第四章 对数运算和对数函数——2023-2024学年高一数学北师大版（2019）必修一单元测试卷（含解析）

第四章 对数运算和对数函数——2023-2024学年高一数学北师大版（2019）必修一单元测试卷
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知,,,则a,b,c的大小关系为( )
A. B. C. D.
2．设，，则a，b，c的大小关系( )
A. B.
C. D.
3．已知函数（a，c为常数，其中，）的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A.， B.，
C.， D.，
4．若函数的反函数的图象过点，则函数的图象必过点( )
A. B. C. D.
5．若对数式有意义，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
6．下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是( )
A. B. C. D.
7．已知，，设，，，则( )
A. B. C. D.
8．已知集合，，则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知，且，下列说法中错误的是( ).
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
10．若函数，设，，，则，，的大小关系不正确的是( )
A. B.
C. D.
11．设a，b，c都是正数，且，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．设函数若,则____________.
13．已知对数函数的图象过点，则不等式的解集为__________.
14．已知，，则__________.（用m，n表示）
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．计算：
（1）
（2）已知，，试用a，b表示.
16．计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
17．计算:
18．已知，且，，且.
（1）求a，k的值.
（2）当x为何值时，有最小值？求出该最小值.
19．已知函数.
（1）判断函数的奇偶性；
（2）若函数的最小值为-2，求实数a的值.
参考答案
1．答案：C
解析:，
，
所以.
故选:C.
2．答案：B
解析：，，
又在R上单调递增，故，，
，
故.
故选：B.
3．答案：D
解析：由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换，知，.故选D.
4．答案：C
解析：原函数的图象与它的反函数的图象关于直线对称，点关于直线的对称点为点.
5．答案：D
解析：由已知，得即则且，故选D.
6．答案：D
解析：依据常函数、一次函数、对数函数、指数函数的性质可知增长速度最快的函数模型是指数函数模型，故随着x的增长，的增长速度最快.故选D.
7．答案：A
解析：方法一：已知.因为，且，所以，即.由，得，故，故；
由，故，故，所以.综上，.
方法二：，故.
由，得，故；
由，得，故，所以.
综上，.故选A.
8．答案：B
解析：因为，则.
故选：B.
9．答案：ACD
解析：
10．答案：ABC
解析：因为，，所以，又，所以，因为函数在上单调递增，所以，即A，B，C不正确，D正确，故选ABC.
11．答案：AD
解析：由于a，b，c都是正数，故可设，所以，，，则，，.因为，所以，即，整理可得.故选AD.
12．答案：1
解析：由题,当时,无解,
当时,,解得,成立.
故答案为：1.
13．答案：
解析：设函数的解析式为且，由函数的图象过点可得，即，则.
由可得，即，
所以原不等式等价于解得.
14．答案：
解析：由，得，又，所以.
15．答案：（1）10；（2）
解析：（1）
，
（2）
.
16．答案：（1）4
（2）10
解析：（1）
.
（2）
.
17．答案：原式
解析：
18．答案：（1）
（2）当时，有最小值，最小值为
解析：（1）由题意得
即
解得
因为，所以
（2）因为，
所以当即当时，有最小值，最小值为.
19．答案：（1）偶函数
（2）
解析：（1）要使函数有意义，则有
解得.
因为，
所以是偶函数.
（2）由已知得，
因为，所以.
令，又，
所以在上为减函数，
所以，
所以，所以（舍去）.
故实数a的值为.