2024-2025学年苏科版八年级上册数学 第三章 勾股定理 单元测试卷（含详解）

2024-2025学年八年级上册数学单元测试卷
第3章《勾股定理》
一、单选题（每题3分，共24分）
1．下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
2．在△ABC中，BC=6，AC=8，AB=10，则该三角形为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
3．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，AB=BC=CD=DE=1，且BC⊥AB，CD⊥AC，DE⊥AD，则线段AE的长为（ ）．

A． B．2 C． D．3
5．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足，则△ABC是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
6．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＋b＝14，c＝10，则△ABC的面积为（　　）
A．48 B．24 C．96 D．20
7．如图，在Rt△ABC中，，是边上的一点，作，垂足为，则的最小值是（ ）

A． B． C． D．
8．如图，小方格的面积是1，则图中以格点为端点且长度为5的线段有（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
二、填空题（每题3分，共30分）
9．在△ABC中，为边上的高，，,的面积为12，边的长为．
10．已知一直角三角形中两边长分别为和，则第三边的平方是．
11．在△ABC中，，已知，则
12．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，，，求的长，如果设，则可列方程为．

13．一只蚂蚁从长、宽都是，高是的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是cm．

14．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E的边长为，则图中五个正方形A、B、C、D、E的面积和为．
15．如图，供给船要给C岛运送物资，从海岸线AB的港口A出发向北偏东40°方向直线航行60nmile到达C岛．测得海岸线上的港口B在C岛南偏东50°方向．若A，B两港口之间的距离为65nmile，则C岛到港口B的距离是nmile．
16．如图，长方形中，，E为边上的动点，F为的中点，连接，则的最小值为
17．如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边DE上，连接BD，有下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（填序号）
18．课本中有这样一句话：“利用勾股定理可以作出，，…线段（如图所示）．”即：，过A作且，根据勾股定理，得；再过作且，得；…以此类推，得．
三、解答题（一共9题，共86分）
19．（本题8分）如图，5×5网格中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均为网格上的格点．
（1）AB2＝．BC2＝．AC2＝．
（2）∠ABC＝°．
（3）在格点上存在点P，使∠APC＝90°，请在图中标出所有满足条件的格点P．（用P1、P2……表示）
20．（本题8分）如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2﹣DA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若AB＝8，AD：BD＝3：5，求AC的长．
21．（本题10分）一架方梯长25米，如图所示，斜靠在一面上：

（1）若梯子底端离墙7米，这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
22．（本题12分）在学习勾股定理时，我们学会运用图（Ⅰ）验证它的正确性；图中大正方形的面积可表示为：，也可表示为：，
即由此推出勾股定理，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．

（1）请你用图（II）（2002年国际数字家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形全等）；
（2）请你用（III）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证；
（3）请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证：．
23．（本题8分）如图第4号台风“黑格比”的中心于2020年8月5日下午位于浙江省绍兴市境内的B处，最大风力有9级（23m/s），中心最低气压为990百帕，台风中心沿东北（BC）方向以25km/h的速度向D移动在距离B地250km的正北方有一A地，已知A地到BC的距离AD＝70km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心70km的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几个小时内撤离才可脱离危险？
24．（本题8分）如图所示，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，AD＝16，AB＝8，求DE的长．
25．（本题10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7 cm，AC＝25 cm.点P从点A沿AB方向以1 cm/s的速度运动至点B，点Q从点B沿BC方向以6 cm/s的速度运动至点C，P，Q两点同时出发．
（1）求BC的长；
（2）当点P，Q运动2 s时，求P，Q两点之间的距离；
（3）P，Q两点运动几秒时，AP＝CQ

26．（本题8分）如图，红星村A和幸福村B在一条小河CD的同侧，它们到河岸的距离AC，BD分别为1km和3km，又知道CD的长为3km，现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元．
（1）请在CD上选择水厂位置，使铺设水管的费用最省（作图工具不限，保留作图痕迹）；
（2）求铺设水管的最省总费用．
27．（本题14分）我们知道，图形的运动只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小，运动前后的两个图形全等，翻折就是这样．如图1，将△ABC沿AD翻折，使点C落在AB边上的点C'处，则△ADC≌△ADC'．
尝试解决：（1）如图2，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，将△ABC沿AD翻折，使点C落在AB边上的点C'处，求CD的长．
（2）如图3，在长方形ABCD中，AB=8，AD=6，点P在边AD上，连接BP，将△ABP沿BP翻折，使点A落在点E处，PE、BE分别与CD交于点G、F，且DG=EG．
①求证：PE=DF；
②求AP的长．
参考答案
一、单选题（每题3分，共24分）
1．B
【详解】解：A、因为42+52≠62，所以不能作为直角三角形三边长度，故本选项不符合题意；
B、因为，所以能作为直角三角形三边长度，故本选项符合题意；
C、因为62+82≠112，所以不能作为直角三角形三边长度，故本选项不符合题意；
D、因为5+12＜23，不能构成三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．B
【详解】解：∵在△ABC中，BC=6，AC=8，AB=10，
∵BC2+AC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，故选：B．
3．D
【详解】解：、四个直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积，
，整理得，可以证明勾股定理，不符合题意；
、四个直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积，
，整理得，可以证明勾股定理，不符合题意；
、三个直角三角形的面积和梯形的面积，
，整理得，可以证明勾股定理，不符合题意；
、不能证明勾股定理，故此选项符合题意，
故选：．
4．B
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
故选：B．
5．D
【详解】解：∵，
∴或，
∴或，
∴是等腰三角形或直角三角形，
故选：D．
6．B
【详解】因为在Rt△ABC中,∠C＝90°,
根据勾股定理可得:,
因为c＝10,
所以,
又因为a＋b＝14,
所以,即,
所以:,即,
根据直角三角形面积公式可得,即.
故选B.
7．C
【详解】解：连接，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
当时，有最小值，
∴，
∴在中，，在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∴即的最小值为，
∴的最小值为，
故选．

8．A
【详解】解：如图所示，共4条．
故选：A．
二、填空题（每题3分，共30分）
9．5或/或5
【详解】解：分两种情况考虑：
∵，，的面积为12，，
∴，
∴，
①当在内，如图所示，
在中，根据勾股定理得：，
∴，
在中，根据勾股定理得：；
②当在外，如图所示，
在中，根据勾股定理得：，
∴，
在中，根据勾股定理得：；
故答案为：5或．
10．或
【详解】解：设第三边为x，
（1）若13是直角边，则第三边x是斜边，
由勾股定理得：，
∴；
（2）若13是斜边，则第三边x为直角边，
由勾股定理得：，
∴,
∴第三边的平方是或．
故答案为：或．
11．4
【详解】解：在中，，
，
故答案为：4．
12．
【详解】解：，，
，
，，
，即，
则可列方程为，
故答案为：．
13．10
【详解】解：如图1所示：

；
如图2所示：
．
∵，
∴蚂蚁爬行的最短路程是．
故答案为：10．
14．98
【详解】解：设正方形A、B、C、D的边长分别是a、b、c、d，
则正方形A的面积，正方形B的面积，正方形C的面积，正方形D的面积，
又∵，，
∴正方形A、B、C、D、E的面积和．
即正方形A，B，C，D、E的面积的和为．
故答案为：98．
15．25
【详解】根据题意可知，
∴．
在中，，，
∴（nmile）．
故答案为：25．
16．15
【详解】
如图：作F关于的对称点，连接，交于点E，则，的长即为的最小值．
长方形中，，F为的中点，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为15．
故答案为：15．
17．①②③④
【详解】解：∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，故①正确；
由三角形外角定理，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
即：，故③正确；
∵，
∴在中，，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，故④正确；
故答案为：①②③④．
18．
【详解】解：
……
∴
故答案为：．
三、解答题（一共9题，共86分）
19．（1）5，20，25；
（2）90；
（3）答案见详解．
【详解】（1）解：，,，
故答案为：5，20，25．
（2）解：，
，
故答案为：．
（3）解：，
；
，
；
，
．
故如图所示，为所求．
20．（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：连接CD，
∵BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，
∴CD＝DB，
∵BD2﹣DA2＝AC2，
∴CD2﹣DA2＝AC2，
∴CD2＝AD2+AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠A＝90°；
（2）解：∵AB＝8，AD：BD＝3：5，
∴AD＝3，BD＝5，
∴DC＝5，
∴AC＝．
21．（1）梯子的顶端距地面24米
（2）梯子的底端在水平方向滑动了8米
【详解】（1）解：在中，（米），（米），
∴（米），
答：梯子的顶端距地面24米；
（2）解：在中，（米），
∴（米），
∴（米），
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．
22．（1）见解析
（2）见解析
（3）见解析
【详解】（1）解：由图可得：大正方形的面积为：，
中间小正方形面积为：，
四个直角三角形面积和为：，
由图形关系可知：大正方形面积=小正方形面积+四直角三角形面积，
则有：，
即：；
（2）如图示：

大正方形边长为
所以面积为：，
因为它的面积也等于两个边长分别为和两个长为宽为的矩形面积之和，即，
所以有：成立．
（3）如图所示：

满足面积表达式：．
23．台风中心经过小时从B点移到D点，在接到台风警报后的小时内撤离才可脱离危险．
【详解】解：在ΔABD中，根据勾股定理，BD===240（km），
则台风中心经过240÷25=小时从B点移到D点，
如图，距台风中心70km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，
∴所以人们要在台风中心到达E点之前撤离，
∵BE=BD-DE=240-70=170km，170÷25=（小时），
∴正在D点休闲的游人在接到台风警报后的小时内撤离才可脱离危险．
24．DE＝10.
【详解】解:由折叠的性质,得:
CD＝C′D＝AB＝8,∠C＝∠C′＝90°.
设DE＝x,则AE＝16－x.
在△ABE和△C′DE中,
∴△ABE≌△C′DE,
∴BE＝DE＝x,
在Rt△ABE中,由勾股定理得:
AB2＋AE2＝BE2,即82＋（16－x）2＝x2,
解得x＝10，即DE＝10.
25．（1）BC＝24 cm；（2）PQ＝13 cm；（3）P，Q两点运动s时，AP＝CQ.
【详解】解:（1）∵在Rt△ABC中,∠B＝90°,AB＝7 cm,AC＝25 cm
∴BC2＝AC2－AB2＝252－72＝242,
∴BC＝24 cm.
（2）连接PQ,
由题意知BP＝7－2＝5（cm）,BQ＝6×2＝12（cm），
在Rt△BPQ中,由勾股定理,得:
PQ＝BP2＋BQ2＝52＋122＝132,
∴PQ＝13 cm.
（3）设P，Q两点运动t s时,
AP＝CQ,则t＝24－6t,
解得t＝.
答:P,Q两点运动s时,AP＝CQ.
26．（1）见解析；（2）100000元．
【详解】解：（1）延长AC到F，使CF＝AC，连接BF，交CD于E，
∵AC⊥CD，
∴AE＝FE，
∴AE＋BE＝FE＋BE＝BF，
则在CD上选择水厂位置是E时，使铺设管道的费用最省；
（2）如上图，过B作BN⊥CA，交CA的延长线于N，
∴BN＝CD＝3km，CN＝BD＝3km，
∵AC＝CF＝1km，
∴NF＝4km，
在Rt△BNF中，由勾股定理得：BF＝km，
∵AC⊥CD，AC＝CF，
∴AE＝FE，
∴AE＋BE＝EF＋BE＝BF＝5km，
∴铺设水管的最最省总费用是：20000×5＝100000（元）．
27．（1）3；（2）①见解析；②
【详解】解：（1）在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
由翻折可知，
∴，，
∴
∵，
∴
∴是直角三角形，且，
∴
∴，
∴CD=3；
（2）①由翻折可知△PAB≌△PEB，
∴PA=PE，，
在△DPG和△EFG中
，
∴△DPG≌△EFG，
∴PG=FG，DG=EG，
∴，
∴PE=DF；
②∵，△DPG≌△EFG，AB=8，AD=6，
∴PE=DF=PA，
∴CF=8-DF=8-PA，
∵EF=DP=AD-AP=6-PA，
∴BF=8-EF=8-（6-AP）=2+PA，
在△BCF中，，
∴，
∴,
∴.