八年级数学上册 12.2 一次函数 导学案（知识清单 典型例题 巩固提升）

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12.2 一次函数 导学案
（一）学习目标：
1. 结合具体情境，理解一次函数和正比例函数的概念.
2.会根据具体问题的条件,确定正比例函数及一次函数关系式中的未知系数.
（二）学习重难点：
重点：一次函数和正比例函数的概念，及确定正比例函数及一次函数关系式
难点：确定正比例函数及一次函数关系式
阅读课本，识记知识：
一.常量、变量：
在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做 变量 ；数值始终不变的量叫做 常量 。
二、函数的概念：
函数的定义：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
三、函数中自变量取值范围的求法：
（1）用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。
（2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。
（3）用寄次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。
用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一 切实数。
（4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。
（5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。
四、 函数图象的定义：一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
五、用描点法画函数的图象的一般步骤
1、列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。）
注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。
2、描点：（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。
3、连线：（按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来）。
六、函数有三种表示形式：
（1）列表法 （2）图像法 （3）解析式法
七、正比例函数与一次函数的概念：
1、定义
一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。
一般地，形如y=kx+b (k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数.
当b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例.
增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.
倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.
图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；
当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.
2、一次函数y=kx＋b的图象的画法.
根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.
3、正比例函数与一次函数之间的关系
一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）
4、直线（）与（）的位置关系
（1）两直线平行且 （2）两直线相交
（3）两直线重合且 （4）两直线垂直
5、正比例函数和一次函数及性质
正比例函数 一次函数
概 念 一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数 一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，是y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
自变量 范 围 X为全体实数
图 象 一条直线
必过点 （0，0）、（1，k） （0，b）和（-，0）
走 向 k>0时，直线经过一、三象限； k<0时，直线经过二、四象限 k＞0，b＞0,直线经过第一、二、三象限 k＞0，b＜0直线经过第一、三、四象限 k＜0，b＞0直线经过第一、二、四象限 k＜0，b＜0直线经过第二、三、四象限
增减性 k>0，y随x的增大而增大；（从左向右上升） k<0，y随x的增大而减小。（从左向右下降）
倾斜度 |k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
图像的 平 移 b>0时，将直线y=kx的图象向上平移个单位； b<0时，将直线y=kx的图象向下平移个单位.
【例1】下列是正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】考查了正比例函数的定义．形如，则该函数就是正比例函数，据此求解即可．
【详解】是正比例函数，故选项B正确；
不是正比例函数，故选项A错误；
不是正比例函数，故选项C错误；
不是正比例函数，故选项D错误；
故选：B．
【例2】 已知一次函数（k、b为常数，且）的图象经过点，且与x轴交于点A，与y轴交于点B，将该一次函数向左平移2个单位后得到一次函数（m、n为常数）的图象，则下列关于一次函数的说法，正确的是（ ）
A．该函数图象与y轴交于负半轴 B．该函数图象有可能经过坐标原点
C．该函数图象与x轴交点的横坐标小于 D．该函数图象不一定经过第三象限
【答案】C
【分析】本题考查一次函数图象的平移以及一次函数的图象和性质．根据平移得到，再根据一次函数的图象和性质，进行判断即可．掌握一次函数图象的平移规律，是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数（k、b为常数，且）的图象经过点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵该一次函数向左平移2个单位后得到一次函数的图象，
∴，
∴的图象过一，二，三象限，与轴交于正半轴，
∵一次函数（k、b为常数，且）的图象经过点，
∴平移后的直线过点，
∵，
∴随的增大而增大，
∴的函数图象与x轴交点的横坐标小于；
综上：选项A，B，D错误，选项C正确．
故选C．
选择题
1.下列各函数中，y是x的正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2.下面各组变量的关系中，成正比例关系的是（ ）
A．圆的周长与它的半径 B．人的身高与年龄
C．正方形的面积与它的边长 D．汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度
3.下列函数中，是的正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
4.已知函数是正比例函数，那么的取值是（ ）
A． B． C． D．任意实数
5.已知一个正比例函数的图象经过和两点，则n的值是（ ）
A．2 B． C．8 D．
6.在同一平面直角坐标系中，正比例函数和一次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
7.在平面直角坐标系中，直线与关于轴对称，那么对于一次函数，当每增加1时，增加（ ）
A．12 B．6 C．3 D．1
8.已知一次函数满足，且y随x的增大而减小，则一次函数的大致图象是大致是（ ）
A． B．
C． D．
9.若，是一函数图象上的两点，则与的大小关系是（　　）
A． B． C． D．不能确定
10.如图，在平面直角坐标系中有一个的正方形网格，其右下角格点（小正方形的顶点）的坐标为，左上角格点的坐标为，若分布在直线两侧的格点数相同，则的取值可以是（ ）.
A． B． C．2 D．
填空题
11． 正比例函数的图像经过，且，则k的范围是 ．
12.已知函数是正比例函数，则 ．
13．已知一次函数经过、两点，，且该函数的图象与坐标轴围成的三角形面积是4，则k的值是 ．
14．点，在一次函数的图象上，当时，则b d（填“”“”“”）
15．平面直角坐标系中，已知点、，在y轴上确定点P，使得的周长最小，则点P的坐标是 ．
三、解答题
16．已知正比例函数的图象经过点，求：
(1)该函数的表达式；
(2)若点在此函数图象上，求的值.
17.已知一次函数．
(1)求图象与两条坐标轴的交点坐标，并在如图的直角坐标系中画出它的图象；
(2)从图象看，y随着x的增大而增大，还是随x的增大而减小？
(3)x取何值时，．
18.如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段AB上，且到x轴的距离为1．
(1)点B的坐标为__________，点C的坐标为__________；
(2)若点P是x轴上的一个动点，画图说明并求出当点P运动到什么位置时，的值最小，直接写出最小值．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
参考答案
1.【答案】A
【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如的函数叫做正比例函数，据此可得答案．
【详解】解：根据正比例函数的定义可知，A选项中的函数是正比例函数，B、C、D三个选项中的函数不是正比例函数，
故选A．
2.【答案】A
【分析】本题考查了正比例函数的定义，判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定;如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例，由此逐项判断即可，熟练掌握正比例函数的定义是解此题的关键．
【详解】解：A、圆的周长与它的半径成正比例关系，故此选项符合题意；
B、人的身高与年龄不成正比例关系，故此选项不符合题意；
C、正方形的面积与它的边长的平方成正比例关系，故此选项不符合题意；
D、汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度成反比例关系，故此选项不符合题意；
故选：A．
3.【答案】C
【分析】本题考查了正比例函数的定义，熟记“一般地，形如（是常数，）的函数，叫做正比例函数”是解题关键．
【详解】解：A、一次函数，不符合题意；
B、是反比例函数，不符合题意；
C、是正比例函数，符合题意；
D、是二次函数，不符合题意；
故选：C．
4.【答案】B
【分析】本考查了正比例函数的定义．根据正比例函数的定义得到且，然后解不等式和方程即可得到满足条件的m的值．
【详解】解：由正比例函数的定义可得：且，
解得：，
故选：B．
5．【答案】B
【分析】本题考查正比例函数图象上的点的坐标特征．利用待定系数法求出正比例函数的解析式，再将点代入求值即可．关键是求出函数解析式．
【详解】解：设正比例函数的解析式为，将，代入，得：，
∴，
当时，，
∴；
故选B．
6．【答案】A
【分析】本题考查正比例函数和一次函数的函数图像，解题的关键在于对进行分情况讨论，找出符合题意的函数图像即可．
【详解】当时，正比例函数经过第一、三象限，一次函数经过第一、三、四象限；
当时，正比例函数经过第二、四象限，一次函数经过第一、二、四象限；
对照各选项中的图象，只有A符合．
故选：A．
7．【答案】C
【分析】本题主要考查运用待定系数法求函数关系式，先求出函数与坐标轴的交点坐标，再运用待定系数法求出的值，即可解决问题．
【详解】解：对于，当 时，；当时，；
∴直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，
∴点关于轴的对称点为；
∵直线与关于轴对称，
∴直线经过点和，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∴当每增加1时，增加3，
故选：C．
8．【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，对于一次函数，当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限， 当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限；当时y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，据此可得答案．
【详解】解：∵一次函数中，y随x的增大而减小，
∴，
∵，
∴，
∴此函数的图象经过第二、三、四象限，
∴四个选项中只有C选项的函数图象符合题意，
故选：C．
9．【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的性质，熟记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键．
根据，利用一次函数的性质可得y随x的增大而减小，再结合即可得．
【详解】解：，
y随x的增大而减小，
又，
．
故选：A．
10．【答案】B
【分析】本题主要考查了过定点的直线旋转，正方形的对称性．由正方形的对称性，要使两侧格点一样，直线要在正方形中心附近，结合图形，直线要在直线和直线之间运动，从而确定，进而求解．
【详解】直线过定点，分布在直线两侧的格点数相同，
由正方形的对称性可知，直线两侧的格点数相同，
在直线和直线之间，两侧格点相同，（如图）
，，
∴把代入得，
把代入得，
，则．
故选：B．
11.【答案】/
【分析】本题主要考查了正比例函数图象的性质，根据题意可知y随x增大而减小，则，可得．对于正比例函数，当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小．
【详解】解：∵正比例函数的图像经过，且，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 【答案】
【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如的函数叫做正比例函数，据此可得，解之即可得到答案．
【详解】解：∵函数是正比例函数，
∴，
∴，
故答案为：．
13．【答案】
【分析】本题考查一次函数解析式的确定及其与坐标轴围成面积的计算方法，由函数解析式确定与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为，然后根据函数图象与坐标轴的面积为4列出方程是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数经过、两点，，
∴随的增大而减小，
∴，
∵在中，
当时，；
当时，，
∴的图象与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为，
由题意可得：，解得：（舍去）或．
故答案为：．
14．【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握函数的增减性质是解本题的关键．根据一次函数的，可知y随x的增大而减小，而，都在该图象上，且，即可推出结果．
【详解】解：根据题意可知：一次函数中
y随x的增大而减小，
又，都在该图象上，且，
．
故答案为：．
15．【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、轴对称性质、最短距离，画出图形，确定点P的位置是解题的关键．
【详解】解：∵线段的长度是确定的，
∴的周长最小就是的值最小，
如图，作点A关于y轴的对称点C，连接交y轴于点P，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴．
故答案为．

16．【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式、正比例函数图象上的点的特征，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
（1）将代入求出的值即可得出函数的表达式；
（2）将代入得：，求出的值即可．
【详解】（1）解：将代入得：，
解得：，
该函数的表达式为：；
（2）解：将代入得：，
解得：．
17.【答案】(1)与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标，图象见解析；
(2)y随着x的增大而减小；
(3)．
【分析】本题考查的是一次函数的图象，解答此题时要注意利用数形结合的方法求解．
（1）利用图象与坐标轴的交点坐标求法，图象与x轴相交，图象与y轴相交，分别求出即可．根据交点，画出函数的图象即可；
（2）直接根据函数的图象进行解答即可；
（3）把代入解析式即可求得．
【详解】（1）解：（1）根据一次函数的解析式，
得到；
．
所以与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标．
函数图象为：
（2）由图象可知，y随着x的增大而减小；
（3）解：当时，
即，
解得．
18．【答案】(1)，
(2)当点P运动到时，的值最小，最小为
【分析】本题考查一次函数的图象与性质，轴对称求线段和最小值；
（1）分别令、求解即可；
（2）点关于x轴的对称点为，连接交x轴相交，当点P运动到与x轴的交点处时，连接BP，此时的值最小，据此求解即可．
【详解】（1）∵点C在线段AB上，且到x轴的距离为1．
∴点C纵坐标为1，
当时，解得，
∴，
当时，解得，
∴，
故答案为：， ；
（2）点关于x轴的对称点为，则，
连接交x轴相交，当点P运动到与x轴的交点处时，
连接BP，此时的值最小，
设直线的表达式为
将点和点分别代入上式，得
解得，
∴直线的表达式为
当时，解得，
∴点P的坐标为
当点P运动到时，的值最小，最小值为．
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