大数据之十年2015-2024年高考数学真题数列与优质模拟题原卷版（北京卷）
专题 数列（解答题）
2015-2024年真题汇总
1．【2024年北京第21题】已知集合．给定数列，和序列，其中，对数列进行如下变换：将的第项均加1，其余项不变，得到的数列记作；将的第项均加1，其余项不变，得到数列记作；……；以此类推，得到，简记为．
(1)给定数列和序列，写出；
(2)是否存在序列，使得为，若存在，写出一个符合条件的；若不存在，请说明理由；
(3)若数列的各项均为正整数，且为偶数，求证：“存在序列，使得的各项都相等”的充要条件为“”．
2．【2023年北京第21题】已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数.
(1)若，求的值；
(2)若，且，求；
(3)证明：存在，满足 使得．
3．【2022年北京第21题】已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列．
(1)判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；
(2)若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；
(3)若为连续可表数列，且，求证：．
4．【2021年北京第21题】设p为实数.若无穷数列满足如下三个性质，则称为数列：
①，且；
②；
③，．
（1）如果数列的前4项为2，-2，-2，-1，那么是否可能为数列？说明理由；
（2）若数列是数列，求；
（3）设数列的前项和为.是否存在数列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，说明理由．
5．【2020年北京第21题】已知是无穷数列．给出两个性质：
①对于中任意两项，在中都存在一项，使；
②对于中任意项，在中都存在两项．使得．
(Ⅰ)若，判断数列是否满足性质①，说明理由；
(Ⅱ)若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
(Ⅲ)若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列.
6．【2019年北京理科第20题】已知数列，从中选取第项、第项、…、第项，若，则称新数列为的长度为的递增子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的递增子列．
（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；
（Ⅱ）已知数列的长度为的递增子列的末项的最小值为，长度为的递增子列的末项的最小值为.若，求证： ；
（Ⅲ）设无穷数列的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若的长度为的递增子列末项的最小值为，且长度为末项为的递增子列恰有个，求数列的通项公式．
7．【2017年北京理科第20题】设和是两个等差数列，记，
其中表示这个数中最大的数．
（Ⅰ）若，，求的值，并证明是等差数列；
（Ⅱ）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列．
8．【2016年北京理科第20题】设数列A： ， ,… ().如果对小于()的每个正整数都有 ＜ ，则称是数列A的一个“G时刻”.记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合.
（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出的所有元素；
（2）证明：若数列A中存在使得>，则 ；
（3）证明：若数列A满足- ≤1（n=2,3, …,N）,则的元素个数不小于 -.
9．【2015年北京理科第20题】已知数列满足：，，且．记
集合．
（Ⅰ）若，写出集合的所有元素；
（Ⅱ）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；
（Ⅲ）求集合的元素个数的最大值．
2024模拟好题汇总
1．（2024·北京·三模）给定正整数，设数列是的一个排列，对，表示以为首项的递增子列的最大长度，表示以为首项的递减子列的最大长度.
(1)若，，，，，求和；
(2)求证：，；
(3)求的最小值.
2．（2024·北京昌平·二模）已知为有穷正整数数列，，且．从中选取第项，第项，，第项，称数列，为的长度为的子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的子列．若对于任意的正整数，数列存在长度为的子列，使得，则称数列为全覆盖数列．
(1)判断数列和数列是否为全覆盖数列；
(2)在数列中，若，求证：当时，；
(3)若数列满足：，且当时，，求证：数列为全覆盖数列．
3．（2024·北京海淀·二模）设正整数，，，这里. 若，且，则称具有性质.
(1)当时，若具有性质，且，，，令，写出的所有可能值；
(2)若具有性质：
①求证：；
②求的值.
4．（2024·北京西城·二模）已知数列，从中选取第项、第项、…、第项构成数列，称为的项子列．记数列的所有项的和为．当时，若满足：对任意，，则称具有性质．规定：的任意一项都是的项子列，且具有性质．
(1)当时，比较的具有性质的子列个数与不具有性质的子列个数的大小，并说明理由；
(2)已知数列．
（ⅰ）给定正整数，对的项子列，求所有的算术平均值；
（ⅱ）若有个不同的具有性质的子列，满足：，与都有公共项，且公共项构成的具有性质的子列，求的最大值．
5．（2023·北京·三模）有穷数列{}共m项()．其各项均为整数，任意两项均不相等．，．
(1)若{}：0，1，．求的取值范围；
(2)若，当取最小值时，求的最大值；
(3)若，，求m的所有可能取值．
6．（2024·北京延庆·一模）已知数列，记集合.
(1)若数列为，写出集合；
(2)若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由；
(3)若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为， 若，求的最大值．
7．（2024·北京东城·一模）有穷数列中，令，
(1)已知数列，写出所有的有序数对，且，使得；
(2)已知整数列为偶数，若，满足：当为奇数时，；当为偶数时，.求的最小值；
(3)已知数列满足，定义集合.若且为非空集合，求证：.
8．（2024·北京房山·一模）已知无穷数列是首项为1，各项均为正整数的递增数列，集合．若对于集合A中的元素k，数列中存在不相同的项，使得，则称数列具有性质，记集合数列具有性质．
(1)若数列的通项公式为写出集合A与集合B；
(2)若集合A与集合B都是非空集合，且集合A中的最小元素为t，集合B中的最小元素为s，当时，证明：；
(3)若满足，证明：．
9．（2024·北京朝阳·一模）若有穷自然数数列：满足如下两个性质，则称为数列：
①，其中，表示，这个数中最大的数；
②，其中，表示，这个数中最小的数.
(1)判断：2，4，6，7，10是否为数列，说明理由；
(2)若：是数列，且，，成等比数列，求；
(3)证明：对任意数列：，存在实数，使得.（表示不超过的最大整数）
10．（2024·北京丰台·二模）将数列中项数为平方数的项依次选出构成数列，此时数列中剩下的项构成数列；再将数列中项数为平方数的项依次选出构成数列，剩下的项构成数列；…．如此操作下去，将数列中项数为平方数的项依次选出构成数列，剩下的项构成数列．
(1)分别写出数列的前2项；
(2)记数列的第项为．求证：当时，；
(3)若，求的值．
11．（2024·北京东城·二模）已知为有穷整数数列，若满足：，其中，是两个给定的不同非零整数，且，则称具有性质.
(1)若，，那么是否存在具有性质的？若存在，写出一个这样的；若不存在，请说明理由；
(2)若，，且具有性质，求证：中必有两项相同；
(3)若，求证：存在正整数，使得对任意具有性质的，都有中任意两项均不相同.
12．（2019·北京·一模）已知，数列A：，，…中的项均为不大于的正整数.表示，，…中的个数（）.定义变换，将数列变成数列：，，…其中.
（1）若，对数列：，写出的值；
（2）已知对任意的（），存在中的项，使得.求证： （）的充分必要条件为（）；
（3）若，对于数列：，，…，令：，求证：（）.
13．（22-23高三上·北京海淀·阶段练习）已知和是各项均为正整数的无穷数列，如果同时满足下面两个条件：
①和都是递增数列；
②中任意两个不同的项的和不是中的项.
则称被屏蔽，记作.
(1)若，.
（i）判断是否成立，并说明理由；
（ii）判断是否成立，并说明理由.
(2)设是首项为正偶数，公差是的无穷等差数列，判断是否存在数列，使得.如果存在，写出一个符合要求的数列；如果不存在，说明理由；
(3)设是取值于正整数集的无穷递增数列，且对任意正整数，存在正整数，使得.证明：存在数列，使得.
14．（22-23高三下·北京海淀·开学考试）若无穷数列的各项均为整数．且对于，，都存在，使得，则称数列满足性质P．
(1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
①，，2，3，…；
②，，2，3，…．
(2)若数列满足性质P，且，求证：集合为无限集；
(3)若周期数列满足性质P，求数列的通项公式．
15．（2024·北京平谷·模拟预测）已知是无穷数列，对于k，，给出三个性质：
①（）；
②（）；
③（）
(1)当时，若（），直接写出m的一个值，使数列满足性质②，若满足求出的值；
(2)若和时，数列同时满足条件②③，证明：是等差数列；
(3)当，时，数列同时满足条件①③，求证：数列为常数列．
16．（2024·北京门头沟·一模）已知数列 ， 数列 ， 其中 ， 且 ， ． 记 的前 项和分别为 ， 规定 ．记 ，且 ，， 且
(1)若，，写出 ；
(2)若，写出所有满足条件的数列 ， 并说明理由；
(3)若 ， 且 ． 证明： ， 使得 ．
17．（2024·北京海淀·一模）已知：为有穷正整数数列，其最大项的值为，且当时，均有.设，对于，定义，其中，表示数集M中最小的数.
(1)若，写出的值；
(2)若存在满足：，求的最小值；
(3)当时，证明：对所有.
18．（2024·北京通州·三模）约数，又称因数．它的定义如下：若整数a除以整数m（）除得的商正好是整数而没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为a的约数．
设正整数a有k个正约数，即为，， ，，（）．
(1)当时，是否存在，，…，构成等比数列，若存在请写出一个满足条件的正整数a的值，若不存在请说明理由；
(2)当时，若，， 构成等比数列，求正整数a．
(3)当时，若，，…，是a的所有正约数的一个排列，那么，，， ，是否是另一个正整数的所有正约数的一个排列？并证明你的结论．大数据之十年2015-2024年高考数学真题数列与优质模拟题解析版（北京卷）
专题 数列（解答题）
2015-2024年真题汇总
1．【2024年北京第21题】已知集合．给定数列，和序列，其中，对数列进行如下变换：将的第项均加1，其余项不变，得到的数列记作；将的第项均加1，其余项不变，得到数列记作；……；以此类推，得到，简记为．
(1)给定数列和序列，写出；
(2)是否存在序列，使得为，若存在，写出一个符合条件的；若不存在，请说明理由；
(3)若数列的各项均为正整数，且为偶数，求证：“存在序列，使得的各项都相等”的充要条件为“”．
【答案】(1)
(2)不存在符合条件的，理由见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）因为数列，
由序列可得；
由序列可得；
由序列可得；
所以.
（2）解法一：假设存在符合条件的，可知的第项之和为，第项之和为，
则，而该方程组无解，故假设不成立，
故不存在符合条件的；
解法二：由题意可知：对于任意序列，所得数列之和比原数列之和多4，
假设存在符合条件的，且，
因为，即序列共有8项，
由题意可知：，
检验可知：当时，上式不成立，
即假设不成立，所以不存在符合条件的.
（3）解法一：我们设序列为，特别规定.
必要性：
若存在序列，使得的各项都相等.
则，所以.
根据的定义，显然有，这里，.
所以不断使用该式就得到，必要性得证.
充分性：
若.
由已知，为偶数，而，所以也是偶数.
我们设是通过合法的序列的变换能得到的所有可能的数列中，使得最小的一个.
上面已经说明，这里，.
从而由可得.
同时，由于总是偶数，所以和的奇偶性保持不变，从而和都是偶数.
下面证明不存在使得.
假设存在，根据对称性，不妨设，，即.
情况1：若，则由和都是偶数，知.
对该数列连续作四次变换后，新的相比原来的减少，这与的最小性矛盾；
情况2：若，不妨设.
情况2-1：如果，则对该数列连续作两次变换后，新的相比原来的至少减少，这与的最小性矛盾；
情况2-2：如果，则对该数列连续作两次变换后，新的相比原来的至少减少，这与的最小性矛盾.
这就说明无论如何都会导致矛盾，所以对任意的都有.
假设存在使得，则是奇数，所以都是奇数，设为.
则此时对任意，由可知必有.
而和都是偶数，故集合中的四个元素之和为偶数，对该数列进行一次变换，则该数列成为常数列，新的等于零，比原来的更小，这与的最小性矛盾.
综上，只可能，而，故是常数列，充分性得证.
解法二：由题意可知：中序列的顺序不影响的结果，
且相对于序列也是无序的，
（ⅰ）若，
不妨设，则，
①当，则，
分别执行个序列、个序列，
可得，为常数列，符合题意；
②当中有且仅有三个数相等，不妨设，则，
即，
分别执行个序列、个序列
可得，
即，
因为为偶数，即为偶数，
可知的奇偶性相同，则，
分别执行个序列，，，，
可得，
为常数列，符合题意；
③若，则，即，
分别执行个、个，
可得，
因为，
可得，
即转为①，可知符合题意；
④当中有且仅有两个数相等，不妨设，则，
即，
分别执行个、个，
可得，
且，可得，
因为为偶数，可知的奇偶性相同，
则为偶数，
且，即转为②，可知符合题意；
⑤若，则，即，
分别执行个、个，
可得，
且，可得，
因为为偶数，
则为偶数，
且，即转为④，可知符合题意；
综上所述：若，则存在序列，使得为常数列；
（ⅱ）若存在序列，使得为常数列，
因为对任意，
均有成立，
若为常数列，则，
所以；
综上所述：“存在序列，使得为常数列”的充要条件为“”.
2．【2023年北京第21题】已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数.
(1)若，求的值；
(2)若，且，求；
(3)证明：存在，满足 使得．
【答案】(1)，，，
(2)
(3)证明见详解
【详解】（1）由题意可知：，
当时，则，故；
当时，则，故；
当时，则故；
当时，则，故；
综上所述：，，，.
（2）由题意可知：，且，
因为，且，则对任意恒成立，
所以，
又因为，则，即，
可得，
反证：假设满足的最小正整数为，
当时，则；当时，则，
则，
又因为，则，
假设不成立，故，
即数列是以首项为1，公差为1的等差数列，所以.
（3）因为均为正整数，则均为递增数列，
（ⅰ）若，则可取，满足 使得；
（ⅱ）若，则，
构建，由题意可得：，且为整数，
反证，假设存在正整数，使得，
则，可得，
这与相矛盾，故对任意，均有.
①若存在正整数，使得，即，
可取，
满足，使得；
②若不存在正整数，使得，
因为，且，
所以必存在，使得，
即，可得，
可取，
满足，使得；
（ⅲ）若，
定义，则，
构建，由题意可得：，且为整数，
反证，假设存在正整数，使得，
则，可得，
这与相矛盾，故对任意，均有.
①若存在正整数，使得，即，
可取，
即满足，使得；
②若不存在正整数，使得，
因为，且，
所以必存在，使得，
即，可得，
可取，
满足，使得.
综上所述：存在使得．
3．【2022年北京第21题】已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列．
(1)判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；
(2)若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；
(3)若为连续可表数列，且，求证：．
【答案】(1)是连续可表数列；不是连续可表数列．
(2)证明见解析．
(3)证明见解析．
【详解】（1），，，，，所以是连续可表数列；易知，不存在使得，所以不是连续可表数列．
（2）若,设为,则至多，6个数字，没有个，矛盾；
当时,数列，满足，，，，，，，， ．
（3），若最多有种，若，最多有种，所以最多有种，
若，则至多可表个数，矛盾,
从而若,则，至多可表个数，
而，所以其中有负的，从而可表1~20及那个负数（恰 21个），这表明中仅一个负的，没有0，且这个负的在中绝对值最小，同时中没有两数相同,设那个负数为 ，
则所有数之和，，
，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足个，
（仅一种方式），
与2相邻，
若不在两端,则形式，
若，则（有2种结果相同，方式矛盾），
， 同理 ，故在一端，不妨为形式，
若,则 （有2种结果相同，矛盾），同理不行，
，则 （有2种结果相同，矛盾），从而，
由于,由表法唯一知3,4不相邻,、
故只能，①或，②
这2种情形，
对①：，矛盾，
对②：，也矛盾，综上，
当时，数列满足题意，
．
4．【2021年北京第21题】设p为实数.若无穷数列满足如下三个性质，则称为数列：
①，且；
②；
③，．
（1）如果数列的前4项为2，-2，-2，-1，那么是否可能为数列？说明理由；
（2）若数列是数列，求；
（3）设数列的前项和为.是否存在数列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，说明理由．
【答案】（1）不可以是数列；理由见解析；（2）；（3）存在；．
【详解】(1)因 为 所以，
因 为所 以
所以数列，不可能是数列.
(2)性质①，
由性质③，因此或，或，
若，由性质②可知，即或，矛盾；
若，由有，矛盾.
因此只能是.
又因为或，所以或.
若，则，
不满足，舍去.
当，则前四项为:0，0，0，1，
下面用数学归纳法证明：
当时，经验证命题成立，假设当时命题成立，
当时：
若，则，利用性质③：
，此时可得：；
否则，若，取可得：，
而由性质②可得：，与矛盾.
同理可得：
，有；
，有；
，又因为，有
即当时命题成立，证毕.
综上可得：，.
(3)令，由性质③可知：
，
由于，
因此数列为数列.
由（2）可知:
若；
，，
因此，此时，，满足题意.
5．【2020年北京第21题】已知是无穷数列．给出两个性质：
①对于中任意两项，在中都存在一项，使；
②对于中任意项，在中都存在两项．使得．
(Ⅰ)若，判断数列是否满足性质①，说明理由；
(Ⅱ)若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
(Ⅲ)若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列.
【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详解解析；(Ⅲ)证明详见解析.
【详解】(Ⅰ)不具有性质①；
(Ⅱ)具有性质①；
具有性质②；
(Ⅲ)解法一
首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：
显然，假设数列中存在负项，设，
第一种情况：若，即，
由①可知：存在，满足，存在，满足，
由可知，从而，与数列的单调性矛盾，假设不成立.
第二种情况：若，由①知存在实数，满足，由的定义可知：，
另一方面，，由数列的单调性可知：，
这与的定义矛盾，假设不成立.
同理可证得数列中的项数恒为负数.
综上可得，数列中的项数同号.
其次，证明：
利用性质②：取，此时，
由数列的单调性可知，
而，故，
此时必有，即，
最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：
假设数列的前项成等比数列，不妨设，
其中，（的情况类似）
由①可得：存在整数，满足，且 （*）
由②得：存在，满足：，由数列的单调性可知：，
由可得： （**）
由（**）和（*）式可得：，
结合数列的单调性有：，
注意到均为整数，故，
代入（**）式，从而.
总上可得，数列的通项公式为：.
即数列为等比数列.
解法二：
假设数列中的项数均为正数：
首先利用性质②：取，此时，
由数列的单调性可知，
而，故，
此时必有，即，
即成等比数列，不妨设，
然后利用性质①：取，则，
即数列中必然存在一项的值为，下面我们来证明，
否则，由数列的单调性可知，
在性质②中，取，则，从而，
与前面类似的可知则存在，满足，
若，则：，与假设矛盾；
若，则：，与假设矛盾；
若，则：，与数列的单调性矛盾；
即不存在满足题意的正整数，可见不成立，从而，
然后利用性质①：取，则数列中存在一项，
下面我们用反证法来证明，
否则，由数列的单调性可知，
在性质②中，取，则，从而，
与前面类似的可知则存在，满足，
即由②可知：，
若，则，与假设矛盾；
若，则，与假设矛盾；
若，由于为正整数，故，则，与矛盾；
综上可知，假设不成立，则.
同理可得：，从而数列为等比数列，
同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.
由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数.
从而题中的结论得证，数列为等比数列.
6．【2019年北京理科第20题】已知数列，从中选取第项、第项、…、第项，若，则称新数列为的长度为的递增子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的递增子列．
（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；
（Ⅱ）已知数列的长度为的递增子列的末项的最小值为，长度为的递增子列的末项的最小值为.若，求证： ；
（Ⅲ）设无穷数列的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若的长度为的递增子列末项的最小值为，且长度为末项为的递增子列恰有个，求数列的通项公式．
【答案】(Ⅰ) 1,3,5,6；(Ⅱ)见解析；(Ⅲ)见解析.
【详解】(Ⅰ)满足题意的一个长度为4的递增子列为：1,3,5,6.
(Ⅱ)对于每一个长度为的递增子列，都能从其中找到若干个长度为的递增子列，此时，
设所有长度为的子列的末项分别为：，
所有长度为的子列的末项分别为：，
则，
注意到长度为的子列可能无法进一步找到长度为的子列，
故，
据此可得：.
(Ⅲ)满足题意的一个数列的通项公式可以是，
下面说明此数列满足题意.
很明显数列为无穷数列，且各项均为正整数，任意两项均不相等.
长度为的递增子列末项的最小值为2s-1，
下面用数学归纳法证明长度为s末项为2s-1的递增子列恰有个：
当时命题显然成立，
假设当时命题成立，即长度为k末项为2k-1的递增子列恰有个，
则当时，对于时得到的每一个子列，
可构造：和两个满足题意的递增子列，
则长度为k+1末项为2k+1的递增子列恰有个，
综上可得，数列是一个满足题意的数列的通项公式.
注：当时，所有满足题意的数列为：，
当时，数列对应的两个递增子列为：和.
7．【2017年北京理科第20题】设和是两个等差数列，记，
其中表示这个数中最大的数．
（Ⅰ）若，，求的值，并证明是等差数列；
（Ⅱ）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【详解】（Ⅰ）
，
.
当时，，
所以关于单调递减.
所以.
所以对任意，于是，
所以是等差数列.
（Ⅱ）设数列和的公差分别为，则
.
所以
①当时，取正整数，则当时，，因此.
此时，是等差数列.
②当时，对任意，
此时，是等差数列.
③当时，
当时，有.
所以
对任意正数，取正整数，
故当时，.
8．【2016年北京理科第20题】设数列A： ， ,… ().如果对小于()的每个正整数都有 ＜ ，则称是数列A的一个“G时刻”.记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合.
（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出的所有元素；
（2）证明：若数列A中存在使得>，则 ；
（3）证明：若数列A满足- ≤1（n=2,3, …,N）,则的元素个数不小于 -.
【答案】（1）的元素为和；（2）详见解析；（3）详见解析.
【详解】（Ⅰ）的元素为和.
（Ⅱ）因为存在使得，所以.
记，
则，且对任意正整数.
因此，从而.
（Ⅲ）当时，结论成立.
以下设.
由（Ⅱ）知.
设.记.
则.
对，记.
如果，取，则对任何.
从而且.
又因为是中的最大元素，所以.
从而对任意，，特别地，.
对.
因此.
所以.
因此的元素个数p不小于.
9．【2015年北京理科第20题】已知数列满足：，，且．记
集合．
（Ⅰ）若，写出集合的所有元素；
（Ⅱ）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；
（Ⅲ）求集合的元素个数的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（III ）8．
【详解】解：（Ⅰ）若，由于，2，，．
故集合的所有元素为6，12，24，
；
（Ⅱ）因为集合存在一个元素是3的倍数，所以不妨设是3的倍数，由，2，，可归纳证明对任意，是3的倍数．
如果，的所有元素都是3的倍数；
如果，因为，或，所以是3的倍数；于是是3的倍数；
类似可得，，，都是3的倍数；
从而对任意，是3的倍数；
综上，若集合存在一个元素是3的倍数，则集合的所有元素都是3的倍数
（Ⅲ）对，，2，，可归纳证明对任意，，3，
因为是正整数，，所以是2的倍数．
从而当时，是2的倍数．
如果是3的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数，是3的倍数．
因此当时，，24，，这时的元素个数不超过5．
如果不是3的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数，不是3的倍数．
因此当时，，8，16，20，28，，这时的元素个数不超过8．
当时，，2，4，8，16，20，28，，有8个元素．
综上可知，集合的元素个数的最大值为8．
2024模拟好题汇总
1．（2024·北京·三模）给定正整数，设数列是的一个排列，对，表示以为首项的递增子列的最大长度，表示以为首项的递减子列的最大长度.
(1)若，，，，，求和；
(2)求证：，；
(3)求的最小值.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)当为偶数时，的最小值是；当为奇数时，的最小值是.
【详解】（1）以为首项的最长递增子列是，以为首项的最长递减子列是和.
所以，.
（2）对，由于是的一个排列，故.
若，则每个以为首项的递增子列都可以在前面加一个，
得到一个以为首项的更长的递增子列，所以；
而每个以为首项的递减子列都不包含，且，
故可将替换为，得到一个长度相同的递减子列，所以.
这意味着；
若，同理有，，故.
总之有，从而和不能同时为零，
故.
（3）根据小问2的证明过程知和不能同时为零，故.
情况一：当为偶数时，设，则一方面有
；
另一方面，考虑这样一个数列：，.
则对，有，.
故此时.
结合以上两方面，知的最小值是.
情况二：当为奇数时，设，则一方面有
；
另一方面，考虑这样一个数列：，.
则对，有，.
故此时.
结合以上两方面，知的最小值是.
综上，当为偶数时，的最小值是；当为奇数时，的最小值是.
2．（2024·北京昌平·二模）已知为有穷正整数数列，，且．从中选取第项，第项，，第项，称数列，为的长度为的子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的子列．若对于任意的正整数，数列存在长度为的子列，使得，则称数列为全覆盖数列．
(1)判断数列和数列是否为全覆盖数列；
(2)在数列中，若，求证：当时，；
(3)若数列满足：，且当时，，求证：数列为全覆盖数列．
【答案】(1)不是全覆盖数列，是全覆盖数列
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）对于，有，但该数列不存在和为的子列，故不是全覆盖数列；
对于，有，由
；
.
可知是全覆盖数列.
（2）由题知，.若不成立，则，那么与假设矛盾.
因为，即.①
又，
所以.
所以.
由①②得，.
所以.
当时，，
得，命题成立.
此时，当时，成立.
当时，得.
同理可得，.
归纳可得，当时，.
综上可得，命题成立.
（3）下面证明，当时，对于任意的，
存在子列，其中，使得.
（i）当时，，所以当时，有.
当时，则.
所以.对于任意，命题成立.
或.对于任意，命题成立.
（ii）假设当时，命题成立.
即对于任意的正整数，存在子列，
其中，使得.
则当时，对于任意的正整数.
①当正整数时，由假设成立.
存在子列，其中，
使得.
②当正整数时，
因为，所以.若，则此时成立.
若，则.
由假设，存在子列，其中，
使得
整理得，
此时.即命题成立.
综上，对于任意的，存在子列，
其中，使.
所以数列为全覆盖数列.
3．（2024·北京海淀·二模）设正整数，，，这里. 若，且，则称具有性质.
(1)当时，若具有性质，且，，，令，写出的所有可能值；
(2)若具有性质：
①求证：；
②求的值.
【答案】(1)27或32
(2)①证明见解析 ②
【详解】（1）对集合，记其元素个数为. 先证明2个引理.
引理1：若具有性质，则.
引理1的证明：假设结论不成立.
不妨设，则正整数，但，
故一定属于某个，不妨设为.
则由知存在正整数，使得.
这意味着对正整数，有，
，但，矛盾.
所以假设不成立，从而一定有，从而引理1获证.
引理2：若具有性质，则，且.
证明：取集合.
注意到关于正整数的不等式等价于，
而由引理1有，即.
结合是正整数，知对于正整数，当且仅当，
这意味着数列恰有项落入集合，即.
而两两之间没有公共元素，且并集为全体正整数，
故中的元素属于且仅属于某一个，故.
所以，
从而，这就证明了引理2的第一个结论；
再考虑集合中全体元素的和.
一方面，直接由知中全体元素的和为，即.
另一方面，的全部个元素可以排成一个首项为，公差为的等差数列.
所以的所有元素之和为.
最后，再将这个集合的全部元素之和相加，
得到中全体元素的和为.
这就得到，所以有
.
即，从而，这就证明了引理2的第二个结论.
综上，引理2获证.
回到原题.
将从小到大排列为，则，
由引理2的第一个结论，有.
若，则，
所以每个不等号都取等，从而，故；
情况1：若，则，矛盾；
情况2：若，则，所以，得.
此时如果，则，矛盾；
如果，则，从而，故；
如果，由于，设，，则，.
故对于正整数对，有，
从而，这与矛盾.
综上，的取值只可能是或.
当时，；当时，.
所以的所有可能取值是和.
（2）①由引理1的结论，即知；
②由引理2的第二个结论，即知.
4．（2024·北京西城·二模）已知数列，从中选取第项、第项、…、第项构成数列，称为的项子列．记数列的所有项的和为．当时，若满足：对任意，，则称具有性质．规定：的任意一项都是的项子列，且具有性质．
(1)当时，比较的具有性质的子列个数与不具有性质的子列个数的大小，并说明理由；
(2)已知数列．
（ⅰ）给定正整数，对的项子列，求所有的算术平均值；
（ⅱ）若有个不同的具有性质的子列，满足：，与都有公共项，且公共项构成的具有性质的子列，求的最大值．
【答案】(1)的具有性质的子列个数大于不具有性质的子列个数；理由见解析
(2)（ⅰ）；（ⅱ）见解析.
【详解】（1）当时，共有个子列，
其中具有性质的子列有个，
故不具有性质的子列有个，
所以的具有性质的子列个数大于不具有性质的子列个数．
（2）（ⅰ）若是的项子列，
则也是的项子列．
所以．
因为给定正整数，有个项子列，
所以所有的算术平均值为．
（ⅱ）设的首项为，末项为，记．
若存在，使，则与没有公共项，与已知矛盾．
所以，对任意，都有．
因为对于，，，
所以共有种不同的情况．
因为互不相同，
所以对于不同的子列，与中至多一个等式成立．
所以．
当是奇数时，取，，
共有个满足条件的子列．
当是偶数时，取，，
共有个满足条件的子列．
综上，为奇数时，的最大值为；为偶数时，的最大值为．
5．（2023·北京·三模）有穷数列{}共m项()．其各项均为整数，任意两项均不相等．，．
(1)若{}：0，1，．求的取值范围；
(2)若，当取最小值时，求的最大值；
(3)若，，求m的所有可能取值．
【答案】(1)且
(2)
(3)
【详解】（1）由题设，则，即或，
所以或，任意两项均不相等，故、，
故的取值范围且；
（2）由{}各项均为整数，任意两项均不相等，要使最小，即尽量小，
则，故中的前5项为，
要使最大，即最大，
而，则
不妨令，只需依次使取到最大，
要使最大，则；
要使最大，则；
要使最大，则，故；
此时，
综上，.
（3）对于，则的最小值为，而，
由，且，
所以有如下情况：①最后一项为3，前面各项都为1；②最后两项为2，前面各项都为1；
，数列不可能出现3，或同时出现两个2，排除；
，数列为，对应数列为，故存在满足题设的情况；
，以下过程中，
若存在满足①的数列元素依次为，
令数列前4项为，则第5项为（存在重复项，舍）或，
而第5项为，不满足题设；
若存在满足②的数列元素依次为，
令数列前3项为，则第4项为（存在重复项，舍）或，
第4项为，则第5项为（存在重复项，舍）或，而不满足题设；
同上讨论，时不可能存在满足题设的数列；
综上，.
6．（2024·北京延庆·一模）已知数列，记集合.
(1)若数列为，写出集合；
(2)若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由；
(3)若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为， 若，求的最大值．
【答案】(1)
(2)不存在，使得成立
(3)
【详解】（1）由题意可得，，，
所以.
（2）假设存在，使得，
则有，
由于与的奇偶性相同，与奇偶性不同，
又，，
所以中必有大于等于的奇数因子，这与无以外的奇数因子矛盾，
故不存在，使得.
（3）首先证明时，对任意的都有，
因为，
由于与均大于且奇偶性不同，
所以为奇数，对任意的都有，
其次证明除形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和，
若正整数，其中，
则当时，由等差数列的性质可得：
，此时结论成立，
当时，由等差数列的性质可得：
，此时结论成立，
对于数列，此问题等价于数列其相应集合中满足有多少项，
由前面证明可知正整数不是中的项，
所以的最大值为.
7．（2024·北京东城·一模）有穷数列中，令，
(1)已知数列，写出所有的有序数对，且，使得；
(2)已知整数列为偶数，若，满足：当为奇数时，；当为偶数时，.求的最小值；
(3)已知数列满足，定义集合.若且为非空集合，求证：.
【答案】(1)、、、
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）为时，，
为时，，
为时，，
为时，，
故，且使得的有序数对有、、、；
（2）由题意可得，，
又为整数，故，，
则，
同理可得，
即有，
同理可得，当时，有，
即当时，有，
当时，，
故
；
（3）对于数列，，不妨设，
①首先考虑的情况，
由于，，故，同理，，，
故.
②再考虑中有连续一段是连续的正整数的情况，
此时,
因为，，
故这说明此连续的项的和为负.
同理，当含有多段的连续正整数的情况时，每段的和为负，
再由①中结论，可得.
③若在①②中，由于，
此时去掉前项，则可转化①②的情况，所以有.
④若，则，
所以此时有，
综上，结论成立.
8．（2024·北京房山·一模）已知无穷数列是首项为1，各项均为正整数的递增数列，集合．若对于集合A中的元素k，数列中存在不相同的项，使得，则称数列具有性质，记集合数列具有性质．
(1)若数列的通项公式为写出集合A与集合B；
(2)若集合A与集合B都是非空集合，且集合A中的最小元素为t，集合B中的最小元素为s，当时，证明：；
(3)若满足，证明：．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）定义，由题意可知，
若数列的通项公式为，可知，
所以，
因为2只能写成，不合题意，即；
，符合题意，即；
，符合题意，即；
，符合题意，即；
，符合题意，即；
，符合题意，即；
所以.
（2）因为，由题意可知：，且，
即，
因为，即存在不相同的项，使得
可知，所以.
（3）因为，
令，可得，则，即，
即集合在内均不存在元素，此时我们认为集合在内的元素相同；
（i）若集合A是空集，则B是空集，满足；
（ⅱ）若集合A不是空集，集合A中的最小元素为t，可知，
由（2）可知：集合B存在的最小元素为s，且，
设存在，使得，
可知集合在内的元素相同,
可知，则，
因为，即，则，
可知，
且，
即集合在内的元素相同，可知集合在内的元素相同，
现证对任意，集合在内的元素相同，
当，可知集合在内的元素相同，成立；
假设，集合在内的元素相同，
可知集合在内的元素相同；
对于，因为，则，
若，则，可知，
可以认为集合在内的元素相同；
若，则，
若存在元素不属于集合C，
则元素属于集合A，且，可知元素属于集合B，
即数列中存在不相同的项，使得，
则，可知，
可知，
即集合在内的元素相同；
综上所述：对任意，集合在内的元素相同，
所以集合在内的元素相同，结合n的任意性，可知；
综上所述：.
9．（2024·北京朝阳·一模）若有穷自然数数列：满足如下两个性质，则称为数列：
①，其中，表示，这个数中最大的数；
②，其中，表示，这个数中最小的数.
(1)判断：2，4，6，7，10是否为数列，说明理由；
(2)若：是数列，且，，成等比数列，求；
(3)证明：对任意数列：，存在实数，使得.（表示不超过的最大整数）
【答案】(1)不是，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）：2，4，6，7，10不是数列，理由如下：
因为，
所以，
但，所以不满足性质①，故不是数列；
（2）根据：是数列可得：满足：
或，或，
①若，因为，，成等比数列，所以，
又，所以，所以，得，
②若，因为，，成等比数列，所以，
当时，，解得，与为自然数矛盾，舍去；
当时，，解得，与为自然数矛盾，舍去；
所以，
由以及，
得，所以，
由以及，
得，
由以及，
可知，所以；
（3）当时，根据数列的定义，可知或,
若，取，则，结论成立，
若，取，则，结论成立，
假设存在自然数，存在数列使得结论不成立，设这样的的最小值为，
即存在数列对任意实数，存在，使得，
根据假设，数列的前项组成的数列是一个数列，
从而存在实数，使得，，
即，
令，则，
令 ，则，
①若，根据的定义，存在，使得，
又，
则且，
所以，
②若，根据的定义，存在，使得，
又，
则，且，
所以，
所以，
令，则，
即，
所以，
所以，
即，与假设矛盾，
综上，结论成立.
10．（2024·北京丰台·二模）将数列中项数为平方数的项依次选出构成数列，此时数列中剩下的项构成数列；再将数列中项数为平方数的项依次选出构成数列，剩下的项构成数列；…．如此操作下去，将数列中项数为平方数的项依次选出构成数列，剩下的项构成数列．
(1)分别写出数列的前2项；
(2)记数列的第项为．求证：当时，；
(3)若，求的值．
【答案】(1)的前2项为3，8； 的前2项为5，11；
(2)证明见解析；
(3)
【详解】（1）数列的前2项为3，8；数列的前2项为5，11；
（2）首先，当时，结论成立；
当时，对于相邻的两个数列：
1 4 9 16 25 36 49 64
2 6 12 20 30 42 56 72
3 8 15 24 35 48 63 80
5 11 19 29 41 55 71 89
7 14 23 34 47 62 79 98
10 18 28 40 54 70 88 108
13 22 33 46 61 78 97 118
17 27 39 53 69 87 107 129
因为都在数列中，且在之前，
所以在数列中，必有，
所以，
所以
所以构成首项为，公差为1的等差数列，
所以
（3）由各个数列生成的规则知，中不可能有两个元素是同一数列的项．
从上面的表格，我们猜想：集合中的每个元素，且仅是数列中某个数列的项.
具体地可概括成结论P：对任意，有
下面用数学归纳法证明：
(i)当时， 由题意数列的首项分别是2, 3，结论成立；
(ii)假设当时，结论成立，即对，
那么由第（2）问的结论知：当时，
,
,
上式表明，集合中除了的每一个元素都是数列中的某个数列的项，
还剩下两个元素：，它们必是数列的首项，
结果只有.
根据(1)(2)知，结论P成立.
由结论P可得，数列的首项为，的首项为，
即
另一方面，由第（2）问的结论：得：
，
，
…
，
相加得：，
当时，上式也成立．
所以
令，则
所以．
由得，所以，所以，
所以.所以，此时，所以；
令，有，
．由得，所以．
所以，所以 无解.
综上，当时，
11．（2024·北京东城·二模）已知为有穷整数数列，若满足：，其中，是两个给定的不同非零整数，且，则称具有性质.
(1)若，，那么是否存在具有性质的？若存在，写出一个这样的；若不存在，请说明理由；
(2)若，，且具有性质，求证：中必有两项相同；
(3)若，求证：存在正整数，使得对任意具有性质的，都有中任意两项均不相同.
【答案】(1)不存在具有性质的，理由见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）不存在具有性质的，理由如下：
设，由于，，
设，，，中有个，个，
则有，
所以，解得，与为整数矛盾，
所以不存在具有性质的.
（2）设，，，，中的最大值为，则存在，使得或，
若存在，使，下证：，，，可以取遍到之间所有的整数，
假设存在正整数使得，，，中各项均不为，
令集合，设是集合中元素的最大值，
则有，
这与矛盾，
所以，，，可以取遍到之间所有的整数，
若，则，，，，的取值只能为，中的数，
此时，，，，中必有两项相同，
若，则，，，，的取值只能为，，中的数，
此时，，，，中必有两项相同，
若，则，，，，中一定有异于和的正整数，
再由，，，可以取遍到之间所有的整数，
所以，，，，中必有两项相同，
当，同理可证：，，，可以取遍到之间所有的整数，
从而，，，，中必有两项相同.
（3）不妨设，当，，，中恰有个，个，
由于，
所以取，此时具有性质，
下证：中任意两项均不相同，
若存在使得，
令，，
则有，，
令，，则有且，，
由于，则有，
若，则有，即，
当时，有，从而，矛盾；
若，则有且，
因此有，，，，
所以此时，，矛盾；
综上所述，存在正整数，使得对任意具有性质的，都有中任意两项均不相同.
12．（2019·北京·一模）已知，数列A：，，…中的项均为不大于的正整数.表示，，…中的个数（）.定义变换，将数列变成数列：，，…其中.
（1）若，对数列：，写出的值；
（2）已知对任意的（），存在中的项，使得.求证： （）的充分必要条件为（）；
（3）若，对于数列：，，…，令：，求证：（）.
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析
【解析】【详解】（1）∵,对数列:,
∴.
（2）证明：由于对任意的正整数（）,存在中的项,使得.所以均不为零.
必要性：（）,由于,
∴；；；…；.
通过解此方程组,可得（）成立.
充分性：若（）成立,不妨设（）,可以得到
∴；；；…；.
∴（）成立.
故（）的充分必要条件为（）
（3）证明：设：,,…的所有不同取值为,且满足：.
不妨设,
其中；；…；.
又∵,根据变换有：；；…；；
∴：,,,
即：,,,
∴：,,,
∵,
∴,,…,.
∴,
即：,,,
从而（）.
故（）
13．（22-23高三上·北京海淀·阶段练习）已知和是各项均为正整数的无穷数列，如果同时满足下面两个条件：
①和都是递增数列；
②中任意两个不同的项的和不是中的项.
则称被屏蔽，记作.
(1)若，.
（i）判断是否成立，并说明理由；
（ii）判断是否成立，并说明理由.
(2)设是首项为正偶数，公差是的无穷等差数列，判断是否存在数列，使得.如果存在，写出一个符合要求的数列；如果不存在，说明理由；
(3)设是取值于正整数集的无穷递增数列，且对任意正整数，存在正整数，使得.证明：存在数列，使得.
【答案】(1)（i）不成立，理由见解析；（ii）成立，理由见解析；
(2)不存在，理由见解析；
(3)存在，证明见解析.
【详解】（1）（i）因为是所有的奇数构成的等差数列，
是所有的偶数构成的等差数列，对于的任意两项之和
必为偶数，必定是中的项，所以不成立；
（ii）中的任意两项之和必为偶数，必不属于的项，
所以成立；
（2）设(是正偶数)，则是由以及大于的所有的偶数构成的等差数列，是由正数构成的
递增数列，即 ，则当n足够大时，必有，即中必有两项之和大于并且是偶数，
即属于中的项，不存在使得；
（3）由题意，不妨假设 ，则 ，
设 ，假设 中的第n项和第n+p项之和
是 的第m项 ，即 ，则有 ，
由求根公式得 ，，
，，
，，
，
所以不成立，即中的任意两项之和
都不在中，所以存在数列 .
14．（22-23高三下·北京海淀·开学考试）若无穷数列的各项均为整数．且对于，，都存在，使得，则称数列满足性质P．
(1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
①，，2，3，…；
②，，2，3，…．
(2)若数列满足性质P，且，求证：集合为无限集；
(3)若周期数列满足性质P，求数列的通项公式．
【答案】(1)数列不满足性质P；数列满足性质P，理由见解析
(2)证明见解析
(3)或．
【详解】（1）对①，取，对，则，
可得，
显然不存在，使得，
所以数列不满足性质P；
对②，对于，则，，
故
，因为，
则，且，
所以存在，，
使得，
故数列满足性质P；
（2）若数列满足性质，且，则有：
取，均存在，使得，
取，均存在，使得，
取，均存在，使得，
故数列中存在，使得，即，
反证：假设为有限集，其元素由小到大依次为，
取，均存在，使得，
取，均存在，使得，
取，均存在，使得，
即这与假设相矛盾，故集合为无限集.
（3）设周期数列的周期为，则对，均有，
设周期数列的最大项为，最小项为，
即对，均有，
若数列满足性质：
反证：假设时，取，则，使得，
则，即，
这对，均有矛盾，假设不成立；则对，均有；
反证：假设时，取，则，使得，
这与对，均有矛盾，假设不成立，即对，均有；
综上所述：对，均有，
反证：假设1为数列中的项，由（2）可得：为数列中的项，
∵，即为数列中的项，
这与对，均有相矛盾，即对，均有，同理可证：，
∵，则，
当时，即数列为常数列时，设，故对，都存在，
使得，解得或，即或符合题意；
当时，即数列至少有两个不同项，则有：
①当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；
②当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；
③当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；
综上所述：或.
15．（2024·北京平谷·模拟预测）已知是无穷数列，对于k，，给出三个性质：
①（）；
②（）；
③（）
(1)当时，若（），直接写出m的一个值，使数列满足性质②，若满足求出的值；
(2)若和时，数列同时满足条件②③，证明：是等差数列；
(3)当，时，数列同时满足条件①③，求证：数列为常数列．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）时，性质②为，
又，故，
化简得，
要想上式总成立，则，解得；
（2）若时，数列满足条件②，得，
数列满足条件③，得，
两式相加，
若时，数列满足条件②，得，
数列满足条件③，得，
两式相加，
由知，，，
代入得得，其中，
所以，，，…是等差数列，设其公差为．
在中，取，则，所以，
在中，取，则，所以，
所以数列是等差数列．
（3）①当时，由性质③得，
即，，
所以，，
若，则，．
经检验，数列具有性质①③．
若，当时，，与矛盾．
②当时，令，
则，．
所以．
所以．
所以，，
所以，，…，．
所以．
当时，，与矛盾．
综上所述，只有当，即，且时满足①③，
故数列为常数列.
16．（2024·北京门头沟·一模）已知数列 ， 数列 ， 其中 ， 且 ， ． 记 的前 项和分别为 ， 规定 ．记 ，且 ，， 且
(1)若，，写出 ；
(2)若，写出所有满足条件的数列 ， 并说明理由；
(3)若 ， 且 ． 证明： ， 使得 ．
【答案】(1),，
(2)或，理由见解析，
(3)证明见解析.
【详解】（1）由，得，，，，所以；
由得,,,,所以.
（2）由，所以，，所以对于，有， 则，所以.
当，由得，又，所以不符合题意，舍去；
当，由得，又，所以，
经检验不符合题意，舍去, 或符合题意；
（3）
，，
中最小元素是，最大元素是，
同理，中最小元素是，最大元素是，
又因为，所以，，即，
又，，,
又，又，是中元素，
又，
,所以中元素比大的只可能有，，，
，又,，
， 使得 ．
17．（2024·北京海淀·一模）已知：为有穷正整数数列，其最大项的值为，且当时，均有.设，对于，定义，其中，表示数集M中最小的数.
(1)若，写出的值；
(2)若存在满足：，求的最小值；
(3)当时，证明：对所有.
【答案】(1)，
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由，，则，故，
则，故，
则，故；
（2）由题意可知，，当时，由，，
故，则，
由题意可得，故、总有一个大于，即或，
，由，故、、总有一个大于，
故，故当时，，不符，故，
当时，取数列，
有，，，即，符合要求，故的最小值为；
（3）因为，所以，
(i)若，则当时，至少以下情况之一成立：
①，这样的至少有个，
②存在，这样的至多有个，
所以小于的至多有个，
所以，
令，解得，
所以，
(ii)对，若，且，
因为，所以当时，
至少以下情况之一成立：
①，这样的至多有个；
②存在且，这样的至多有个，
所以，
令，解得，即，
其中表示不大于的最大整数，
所以当时，；
综上所述，定义，则，
依次可得：，
，
所以.
18．（2024·北京通州·三模）约数，又称因数．它的定义如下：若整数a除以整数m（）除得的商正好是整数而没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为a的约数．
设正整数a有k个正约数，即为，， ，，（）．
(1)当时，是否存在，，…，构成等比数列，若存在请写出一个满足条件的正整数a的值，若不存在请说明理由；
(2)当时，若，， 构成等比数列，求正整数a．
(3)当时，若，，…，是a的所有正约数的一个排列，那么，，， ，是否是另一个正整数的所有正约数的一个排列？并证明你的结论．
【答案】(1)存在，比如1，2，4，8，16为16的所有约数
(2)
(3)答案见解析
【详解】（1）存在，比如1，2，4，8，16为16的所有约数．
（2）由题意得，，，，
，依题意可知
，化简可得
因此可知是完全平方数，
由于是整数a的最小非1因子，所以
所以，，…为，， ，
因此
（3）假设，，， ，是另一个正整数b的所有正约数的一个排列．
，，
易知（），而，故
又知，所以b是奇数．
所以为奇数，又，故是偶数
其中A中最大的两个元素为a，，显然B中每个元素都不超过，
特别地，
设，，其中（因为a有k（）个正约数，）
于是B中存在两个元素，，它们都大于，进而都大于且都是b的约数．
这表明b可以被2整除，与b为奇数矛盾．
因此假设不成立．
