河北省部分地区2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷（无答案）

高三数学试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知集合，则（ ）
A. {-1,0,1} B. {-2,-1,0,1} C. {-1,0} D. {-1,0,1,2}
2. 若复数z满足，则z=（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，，若，则x=（ ）
A. -4 B. -3 C. -2 D. -1
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知正四棱锥和正三棱锥的底面边长相等，侧面积相等，且它们的高均为3。若正 四棱锥的侧面与底面所成二面角的大小为，正三棱锥的侧面与底面所成二面角的 大小为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
7. 当时，曲线与的交点个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8. 已知函数的定义域为R，，且当时，， 则下列结论中一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，全部选对得6分，部分选对得部分分， 错选不得分，共18分）
9. 随着某种产品使用寿命的研究，为了解该产品使用一定时间后的故障率情况，从大 量产品中抽取样本，得到该产品使用时间的样本均值为，已知该产品以往的 使用时间X服从指数分布，假设改进后的产品使用时间Y服从指数分布，则 （ ）（若随机变量服从指数分布）
A. B.
C. D.
10. 设函数，若存在，且，使得， 则（ ）
A. B.
C. 至少有三个零点 D. 至多有四个零点
11. 双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”，如图曲线C是双纽线，下列说法正确 的是（ ）
A. 曲线C的图象关于原点对称
B. 曲线C经过7个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C. 曲线C上任意一点到坐标原点的距离都不超过3
D. 若直线与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 设抛物线的焦点为F，过点F作直线交抛物线于A，B两点，若， ，则___________.
13. 若曲线在点(1,1)处的切线与曲线相切，则 ___________.
14. 某射击比赛中，甲、乙两名选手进行多轮射击对决。每轮射击中，甲命中目标的概 率为，乙命中目标的概率为。若每轮射击中，命中目标的选手得1分，未命 中目标的选手得 0 分，且各轮射击结果相互独立。则进行五轮射击后，甲的总得 分不小于3的概率为__________。
四、解答题（本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. （13分）
记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知
.
（1）求角B的大小；
（2）求的面积.
16. （15分）
已知椭圆的离心率为，且过点(2,1).
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l：与椭圆C交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过椭圆C的右顶点M(4,0)，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标。
17. （15分）
已知三棱锥中，平面平面ABC，，，N为AB上一点且满足，M，S分别为PB，BC的中点.
（1）求证：
（2）直线SN与平面CMN所成角的大小
18. （17分）
已知函数在处取得极值，且。
（1）求实数a，b，c的值；
（2）若函数在区间[-2,2]上有三个零点，求实数m的取值范围；
（3）证明：若函数在区间[t,t+2]上不单调，则.
19. （17分）
设数列满足，且对于任意的，都有，若从该数列中任意选取两个不同的数和（），能满足，则称和是幸运数对.
（1）求数列的通项公式；
（2）若从数列中随机选取两个数，求这两个数构成“幸运数对”的概率；
（3）证明：对于任意的正整数N，在数列中总存在两个数和（），使得。