大数据之十年2015-2024年高考数学真题平面解析几何与优质模拟题原卷版（北京卷）
专题13平面解析几何（解答题）
2015-2024年真题汇总
1．【2024年北京第19题】已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为．
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．
2．【2023年北京第19题】已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．
(1)求的方程；
(2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．
3．【2022年北京第19题】已知椭圆的一个顶点为，焦距为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．
4．【2021年北京第20题】已知椭圆一个顶点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．
5．【2020年北京第20题】已知椭圆过点，且．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点．求的值．
6．【2019年北京理科第18题】已知抛物线C：x2= 2py经过点（2， 1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y= 1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
7．【2018年北京理科第19题】已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．
8．【2017年北京理科第18题】已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A为线段BM的中点．
9．【2016年北京理科第19题】已知椭圆：（）的离心率为，，，，的面积为1.
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值.
10．【2015年北京理科第19题】已知椭圆：的离心率为，点和点
都在椭圆上，直线交轴于点．
（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；
（Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得
？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
2024模拟好题汇总
1．（2024·北京海淀·二模）已知椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点.以的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为.
(1)求栯圆的方程；
(2)设过点的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于不同的两点，与直线交于点.点在轴上，为坐标平面内的一点，四边形是菱形.求证：直线过定点.
2．（2024·北京朝阳·二模）已知椭圆E的两个顶点分别为，，焦点在x轴上，且椭圆E过点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设O为原点，不经过椭圆E的顶点的直线l与椭圆E交于两点，直线BP与直线OC交于点H，点M与点Q关于原点对称.
（i）求点H的坐标（用，表示）；
（ii）若A，H，M三点共线，求证：直线l经过定点.
3．（2024·北京顺义·三模）已知椭圆：的左顶点为，上下顶点为，，离心率为.
(1)求椭圆的方程
(2)设点是椭圆上一点，不与顶点重合，满足四边形是平行四边形，过点作垂直轴的直线交直线于点，再过作垂直于轴的直线交直线于点.求证：，，三点共线.
4．（2024·北京门头沟·一模）已知椭圆 的离心率为， 椭圆 的上顶点为A， 右顶点为 ， 点 为坐标原点， 的面积为 2 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若过点 且不过点 的直线 与椭圆 交于 两点， 直线 与直线 交于点 ， 试判断直线 的斜率是否为定值？ 若是， 求出该定值； 若不是， 请说明理由．
5．（2024·北京·三模）已知椭圆C：（）过点，右焦点为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于点M、N，点A是右顶点，直线MA、NA分别与直线交于点P、Q，求的大小．
6．（2024·北京延庆·一模）已知椭圆的离心率为，分别是的上、下顶点，，分别是的左、右顶点．
(1)求的方程；
(2)设为第二象限内上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：．
7．（2024·北京朝阳·一模）已知椭圆：的离心率为，A，B分别是E的左、右顶点，P是E上异于A，B的点，的面积的最大值为.
(1)求E的方程；
(2)设O为原点，点N在直线上，N，P分别在x轴的两侧，且与的面积相等.
（i）求证：直线与直线的斜率之积为定值；
（ⅱ）是否存在点P使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.
8．（2024·北京丰台·二模）已知两点，曲线上的动点满足，直线与曲线交于另一点．
(1)求曲线的方程；
(2)设曲线与轴的交点分别为（点在点的左侧，且不与重合），直线与直线交于点．当点为线段的中点时，求点的横坐标．
9．（2024·北京海淀·一模）已知椭圆的离心率为分别是G的左、右顶点，F是G的右焦点.
(1)求m的值及点的坐标；
(2)设P是椭圆G上异于顶点的动点，点Q在直线上，且，直线与x轴交于点M.比较与的大小.
10．（2024·北京东城·二模）已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为A，，直线，且A到的距离与A到的距离之比为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设，为椭圆上不同的两点（不在坐标轴上），过点作直线的平行线与直线交于点，过点作直线的平行线与直线交于点.求证：点与点到直线的距离相等.
11．（2024·北京·三模）已知椭圆的短轴长为，左、右顶点分别为，过右焦点的直线交椭圆于两点（不与重合），直线与直线交于点．
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：点在定直线上.
12．（2024·北京西城·二模）已知椭圆的一个顶点为，焦距为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设点是第一象限内椭圆上一点，过作轴的垂线，垂足为．点关于原点的对称点为，直线与椭圆的另一个交点为，直线与轴的交点为．求证：三点共线．
13．（2024·北京·三模）已知椭圆 的离心率为，其长轴的两个端点分别为，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点为椭圆上除，外的任意一点，直线交直线于点，点 为坐标原点：过点且与直线垂直的直线记为，直线交轴于点，交直线于点，问：是否存在点使得与的面积相等 若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
14．（2024·北京·三模）已知椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的方程和短轴长；
(2)设直线与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与椭圆交于不同的两点A，B，点关于原点的对称点为．记直线的斜率为，直线的斜率为，求的值．
15．（2024·北京·三模）已知椭圆C的标准方程为，梯形的顶点在椭圆上．
(1)已知梯形的两腰，且两个底边和与坐标轴平行或在坐标轴上．若梯形一底边，高为，求梯形的面积；
(2)若梯形的两底和与坐标轴不平行且不在坐标轴上，判断该梯形是否可以为等腰梯形？并说明理由．
16．（2024·北京房山·一模）已知椭圆的离心率为，左焦点为，过的直线交椭圆于、两点，点为弦的中点，是坐标原点，且由于不与，重合．
(1)求椭圆的方程；
(2)若是延长线上一点，且的长度为，求四边形面积的取值范围．
17．（2024·北京石景山·一模）已知椭圆的离心率为，短轴长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设为坐标原点，过点分别作直线，直线与椭圆相切于第三象限内的点，直线交椭圆于两点．若，判断直线与直线的位置关系，并说明理由．
18．（2024·北京昌平·二模）已知椭圆的离心率为，短轴长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设是椭圆的左、右顶点，是椭圆的右焦点．过点的直线与椭圆相交于两点（点在轴的上方），直线分别与轴交于点，试判断是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由．
19．（2024·北京通州·二模）已知椭圆：（）的长轴长为4，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线l过椭圆E的左焦点F，且与E交于两点（不与左右顶点重合），点在轴正半轴上，直线交轴于点P，直线交轴于点，问是否存在，使得为定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，请说明理由．
20．（2024·北京顺义·二模）已知椭圆的右焦点为，长轴长为.过F作斜率为的直线交E于A，B两点，过点F作斜率为的直线交E于C，D两点，设，的中点分别为M，N.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若，设点F到直线的距离为d，求d的取值范围．大数据之十年2015-2024年高考数学真题平面解析几何与优质模拟题解析版（北京卷）
专题13平面解析几何（解答题）
2015-2024年真题汇总
1．【2024年北京第19题】已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为．
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，从而，
所以椭圆方程为，离心率为；
（2）直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾，
从而设，，
联立，化简并整理得，
由题意，即应满足，
所以，
若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设，
所以，在直线方程中令，
得，
所以，
此时应满足，即应满足或，
综上所述，满足题意，此时或.
2．【2023年北京第19题】已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．
(1)求的方程；
(2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）依题意，得，则，
又分别为椭圆上下顶点，，所以，即，
所以，即，则，
所以椭圆的方程为.
（2）因为椭圆的方程为，所以，
因为为第一象限上的动点，设，则，
易得，则直线的方程为，
，则直线的方程为，
联立，解得，即，
而，则直线的方程为，
令，则，解得，即，
又，则，，
所以
，
又，即，
显然，与不重合，所以.
3．【2022年北京第19题】已知椭圆的一个顶点为，焦距为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：依题意可得，，又，
所以，所以椭圆方程为；
（2）解：依题意过点的直线为，设、，不妨令，
由，消去整理得，
所以，解得，
所以，，
直线的方程为，令，解得，
直线的方程为，令，解得，
所以
，
所以，
即
即
即
整理得，解得
4．【2021年北京第20题】已知椭圆一个顶点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）因为椭圆过，故，
因为四个顶点围成的四边形的面积为，故，即，
故椭圆的标准方程为：.
（2）
设，
因为直线的斜率存在，故，
故直线，令，则，同理.
直线，由可得，
故，解得或.
又，故，所以
又
故即，
综上，或.
5．【2020年北京第20题】已知椭圆过点，且．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点．求的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.
【详解】(Ⅰ)设椭圆方程为：，由题意可得：
，解得：，
故椭圆方程为：.
(Ⅱ)[方法一]：
设，，直线的方程为：，
与椭圆方程联立可得：，
即：，
则：.
直线MA的方程为：，
令可得：，
同理可得：.
很明显，且，注意到，
，
而
，
故.
从而.
[方法二]【最优解】：几何含义法
①当直线l与x轴重合，不妨设，由平面几何知识得，所以．
②当直线l不与x轴重合时，设直线，由题意，直线l不过和点，所以．设，联立得．由题意知，所以．且．
由题意知直线的斜率存在．．
当时，
．
同理，．所以．
因为，所以．
6．【2019年北京理科第18题】已知抛物线C：x2= 2py经过点（2， 1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y= 1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
【答案】(Ⅰ) ，；
(Ⅱ)见解析.
【详解】(Ⅰ)将点代入抛物线方程：可得：，
故抛物线方程为：，其准线方程为：.
(Ⅱ)很明显直线的斜率存在，焦点坐标为，
设直线方程为，与抛物线方程联立可得：.
故：.
设，则，
直线的方程为，与联立可得：，同理可得，
易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：，
且：，，
则圆的方程为：，
令整理可得：，解得：，
即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.
7．【2018年北京理科第19题】已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．
【答案】(1) 取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）
(2)证明过程见解析
【详解】（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），
所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．
由题意可知直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．
由得．
依题意，解得k<0或0又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，-2）．从而k≠-3．
所以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由（I）知，．
直线PA的方程为．
令x=0，得点M的纵坐标为．
同理得点N的纵坐标为．
由，得，．
所以．
所以为定值．
8．【2017年北京理科第18题】已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A为线段BM的中点．
【答案】（1）抛物线C的焦点坐标为 ，准线方程为x＝－；（2）见解析.
【详解】（Ⅰ）由抛物线C：过点P（1，1），得.
所以抛物线C的方程为.
抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.
（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线C的交点为，.
由，得.
则，.
因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为，点A的坐标为.
直线ON的方程为，点B的坐标为.
因为
，
所以.
故A为线段BM的中点.
9．【2016年北京理科第19题】已知椭圆：（）的离心率为，，，，的面积为1.
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【详解】（Ⅰ）由题意得解得.
所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
设，则.
当时，直线的方程为.
令，得，从而.
直线的方程为.
令，得，从而.
所以
.
当时，，
所以.
综上，为定值.
10．【2015年北京理科第19题】已知椭圆：的离心率为，点和点
都在椭圆上，直线交轴于点．
（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；
（Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得
？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）存在点．
【详解】（Ⅰ）由于椭圆：过点且离心率为，，，椭圆的方程为.
,直线的方程为：，令，；
（Ⅱ），直线的方程为：，直线PB与x轴交于点N，令，则.
设
, ,
,
则，所以，（注：点在椭圆上，），则，存在点使得.
2024模拟好题汇总
1．（2024·北京海淀·二模）已知椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点.以的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为.
(1)求栯圆的方程；
(2)设过点的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于不同的两点，与直线交于点.点在轴上，为坐标平面内的一点，四边形是菱形.求证：直线过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意可设椭圆的方程为.
因为以的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为，
所以且，
所以.所以.
所以椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为，
令，得，即.
由得.
设，则.
设的中点为，则.
所以.
因为四边形为菱形，
所以为的中点，.
所以直线的斜率为.
所以直线的方程为.
令得.所以.
设点的坐标为，则，
即.
所以直线的方程为，即.
所以直线过定点.
2．（2024·北京朝阳·二模）已知椭圆E的两个顶点分别为，，焦点在x轴上，且椭圆E过点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设O为原点，不经过椭圆E的顶点的直线l与椭圆E交于两点，直线BP与直线OC交于点H，点M与点Q关于原点对称.
（i）求点H的坐标（用，表示）；
（ii）若A，H，M三点共线，求证：直线l经过定点.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）证明见解析
【详解】（1）设椭圆E的方程为
由题意得，解得，
所以椭圆E的方程为
（2）（i）由题可知：且.
设直线BP的方程为，直线OC的方程为.
由得，
所以H的坐标为.
（ii）由题可知，直线l的斜率存在.设直线l的方程为，
由得，
由于直线l与椭圆E交于不同的两点，
所以，
则，.由题可知.
因为A，H，M三点共线，所以，化简得，
即.
所以，
所以.
化简得，即，
解得或.
当时，直线l的方程为，经过，不符合题意.
当时，直线l的方程为，经过，
其中.
综上，直线l经过定点.
3．（2024·北京顺义·三模）已知椭圆：的左顶点为，上下顶点为，，离心率为.
(1)求椭圆的方程
(2)设点是椭圆上一点，不与顶点重合，满足四边形是平行四边形，过点作垂直轴的直线交直线于点，再过作垂直于轴的直线交直线于点.求证：，，三点共线.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为椭圆：的左顶点为，所以，
又，所以，所以，
所以椭圆的方程为；
（2）
由（1）知，，
设：，，，
联立方程，可得，
解得或，所以，
因为四边形是平行四边形，由椭圆的对称性可知点与点关于原点对称，
所以，
直线的方程为，把代入可得，
所以，
把代入可得，
所以过，的直线的斜率为，
所以过，的直线的斜率，
所以，，三点共线.
4．（2024·北京门头沟·一模）已知椭圆 的离心率为， 椭圆 的上顶点为A， 右顶点为 ， 点 为坐标原点， 的面积为 2 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若过点 且不过点 的直线 与椭圆 交于 两点， 直线 与直线 交于点 ， 试判断直线 的斜率是否为定值？ 若是， 求出该定值； 若不是， 请说明理由．
【答案】(1)
(2)CN的斜率为定值1，理由见详解.
【详解】（1）由已知可得解得，所以椭圆E的方程为.
（2）当直线斜率不存在时，直线的方程为，代入椭圆方程得，不妨设此时
，则，则直线NC的斜率为.
当直线的斜率存在时，设其方程为，设
则直线MQ的方程为，令，得，
由消去得：，
由于点P在椭圆内，则必有，则
所以
所以，所以CN的斜率为定值1.
5．（2024·北京·三模）已知椭圆C：（）过点，右焦点为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于点M、N，点A是右顶点，直线MA、NA分别与直线交于点P、Q，求的大小．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可得，，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）
当直线l的斜率不存在时，
有，，，
则，，故，即．
当直线l的斜率存在时，设l：，其中．
联立，得，
由题意，知恒成立，
设，则，．
直线MA的方程为，
令，得，即，同理可得．
所以，．
因为
，
所以．
综上所述，．
6．（2024·北京延庆·一模）已知椭圆的离心率为，分别是的上、下顶点，，分别是的左、右顶点．
(1)求的方程；
(2)设为第二象限内上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题设，，解得．
所以的方程为．
（2）
因为椭圆的方程为，所以，
设直线的方程为，其中．
由，化简并整理得，，
由可得，由韦达定理有，
所以，即．
直线的方程为，即．
由 得．
直线的方程为，即．
直线的方程为，即．
由 得．
因为，所以．
7．（2024·北京朝阳·一模）已知椭圆：的离心率为，A，B分别是E的左、右顶点，P是E上异于A，B的点，的面积的最大值为.
(1)求E的方程；
(2)设O为原点，点N在直线上，N，P分别在x轴的两侧，且与的面积相等.
（i）求证：直线与直线的斜率之积为定值；
（ⅱ）是否存在点P使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）不存在点
【详解】（1）当点是短轴端点时，的面积最大，面积的最大值为，
则，得，，
所以椭圆的方程为；
（2）（ⅰ）设， ，
，，
由题意可知，，，即，
所以；
（ⅱ）假设存在点，使得，
因为，，，
所以，，，
则，
由（ⅰ）可知，，又，所以三点共线，
如图，
则，所以，
则点与点重合，这与已知矛盾，
所以不存在点，使.
8．（2024·北京丰台·二模）已知两点，曲线上的动点满足，直线与曲线交于另一点．
(1)求曲线的方程；
(2)设曲线与轴的交点分别为（点在点的左侧，且不与重合），直线与直线交于点．当点为线段的中点时，求点的横坐标．
【答案】(1)
(2)0
【详解】（1）由于，
所以是以为焦点，以为长轴长的椭圆，
故，
故椭圆方程为.
（2）由于斜率不为0，故设直线方程为：，
联立，
设,则，
,
由于点为线段的中点，则，
又是直线与直线的交点，所以 ,
,故，
，
将代入可得，
故，解得，
故，由可得，
故点的横坐标为0.
9．（2024·北京海淀·一模）已知椭圆的离心率为分别是G的左、右顶点，F是G的右焦点.
(1)求m的值及点的坐标；
(2)设P是椭圆G上异于顶点的动点，点Q在直线上，且，直线与x轴交于点M.比较与的大小.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）由，即，
由题意可得，故，解得，
故，则，故；
（2）设，，，有，
由，则有，即，
由，故有，
即有
，
由可得、，
则，
，
则，
由，故，
即.
10．（2024·北京东城·二模）已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为A，，直线，且A到的距离与A到的距离之比为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设，为椭圆上不同的两点（不在坐标轴上），过点作直线的平行线与直线交于点，过点作直线的平行线与直线交于点.求证：点与点到直线的距离相等.
【答案】(1)
(2)证明见详解
【详解】（1）由题意可知：，
因为A到的距离与A到的距离之比为，即，解得，
可得，
所以椭圆的方程.
（2）由（1）可知：，
设，，
可知直线，
过点作直线的平行线为，
联立方程，解得，
即点的横坐标为，
可知直线，
过点作直线的平行线为，
联立方程，解得，
即点的横坐标为，
可知点、的横坐标相等，所以点与点到直线的距离相等.
11．（2024·北京·三模）已知椭圆的短轴长为，左、右顶点分别为，过右焦点的直线交椭圆于两点（不与重合），直线与直线交于点．
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：点在定直线上.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【详解】（1）依题意，，半焦距，则，
所以椭圆的方程为.
（2）显然直线不垂直于y轴，设直线，
由消去x并整理得，
，设，
则，且有，
直线，直线，
联立消去y得，即，
整理得，
即，
于是，而，
则，因此，
所以点在定直线上.
12．（2024·北京西城·二模）已知椭圆的一个顶点为，焦距为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设点是第一象限内椭圆上一点，过作轴的垂线，垂足为．点关于原点的对称点为，直线与椭圆的另一个交点为，直线与轴的交点为．求证：三点共线．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）依题意可得 ，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）[方法一]：设而不求
设，则，，其中，．
则直线的方程为，令，可得，所以，
又直线的方程为，
由，消去整理得，
所以，
设，所以，解得．
所以，所以．
由题意，点均不在轴上，所以直线的斜率均存在，
且
，
即，所以、、三点共线．
[方法二]：转化思想
设则，
且，，，
则:，令，则，，
又:，:，
设与交于点，由，解得，
若、、三点共线，则点为点，即点在椭圆上，
则只需证明，
，
所以点在椭圆上，所以、、三点共线.
[方法三]：
设且，则，，
∵，所以:，
由，消去整理得，
所以，设，则，
所以，则，
，
又:，令，则，，
，
又，
所以
，∴、、三点共线.
[方法四]：
依题意的斜率存在且不为，设的方程为，
，消去整理得，
显然，所以，，，
，则，
所以，则的方程为，
由，所以，
显然，，
所以，
则，
所以
，
又，
所以，
∴、、三点共线.
13．（2024·北京·三模）已知椭圆 的离心率为，其长轴的两个端点分别为，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点为椭圆上除，外的任意一点，直线交直线于点，点 为坐标原点：过点且与直线垂直的直线记为，直线交轴于点，交直线于点，问：是否存在点使得与的面积相等 若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【详解】（1）由题意，，又，所以，
则，所以椭圆C的方程为.
（2）
设，且，则 ，
又因为，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，
令，得，所以点的坐标为，
因为，所以直线的斜率为，
因为，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，
因为，，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
所以，
联立直线和直线的方程，
消去得，即，
整理有：，
因为，所以，
所以，解得点的横坐标，
，，
要使得与的面积相等，应有，
整理有，即，
解得，，因为，（舍去），所以，
由可得点P的坐标为.
14．（2024·北京·三模）已知椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的方程和短轴长；
(2)设直线与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与椭圆交于不同的两点A，B，点关于原点的对称点为．记直线的斜率为，直线的斜率为，求的值．
【答案】(1)椭圆的方程为，短轴长为
(2)
【详解】（1）由题意可得，解得，
所以椭圆的方程为，短轴长为；
（2）由消得①，
由，得，
此时方程①可化：，
解得：（由条件可知：异号），
设，则，，
即，所以，
因为，所以可设直线：（，），
由消得，
当时，方程有两个不相等的实根，
设，，
则，，
因为两点关于原点对称，所以，
所以，
所以.
15．（2024·北京·三模）已知椭圆C的标准方程为，梯形的顶点在椭圆上．
(1)已知梯形的两腰，且两个底边和与坐标轴平行或在坐标轴上．若梯形一底边，高为，求梯形的面积；
(2)若梯形的两底和与坐标轴不平行且不在坐标轴上，判断该梯形是否可以为等腰梯形？并说明理由．
【答案】(1)
(2)梯形不可能为等腰梯形，理由见解析
【详解】（1）
若两底和与y轴平行（或重合），由椭圆方程得为该椭圆的上下顶点，
不妨设DC在轴右侧，设，
代入椭圆方程解得，，
所以梯形另外一底，因此面积；
若两底和与轴平行，因为，不妨设在轴上方且，，
由高为可得，，但此时四边形为矩形，不合题意，故舍去．
综合可得：满足条件的梯形的面积为.
（2）该梯形不可能为等腰梯形，理由如下：
由题意可知梯形两底所在直线的斜率存在且不为零，
设直线方程为，直线方程为，其中，
联立方程，整理得，
整理得①
设，，则，，
故中点坐标为；
同理可得中点坐标为；
若梯形为等腰梯形，则有，即，
但，所以梯形不可能为等腰梯形．
16．（2024·北京房山·一模）已知椭圆的离心率为，左焦点为，过的直线交椭圆于、两点，点为弦的中点，是坐标原点，且由于不与，重合．
(1)求椭圆的方程；
(2)若是延长线上一点，且的长度为，求四边形面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
因为，得；又，所以，所以；
所以，所以椭圆的方程为.
（2）设过的直线为，与椭圆两交点坐标分别为，，
由于不与，重合，可知直线的斜率存在且不为，
根据已知条件设直线方程为，联立直线方程与椭圆方程，
整理有；
，即，整理有：恒成立；
根据韦达定理：，；
因为为弦的中点，所以；
因为在直线上，所以，解得，
所以直线的斜率为，所以直线的方程为，
化为一般式为：；
设到直线的距离为，点到直线的距离也为，
因为为弦的中点，由点到直线距离公式有：
，因为、位于两侧，
所以，
所以，
又因为，
所以，
设四边形面积为，
根据题意有：，
因为，所以.
所以，所以.
所以四边形面积的取值范围是.
17．（2024·北京石景山·一模）已知椭圆的离心率为，短轴长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设为坐标原点，过点分别作直线，直线与椭圆相切于第三象限内的点，直线交椭圆于两点．若，判断直线与直线的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【详解】（1）由条件可知，，解得：，，，
所以椭圆的方程为；
（2）设直线，联立
，得，（*）
，
整理为，解得：或，
由题意结合图形可知，，所以，
当时，代回（*）得，即，，
所以点的坐标为，，所以
设直线，联立，，，
，得，（*）
，
整理为，解得：，
，，
，，
，
，
即，解得：（舍去），
即，则直线的斜率为，
而，所以.
18．（2024·北京昌平·二模）已知椭圆的离心率为，短轴长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设是椭圆的左、右顶点，是椭圆的右焦点．过点的直线与椭圆相交于两点（点在轴的上方），直线分别与轴交于点，试判断是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由．
【答案】(1)
(2)是定值；
【详解】（1）由题意可得，
解得，
所以椭圆方程为，
（2）是定值，理由如下：
由题意可得，
当轴时，直线的方程为，易知，
直线的方程为，所以，
直线的方程为，所以，则；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由得，
则，
设，则，
直线的方程为，令，则，所以，
直线的方程为，令，则，所以，
所以，
所以，
可得，
综上，.
19．（2024·北京通州·二模）已知椭圆：（）的长轴长为4，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线l过椭圆E的左焦点F，且与E交于两点（不与左右顶点重合），点在轴正半轴上，直线交轴于点P，直线交轴于点，问是否存在，使得为定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，当时，有定值．
【详解】（1）因为椭圆的长轴长为，离心率为，
所以，．
所以，．所以．
所以椭圆的方程为．
（2）若直线的斜率存在，设直线的方程为，．
联立方程组，
消去，化简得．
则，即,
设，，
所以，．
所以直线TM的方程为，直线的方程为．
所以，．
所以，，
所以
．
所以当时，为定值，
即（负值舍）时，有定值．
当时，若直线l斜率不存在，
不妨设，，
所以，．
所以．
综上，当时，有定值．
20．（2024·北京顺义·二模）已知椭圆的右焦点为，长轴长为.过F作斜率为的直线交E于A，B两点，过点F作斜率为的直线交E于C，D两点，设，的中点分别为M，N.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若，设点F到直线的距离为d，求d的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）长轴长为，所以，
又焦点为，所以，
所以，
所以椭圆E的方程为；
（2）设，，直线的方程为，
联立，消去y得，
易知，所以，
又M为的中点，所以，，
因为，即，又N为的中点，
不妨用代换，可得，，
讨论：①当时，直线的斜率不存在，
此时，解得，
当时，，，此时的方程为，
所以，点到直线的距离d为，
同理，当，，
②当时，，此时，
所以直线的方程为，
化简可得，
法一：点到直线的距离，
又，所以，
因为，所以，
所以
综上可知，.
法二：直线的方程为，
令，可得，综上可知，直线恒过定成，
故点到直线的距离d的最大值为，此时直线的斜率不存在，
又直线的斜率一定不为0，
所以.
.
