2023-2024学年人教A版必修第二册 第八章　立体几何初步 单元测试（含解析）

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2023-2024学年人教A版必修第二册 第八章　立体几何初步 单元测试
一、选择题
1．已知a，b是两条不同的直线，是平面，且，，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.既不充分又不必要条件 D.充要条件
2．设m,n是不同的直线,,是不同的平面,则下列命题正确的是( )
A.若,,,则 B.若,,,则
C.若,,,则 D.若,,,则
3．在正方体中,点O为线段BD的中点,设点P在直线上,直线OP与平面所成的角为,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4．在四面体ABCD中,为正三角形,AB与平面BCD不垂直,则下列说法正确的是( )
A.AB与CD可能垂直
B.A在平面BCD内的射影可能是B
C.AB与CD不可能垂直
D.平面ABC与平面BCD不可能垂直
5．已知矩形，，.将沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中( )
A.存在某个位置，使得直线AC与BD垂直
B.存在某个位置，使得直线AB与CD垂直
C.存在某个位置，使得直线AD与BC垂直
D.对任意位置，三对直线“AC与BD”“AB与CD”“AD与BC”均不垂直
6．成语“运筹帷幄之中,决胜千里之外”,意思是在小小的军帐之内作出正确的部署,决定了千里之外战场上的胜利,说的是运筹的重要性.“帷幄”是古代打仗必备的帐篷,又称“幄帐”,如图是一种幄帐示意图,帐顶采用“五脊四坡式”,四条斜脊的长度相等,一条正脊平行于底面.若各斜坡面与底面所成二面角的正切值均为,底面矩形的长与宽之比为,则正脊与斜脊长度的比值为( )
A. B. C. D.
7．如图,将正四棱柱斜立在平面上,顶点在平面内,平面,.点P在平面内,且.若将该正四棱柱绕旋转,则PC的最大值为( )
A. B. C. D.
8．已知二面角的平面角为,,,,,,AB与平面所成角为.记的面积为,的面积为,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．如图,在四面体中,,,,O为AC的中点,点M是棱BC的中点,则( )
A.平面ABC
B.
C.四面体的体积为
D.异面直线PM与AB所成角的余弦值为
10．如图,在棱长为1的正方体中,E,F分别为棱,的中点,G为线段上一个动点,则( )
A.存在点G,使直线平面EFG
B.平面EFG截正方体所得截面的最大面积为
C.三棱锥的体积为定值
D.存在点G,使平面平面
11．如图，在正四棱锥中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论中恒成立的为( )
A. B. C.平面SBD D.平面SAC
12．正方体的棱长为2,M是正方形ABCD的中心,P为线段上一动点,则( )
A.
B.直线与直线AD所成角的余弦值为
C.不存在点P使得平面
D.三棱锥的体积为定值
三、填空题
13．已知三个互不重合的平面,,,且直线m,n不重合,由下列条件：①,;②,;③,,;能推得的条件是__________．
14．如图,在正方体中,点P在线段上运动,有下列判断:①平面平面;②平面;③异面直线与所成角的取值范围是;④三棱锥的体积不变.其中,正确的是__________(把所有正确判断的序号都填上).
15．刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容,用“曲率”刻画空间弯曲性,规定:多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制).例如,正四面体的每个顶点有个面角,每个面角为,所以正四面体在各顶点的曲率为.在底面为矩形的四棱锥中,底面ABCD,,PC与底面ABCD所成的角为,在四棱锥中,顶点的曲率为______.
16．在四棱锥中,底面ABCD是边长为的正方形,P在底面的射影为正方形的中心O,,Q点为AO中点.点T为该四棱锥表面上一个动点,满足PA、BD都平行于过QT的四棱锥的截面,则动点T的轨迹围成的多边形的面积为__________________.
四、解答题
17．如图,在四棱锥中,底面ABCD是矩形,PA为点P到平面ABCD的距离,,,,点E,M分别在线段AB,PC上,其中E是AB中点,,连接ME.
（1）当时,证明:直线平面PAD;
（2）当时,求三棱锥的体积.
18．如图1,在直角梯形ABCD中,,,,将沿AC折起(如图2).在图2所示的几何体中:
（1）若平面平面ABC,求证:;
（2）设P为BD的中点,记P到平面ACD的距离为,P到平面ABC的距离为,求证:为定值,并求出此定值.
19．在正方体中,M,N分别是线段,BD的中点.
（1）求证:平面;
（2）若正方体的棱长为2,求三棱锥的体积.
20．如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面，.
（1）证明：平面平面PBD；
（2）点H在棱PC上，当二面角的余弦值为时，求.
参考答案
1．答案：B
解析：当，，时，直线a与直线b的位置关系是平行或者异面，故充分性不成立；当，，时，由直线与平面平行的判定定理，知，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件.
2．答案：D
解析：对于A,若,,,则直线m与n可能相交,也可能平行,还可能是异面直线,A错误;
对于B,若,则,B错误;
对于C,若,直线m与n可能平行,
如直线m,n都平行于,的交线,且,,满足条件,而,C错误;
对于D,若,,则,又,因此,D正确.
故选:D
3．答案：A
解析：由题意可得：直线OP于平面所成的角的取值范围：
不妨取 .
在中, .
的取值范围是 .
故答案为.
4．答案：A
解析：如图所示：取CD的中点E,连接AE,BE
假设,因为为等边三角形,所以,
又因为,所以平面ABE,所以
又因为E是CD中点,所以,只需满足,即可做到,故A正确C错误;
对于B：若A在平面BCD内的射影为B,则有平面BCD,与题干矛盾,故B错误;
对于D：过C点可以做出一条直线,使得该直线垂直与平面BCD,A点只需在该直线上,
即满足平面BCD即可达到要求,故D错误.
故选：A.
5．答案：C
解析：如图，作于点E，于点F.
因为，，所以，.
A项，若存在某个位置；使得直线AC与直线BD垂直，因为，连接，平面AEC，所以平面AEC，从而，这与已知矛盾，排除A；B项，若存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直，因为，平面ABC，所以平面ABC，因为平面BCD，所以平面平面BCD，取BC中点M，连接ME（图略），则，所以就是二面角的平面角，此角显然存在，即当A在底面BCD上的射影位于BC的中点时，直线AB与直线CD垂直，故B正确；C项，若存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直，因为，所以平面ACD，从而平面平面BCD，即A在底面BCD上的射影应位于线段CD上，这是不可能的，故排除C；D项，由以上所述，可排除D.故选B.
6．答案：B
解析：如图,多面体中,取AB的中点C,做交MN于Q,
做底面ABNM于E点,则E点在CQ上,且E点到BN,AM的距离相等,即,做于H点,连接EH,,则平面DHE,
所以,所以坡面与底面所成二面角为,又,则平面DCE,
所以,坡面与底面所成二面角为,
所以正切值,
不妨设,,
可得斜脊,因为矩形宽,
所以长为8,这样正脊,所以正脊与斜脊长度的比值为即.
故选：B.
7．答案：D
解析：过点C作,垂足为E,连接AC,可知平面,
所以点C到平面的距离为,
由题意,
,,
过点C作平面,垂足为,
因为点P在平面内,且,即点P在以为圆心,为半径的圆上,
当,,P三点共线时,且时,PC取最大值,
最大值为.
故选:D.
8．答案：C
解析：作,垂足为E,连接BE,
因为,即,,AE,平面AEB,
故平面AEB,平面AEB,故,
又,故平面,平面,
则AB在内的射影在BE上,则为AB与平面所成角,即,
由于,,故为二面角的平面角,即,
,
在中,,
则,
而,则,
则,,
故,
故选:C
9．答案：ABD
解析：对A：连结OB,
如图,在四面体中,,,,O为AC的中点,
所以,,且,.
所以,所以.
又因为,OB,平面ABC,所以平面ABC,故A正确;
对B、C、D：连接OM,由A知,平面ABC,平面ABC,所以,,
所以,故B正确;
因为AB与OM平行,所以OM与PM所成的角就是PM与AB所成角,在直角三角形POM中,,故D正确;
四面体的体积：,故C错误;
故选：ABD.
10．答案：AC
解析：对于A项,如图所示,
取中点H,I,连接HI交于G点,此时,
由正方体的性质知:面,又,则面,
面,可得,
在正方形中,易知,,面EFG,
所以平面EFG,故A正确;
对于B项,若G点靠C远,如图一示,过G作,即截面为四边形EFQR,
显然该截面在G为侧面CB1的中心时取得最大,最大值为,
若G靠C近时,如图二示,G作KJEF,延长EF交,DA延长线于M,H,
连接MK,HJ交,AB于L,I,则截面为六边形EFIJKL,
若K,J为中点时六边形面积为,,即B错误;
对于C项,随着G移动但G到面的距离始终不变即,
故是定值,即C正确;
对于D项,如图所示,连接,H为侧面的中心,则面与面和面分别交于线PG,DH,
若存在G点使平面平面,则,又,
则四边形PGHD为平行四边形,即,而,
此时G应在延长线上,故D错误;
故选:AC
11．答案：AC
解析：如图所示，连接AC，BD相交于点O，连接EM，EN，SO.由正四棱锥，可得底面，，所以.因为，所以平面SBD.
因为E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，所以，，而，所以平面平面SBD，所以平面EMN，所以，故A正确；
由异面直线的定义可知，当P与M不重合时，EP与BD是异面直线，不可能有，因此B不正确；
平面平面SBD，所以平面SBD，因此C正确；平面SAC，若平面SAC，则，与相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直，即D不正确.故选AC.
12．答案：ABD
解析：对于选项A:在中,是的中点,故,正确;
对于选项B:设N是AB的中点,连接MN,则,
所以是异面直线与直线所成角(或其补角),
在中,,,,
所以,正确;
对于选项C:根据正方体的性质可知,,
由于平面,平面,所以平面,
同理可证得平面,
由于,BD,平面,所以平面平面,
当时,平面,所以平面,
即存在点P使得平面,错误;
对于选项D:,正确.
故选:ABD.
13．答案：②
解析：对于①,可能,所以①不成立;对于②,根据面面平行的性质可知,条件②能推出.对于③,可能,所以③不成立.所以能推得的条件是②.
故答案：②.
14．答案：①②④
解析：对于①,在正方体中,平面,平面,
平面平面,故①正确;
对于②,连接,如图:
容易证明平面//平面,
又平面,
平面故②正确;
对于③,,
异面直线与所成的角就是直线AP与所成的角,
在中,易知所求角的范围是,故③错误;
对于④,
点C到平面的距离不变,且的面积不变,
三棱锥的体积不变,故④正确.
综上所述,正确的是①②④.
故答案为：①②④.
15．答案：或
解析：
设,则,
平面ABCD,即为与底面ABCD所成角,即,
,,
,,;
平面ABCD,平面ABCD,,
又,,PA,平面PAB,平面PAB,
平面PAB,,即,又,
顶点的曲率为.
故答案为:.
16．答案：
解析：取AD的中点E,PD的中点F,PO的中点R,PB的中点N,
连接QR延长交PC与点M,依次连接E,F,M,N,G,
可知,,,即,而,
所以E,F,G,Q,N,R共面,所以E,F,M,N,G共面,
因为底面ABCD是边长为的正方形,
所以对角线,,
因为P在底面的射影为正方形的中心,可得面ABCD,
因为面ABCD,所以,
因为,,所以,
因为E、F分别为AD、PD的中点,
所以,且,
因为平面EFMG,平面EFMG,
所以平面EFMG,同理平面EFMG,
所以平面EFMG即为所求截面.
又因为平面平面,平面APC,所以,
因为Q为AO的中点,可得,
所以, ,,
因为N、F分别为PB、PD的中点,所以,,
所以,,所以四边形EFNG是平行四边形,
因为,,,所以平面APC,
因为平面APC,可得,所以,
所以四边形EFNG是矩形,
所以动点T的轨迹围成的多边形的面积为.
故答案为：.
17．答案：（1）证明见解析
（2）2
解析：（1）取PD中点N,连接MN,AN,
是的中位线,MN//CD,且,
又AE//CD,且,四边形AEMN为平行四边形,
又平面PAD,平面PAD,平面PAD.
（2）,P到平面ABCD距离为3,
点M到平面ABCD的距离为1,
.
18．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析,2
解析：（1）记,在中,,,
在中,,由余弦定理得,
所以,所以,
因为平面平面ABC,平面平面,BC平面ABC,
所以平面ACD,又平面ACD,所以;
（2）由题意,,
因为P为BD的中点,,
所以,即.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）连接,AN,如下图:
是线段BD的中点,底面ABCD是长方形,是线段AC的中点,
又是线段的中点,在中,,
平面,平面,平面.
（2）取BC的中点为O,连接MO,如下图:
,O分别是线段,BC的中点,在中,,,
又在正方体中,平面ABCD,平面ABCD,
为BD的中点,,
.
20．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：如图，连接，侧棱底面，平面ABCD，.
又底面ABCD是正方形，.而且，，平面PBD，平面PBD.又平面，平面平面PBD.
（2）如图，过H作交DC于点E，过E作于点F，连接HF.
在平面PDC中，，，，底面ABCD，平面ABCD.
又平面，.
又，，，平面HEF，
平面HEF.又平面，，为二面角的平面角.故，则.
设，则，，.
在中，，.
在中，，
，当二面角的余弦值为时，.
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