1.1.2 空间向量的数量积运算 课件（共18张PPT）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019）选择性必修第一册

(共18张PPT)
1.1.2 空间向量的数量积运算
1.理解空间向量数量积的概念
2.掌握空间向量数量积的运算律,能运用数量积求向量夹角和判断向量的垂直
知识点1：空间向量的夹角及其表示
思考：类比平面向量的数量积，你能得出空间向量的数量积相关知识吗？
已知两个非零向量a，b,在空间任取一点O、作 =a， =b,则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作.
b
a
b
a
通常规定，0≤≤π.这样，两个向量的夹角是唯一确定的，且=.
如果= ,那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b.
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos叫做a，b的数量积，记作a·b.
特别地，零向量与任意向量的数量积为0.
a·a= |a||a|cos=|a|2.
由向量的数量积定义，可以得到：
a⊥b a b=0;
a·a也记作a2.
即a·b=|a||b|cos.
知识点2：空间向量的数量积
结果为数值
证明垂直
求长度
思考：类比平面向量的投影，在空间，向量a向向量b的投影有什么意义？向量a向直线l的投影呢？向量a向平面β的投影呢？
在空间,向量a向向量b投影,由于它们是自由向量,因此可以将它们平移到同一个平面α内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量b共线的向量c，
知识点3：投影
向量c称为向量a在向量b上的投影向量.
类似地,可以将向量a向直线l投影.
向量a向平面β投影,就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A',B',得到向量 ,向量 称为向量a在平面β上的投影向量.这时,向量a, 的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角.
向量的数量积运算类似于多项式运算，平方差公式、完全平方公式、十字相乘的均成立.
(λa) b=λ(a b)，λ∈R
a (b+c)=a b+a c(分配律)
a b=b a(交换律)
知识点4：空间向量数量积的运算律
思考1:对于向量a,b,c,由a b=a c能得到b=c吗 如果不能,请举出反例.
不能.数量积运算不满足消去律，例如a=0
思考2:对于向量a,b,若a·b=k,能否写成 (或 )的形式
不能.向量没有除法.
思考3:对于向量a,b,c,(a b)c=a(b c)成立吗 也就是说,向量的数量积满足结合律吗
数量积运算不满足结合律．
数量积的运算只满足交换律，分配律及数乘结合律，但不满足乘法结合律，即(a b)c不一定等于a(b c)．这是由于(a b)c表示一个与c共线的向量，而a(b c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
例1:如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°,AB=BC=1,AA1= ,求异面直线BA1与AC所成角的余弦值.
解：因为
且
所以
又
所以所以异面直线BA1与AC所成角的余弦值为
因为异面直线所成角的范围是
例1:如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°,AB=BC=1,AA1= ,求异面直线BA1与AC所成角的余弦值.
归纳总结
利用向量的数量积，求异面直线所成的角的方法：
角转化
取向量
求余弦值
定结果
异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量的夹角求分弦值应将余弦值加上绝对值，继而求角的大小．
利用数量积求向量夹角的余弦值或夹角的大小；
异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；
根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量；
例2：如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D中,AB=5,AD=3,AA'=7,∠BAD=60°,
∠BAA'=∠DAA'=45.求:(1) ；(2)AC'的长(精确到0.1).
解：（1）
（2）
所以AC'≈13.3.
归纳总结
利用空间向量求线段的长度或两点的距离：
(2)用已知模和夹角的向量表示该向量；
(1)结合图形将所求线段用向量表示；
(3)利用 ，通过计算求出，即得所求线段的长度或两点间的距离．
例3：如图m，n是平面α内的两条相交直线，直线l与α的交点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥α.
分析：要证明l⊥α,就是要证明l垂直于α内的任意内的任意一
条直线g(直线与平面垂直的定义).如果我们能在g和m,
n之间建立某种联系,并由l⊥m,l⊥n,得到l⊥g,那么
就能解决此问题.
证明：在平面α内作任意一条直线g,分别在直线l,m,n,g上取非零向量l,m,n,g.
例2：如图m，n是平面α内的两条相交直线，直线l与α的交点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥α.
因为直线m与n相交,所以向量m,n不平行.由向量共面的充要条件可知,存在唯一的有序买数对(x,y),
使 g=xm+yn.
将上式两边分别与向量l作数量积运算,得l · g=xl·m+yl·n.
因为l·m=0,l·n=0,所以l · g=0.所以l⊥g.
这就证明了直线l垂直于平面α内的任意一条直线,所以l⊥α.
利用数量积证明垂直问题：
归纳总结
(3)利用数量积运算完成判定．
(2)用已知向量表示未知向量．
(1)将所证明垂直的线段设为向量．
根据今天所学，回答下列问题：
1.空间向量的线性运算和数量积运算有什么区别？
2.如何利用数量积求长度和角度？
3.如何利用数量积解决垂直问题？