
，，
故答案为：．
根据题意，画出图形，可将该问题抽象为解直角三角形问题，该直角三角形的斜边比其中一条直角边多，而另一条直角边长为，可以根据勾股定理列方程求出斜边的长，即为旗绳的长．
此题考查勾股定理及其应用，需要画出示意图，所以，通过解决实际问题，培养动手操作能力，也是学习的一个重要环节．
12.【答案】
【解析】提示：如图，根据题意，得，，设树的高度为在中，由勾股定理，得在中，由勾股定理，得在中，，即，则，所以负值舍去所以该树的高度为．
13.【答案】
【解析】略
14.【答案】
【解析】【分析】竹子折断后刚好构成一个直角三角形，设竹子折断出离地面的高度是尺，则斜边为尺，利用勾股定理求解即可得到答案．
【详解】解：设设竹子折断出离地面的高度是尺，则斜边为尺
由勾股定理得
解得
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形利用勾股定理解题．
15.【答案】解：阴影部分的面积大正方形面积直角三角形面积，
，
，
；
画出圆柱侧面展开图：
根据圆柱底面半径为，得出，
高为，
，
从点爬到点的最短路程是厘米．
【解析】利用阴影部分的面积大正方形面积直角三角形面积额即可得答案；
画出圆柱侧面展开图矩形，利用勾股定理即可得答案．
本题考查勾股定理证明，掌握面积法是解题关键．
16.【答案】解：设此时梯子底端到右墙角的距离长是米，
由题意列方程为：，
解方程得，
答：此时梯子底端到右墙角的距离是米．

【解析】【分析】本题考查了勾股定理的应用，设此时梯子底端到右墙角的距离长是米，根据，结合勾股定理列出方程，解方程即可得出答案，熟练掌握勾股定理是解此题的关键．
17.【答案】解：，，，
，
答：的长为；
的长度变长了，理由如下：
如图，过点作于点，
则，
，，
，
，
，
，
，，
，
的长度变长了．
【解析】由勾股定理求出的长即可；
过点作于点，由含角的直角三角形的性质得，再由勾股定理求出、的长，得出的长，然后比较即可．
本题考查了勾股定理的应用以及含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
18.【答案】【小题】
解：过点作于点因为，，所以答：对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离为．
【小题】
以点为圆心，长为半径画弧，交于，两点，点靠近点，即卡车在经过段时对学校产生影响，连接，，则有，由得在中，由勾股定理，得，所以故因为卡车的速度为，即，所以经过段时需要 答：卡车沿道路方向行驶一次，给学校带来噪声影响的时间为．

【解析】 略
略
19.【答案】解：如图，由于“两点之间，线段最短”，因此蚂蚁要从顶点爬行到顶点，有三种情况．
若蚂蚁爬行经过面，可将这个正方体展开，在展开图上连接，与棱或交于点或，蚂蚁沿线段或爬行，路线最短，
类似地，蚂蚁经过面和爬行到点，
也分别有两条最短路线，因此蚂蚁爬行的最短路线有条．

【解析】本题考查的是最短路径问题，解决此题的关键是将立体图形展开，转化为平面图形先将平面图形展开，根据两点之间，线段最短，可知蚂蚁要从顶点爬行到顶点，有三种情况；再让蚂蚁爬行经过面，在展开图上连接，可得到两条最短路线，类似地蚂蚁经过面和爬行到点，也分别有两条最短路线，因此蚂蚁爬行的最短路线有条，从图上画出即可．
20.【答案】解：因为，米，米，
所以米，
因为米，米，，
所以，
所以是直角三角形，且，
所以图中阴影部分的面积的面积的面积
平方米．
答：图中阴影部分的面积为平方米．
【解析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
由勾股定理求出米，再由勾股定理的逆定理证出，然后由三角形面积公式求解即可．
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