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第二十二章 二次函数
22.1二次函数的图象和性质
第1课时二次函数
提优目标：1.能判断一个函数是否是二次函数并能确定二次函数的二次项及其系数，一次项及其系数和常数项.
2.能够辨别实际问题中简单变量之间的二次函数关系.
基础巩固
1．下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝2x－2＋1 B．y＝－2x＋1 C．y＝x2＋2 D．
2．二次函数y＝x2－4x＋5的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，4，5 B．－1，4，5 C．1，－4，5 D．－1，－4，5
3．若y＝ax2＋x－2＋a是y关于x的二次函数，则a的取值范围是 ．
4．已知函数y＝xm－1＋2是关于x的二次函数，则m的值为 ．
5．（教材问题2变式）为防治新冠病毒，某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为x，第一季度的总产值为y（亿元），则y关于x的函数解析式为 ．
6．（教材P29练习T2·变式）学校准备将一块长20m，宽14m的矩形绿地扩建，如果长和宽都增加x m，设增加的面积是y m2．
（1）求x与y之间的函数关系式．
（2）若要使绿地面积增加72m2，长与宽都要增加多少米？
思维拓展
7．下列函数：①y＝3；②y；③y＝x（3－5x）；④y＝（1＋2x）（1－2x），是二次函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如果函数是二次函数，则m的值是（ ）
A．±1 B．－1 C．2 D．1
9．下列所涉及的两个变量满足的函数关系属于二次函数的是（ ）
A．等边三角形的面积S与等边三角形的边长x
B．放学时，当小希骑车速度一定时，小希离学校的距离s与小希骑车的时间t
C．当工作总量一定时，工作效率y与工作时间t
D．正方形的周长y与边长x
10．若y＝（m＋1）x|m|＋1＋4x－5是关于x的二次函数，则一次函数y＝mx＋m的图象不经过第 象限．
11．（新情境·商品降价问题）将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元/件，其日销售量就增加1件，为了每天获得最大利润，决定每件降价x元，设每天的利润为y元，则y关于x的函数解析式是y＝ ．
12．已知函数y＝（m2－m）x2＋（m－1）x＋m＋1．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
7．已知一个二次函数，求：
（1）k值；
（2）当x＝1.5时，y的值．
13．已知在△ABC中，∠B＝30°，AB＋BC＝12，设AB＝x，△ABC的面积是S，求面积S关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
14．（新情境·面积问题）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8cm，矩形MNPQ的长和宽分别为9cm和2cm，点P和点A重合，NP和AC在同一条直线上（如图所示），Rt△ABC不动，矩形MNPQ沿射线NP以每秒1cm的速度向右移动，设移动x（0＜x≤9）s后，矩形MNPQ与△ABC重叠部分的面积为y cm2，求y与x之间的函数关系式．
延伸探究
15．某厂生产某种零件，该厂为鼓励销售商订货，提供了如下信息：
①每个零件的成本价为40元；
②若订购量不超过100个，出厂价为60元；若订购量超过100个时，每多订1个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元；
③实际出厂单价不能低于51元．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）当一次订购量为 个时，零件的实际出厂单价降为51元．
（2）设一次订购量为x个时，零件的实际出厂单价为P元，写出P与x的函数表达式．
（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂价－成本）．中小学教育资源及组卷应用平台
第二十二章 二次函数
22.1二次函数的图象和性质
第1课时二次函数
提优目标：1.能判断一个函数是否是二次函数并能确定二次函数的二次项及其系数，一次项及其系数和常数项.
2.能够辨别实际问题中简单变量之间的二次函数关系.
基础巩固
1．下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝2x－2＋1 B．y＝－2x＋1 C．y＝x2＋2 D．
【思路点拔】形如ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的函数即为二次函数，据此进行判断即可．
解：y＝2x－2＋1中x的次数为－2，则A不符合题意；
y＝－2x＋1中x的次数为1，则B不符合题意；
y＝x2＋2符合二次函数的定义，则C符合题意；
y2中x的次数为－2，则D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．二次函数y＝x2－4x＋5的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，4，5 B．－1，4，5 C．1，－4，5 D．－1，－4，5
【思路点拔】可根据二次函数的一般形式“形如y＝ax2＋bx＋c，且a≠0”进行求解即可．
解：二次函数y＝x2－4x＋5的二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，－4，5；
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的定义，关键是知道二次函数的一般形式．
3．若y＝ax2＋x－2＋a是y关于x的二次函数，则a的取值范围是 a≠0 ．
【思路点拔】根据二次函数的定义，可得答案．
解：由题意，得
a≠0，
故答案为：a≠0．
【点评】本题考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数y＝ax2＋bx＋c的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2．
4．已知函数y＝xm－1＋2是关于x的二次函数，则m的值为 3 ．
【思路点拔】根据二次函数的定义，可得m－1＝2，然后进行计算即可解答．
解：由题意得：
m－1＝2，
∴m＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
5．（教材问题2变式）为防治新冠病毒，某医药公司一月份的产值为1亿元，若每月平均增长率为x，第一季度的总产值为y（亿元），则y关于x的函数解析式为 y＝x2＋3x＋3 ．
【思路点拔】把一月份、二月份、三月份的产值加起来就是第一季度的总产值，根据题意即可得出答案．
解：y＝1＋1×（1＋x）＋1×（1＋x）2
＝1＋1＋x＋1＋2x＋x2
＝x2＋3x＋3．
故答案为：y＝x2＋3x＋3．
【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，把一月份、二月份、三月份的产值加起来是解题的关键．
6．（教材P29练习T2·变式）学校准备将一块长20m，宽14m的矩形绿地扩建，如果长和宽都增加x m，设增加的面积是y m2．
（1）求x与y之间的函数关系式．
（2）若要使绿地面积增加72m2，长与宽都要增加多少米？
【思路点拔】（1）根据题意可以得到y与x之间的函数关系式；
（2）将y＝72代入（1）中的函数关系式，即可解答本题．
解：（1）由题意可得，
y＝（20＋x）（14＋x）－20×14
化简，得
y＝x2＋34x，
即x与y之间的函数关系式是：y＝x2＋34x；
（2）将y＝72代入y＝x2＋34x，得
72＝x2＋34x，
解得，x1＝－36（舍去），x2＝2，
即若要使绿地面积增加72m2，长与宽都要增加2米．
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
思维拓展
7．下列函数：①y＝3；②y；③y＝x（3－5x）；④y＝（1＋2x）（1－2x），是二次函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】利用二次函数定义进行分析即可．
解：①y＝3；③y＝x（3－5x）；④y＝（1＋2x）（1－2x），是二次函数，共3个，
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的左右两边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
8．如果函数是二次函数，则m的值是（ ）
A．±1 B．－1 C．2 D．1
【思路点拔】直接利用二次函数的定义分析得出答案．
解：根据题意得：
m2＋1＝2，且m－1≠0，
解得：m＝－1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题的关键．要注意：二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
9．下列所涉及的两个变量满足的函数关系属于二次函数的是（ ）
A．等边三角形的面积S与等边三角形的边长x
B．放学时，当小希骑车速度一定时，小希离学校的距离s与小希骑车的时间t
C．当工作总量一定时，工作效率y与工作时间t
D．正方形的周长y与边长x
【思路点拔】根据题意，列出函数解析式就可以判定．
解：A、Sx2，是二次函数，正确，符合题意；
B、s＝vt，v一定，是一次函数，错误，不符合题意；
C、y，a一定，是反比例函数，错误，不符合题意；
D、y＝4x，是一次函数，错误，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的定义，掌握其定义是解决此题关键．
10．若y＝（m＋1）x|m|＋1＋4x－5是关于x的二次函数，则一次函数y＝mx＋m的图象不经过第 四 象限．
【思路点拔】由二次函数的定义得出m＝1即可得到答案．
解：由于y＝（m＋1）x|m|＋1＋4x－5是关于x的二次函数，
∴|m|＋1＝2且m＋1≠0，
∴m＝1，
故一次函数的解析式为y＝x＋1，
故一次函数过一、二、三象限，
故答案为：四．
【点评】本题考查了二次函数的定义，一次函数的性质，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
11．（新情境·商品降价问题）将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元/件，其日销售量就增加1件，为了每天获得最大利润，决定每件降价x元，设每天的利润为y元，则y关于x的函数解析式是y＝ －x2＋10x＋600 ．
【思路点拔】先根据利润＝单件利润×销量列出函数解析式．
解：设应降价x元，销售量为（20＋x）个，
根据题意得：y＝（100－x－70）（20＋x）＝－x2＋10x＋600．
故答案为：－x2＋10x＋600．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是找出等量关系列出函数解析式．
12．已知函数y＝（m2－m）x2＋（m－1）x＋m＋1．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
【思路点拔】（1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，可得方程和不等式，根据解方程和不等式，可得答案；
（2）根据二次项的系数不等于零，可得不等式，根据不等式，可得答案．
解：（1）依题意得
∴
∴m＝0；
（2）依题意得m2－m≠0，
∴m≠0且m≠1．
【点评】本题考查了二次函数的定义，二次函数的二次项的系数不等于零是解题关键．
7．已知一个二次函数，求：
（1）k值；
（2）当x＝1.5时，y的值．
【思路点拔】（1）根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可得k2－3k＋4＝2，且k－1≠0，再解即可；
（2）根据（1）中k的值，可得函数解析式，再利用代入法把x＝0.5代入可得y的值．
解：（1）由题意得：k2－3k＋4＝2，
则k2－3k＋2＝0，
（k－1）（k－2）＝0，
解得：k1＝1，k2＝2，
∵k－1≠0，
∴k＝2；
（2）把k＝2代入y＝（k－1）2x－1得：y＝x2＋2x－1，
当x＝1.5时，y＝（）2＋2．
【点评】此题主要考查了二次函数以及求函数值，关键是掌握判断函数是否是二次函数，要抓住二次项系数不为0和自变量指数为2这个关键条件．
13．已知在△ABC中，∠B＝30°，AB＋BC＝12，设AB＝x，△ABC的面积是S，求面积S关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
【思路点拔】作△ABC的高AD，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出ADAB，再根据三角形的面积公式得出△ABC的面积BC AD，将相关数值代入即可．
解：如图，作△ABC的高AD．
在△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，
∴ADABx，
∴S＝△ABC的面积BC AD（12－x） x2＋3x，
∴面积S关于x的函数解析式为Sx2＋3x（0＜x＜12）．
【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，含30°角的直角三角形的性质，三角形的面积，求出△ABC的高AD是解题的关键．
14．（新情境·面积问题）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8cm，矩形MNPQ的长和宽分别为9cm和2cm，点P和点A重合，NP和AC在同一条直线上（如图所示），Rt△ABC不动，矩形MNPQ沿射线NP以每秒1cm的速度向右移动，设移动x（0＜x≤9）s后，矩形MNPQ与△ABC重叠部分的面积为y cm2，求y与x之间的函数关系式．
【思路点拔】分图1，图2，图3三种情况，利用三角形面积公式和梯形面积公式进行讨论求解即可．
解：运动过程中，重叠部分图形的形状在发生改变，重叠部分面积也随之而变化，由此可知题目需进行以下分类讨论：
当0＜x≤2时，如图1所示，重叠部分为等腰直角三角形，腰长为x cm，得：；
当2＜x≤8时，如图2所示，重叠部分为直角梯形，梯形高即为矩形宽为2cm，梯形下底长为x cm，上底长为（x－2）cm，得：；
当8＜x≤9时，如图3所示，重叠部分为直角梯形，梯形高即为矩形宽为2cm，梯形下底长即为等腰直角三角形腰长8cm保持不变，则上底长为8－2＝6（cm），得保持不变．
综上所述，y
【点评】本题主要考查了求函数关系式，掌握矩形的性质，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
延伸探究
15．某厂生产某种零件，该厂为鼓励销售商订货，提供了如下信息：
①每个零件的成本价为40元；
②若订购量不超过100个，出厂价为60元；若订购量超过100个时，每多订1个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元；
③实际出厂单价不能低于51元．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）当一次订购量为 ≥550 个时，零件的实际出厂单价降为51元．
（2）设一次订购量为x个时，零件的实际出厂单价为P元，写出P与x的函数表达式．
（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂价－成本）．
【思路点拔】（1）由题意设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x个，则x＝100550进而得出答案；
（2）前100件单价为P，当进货件数大于等于550件时，P＝51，则当100＜x＜550时，P＝60－0.02（x－100）＝62得到P为分段函数，写出解析式即可；
（3）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，表示出L与x的函数关系式，然后令x＝500，1000即可得到对应的利润．
解：（1）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x个，则x＝100550，
根据实际出厂单价不能低于51元，
因此，当一次订购量为大于等于550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．
故答案为：≥550；
（2）当0＜x≤100时，P＝60
当100＜x＜550时，P＝60－0.02（x－100）＝62
当x≥550时，P＝51
所以P；
（3）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，
则L＝（P－40）x，
当x＝500时，L＝22×5006000（元）；当x＝1000时，L＝11×1000＝11000（元），
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元．
【点评】本小题主要考查了二次函数的应用以及分段函数的应用，注意利用自变量取值范围得出函数解析式是解题关键．
