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第2课时 二次函数y＝ax2的图象和性质
提优目标：1.会用描点法画二次函数y＝ax2的图象,能写出它的对称轴、顶点坐标
以及它的增减性.
2.能用待定系数法确定二次函数y＝ax2的解析式.
基础巩固
1．二次函数y＝ax2（a＞0）的图象一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
2．抛物线y＝－x2的顶点坐标是（ ）
A．（－1，0） B．（0，－1） C．（0，0） D．（－1，2）
3．抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝x2共有的性质是（ ）
A．开口向下 B．对称轴为y轴
C．都有最低点 D．y随x的增大而减小
4．二次函数y＝－3x2的图象的对称轴是 ，在对称轴的左侧，抛物线从左到右 ；在对称轴的右侧，抛物线从左到右 ．
5．（中考新考法·满足条件的结论开放）如果一个二次函数图象的顶点在x轴上，且在y轴的右侧部分是上升的．请写出一个符合条件的函数解析式： ．
6．（教材P32练习 变式）已知二次函数y＝ax2，当x＝3时，y＝3．
（1）求当x＝－2时，y的值．
（2）写出它的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向．
思维拓展
7．下列图象中，当ab＞0时，函数y＝ax2与y＝ax＋b的图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．（中考新考法·新定义问题）设max{x，y}表示x，y两个数中的最大值．例如“max{1，3}＝3，max{－2，0，}”．则关于x的函数y＝max{2x，－x－2，－x2}的最小值为 ．
9．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线y＝2，与二次函数y＝x2和y＝ax2分别交于A、B和C、D四个点，若CD＝2AB，则a的值是 ．
10．已知函数y＝（m＋2）是关于x的二次函数．
求：（1）满足条件的m值；
（2）当m为何值时，抛物线有最低点？求出此最低点，在这种情况下，当x为何值时，y随着x增大而增大？
11．如图，这是一条以y轴为对称轴，原点O为顶点的抛物线，且经过点A（－3，3）．
（1）求这个函数的解析式．
（2）写出抛物线上与点A关于y轴对称的点B的坐标，并求出△AOB的面积．
12．如图，已知直线l过点A（4，0），B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点P，若S△AOP＝4，试求二次函数的表达式．
延伸探究
13.在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋1与抛物线yx2交于A、B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则下列结论正确的个数为（ ）
①x1 x2＝－4．
②y1＋y2＝4k2＋2．
③当线段AB长取最小值时，则△AOB的面积为2．
④若点N（0，－1），则AN⊥BN．
A．1 B．2 C．3 D．4
13．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数yx2的图象于点A，∠AOB＝90°，点B在该二次函数的图象上，设过点（0，m）（其中m＞0）且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN．
（1）若点A的横坐标为8．
①用含m的代数式表示M的坐标；
②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
（2）当m＝2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式．中小学教育资源及组卷应用平台
第2课时 二次函数y＝ax2的图象和性质
提优目标：1.会用描点法画二次函数y＝ax2的图象,能写出它的对称轴、顶点坐标
以及它的增减性.
2.能用待定系数法确定二次函数y＝ax2的解析式.
基础巩固
1．二次函数y＝ax2（a＞0）的图象一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【思路点拔】根据a＞0，抛物线开口方向向上，再确定出顶点为原点，然后解答即可．
解：∵a＞0，
∴抛物线开口方向向上，
又∵抛物线的顶点坐标为（0，0），
∴一定经过第一二象限．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下，本题是基础题，比较简单．
2．抛物线y＝－x2的顶点坐标是（ ）
A．（－1，0） B．（0，－1） C．（0，0） D．（－1，2）
【思路点拔】利用二次函数的图象和性质，即可得出顶点坐标．
解：∵y＝－x2，
∴抛物线的顶点坐标为（0，0），
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
3．抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝x2共有的性质是（ ）
A．开口向下 B．对称轴为y轴
C．都有最低点 D．y随x的增大而减小
【思路点拔】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以解答本题．
解：抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝x2共有的性质是顶点坐标是都是（0，0），对称轴都是y轴，故选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4．二次函数y＝－3x2的图象的对称轴是 y轴 ，在对称轴的左侧，抛物线从左到右 上升 ；在对称轴的右侧，抛物线从左到右 下降 ．
【思路点拔】根据二次函数的性质进行解答即可．
解：∵二次函数y＝－3x2，
∴抛物线的对称轴为y轴，开口向上；在对称轴左侧，抛物线从左到右 上升；在对称轴的右侧，抛物线从左到右下降．
故答案为：y轴，上升，下降．
【点评】本题考查的是二次函数的图象和性质，熟知二次函数的性质是解答此题的关键．
5．（中考新考法·满足条件的结论开放）如果一个二次函数图象的顶点在x轴上，且在y轴的右侧部分是上升的．请写出一个符合条件的函数解析式： y＝x2（答案不唯一） ．
【思路点拔】根据题意，二次函数顶点在原点且开口向上即可．
解：∵二次函数图象的顶点在x轴上，在y轴的右侧部分是上升的．
∴二次函数顶点在原点，对称轴是y轴，且开口向上，
∴符合条件的函数解析式为：y＝x2（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次函数解析式，熟练掌握解析式与图象位置关系式解答本题的关键．
6．（教材P32练习 变式）已知二次函数y＝ax2，当x＝3时，y＝3．
（1）求当x＝－2时，y的值．
（2）写出它的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向．
【思路点拔】（1）把x＝3，y＝3代入y＝ax2求出a，得到这个二次函数的表达式，再将x＝－2代入即可求出y的值；
（2）根据a的符号判断抛物线的开口方向，把抛物线解析式化为顶点式，进而求出对称轴、顶点坐标．
解：（1）把x＝3，y＝3代入y＝ax2得，
a 32＝3，解得a，
所以这个二次函数的表达式为yx2；
当x＝－2时，y（－2）2；
（2）∵yx2，a0，
∴图象开口向上；
对称轴是直线x＝0，顶点坐标是（0，0）．
【点评】此题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，考查了求顶点坐标，对称轴，开口方向，正确求出二次函数的解析式是解题的关键．
思维拓展
7．下列图象中，当ab＞0时，函数y＝ax2与y＝ax＋b的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据直线直线y＝ax＋b经过的象限得到a＞0，b＜0，与ab＞0矛盾，则可对A进行判断；根据抛物线y＝ax2开口向上得到a＞0，而由直线y＝ax＋b经过第二、四象限得到a＜0，由此可对B进行判断；根据抛物线y＝ax2开口向下得到a＜0，而由直线y＝ax＋b经过第一、三象限得到a＞0，由此可对C进行判断；根据抛物线y＝ax2开口向下得到a＜0，则直线y＝ax＋b经过第二、四象限，并且b＜0，得到直线与y轴的交点在x轴下方，由此可对D进行判断．
解：A、对于直线y＝ax＋b，得a＞0，b＜0，与ab＞0矛盾，所以A选项错误；
B、由抛物线y＝ax2开口向上得到a＞0，而由直线y＝ax＋b经过第二、四象限得到a＜0，所以B选项错误；
C、由抛物线y＝ax2开口向下得到a＜0，而由直线y＝ax＋b经过第一、三象限得到a＞0，所以C选项错误；
D、由抛物线y＝ax2开口向下得到a＜0，则直线y＝ax＋b经过第二、四象限，由于ab＞0，则b＜0，所以直线与y轴的交点在x轴下方，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象为抛物线，顶点式为y＝a（x）2，顶点坐标为（，）；当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．也考查了一次函数的性质．
8．（中考新考法·新定义问题）设max{x，y}表示x，y两个数中的最大值．例如“max{1，3}＝3，max{－2，0，}”．则关于x的函数y＝max{2x，－x－2，－x2}的最小值为 －1 ．
【思路点拔】根据题目信息将y＝2x，y＝－x－2和y＝－x2画在同一个坐标系中，利用数形结合确定图形的三个组成部分，进而确定最小值．
解：将y＝2x，y＝－x－2和y＝－x2画在同一个坐标系中，如图所示，
易得点A的坐标为（－1，－1），点B的坐标为（0，0），
由题意可知，
关于x的函数y＝max{2x，－x－2，－x2}，即y＝2x，y＝－x－2和y＝－x2的不同范围内的部分图形，
即当x≤－1时，y＝－x－2，当x＝－1时，有最小值，为－1；
当－1≤x≤0时，y＝－x2，当x＝－1时，有最小值，为－1；
当x＞0时，y＝2x，当x＝0时，有最小值，为0．
综上关于x的函数y＝max{2x，－x－2，－x2}的最小值为－1．
【点评】本题考查二次函数和一次函数的性质，能够准确画出图形是第一步，能够根据题意分类讨论从而获得不同范围内y的表达式进而求出y的最小值，能够熟练运用数形结合是解答本题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线y＝2，与二次函数y＝x2和y＝ax2分别交于A、B和C、D四个点，若CD＝2AB，则a的值是 ．
【思路点拔】将y＝2分别代入y＝x2和y＝ax2，即可得出求出AB，CD长度，根据CD＝2AB得出，从而得出a的值．
解：把y＝2代入y＝x2中得，x2＝2，
∴
∴A的横坐标为，B横坐标为
∴
把y＝2代入y＝ax2得，ax2＝2，
∴
∴C的横坐标为，D横坐标为
∴
∵CD＝2AB，
∴
∴
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，表示出A、B、C、D的横坐标是解题的关键．
10．已知函数y＝（m＋2）是关于x的二次函数．
求：（1）满足条件的m值；
（2）当m为何值时，抛物线有最低点？求出此最低点，在这种情况下，当x为何值时，y随着x增大而增大？
【思路点拔】（1）根据函数y＝（m＋2）是关于x的二次函数．可以求得m的值；
（2）根据（1）中的结果，可以得到当m为何值时，抛物线有最低点，并求出最低点的坐标，在这种情况下，当x为何值时，y随着x增大而增大
解：（1）∵函数y＝（m＋2）是关于x的二次函数，
∴，
解得m1＝－3，m2＝2，
即m的值是－3或2；
（2）由（1）知，m＝－3或2，
故m＋2＝－1或m＋2＝4，
∴当m＝2时，该抛物线有最低点，
当m＝2时，y＝4x2，该函数的最低点的坐标为（0，0），当x＞0时，y随x的增大而增大．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的定义、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
11．如图，这是一条以y轴为对称轴，原点O为顶点的抛物线，且经过点A（－3，3）．
（1）求这个函数的解析式．
（2）写出抛物线上与点A关于y轴对称的点B的坐标，并求出△AOB的面积．
【思路点拔】（1）设抛物线解析式为y＝ax2，把（－3，3）代入y＝ax2求解．
（2）求得点B的坐标，即可得到AB∥x轴，AB＝3－（－3）＝6，由S△AOBAB yA求解．
解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2，
把（－3，3）代入y＝ax2得3＝9a，
解得a，
∴函数的解析式为yx2．
（2）点A（－3，3）关于y轴的对称点为B（3，3），
∴AB∥x轴，AB＝3－（－3）＝6，
∴S△AOBAB yA9．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握坐标系内求三角形面积的方法．
12．如图，已知直线l过点A（4，0），B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点P，若S△AOP＝4，试求二次函数的表达式．
【思路点拔】先利用待定系数法求出直线l的关系式为y＝－x＋4，则可设P（t，－t＋4），利用三角形面积公式得到4×（－t＋4）＝4，解方程确定P（2，2），然后把P点坐标代入y＝ax2中求出a，从而得到二次函数的表达式．
解：设直线l的解析式为y＝kx＋b，
把A（4，0），B（0，4）分别代入得，
解得，
∴直线l的关系式为y＝－x＋4，
设P（t，－t＋4），
∵S△AOP＝4，
∴4×（－t＋4）＝4，解得t＝2，
∴P（2，2），
把P（2，2）代入y＝ax2得4a＝2，解得a，
∴二次函数的表达式为yx2．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
延伸探究
13.在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋1与抛物线yx2交于A、B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则下列结论正确的个数为（ ）
①x1 x2＝－4．
②y1＋y2＝4k2＋2．
③当线段AB长取最小值时，则△AOB的面积为2．
④若点N（0，－1），则AN⊥BN．
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拔】由题意，将问题转化成一元二次方程问题去解决即可得解．
解：由题意，联列方程组
∴可得得x1，x2满足方程x2－kx－1＝0；y1，y2满足方程y2－（2＋4k2）y＋1＝0．
依据根与系数的关系得，x1＋x2＝4k，x1 x2＝－4，y1＋y2＝4k2＋2，y1 y2＝1，
∴①、②正确．
由两点间距离公式得，AB4（k2＋1）．
∴当k＝0时，AB最小值为4．
∴S△AOB1×AB＝2．
∴③正确．
由题意，kAN，kBN，
∴kAN kBN k2－1．
∴当k＝0时，AN⊥BN；当k≠0是，AN与BN不垂直．
∴④错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与一次函数图象的交点问题，解题时要能将问题转化成一元二次方程问题解决是关键．
13．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数yx2的图象于点A，∠AOB＝90°，点B在该二次函数的图象上，设过点（0，m）（其中m＞0）且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN．
（1）若点A的横坐标为8．
①用含m的代数式表示M的坐标；
②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
（2）当m＝2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式．
【思路点拔】（1）①求出点A的坐标，直线直线OA的解析式即可解决问题．
②求出直线OB的解析式，求出点N的坐标，利用矩形的性质求出点P的坐标，再利用待定系数法求出m的值即可．
（2）分两种情形：①当点A在y轴的右侧时，设A（a，a2），求出点P的坐标利用待定系数法构建方程求出a即可．
②当点A在y轴的左侧时，即为①中点B的位置，利用①中结论即可解决问题．
解：（1）①∵点A在yx2的图象上，横坐标为8，
∴A（8，16），
∴直线OA的解析式为y＝2x，
∵点M的纵坐标为m，
∴M（m，m）．
②假设能在抛物线上，连接OP．
∵∠AOB＝90°，
∴直线OB的解析式为yx，
∵点N在直线OB上，纵坐标为m，
∴N（－2m，m），
∴MN的中点的坐标为（m，m），
∴P（m，2m），把点P坐标代入抛物线的解析式得到m．
（2）①当点A在y轴的右侧时，设A（a，a2），
∴直线OA的解析式为yax，
∴M（，2），
∵OB⊥OA，
∴直线OB的解析式为yx，可得N（，2），
∴P（，4），代入抛物线的解析式得到，±4，
解得，a＝4±4（负根已经舍去），
∴直线OA的解析式为y＝（±1）x．
②当点A在y轴的左侧时，即为①中点B的位置，
∴直线OA 的解析式为yx＝－（±1）x，
综上所述，满足条件的直线OA的解析式为y＝（±1）x或y＝－（±1）x．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
