第三章 指数运算与指数函数——2023-2024学年高一数学北师大版（2019）必修一单元测试卷（含解析）

第三章 指数运算与指数函数——2023-2024学年高一数学北师大版（2019）必修一单元测试卷
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．若m满足，则m的值为( )
A.1 B.2 C. D.0
2．已知，，，则a，b，c的大小关系是( )
A. B. C. D.
3．已知函数,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
5．要得到函数的图象，只需将函数的图象( )
A.向左平移1个单位长度 B.向右平移1个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
6．若函数（x是自变量）是指数函数，则实数a的取值范围是( )
A.且 B.且
C.且 D.
7．函数的图象必经过点( )
A. B. C. D.
8．在平面直角坐标系内，将函数，的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，则所得新函数的图象恒过定点( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．下列运算正确的是( )
A. B. C. D.·
10．函数(且)，图像经过二、三、四象限，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
11．下列大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．将（其中）化为有理数指数幂的形式为_________.
13．函数（且）恒过定点__________.
14．已知函数的最小值为5，则__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．计算：
（1）;
（2）
（3）.
16．已知函数是指数函数.
（1）求实数m的值；
（2）解不等式.
17．已知指数函数在其定义域内单调递增.
(1)求函数的解析式;
(2)设函数,当时.求函数的值域.
18．计算：
（1）;
（2）已知,求的值.
19．已知函数，为偶函数.
（1）求实数a的值；
（2）写出的单调区间（不需要说明理由）；
（3）若对于任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：，得，得，得，求出.
故选：C.
2．答案：A
解析：，，，所以，故选A.
3．答案：A
解析：因为,所以恒成立,所以在R上单调递增,因为,所以,即,所以,所以,即.故选:A.
4．答案：C
解析：当时，，故，解得.故选C.
5．答案：A
解析：因为，所以只需将函数的图象向左平移1个单位长度，即可得到函数的图象.故选A.
6．答案：C
解析：函数（x是自变量）是指数函数，则解得且，所以实数a的取值范围是且.故选C.
7．答案：D
解析：令，则，代入函数，
解得，
则函数的图象必经过点.故选D.
8．答案：A
解析：方法一：将函数的图象向左平移1个单位长度，得到的图象，再向上平移1个单位长度，得到的图象，即.令，得，，故的图象恒过定点.
方法二：因为（，），令，得，，所以的图象过定点.将点向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点，所以的图象恒过定点.
9．答案：ABC
解析：对于A,,故A正确;
对于B,,成立,故B正确;
对于C,,成立,故C正确;
对于D,由可取且,但此时和无意义,故D错误,
故选:ABC.
10．答案：AD
解析：函数(且)，图像经过2，3，4象限，
故得到，当时，
函数是减函数，，函数为增函数，故得到
故得到，，故得到AD正确，BC错误.
11．答案：ABD
解析：A选项:由指数函数为单调递增函数,可得成立,所以选项正确;
B选项:由幂函数为单调递增函数,可得成立,所以B选项正确;
C选项:由对数函数为单调递增函数,则,所以C选项不正确;
D选项:由函数与均为单调递增函数,则,而,所以D选项正确.
故选:ABD.
12．答案：
解析：.
故答案为：.
13．答案：
解析：令可得,则,
因此,函数的图象恒过定点.
14．答案：9
解析：，所以，经检验，时等号成立.
15．答案：（1）8
（2）
（3）64
解析：（1）;
（2）;
（3）.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题可知解得.
（2）由（1）得
在上单调递增，
，解得，
故原不等式的解集为.
17．答案：(1)
(2)
解析：（1）是指数函数,
,
解得或,
又因为在其定义域内单调递增,所以,
;
（2）
,
,令,.
,
,
,
的值域为.
18．答案：（1）210
（2）
解析：（1）原式;
（2）,,,
.
19．答案：（1）；
（2）递减区间是，递增区间是；
（3）.
解析：（1）函数的定义域为R，由为偶函数，得，
即，即，又不恒为0，
所以.
（2）函数，令，函数在上单调递增，
当时，，而函数在上单调递增，因此在上单调递增，又函数是R上的偶函数，因此在上单调递减，
所以函数的递减区间是，递增区间是.
（3）由（2）知函数是R上的偶函数，且在上单调递增，
不等式，
则，而，
于是，
依题意，对于任意恒成立，
当时，，当且仅当或时取等号，
，当且仅当时取等号，因此，
所以实数k的取值范围是.