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分课时教学设计
第3课时《11.2 实数》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 无理数的引入，数集的扩充的教学中充满着对立与统一的辨证关系，实数和数轴上的点一一对应蕴含着数形结合的思想，通过这节课的学习不仅是完善了学生的知识结构，而且让学生领会到数形结合的思想，培养了学生的分类意识，使学生养成用多角度思维的思考习惯．
学习者分析 体验用有理数估计一个无理数的大致范围的过程，掌握 “逐次逼近法”这种对数进行分析、猜测、探索的方法． 了解实数的分类，培养学生初步分类意识；用数轴上的点来表示实数，将数和图形联系在一起，让学生进一步领会数形结合的数学思想方法．
教学目标 1、了解无理数和实数的意义,能对实数按要求进行分类;了解有理数的运算法则在实数范围内仍实用； 2、能利用化简对实数进行简单的四则运算．
教学重点 无理数、实数的意义，在数轴上表示实数．
教学难点 无理数与有理数的本质区别，实数与数轴上的点的一一对应关系．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：教师活动1： 导入新课 课前回顾 1、16 的平方根是_____ 2、3 的算术平方根是_______ 3、有理数分为_______和_________ ±4，，整数，分数 除了有理数外还有没有其它的数呢？ 学生活动1： 教师鼓励学生大胆表述意见，然后作适当点评，引出新课. 先自主探究,再小组合作,分析,总结． 活动意图说明：激发学生兴趣,引入新课主题，通过复习，引出新问题．无理数的引入，数集的扩充的教学中充满着对立与统一的辨证关系，实数和数轴上的点一一对应蕴含着数形结合的思想. 环节二：教师活动2： 探究一： (1)用计算器求 ; (2)利用平方运算验算(1)中所得的结果 那么， 是怎样的数呢 用计算机计算， 大吃一惊！！！ =1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462 1070388503875343276415727350138462309122970 249248360558507372 126441214970999358314 I 32226659275055927557 99950501 152782060571470109559971 60597027453459686201472851741 8640889198609552329230484308714321450839762603627995251407989687253396546331 8088296406206152583523950547457502877599617 91658 172688941975871658215212... 我们知道，有理数包括整数和分数，而任何一个分数写成小数的形式，必定是有限小数或者无限循环小数 请你随意写出三个分数，将它化成小数，验证这个结论. 无限不循环小数叫做无理数( irrational number).. 有理数和无理数统称实数(realnumber). 你能从不同的方向对实数进行分类吗？ 探究二： 你能在数轴上找到表示的点吗 如图11.2.1，将两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形，容易知道，这个大正方形的面积是2，所以大正方形的边长为 。 图11.2.1 这就是说，边长为1的正方形的对角线长是 . 利用这个事实，我们容易在数轴上画出表示 的点，如图11.2.2所示. 图11.2.2 能说有理数和数轴上的点对应吗 为什么 学生活动2： 学生自学、互动。在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想、发现结论． 体验无理数是怎样一个数，同时掌握求无理数近似的方法. 学生思考 活动意图说明：从旧知识出发，呼应引课问题，学生通过自己解决问题，体验用有理数估计一个无理数的大致范围的过程，掌握 “逐次逼近法”这种对数进行分析、猜测、探索的方法. 环节三：教师活动3： 例1.试比较与π的大小 解 用计算器求得 ≈3.14626437, 而π≈3.141592654,因此 >π. 例2 计算 . (精确到0.01) ≈1.247， ≈ 1.571-1.247= 0.324≈0.32. 学生活动3： 参与教师分析和讲例题． 在学生自主、合作、探究后，学生解答． 活动意图说明：熟练掌握.巩固学的知识，学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，理解无理数和实数的概念，并能按要求对实数进行分类．?会求实数的相反数、倒数与绝对值．
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1、下列四个实数中，无理数是( ) A. 3.14 B. -π C. 0 D. 2．下列说法：①无限小数是无理数；②有理数都是有限小数； ③带根号的数都是无理数. 其中正确的个数有（ ） A.0 B. 1 C. 2 D. 3 3．把下列各数填入相应的集合内： －7，0.32，，46，0，，，，－π (1)有理数集合{ } (2)无理数集合：{ } (3)正实数集合：{ } (4)实数集合：{ } 选做题： 4.不用计算器，判断6的算术平方根在哪两个整数之间，与哪个整数比较接近，请写出你的判断过程. 【综合拓展类作业】 5. 小丽想用一块面积为400cm2为的长方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为300cm2的长方形纸片,使它的长宽之比为3:2．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1、下列说法正确的是( ) A. 正数和负数统称为实数 B. 数轴上的点表示的数不一定都是实数 C. 有理数和无理数统称为实数 D. 带根号的数是无理数 选做题： 2.在数轴上作出 的对应点. 【综合拓展类作业】 3、(1)小明想剪一块面积为25cm2的正方形纸板，你能帮他求出正方形纸板的边长吗 (2)若小明想将两块边长都为3cm的正方形纸板沿对角线剪开，拼成如图所示的一个大正方形，你能帮他求出这个大正方形的面积吗 它的边长是整数吗 若是整数，请求出它的值;若不是整数，请估计边长的值在哪两个整数之间？
教学反思
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 华师大版 册、章 八年级上册第11章
课标要求 1、让学生经历又一次数系的扩展过程，进一步体验数学发展源于实践，又作用于实际的辩证关系．2、理解平方根、算术平方根、立方根等概念；认识平方与开平方、立方与开立方间的关系；会用平方、立方的概念求某些数的平方根与立方根，并用根号表示，会用计算器求一个非负数的算术平方根及任意一个数的立方根．3、了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应．4、能估计某些无理数的大小，培养学生的数感与估计能力，会进行简单的实数运算．
内容分析 华东师大版《数学》八年级上册第11章《数的开方》可以看成其后的代数内容的起始章．本章在数的开方的基础上引入了无理数的概念，从而引出了实数的概念，并说明在实数范围内可以进行加、减、乘、除、乘方、开方等运算，而且在有理数范围内成立的运算律和运算性质在实数范围内仍然适用，这样就为今后在实数范围内研究各种问题作好了准备。因此，本章不仅是学习二次根式、一元二次方程的准备知识，而且是今后所要学习到的包括函数、平面解析几何在内的大部分知识的基础．
学情分析 本章要在教学中反复强调平方根与算术平方根这两个概念间的联系和区别，会查表或用计算器正确、迅速求出一个数的平方根 ．算术根的概念难在学生对正数开平方有两个结果不习惯，容易将算术根与平方根的概念混淆；实数的概念比较抽象，初二学生较难理解，因此在教学时一定要把握住要求，对实数及其有关概念，采用浅显、直观的描述性讲法，力图通过对后面知识的学习逐步加深对它们的认识．
单元目标 教学目标1、理解平方根、算术平方根、立方根的概念:认识平方与开平方、立方与开立方间的关系: 会用平方、立方的概念求某些数的平方根与立方根，会用根号表示；会用计算器求一个非负数的算术平方根及任意一个数的立方根． 2、了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应． 3、能估计某些无理数的大小，培养学生的数感与估算能力，会进行简单的实数运算．（二）教学重点、难点教学重点：平方根、算术平方根的概念及求法．会查表或用计算器正确、迅速求出一个数的平方根． 教学难点：算术根的概念和实数的概念．实数的概念比较抽象，初二学生较难理解．
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架 （二）教学策略建议(一)突出主要概念，并注意讲清概念间的联系与区别本章的特点是涉及的概念多，尤其是相互联系、成对出现的概念多。如乘方运算与开方运算，平方与平方根，立方与立方根，平方根与算术平方根，用计算器求平方根与立方根的方法，有理数与无理数，有理数范围与实数范围等．因此，为便于学生了解本章的概念，教学时一是要注意突出其中的主要概念，二是要注意讲清相关概念的联系与区别． 例如，本章的主要概念是平方根、算术平方根、无理数等．为便于讲清平方根和算术平方根的概念，教材将这两个概念并入一个小节，先讲平方根，后讲算术平方根。指出由于算术平方根的值唯一确定，可用符号√a表示，而由于正教a的两个平方根互为相反数，其负平方根可以表示为-√a,这样就可以用算术平方根来表示和研究平方根，通过这种对其间联系与区别的提示，有助于加深对它们的了解． (二)注意加强与几何知识的联系从教学进度的安排看，在代数里先讲数的开平方的概念及其计算，接着几何里以此为基础讲勾股定理，然后又在代数里根据勾股定理来说明等无理数的几何意义．此外，在引入平方根概念时， 注意联系几何里已知面积求边长的需要；在引入立方根概念时，注意联系几何里已知体积求边长的需要．在习题配备方面，适当安排了一些需要用到数的开方的几何问题．上述做法，有助于学生从整体上去认识所学习的代数、几何知识，将它们有机地联系起来． (三)注意启发学生的思维在本章的教学中，我们要使教材既具有规范性，又具有启发性，从而使教材能够吸引学生，达到既学习知识，又启发思维、培养能力的目的． 例如，讲正数的平方根的情况时，在提出了平方根的概念后，先让学生“想一想”，某些具体的正数的平方根是什么。正数的两个平方根之间有什么关系，然后再说出这个问题的结论。随后， 在讨论负数的平方根的情况时，也是先发问:“负数有平方根吗？”让学生自己去发现规律并用自己的言语加以表达。在教学中，充分让学生体会到如何抓住平方根的意义，利用平方运算来寻求一个非负数的平方根，用平方运算求平方根是一个逆向思维的过程． (四)注意培养学生数感在实数的大小比较和运算时，学生可以通过计算器来比较大小，也可以先让学生进行估算，然后得出结论，培养学生的估算能力。又如，在认识√2是一个无理数时，按照计算器显示的结果来想象√2在数轴上的位置，这实际上是对无理数的一个估计，同时也能让学生从数的方面体会到: 一个无理数，可以在数轴上找到一个对应点．
课时安排课时编号单元主要内容课时数11.1.1平方根111.1.2立方根111.2实数1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务11.1.1平方根1、能记住平方根及算术平方根的概念；2、能运用平方根的概念求出非负数的平方根．1.能运用平方根的概念求出非负数的平方根．2.培养学生观察、比较和概括的思维能力．活动一：完成探究问题和做一做．活动二：例题和练习，培养学生观察，归纳的能力．11.1.2 立方根1、能记住立方根的概念；2、能运用立方根的概念求出立方根．1.能运用立方根的概念求出立方根．2.发展学生的抽象概括能力．活动一：完成探究问题．活动二：通过例题会运用相关概念解决问题．活动三：体会立方根的概念在生活中的应用． 11.2 实数1、了解无理数和实数的意义,能对实数按要求进行分类;了解有理数的运算法则在实数范围内仍实用. 2、能利用化简对实数进行简单的四则运算．1.了解无理数和实数的意义,能对实数按要求进行分类．2.对实数进行简单的四则运算，培养学生的运算能力．活动一：通过回顾体会分类思想．活动二：完成探究问题，合作学习．活动三：解答例题和针对练习．体会有理数的运算法则在实数范围内仍实用.
《第11章 数的开方》单元教学设计教学设计
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学习任务单
课程基本信息
学科 数学 年级 七年级 学期 秋季
课题 11.2 实数
教科书 书 名：义务教育教科书数学七年级上册 出版社：浙江教育出版社
学生信息
姓名 学校 班级 学号
学习目标
1、了解无理数和实数的意义,能对实数按要求进行分类;了解有理数的运算法则在实数范围内仍实用； 2、能利用化简对实数进行简单的四则运算．
课前学习任务
复习引入 复习引入 课前回顾 1、16 的平方根是_____ 2、3 的算术平方根是_______ 3、有理数分为_______和_________ 除了有理数外还有没有其它的数呢？
课上学习任务
【学习任务一】 探究一： (1)用计算器求 ; (2)利用平方运算验算(1)中所得的结果X 那么， 是怎样的数呢 我们知道，有理数包括整数和分数，而任何一个分数写成小数的形式，必定是有限小数或者无限循环小数 请你随意写出三个分数，将它化成小数，验证这个结论. 【学习任务二】 无限不循环小数叫做无理数( irrational number).. 有理数和无理数统称实数(realnumber). 你能从不同的方向对实数进行分类吗？ 探究二： 你能在数轴上找到表示的点吗 如图11.2.1，将两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形，容易知道，这个大正方形的面积是2，所以大正方形的边长为 。 图11.2.1 这就是说，边长为1的正方形的对角线长是 . 利用这个事实，我们容易在数轴上画出表示 的点，如图11.2.2所示. 图11.2.2 能说有理数和数轴上的点对应吗 为什么 【学习任务三】 例1.试比较与π的大小 解 用计算器求得 ≈3.14626437, 而π≈3.141592654,因此 >π. 例2 计算 . (精确到0.01) ≈1.247， ≈ 1.571-1.247= 0.324≈0.32. 【学习任务四】课堂练习 必做题： 1、下列四个实数中，无理数是( ) A. 3.14 B. -π C. 0 D. 2．下列说法：①无限小数是无理数；②有理数都是有限小数； ③带根号的数都是无理数. 其中正确的个数有（ ） A.0 B. 1 C. 2 D. 3 3．把下列各数填入相应的集合内： －7，0.32，，46，0，，，，－π (1)有理数集合{ } (2)无理数集合：{ } (3)正实数集合：{ } (4)实数集合：{ } 选做题： 4.不用计算器，判断6的算术平方根在哪两个整数之间，与哪个整数比较接近，请写出你的判断过程. 【综合拓展类作业】 5. 小丽想用一块面积为400cm2为的长方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为300cm2的长方形纸片,使它的长宽之比为3:2． 【知识技能类作业】 必做题： 1、下列说法正确的是( ) A. 正数和负数统称为实数 B. 数轴上的点表示的数不一定都是实数 C. 有理数和无理数统称为实数 D. 带根号的数是无理数 选做题： 2.在数轴上作出 的对应点. 【综合拓展类作业】 3、(1)小明想剪一块面积为25cm2的正方形纸板，你能帮他求出正方形纸板的边长吗 (2)若小明想将两块边长都为3cm的正方形纸板沿对角线剪开，拼成如图所示的一个大正方形，你能帮他求出这个大正方形的面积吗 它的边长是整数吗 若是整数，请求出它的值;若不是整数，请估计边长的值在哪两个整数之间？
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（华师大版）八年级
上
11.2 实数
数的开方
第11章
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
教学目标：
1、了解无理数和实数的意义,能对实数按要求进行分类;了解有理数的运算法则在实数范围内仍实用；
2、能利用化简对实数进行简单的四则运算.
新知讲解
1、16 的平方根是_____
3、有理数分为_______和_________
分数
整数
课前回顾
±4
2、3 的算术平方根是_______
新知讲解
任务一
除了有理数外还有没有其它的数呢？
新知讲解
(1)用计算器求 ;
(2)利用平方运算验算(1)中所得的结果.
做一做
新知讲解
用计算器求 ，显示结果为1.414213562.
再用计算器计算1.414 213 562的平方，结果是1.999999999，并不是2。
这说明计算器求得的只是 的近似值。
新知讲解
=1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766
79737990732478462 1070388503875343276415727350138462309122970
249248360558507372 126441214970999358314 I 32226659275055927557
99950501 152782060571470109559971 6059702745345968620147285174
1 86408891986095523292304843087143214508397626036279952514079
89687253396546331 8088296406206152583523950547457502877599617
2983557522033753 185701 13543746034084988471603868999706990048
1 503054402779031645424782306849293691862 15805784631115966687
1301301561 85689872372352885092648612494977154218334204285686
060146824720771435854874 155657069677653720226485447015858801
62075847492265722600208558446652 1458398893944370926591800311
388246468 1570826301005948587040031 86480342194897278290641045
07263688 1313739855256117322040245091227700226941127573627280
495738 10896750401836986836845072579936472906076299694 1380475
654823728997 180326802474420629269124859052181004459842150591
12024944 13417285314781058036033710773091 82869314710171111683
91658 172688941975871658215212...
用计算机计算，
大吃一惊！！！
=？
新知讲解
任务二
在数学上已经证明，没有一个有理数的平方等于2,
也就是说， 不是一个有理数.
那么， 是怎样的数呢
新知讲解
我们知道，有理数包括整数和分数，而任何一个分数写成小数的形式，必定是有限小数或者无限循环小数，
例如: = 0.25 , =0.6= 0.666 666666...
= 0.142857 = 0. 142 857 142 857 142857...
.
. .
新知讲解
= 0.125 ,
=0.83= 0.8333333333...
= 0.076923 = 0. 076 923 076 923 076 923...
.
. .
请你随意写出三个分数，将它化成小数，验证这个结论.
新知讲解
不是一个有理数 ，实际上 ，它是一个无限不循环小数。
类似地， 、圆周率π等也都不是有理数，它们都是无限不循环小数.
新知讲解
无限不循环小数叫做无理数( irrational number). 上面所提到的 、 、 等都是无理数.
有理数和无理数统称实数(realnumber).
π
你能从不同的方向对实数进行分类吗？
新知讲解
提炼概念
新知讲解
实数
正有理数
有理数
无理数
负有理数
0
负无理数
正无理数
有限小数或无限循环小数
无限不循环小数
新知讲解
实数
正有理数
正实数
负实数
正无理数
0
负无理数
负有理数
新知讲解
你能在数轴上找到表示 的点吗
新知讲解
如图，将两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形，容易知道，这个大正方形的面积是2，所以大正方形的边长为 .
新知讲解
这就是说，边长为1的正方形的对角线长是 .
利用这个事实，我们容易在数轴上画出表示 的点，如图所示.
新知讲解
能说有理数和数轴上的点对应吗 为什么
新知讲解
数轴上的每一点必定表示一个实数；反过来,每一个实数(有理数或无理数)都可以用数轴上的一个点来表示.换句话说,实数与数轴上的点一一对应。
概括
典例精析
例1.试比较 与π的大小
解 用计算器求得
≈3.14626437,
而π≈3.141592654,因此
>π.
典例精析
例2 计算 . (精确到0.01)
解
≈1.247，
≈ 1.571-1.247
= 0.324
≈0.32.
新知讲解
注 由于 ，所以
=
原式=
=
由此算式，可直接将数据输入计算器进行计算.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1、下列四个实数中，无理数是( )
A. 3.14 B. -π C. 0 D.
B
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
2．下列说法：①无限小数是无理数；②有理数都是有限小数；
③带根号的数都是无理数. 其中正确的个数有（ ）
A.0 B. 1 C. 2 D. 3
A
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
解：
所以6的算术平方根在2和3之间，与3比较接近.
4.不用计算器，判断6的算术平方根在哪两个整数之间，与哪个整数比较接近，请写出你的判断过程.
【综合拓展类作业】
课堂练习
(1)你能将这个问题转化为数学问题吗？
(2)如何求出长方形的长和宽？
(3)长方形的长和宽与正方形的边长之间的大小关系是什么？
(4)小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
5. 小丽想用一块面积为400cm2为的长方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为300cm2的长方形纸片,使它的长宽之比为3:2．
【综合拓展类作业】
课堂练习
解：设长方形纸片的长为3x cm，宽为2x cm.根据边长与面积的关系得
3x 2x=300 ，
6x2=300 ，
x2=50，
，
故长方形纸片的长为 ，宽为 ．
因为50＞49，得 ＞7，所以 ＞3×7=21，比原正方形的边长更长，这是不可能的．所以，小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
课堂总结
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1、下列说法正确的是( )
A. 正数和负数统称为实数
B. 数轴上的点表示的数不一定都是实数
C. 有理数和无理数统称为实数
D. 带根号的数是无理数
C
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
21cnjy.com
2.在数轴上作出 的对应点.
0
1
2
3
-1
1
2
B
A
作业布置
【综合拓展类作业】
3、(1)小明想剪一块面积为25cm2的正方形纸板，你能帮他求出正方形纸板的边长吗
(2)若小明想将两块边长都为3cm的正方形纸板沿对角线剪开，拼成如图所示的一个大正方形，你能帮他求出这个大正方形的面积吗 它的边长是整数吗 若是整数，请求出它的值;若不是整数，请估计边长的值在哪两个整数之间？
作业布置
【综合拓展类作业】
解：(1)能．
设正方形纸板的边长为xcm．
则x2=25，所以x=5．
所以正方形纸板的边长为5cm．
作业布置
【综合拓展类作业】
(2)能求出这个大正方形的面积，它的边长不是整数．
设大正方形的边长为ycm．
由题意知y2=32+32=18，所以y= ．
所以大正方形的面积为18cm2，边长为 cm．
因为 ，即4< <5，
所以大正方形的边长不是整数，边长的值在4与5之间．
