12.3乘法公式 华东师大版初中数学八年级上册同步练习（含详细答案解析）

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12.3乘法公式华东师大版初中数学八年级上册同步练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3.从前，一位农场主把一块边长为米的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加米，相邻的另一边减少米，变成长方形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会( )
A. 没有变化 B. 变大了 C. 变小了 D. 无法确定
4.下列能直接运用平方差公式计算的是( )
A. B.
C. D.
5.已知，，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知，则的值是( )
A. B. C. D.
7.从边长为的大正方形纸板正中央挖去一个边长为的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形如图，然后拼成一个平行四边形如图，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为( )
A. B.
C. D.
8.下列各式中，不能用平方差公式计算的是( )
A. B.
C. D.
9.如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，将余下部分拼成一个长方形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于，的恒等式为( )
A. B.
C. D.
10.将一个长为，宽为的长方形纸片，用剪刀沿图中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小长方形纸片，然后按图的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.某同学在计算时，把写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：请借鉴该同学的经验，计算： ．
12.已知，，则________．
13.已知，则 ．
14.观察下列等式：，，，按此规律，则第个等式为 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
仔细观察下列各式：
；
；
；
请你根据以上规律，写出第为正整数个等式，并说明等式成立的理由．
16.本小题分
计算：；
从第题中你有没有发现什么规律？如果有，你能不能利用这个规律计算：．
17.本小题分
如图，六个小图形拼成一个大长方形，大长方形面积长宽，六个小图形面积和为：，可得等式：．
仿照上面的方法，由图可得等式______；
利用所得等式，解决问题：已知，，求的值．
18.本小题分
如图是一个长为、宽为的大长方形，沿图中虚线用剪刀分成四个完全相同的小长方形，然后按图的方式拼成一个大正方形．
图中的阴影正方形的边长为 ；
用两种不同的方法列代数式表示图中阴影部分的面积： ， ；
观察图，你能直接写出、和这三个代数式之间的等量关系吗？
根据第问中的等量关系，解答如下问题：若，，求的值．
19.本小题分
如图，沿虚线将长方形平均分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．
观察发现：
图中阴影部分的面积为________用含，的代数式表示，且以幂的形式表示；
观察图，请你写出代数式，，之间的等量关系式：________________；
解决问题：根据你得到的关系式解答下列问题：若，，求的值．
20.本小题分
【知识回顾】
如图，长方形的长与宽分别为、，请认真观察图形，解答下列问题：
若用四个完全相同的这样的长方形拼成如图的正方形，请写出下列三个代数式，，之间的一个等量关系式：______；
根据中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值；
【深入探究】
若满足，求的值；
【应用迁移】
如图，长方形中，，、是边上的点在左侧，以为边向下作正方形，延长交于点，再以为边向上作正方形，若，，为常数，且，正方形与长方形重叠部分的长方形面积为，求长方形的周长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式，掌握计算法则是正确计算的前提．
根据合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式判断即可解答．
【解答】
A.，故错误；
B.，故错误；
C.，故正确；
D.，故错误．
2.【答案】
【解析】解：，所以A错误；
，所以B错误；
，所以C正确；
，所以D错误．
故选：．
分别对四个选项进行分析．
本题主要考查了整式乘法的知识、积的乘方的知识、幂的乘方的知识、平方差公式、完全平方公式，难度不大．
3.【答案】
【解析】解：原来租的土地面积：平方米．
现在租的土地面积：平方米．
．
张老汉的租地面积会减少．
故选：．
先计算变化前后的面积，比较即可．
本题考查代数式大小的比较，正确表示前后租地面积，再用平方差公式计算是求解本题的关键．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平方差公式，掌握是解题的关键．
根据平方差公式的结构特征，即两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差进行判断即可．
【解答】
解：．，不能利用平方差公式，故选项A不符合题意；
B.，不能利用平方差公式，故选项B不符合题意；
C.，不能利用平方差公式，故选项C不符合题意；
D.，能利用平方差公式，故选项D符合题意．
故选：．
5.【答案】
【解析】略
6.【答案】
【解析】因为，所以．
7.【答案】
【解析】解：图中阴影部分的面积为：，图中阴影部分的面积为：，
两图中阴影部分的面积相等，
，
可以验证成立的公式为，
故选：．
运用不同方法表示阴影部分面积即可得到结论．
本题主要考查了平方差公式的几何背景，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平方差公式，熟记公式并根据公式计算是解题关键．根据平方差公式，可得答案．
【解答】
解：，故不能用平方差公式计算；
B.，能用平方差公式计算；
C.，能用平方差公式计算；
D.，能用平方差公式计算．
故选A．
9.【答案】
【解析】略
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了完全平方公式，完全平方公式的几何背景，掌握小正方形面积的计算方法是解题的关键．
由图得，一个小长方形的长为，宽为，由图得：中间小正方形的面积大正方形的面积个小长方形的面积，代入计算即可．
【解答】
解：如图，
由图得每一个小长方形纸片的长为，宽为，
图中间小正方形的面积大正方形的面积个小长方形的面积
，
故选：．
11.【答案】
【解析】略
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平方差公式，先根据平方差公式分解因式，再代入求出即可．
【解答】
解：，，
，
故答案为．
13.【答案】
【解析】略
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查数字的变化类，发现式子的变化特点是解答本题的关键．
根据题目中的式子可以发现：等号左边是一些连续的奇数，从开始；等号右边第一个数是连续正整数的平方，第二个数是比第一个数少的平方，等号右边是两个数的平方作差，从而可以写出第个等式．据此解答．
【解答】
解：，，，，
，
第个等式为，
故答案为：．
15.【答案】解：第个等式为理由如下：
，
，
．

【解析】略
16.【答案】【小题】
解：原式
．
【小题】
解：原式
．

【解析】 略
略
17.【答案】
的值为
【解析】解：如图，是几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为．
故答案为：；
，，
．
如图，由图形面积的两种不同表示方法可得等式；
由等式利用代入法即可求解．
本题考查了利用图形的面积来得到数学公式，关键是灵活进行数形结合来分析．
18.【答案】【小题】
【小题】
【小题】
．
【小题】
因为，，且，所以．

【解析】 略
略
略
略
19.【答案】【小题】
【小题】
【小题】
解：因为，，
所以．

【解析】 【分析】
本题主要考查了列代数式，解题的关键是理解数形结合的数学思想；结合图形，得出阴影正方形的边长为，再根据正方形面积的求法进行解答，即可求解．
【解答】
解：由图可知，阴影正方形的边长为，
所以图中阴影部分的面积为．
故答案为：．
【分析】
本题主要考查了列代数式，完全平方公式的几何背景，解题的关键是理解数形结合的数学思想；根据图中大正方形、小正方形、长方形的面积之间的关系进行解答，即可求解．
【解答】
解：由图可知，大正方形的边长为，每个长方形的长、宽分别是、，阴影正方形的边长为，
因为大正方形的面积个长方形的面积小正方形的面积，
所以．
故答案为：．
本题主要考查了代数式求值，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握利用完全平方公式进行代数式求值的思路与方法；根据完全平方公式对算式进行变形，再将、的值整体代入计算即可．
20.【答案】
【解析】解：根据题意得：；
故答案为：；
把两边平方得：，
展开得：，
将代入得：，
整理得：；
设，，则有，，
把两边平方得：，即，
把代入得：，即，
则；
设，则，
正方形，矩形，
，
，
正方形与长方形重叠部分的长方形面积为，即矩形面积为，
，即，
整理得：，
开方得：负值舍去，
，，，
则长方形周长为．
由图中大正方形的面积直接求和间接求两种方法表示，可得出三式的关系式；
把两边平方，利用完全平方公式化简，再将代入即可求出的值；
设，，则有，，把两边平方，利用完全平方公式化简，把代入求出的值，即为所求；
设，则，表示出与的长，由正方形与长方形重叠部分的长方形面积为，求出的值，确定出与的长，即可求出长方形的周长．
此题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式的几何背景，平方差公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
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