第二章 函数——2023-2024学年高一数学北师大版（2019）必修第一册单元测试卷（含解析）

第二章 函数——2023-2024学年高一数学北师大版（2019）必修第一册单元测试卷
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．下列函数中，在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
2．幂函数的图象过点，则等于( )
A. B.2 C. D.
3．已知函数是幂函数,且在上递增,则实数( )
A. B.或3 C.3 D.2
4．如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是( )
A. B. C. D.
5．已知，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
6．已知幂函数的图象过点,则的值为( )
A.-2 B.1 C.2 D.4
7．下列函数为偶函数的是( ).
A. B. C. D.
8．已知幂函数的图象关于原点对称,且在上是减函数,若,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．若函数的图象为如图所示的曲线m和线段n,曲线m与直线l无限接近,但永不相交,则下列说法正确的是( )
A.定义域为
B.值域为
C.在的定义域内任取一个值,总有唯一的y值与之对应
D.在的值域内任取一个值,总有唯一的x值与之对应
10．下表表示y是x的函数,则( )
x
y 2 3 4 5
A.函数的定义域是 B.函数的值域是
C.函数的值域是 D.函数是增函数
11．若函数是幂函数,则一定( )
A.是偶函数 B.是奇函数
C.在上单调递减 D.在上单调递增
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知幂函数的图象过点，则___________
13．已知函数是幂函数，则m的值为__________.
14．已知，若幂函数为奇函数，且在上是严格减函数，则取值的集合是_________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．奇函数是定义在区间上的减函数,且满足,求实数的取值范围.
16．若函数为幂函数,且在单调递减.
（1）求实数m的值;
（2）若函数,且,
（i）写出函数的单调性,无需证明;
（ii）求使不等式成立的实数t的取值范围.
17．已知幂函数在上单调递减.
（1）求实数m的值;
（2）若,求实数a的取值范围.
18．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，求满足的实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：对于A，，其定义域为，不符合题意；
对于B，，在上为减函数，不符合题意；
对于C，，在上单调递减，不符合题意；
对于D，，在上单调递增，符合题意.
故选：D.
2．答案：B
解析：依题意，，
则，.
故选：B
3．答案：C
解析：由题意知:,即,解得或,
当时,,则在上单调递减,不合题意;
当时,,则在上单调递增,符合题意,
,
故选:C
4．答案：D
解析：根据函数图像可得，①对应的幂函数在上单调递增，且增长速度越来越慢，故，结合选项可知D符合要求.故选D.
5．答案：C
解析：因为，所以.又为偶函数，为奇函数，所以，所以.
6．答案：C
解析：依题意,设,则有,解得,于是得,
所以.
故选：C.
7．答案：C
解析：A，D是奇函数，B是非奇非偶函数.
8．答案：B
解析：幂函数的图象关于原点对称,且在上是减函数,
所以,解得,
因为,所以或,
当时,,图象关于y轴对称,不满足题意;
当时,,图象关于原点对称,满足题意,
不等式化为,
,
因为函数在上递减,
所以,
解这个不等式,得,
即实数a的取值范围是,
故选：B.
9．答案：BC
解析：由题意得：定义域为,A错误;
的最小值为1,故值域为,B正确;
由函数定义及图象可知：在的定义域内任取一个值,总有唯一的y值与之对应,C正确,
在的值域内任取一个值时,此时有两个x值与之对应,D错误.
故选：BC.
10．答案：AC
解析：由表格可知：函数的定义域是,值域是,
此函数为分段函数,在各自的区间内都是常函数,
故函数不是增函数;
故选：AC.
11．答案：BD
解析：因为函数是幂函数,
所以,
解得或,
所以或,
由幂函数性质知是奇函数且单调递增,
故选：BD.
12．答案：
解析：由题设，若，则，可得，
，故.
故答案为：
13．答案：或4
解析：由题意知，，解得或.
故答案为：或4.
14．答案：
解析：，
幂函数为奇函数，且在上递减，
是奇数，且，.
故答案为：.
15．答案：
∵是奇函数,
∴,
由,
得,
即
∵是定义在区间上的减函数,
∴,解得.
∴实数m的取值范围为.
解析：
16．答案：（1）1
（2）（i）在区间单调递增,（ii）
解析：（1）由题意知,解得：或,
当时,幂函数,此时幂函数在上单调递减,符合题意;
当时,幂函数,此时幂函数在上单调递增,不符合题意;
所以实数m的值为1.
（2）（i）,
在区间单调递增;
（ii）由（i）知,在区间单调递增,
则,
解得.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由幂函数的定义可得,即,
解得或.
因为在上单调递减,
所以,即,
则.
（2）设,是R上的增函数.
由（1）可知,即,
则,解得,
即实数a的取值范围为.
18．答案：
解析：因为函数在上单调递减，所以，解得.
又，所以或2.
又函数的图象关于y轴对称，所以为偶数，所以.
因为函数在和上均单调递减，
所以由，得或或，
解得或，
所以实数a的取值范围是.