第五章 函数应用——2023-2024学年高一数学北师大版（2019）必修一单元测试卷（含解析）

第五章 函数应用——2023-2024学年高一数学北师大版（2019）必修一单元测试卷
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．若函数的零点所在的区间为，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
2．某同学用二分法求方程在内近似解的过程中，设，且计算，，，则该同学在第二次应计算的函数值为( )
A. B.
C. D.
3．函数的所有零点之和为( )
A.7 B.5 C.4 D.3
4．某学校开展研究性学习活动,一组同学获得了下面的一组试验数据:
x 1.99 2.8 4 5.1 8
y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00
现有如下4个模拟函数:
①;②;③;④.
请从中选择一个模拟函数,使它比较近似地反映这些数据的规律,应选( )
A.① B.② C.③ D.④
5．某厂生产中所需的一些配件可以外购，也可以自己生产.如果外购，每个的价格是1.10元；如果自己生产，则每月的固定成本将增加800元，并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元.决定此配件外购或自己生产的转折点是（即生产多少件以上自产合算）( ).
A.1000件 B.1200件 C.1400件 D.1600件
6．若,,,则a,b,c的大小关系为( ).
A. B. C. D.
7．2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策,其中包括:(1)个税起征点为5 000元;(2)每月应纳税所得额(含税)=收入个税起征点专项附加扣除;(3)专项附加扣除包括赡养老人、子女教育、继续教育、大病医疗、住房租金、住房贷款利息,其中前两项的扣除标准为赡养老人专项每月共扣除2 000元,子女教育专项每个子女每月扣除1 000元.新个税政策的税率表部分内容如下:
级数 每月应纳税所得额 税率
1 不超过3 000元的部分 3%
2 超过3 000元至12 000元的部分 10%
3 超过12 000元至25 000元的部分 20%
现李某月收入18 000元,膝下有两名子女,需要赡养老人(除此之外,无其他专项附加扣除,专项附加扣除均按标准的100%扣除),则李某每月应缴纳的个税金额为( )
A.590元 B.690元 C.790元 D.890元
8．已知函数,则下列说法正确的是( )
A.是R上的增函数
B.的值域为
C.“”是“”的充要条件
D.若关于x的方程恰有一个实根,则
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．设,某学生用二分法求方程的近似解(精确度为0.1),列出了它的对应值表如下:
x 0 1 1.25 1.375 1.4375 1.5 2
0.02 0.33 3
若依据此表格中的数据,则得到符合要求的方程的近似解可以为( )
A.1.31 B.1.38 C.1.43 D.1.44
10．某同学求函数的零点时,用计算器算得部分函数值如表所示：
则方程的近似解（精确度0.1）可取为( )
A.2.52 B.2.56 C.2.66 D.2.75
11．图1是某景点游客人数x(万人)与收支差额y(十万元)(门票销售额减去投人的成本费用)的函数图象,为提高收入,景点采取了两种措施,图2和图3中的虚线为采取了两种措施后的图象,则下列说法正确的是( )
A.图1中点A的实际意义表示该景点的投入的成本费用为10万元
B.图1中点B的实际意义表示当游客人数约为1.5万人时,该景点的收支恰好平衡
C.图2景点实行的措施是降低门票的售价
D.图3景点实行的措施是减少投入的成本费用
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．函数的零点为______________.
13．已知函数在区间上有零点，则__________.
14．已知函数的零点在区间内，，则______.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．某厂生产某种零件,每个零件的成本为30元,出厂单价定为52元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不能低于41元.
（1）当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰好降为41元？
（2）设一次订购量为x个,零件的实际出厂单价为P元,写出函数的表达式;
（3）当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本）
16．某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的函数关系式近似为，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到去污作用.
（1）若一次喷洒1个单位的去污剂，则去污时间可达几天？
（2）若第一次喷洒1个单位的去污剂，6天后再喷洒a个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a的最小值？（精确到）
17．某地方政府为鼓励全民创业,拟对本地年产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励,奖励方案遵循以下原则:奖金y(单位:万元)随年产值x(单位:万元)的增加而增加,且要求奖金不低于7万元,不超过年产值的15%.
（1）若该地方政府采用函数作为奖励模型,当本地某新增小微企业年产值为92万元时,该企业可获得多少奖金
（2）若该地方政府采用函数作为奖励模型,试确定满足题目所述原则的最小正整数a.
18．为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务.该工程队有两种型号的挖掘机,已知3台型和5台型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米;4台型和7台型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米.每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元,每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元.
(1)分别求每台A型,B型挖掘机一小时挖土多少立方米？
(2)若不同数量的A型和B型挖掘机共12台同时施工4小时,至少完成1080立方米的挖土量,且总费用不超过12960元.问施工时有哪几种调配方案,并指出哪种调配方案的施工费用最低,最低费用是多少元？
19．某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天海鲜的需求量x，（，单位：公斤），其频率分布直方图如图所示，该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获利50元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理1公斤亏损10元；若供不应求，可从其他商店调拨，销售1公斤可获利30元.假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤，商店的日利润为y元.
（1）求商店日利润y关于需求量x的函数表达式；
（2）估计日利润在区间内的概率.
参考答案
1．答案：C
解析：易知函数在上单调递增，且函数零点所在的区间为，所以，解得．
故选：C.
2．答案：C
解析：，，，在区间内函数存在一个零点，该同学在第二次应计算的函数值，故选C.
3．答案：A
解析：当时,令,解得;当时,令,解得.所以已知函数所有零点之和为.
4．答案：C
解析：根据表中数据,画出图像(图略),通过图像可看出,能比较近似地反映这些数据的规律,故选C.
5．答案：D
解析：设转折点为x件，则，解得.
6．答案：B
解析：由题意:,,故.
又,即,所以,即,
因为,所以.
因为,故,即,
所以,所以,
所以,所以,
故选:B.
7．答案：B
解析：李某每月应纳税所得额(含税)为18 0005 0002 0002 000=9 000(元),不超过3 000的部分税额为(元),超过3 000元至12 000元的部分税额为(元),所以李某每月应缴纳的个税金额为(元).故选B.
8．答案：D
解析：对于A,当时,,所以不R是上的增函数,所以A错误,
对于B,当时,,当时,,
所以的值域为,所以B错误,
对于C,当时,由,得,解得,
当时,由,得,解得,
综上,由,得,或,
所以“”是“”的充分不必要条件,所以C错误,
对于D,的图象如图所示,
由图可知当时,直线与图象只有一个交点,
即关于x的方程恰有一个实根,所以D正确,
故选：D.
9．答案：BC
解析：与都是R上的单调递增函数,
是R上的单调递增函数,
在R上至多有一个零点,
由表格中的数据可知:
,
在R上有唯一零点,零点所在的区间为,
即方程有且仅有一个解,且在区间内,
,
内的任意一个数都可以作为方程的近似解,
,,,,
符合要求的方程的近似解可以是1.38和1.43.
故选:BC.
10．答案：AD
解析：
11．答案：ABD
解析：A:图1中A的实际意义表示游乐场的投入成本为10万元,正确;
B:图1中B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时,游乐场的收支恰好平衡,正确;
C:图2游乐场实行的措施是提高门票的售价,错误;
D:图3游乐场实行的措施是减少投入的成本费用,正确.
故选:ABD
12．答案：和
解析:令,得,解得或.
因此,函数的零点为和.
故答案为和.
13．答案：2
解析：定义域为，
故在上恒成立，
故在上单调递增，
又，，
因为区间上有零点，故.
故答案为：2.
14．答案：
解析：明显函数在R上单调递增，且为连续函数，
又，，
由零点存在定理得函数的零点在区间内，
故.
故答案为：.
15．答案：（1）650
（2）
（3）7000元
解析：（1）设每个零件的实际出厂价恰好降为41元时,一次订购量为个,
则.
（2）当时,;
当时,;
当时,.
（3）设工厂获得的利润为L元,则,
即销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是7000元.
16．答案：（1）7；
（2）0.2.
解析：（1）依题意，令则或，
解得或.
一次喷洒1个单位的去污剂，去污时间可达7天.
（2）设从第一次喷洒起，经天空气中的去污剂浓度为，
则，
依题意对一切恒成立，
又上单调递减，，
，故a最小值为0.2.
17．答案：（1）10.5万元
（2）158
解析：（1）当时,,
因为,
所以,符合要求,
故该企业可获得10.5万元奖金.
（2）,
因为a为正整数,所以在上单调递增,
由题意知对时恒成立,
解得.
又,
即
在时恒成立,
即,
所以正整数.
综上,,,
故最小正整数a的值为158.
18．答案：(1)每台A型挖掘机一小时挖土30立方米,每台型挖据机一小时挖土15立方米
(2)A型挖掘机7台,B型挖掘机5台的施工费用最低,最低费用为12000元
解析：(1)设每台A型,B型挖掘机一小时分别挖土x立方米和y立方米,根据题意,
得,解得.
所以,每台A型挖掘机一小时挖土30立方米,
每台B型挖据机一小时挖土15立方米.
(2)设A型挖掘机有m台,总费用为W元,则B型挖据机有台.根据题意,
得,
因为,解得,
又因为,解得,
所以.
所以,共有三种调配方案.
方案一：当时,,即A型挖据机7台,B型挖掘机5台;
案二：当时,,即A型挖掘机8台,B型挖掘机4台;
方案三：当时,,即A型挖掘机9台,B型挖掘机3台.
,由一次函数的性质可知,W随m的减小而减小,
当时,,
此时A型挖掘机7台,B型挖掘机5台的施工费用最低,最低费用为12000元.
19．答案：(1)；(2)0.54
解析：（1）商店的日利润y关于需求量x的函数表达式为：
化简得：
（2）由频率分布直方图得：海鲜需求量在区间的频率是；
海鲜需求量在区间的频率是；
由于时，，
显然，在区间上单调递增，
，得；，得；
日利润y在区间内的概率，
即求海鲜需求量x在区间的频率为；