第七章 概率——2023-2024学年高一数学北师大版（2019）必修一单元测试卷（含解析）

第七章 概率——2023-2024学年高一数学北师大版（2019）必修一单元测试卷
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，次品数为，已知，该产品的次品率不超过，则这10件产品的次品率为( )
A. B. C. D.
2．掷一颗质地均匀的骰子,下列事件中与事件“向上的点数不超过3”互为对立的是( )
A.向上的点数小于3 B.向上的点数大于3
C.向上的点数至少为3 D.向上的点数为3
3．一个电路如图所示,A,B,C,D,E,F为6个开关,其闭合的概率为,且是相互独立的,则灯亮的概率是( )
A. B. C. D.
4．如图，某电子元件由A，B，C三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，A，B，C三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是( )
A. B. C. D.
5．三人被邀请参加一个晚会,若晚会必须有人去,去几人自行决定,则恰有一人参加晚会的概率为( )
A. B. C. D.
6．有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是( )
A.至多有1次中靶 B.2次都中靶 C.2次都不中靶 D.只有1次中靶
7．掷一颗质地均匀的骰子，观察所得的点数为a，设事件“a为3”，“a为4”，“a为奇数”，则下列结论正确的是( )
A.A与B为互斥事件 B.A与B为对立事件
C.A与C为对立事件 D.A与C为互斥事件
8．甲,乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛,假设比赛打满3局,赢得2局或3局者胜出,用计算机产生1~5之间的随机数,当出现随机数1,2,3时,表示一局比赛甲获胜;否则,乙获胜.由于要比赛3局,所以每3个随机数为一组,产生20组随机数:
423,123,423,344,114,453,525,332,152,342,
534,443,512,541,125,432,334,151,314,354,
据此估计甲获得冠军的概率为( )
A.0.5 B.0.6 C.0.65 D.0.68
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数不大于2”，“点数为1”.则下列结论正确的是( )
A.E，F为对立事件 B.G，H为互斥不对立事件
C.E，G不互斥事件 D.G，R是互斥事件
10．先后抛掷两枚质地均匀的骰子,第一次和第二次出现的点数分别记为a,b,则下列结论正确的是( )
A.的概率为 B.的概率为
C.的概率为 D.是4的倍数的概率是
11．设A，B为两个随机事件，若，，则下列结论中正确的是( )
A.若，则 B.若，则A，B相互独立
C.若A与B相互独立，则 D.若A与B相互独立，则
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知事件A,B相互独立,且,,则__________.
13．某中学为了庆祝“天问一号”成功着陆火星，特举办中国航天史知识竞赛，高一某班现有2名男生和2名女生报名，从报名学生中任选2名学生参赛，则恰好选中2名女生的概率为__________.
14．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局比赛且甲赢得比赛的概率为__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．Matlab是一种数学软件,用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域,推动了人类基础教育和基础科学的发展.某学校举行了相关Matlab专业知识考试,试卷中只有两道题目,已知甲同学答对每题的概率都为p,乙同学答对每题的概率都为,且在考试中每人各题的答题结果互不影响.已知每题甲、乙同时答对的概率为,恰有一人答对的概率为.
（1）求p和q的值;
（2）试求两人共答对3道题的概率.
16．甲乙丙三人独立地破译一份密码,已知各人能破译的概率分别为,p,.
(1)当时,求三人中恰好两个人成功破译的概率;
(2)设事件“密码被三人中恰好一人成功破译”,求的最大值.
17．某校举行围棋比赛,甲 乙 丙三人通过初赛,进入决赛.决赛比赛规则如下:首先通过抽签的形式确定甲 乙两人进行第一局比赛,丙轮空;第一局比赛结束后,胜利者和丙进行比赛,失败者轮空,以此类推,每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛,直到一人累计获胜三局,则此人获得比赛胜利,比赛结束.假设每局比赛双方获胜的概率均为,且每局比赛相互独立.
（1）求丙每局都获胜的概率;
（2）求甲获得比赛胜利的概率.
18．据《人民网》报道,“美国国家航空航天局（NASA）发文称,相比20年前世界变得更绿色了,卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿.”据统计,中国新增绿化面积的420/0来自植树造林,下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据.（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）单位：公顷
按造林方式分
地区 造林总面积 人工造林 飞播造林 新封山育林 退化林修复 人工更新
内蒙 618484 311052 74094 136006 90382 6950
河北 583361 345625 33333 135107 65653 3643
河南 149002 97647 13429 22417 15376 133
重庆 226333 100600 62400 63333
陕西 297642 184108 33602 63865 16067
甘肃 325580 260144 57438 7998
新疆 263903 118105 6264 126647 10796 2091
青海 178414 16051 159734 2629
宁夏 91531 58960 22938 8298 1335
北京 19064 10012 4000 3999 1053
（1）请根据上述数据,分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区;
（2）在这十个地区中,任选一个地区,求该地区人工造林面积与造林总面积的比值不足50%的概率是多少？
（3）从上表新封山育林面积超过十万公顷的地区中,任选两个地区,求至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷的概率.
19．嘉兴市期末测试中数学多选题评分标准如下：若某试题有两个正确选项,选对一个得3分,选对两个得6分,有错选得0分;若该试题有三个正确选项,选对一个得2分,选对两个得4分,三个都选对得6分,有错选得0分,小明同学正在做一道数学多选题（多选题每题至少选一项且不能全选,假设每个选项被选到的概率是等可能的）,请帮助小明求解以下问题：
（1）若该多选题有两个正确选项,在完全盲猜（可以选一个选项、可以选两个选项、也可以选三个选项）的情况下,求小明得6分的概率;
（2）若该多选题有三个正确选项,小明已经判定A正确（正确答案中有A选项,且A必选）的情况下,求小明得分大于等于4分的概率.
参考答案
1．答案：B
解析：设10件产品中存在n件次品，从中抽取2件，其次品数为，由，得，化简得，解得或.
又该产品的次品率不超过，，应取，即这10件产品的次品率为.
2．答案：B
解析：掷一颗质地均匀的骰子,事件“向上的点数不超过3”的对立事件是
向上的点数大于3.
故选:B
3．答案：B
解析：设A与B中至少有一个不闭合的事件为与至少有一个不闭合的事件为R,
则,所以灯亮的概率为,
故选：B.
4．答案：C
解析：设上半部分正常工作为事件M，下半部分正常工作为事件N，
该电子元件能正常工作为事件A，
则，，
，所以，
所以，
即该电子元件能正常工作的概率是.
故选：C
5．答案：B
解析：设三人为A,B,C,则参加晚会的情况有A,B,C,AB,AC,BC,ABC,共7种情况,其中恰有一人参加晚会的情况有3种,故所求的概率为.
6．答案：C
解析：根据对立事件的概念，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”.故选C.
7．答案：A
解析：依题意可知:事件A与B不可能同时发生，A，B互斥，但不是对立事件；显然A与C可以同时发生，不是互斥事件，更不是对立事件.
故选A
8．答案：C
解析：20组随机数中,表示甲获胜的是:
423,123,423,114,332,152,342,512,125,432,334,151,314,共13个,
据此估计甲获得冠军的概率为,
故选:C.
9．答案：ACD
解析：点数为奇数与点数为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，所以E，F对立事件，选项A正确；
点数大于2与点数不大于2不可能同时发生，且必有一个发生，G，H为互斥且对立事件，选项B不正确；
点数为奇数与点数大于2可能同时发生，E，G不互斥，选项C正确；
点数大于2与点数为1不可能同时发生，G，R为互斥事件，选项D正确.
故选：ACD.
10．答案：AC
解析：先后抛掷两枚质地均匀的骰子,共有36种不同的情形.
对于A选项,包含的样本点有,,,,共4个,所以,故正确;
对于B选项,包含的样本点有,,,,,共5个,所以,故错误;
对于C选项,包含的样本点有,,共2个,故,故正确;
对于D选项,是观点的倍数包含的样本点有,,,,,,,,共9个,故,故错误.故选AC.
11．答案：BD
解析：A，若，则，A错误；
B，因为，，则，B正确；
C，因为A与B相互独立，则，也相互独立，
则，C错误；
D，若A与B相互独立，则，也相互独立，
则，D正确.
故选：BD
12．答案：
解析：因为,所以,
同理可得,又因为事件A,B相互独立,
所以.
13．答案：
解析：将2名男同学和2名女同学分别记为a，b，A，B，从中任选2人，有，，，，，，共6种情况，其中恰好选中2名女生的情况有1种，故选中的2人都是女生的概率为.
14．答案：
解析：根据题意可知恰好进行了4局比赛且甲赢得比赛是指第一局甲胜，第二局乙胜，第三局、第四局甲连胜，恰好进行了4局比赛且甲赢得比赛的概率为.
15．答案：（1）,
（2）
解析：（1）由题意可得
即,解得或.
由于,所以,.
（2）设“甲同学答对了i道题”,“乙同学答对了i道题”,.
由题意得,,,,.
设“甲、乙两人共答对3道题”,则.
由于和相互独立,与互斥,
所以.
所以甲、乙两人共答对3道题的概率为.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)当时,
三人中恰好两个人成功破译的概率为;
(2),
当时,的最大值为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）丙每局都获胜有以下两种情况:第一局甲获胜,后三局丙获胜;第一局乙获胜,后三局丙获胜,
第一局甲获胜,后三局丙获胜的概率,
第一局乙获胜,后三局丙获胜的概率,
丙每局都获胜的概率.
（2）设甲获胜为事件A,乙获胜为事件,丙获胜为事件,
比赛进行三局,甲获胜的概率为,
比赛进行五局,有以下6种情况:AABBA,AABCA,ACBAA,ACCAA,BBAAA,
BCAAA,
甲获胜的概率为,
比赛进行七局,有一下8种情况:
AABCCBA,АСВBСАА,АСВАСВА,АССАВBA,ВВАССАА,ВСААСВА,
BCABCAA,BCCBAAA
甲获胜的概率为,
故甲获得比赛胜利的概率为.
18．答案：(1)最大的地区为甘肃省,最小的地区为青海省
(2)
(3)
解析：(1)人工造林面积与造林总面积比最大的地区为甘肃省,
人工造林面积占造林总面积比最小的地区为青海省
(2)设在这十个地区中,任选一个地区,该地区人工造林面积占总面积的比比不足50%为事件A,
在十个地区中,有3个地区（重庆、新疆、青海）人工造林面积占总面积比不足50%,
则
(3)设至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷为事件B,
新封山育林面积超过十万公顷有4个地区：内蒙、河北、新疆、青海,分别设为,,,,
其中退化林修复面积超过五万公顷有2个地区：内蒙、河北即,,
从4个地区中任取2个地区共有6种情况,,,,,,
其中至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷共有5种情况,,,,,
则.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）设总选项个数为N,记事件“小明得6分”,选项个数为,
假设正确选项为AB,则,
列举法：单选项有A,B,C,D共计4个,
双选项有AB,AC,AD,BC,BD,CD共计6个,
三选项有,,,共计4个,
个（其它方法也可以,得分相同）,
.
（2）设总选项个数为N,记事件“小明得分大于等于4分”选项个数为
假设为答案小明已经判定A正确（正确答案中有A选项,且小明A项必选）的情况下,
列举法：单选项有A共计1个,且仅得2分,
双选项有AB,AC,AD共计3个,其中2个得4分,
三选项有,,共计3个,其中1得6分,
,,
.