12.5因式分解 华东师大版初中数学八年级上册同步练习（含详细答案解析）

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12.5因式分解华东师大版初中数学八年级上册同步练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.分解因式：( )
A. B. C. D.
2.下列各式从左到右的变形是因式分解的是( )
A. B.
C. D.
3.如果，，那么的值是( )
A. B. C. D.
4.已知，，是的三边长，满足，据此判断的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
5.如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，如：因为，所以就是一个“智慧数”，下面个数中不是“智慧数”的是( )
A. B. C. D.
6.因式分解的结果是( )
A. B. C. D.
7.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是( )
A. B.
C. D.
8.已知，，是三角形的三边，那么代数式的值( )
A. 大于零 B. 等于零 C. 小于零 D. 不能确定
9.小李是一位密码编译爱好者，他的密码手册中记载了这么一条信息：、、、、、、分别对应：我、爱、你、桂、林、语文、数学，现将因式分解，结果呈现的密码信息是( )
A. 我爱数学 B. 我爱桂林 C. 我爱语文 D. 爱数学
10.下列各式能用平方差公式进行因式分解的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.分解因式： ．
12.已知，，则 ______．
13.因式分解： ．
14.若可以用完全平方式来分解因式，则的值为___________
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
先分解因式，再求值：，其中，，，．
16.本小题分
因式分解：．
17.本小题分
【阅读理解】如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“崇德尚美数”．
如：，，，因此，，这三个数都是“崇德尚美数”．
【小试牛刀】判断： “崇德尚美数”填“是”或“不是”．
【自主探索】设两个连续偶数为和其中取非负整数，由这两个连续偶数构造的“崇德尚美数”是的倍数吗？为什么？
【拓展延伸】若长方形相邻两边长为两个连续偶数，则该长方形的面积是否是“崇德尚美数”？为什么？请推理证明
18.本小题分
佳佳给琪琪出了一道因式分解的题目：，佳佳挡住了两部分内容让琪琪猜测，聪明的琪琪很快就猜出了正确结果，假设等式左右两边被挡住的内容分别用和来表示．
直接写出琪琪的猜测：
琪琪发现：若取某些整数时，求满足条件的的最大整数值．
19.本小题分
阅读理解：
例：因式分解．
解：设．
原式．
解决问题：请你模仿以上例题分解因式：．
20.本小题分
【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：如图利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
由图可得等式：______；由图可得等式：______；
利用图得到的结论，解决问题：若，，则 ______；
如图，若用其中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形无空隙、无重叠地拼接，则 ______；
如图，若有张边长为的正方形纸片，张边长分别为的长方形纸片，张边长为的正方形纸片从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张把取出的这些纸片拼成一个正方形无空隙、无重叠地拼接，则拼成的正方形的边长最长可以为______．
答案和解析
1.【答案】
【解析】原式故选D．
2.【答案】
【解析】解：是因式分解，
选项A符合题意；
是多项式乘多项式运算，不是因式分解，
选项B不符合题意；
的结果不是整式乘积的形式，不是因式分解，
选项C不符合题意；
的结果中含有分式，不是因式分解，
选项D不符合题意，
故选：．
运用因式分解的定义进行逐一辨别、求解．
此题考查了因式分解的辨别能力，关键是能准确理解并运用其定义进行辨别、求解．
3.【答案】
【解析】【分析】
直接提取公因式，进而分解因式，再将已知代入求出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
【解答】
解：，，
，，
．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：，
，即：，
，且，即：，，
，
是等边三角形，
故选：．
将，进行因式分解，根据平方的非负性，即可得到，根据等边三角形的判定，即可求解，
本题考查了因式分解，平方的非负性，等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握因式分解．
5.【答案】
【解析】解：设是正整数，
，
除外，所有的奇数都是智慧数，所以，，选项都是智慧数，不符合题意；
，
除外，所有的能被整除的偶数都是智慧数，所以选项是智慧数，不符合题意，
选项不是奇数也不是的倍数，不是智慧数，符合题意．
故选：．
设是正整数，证明除外，所有的奇数都是智慧数；除外，所有的能被整除的偶数都是智慧数，即可得答案．
本题考查了平方差公式分解因式的应用，牢记是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：
，
故C正确．
故选：．
运用平方差公式分解因式即可．
本题考查因式分解运用公式法，正确掌握公式是解题的关键．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是多项式的因式分解定义，分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．
据此对各项进行判断即可．
【解答】
A.，是因式分解，符合题意；
B. ，不属于因式分解，不符合题意；
C.，不属于因式分解，不符合题意；
D. ，是整式的乘法，不属于因式分解，不符合题意；
故选A．
8.【答案】
【解析】解：．
因为，，是三角形的三边．
所以，．
所以．
故选：．
根据三角形中任意两边之和大于第三边．把代数式分解因式就可以进行判断．
本题考查了三角形中三边之间的关系和完全平方公式以及平方差公式．是一个正数与负数的积，所以小于．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了因式分解的应用，熟练掌握公式法和提取公因式法分解因式是解本题的关键．
先将原式进行因式分解，即可求出答案．
【解答】
解：
三个代数式分别对应我、爱、数学
结果呈现的密码信息是“我爱数学”；
故选A．
10.【答案】
【解析】解：、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意；
B、可用完全平方公式分解，不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意；
C、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意；
D、能用平方差公式进行因式分解，故此选项符合题意；
故选：．
根据平方差公式分析判断即可．
本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】原式提取公因式，再利用十字相乘法分解即可．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
因式分解后整体代换求值
本题考查因式分解，提公因式再分解求值是求解本题的关键．
13.【答案】
【解析】【分析】
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．
【解答】
解：
．
故答案为：．
14.【答案】或
【解析】【分析】
利用完全平方公式的特征判断即可求出的值．
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【解答】
解：可以用完全平方式来分解因式，
解得：或．
故答案为：或．
15.【答案】解：，
当，，，时，
原式
．
【解析】先对该多项式进行因式分解，再代入计算．
此题考查了运用因式分解进行代数式求值的能力，关键是能准确确定因式分解的方法，并能进行正确地计算．
16.【答案】解：原式
．
【解析】先提取公因式，合并后再提取公因式即可得出答案．
此题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
17.【答案】【小题】
是
【小题】
两个连续偶数构造的“崇德尚美数”是的倍数，理由如下：
，
“崇德尚美数”是的倍数．
【小题】
该长方形的面积不是“崇德尚美数”，理由如下：
设长方形相邻两边长分别为和为正整数，
则长方形的面积为，
假设此长方形的面积是“崇德尚美数”，设其两个连续的偶数为和为正整数，
则，即，．
为正整数，必为偶数．
又为奇数．不成立．该长方形的面积不是“崇德尚美数”．

【解析】
解：，是“崇德尚美数”故答案为是；
略
略
18.【答案】解：；．
，
．
，
满足条件的的最大整数值为
【解析】【分析】
本题考查因式分解，多项式乘多项式，二元一次方程组的解法，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，掌握多项式乘多项式，二元一次方程组的解法是关键．
先多项式乘多项式的法则计算，再根据题意得关于、的方程组，解方程组即可解答；
先根据的不等式，解不等式即可解答．
【解答】
解：，
．
，
，
故答案为：；．
见答案．
19.【答案】解：设，
．
【解析】仿照所求的求解方式进行解答即可．
本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20.【答案】
【解析】解：利用长方形面积公式，
利用正方形面积公式；
故答案为：；；
由得：若，，则；
故答案为：；
长方形面积为可得：，，，
所以；
故答案为：；
；
所以，正方形的边长最长是；
故答案为：．
利用图形面积相等公式；
把已知代入中的公式；
利用面积公式展开可以得到面积关系；
利用面积公式，根据整体与部分的关系可得：．
本题考查用“等积法”解决多项式乘积的代数问题，渗透数形结合思想，用代数角度解决图形问题，也可以利用图形问题解决代数．
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