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第3课时 二次函数的图象和性质(1)
提优目标：1.能表示二次函数的图象的顶点坐标、对称轴以及函数的增减性,并能解决有关数学问题.
2.能辨别二次函数 与 图象之间的异同.
基础巩固
1．抛物线y＝x2－2的顶点坐标是（ ）
A．（－2，0） B．（0，－2）
C．（1，－2） D．（，0）或（，0）
2．（教材P33练习 变式）若在同一平面直角坐标系中，作y＝3x2，y＝x2－2，y＝－2x2＋1的图象，则它们（ ）
A．开口方向相同
B．互相可以通过平移得到
C．都经过原点
D．都关于y轴对称
3．将抛物线y＝x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A．y＝x2＋3 B．y＝x2－3 C．y＝（x＋3）2 D．y＝（x－3）2
4．二次函数y＝－2x2＋9的最大值等于 ．
5．已知二次函数y＝ax2－2的图象经过点（1，－1），则这个二次函数的关系式为 ．
6．已知二次函数y＝x2－4．
（1）求该二次函数图象的对称轴与顶点坐标；
（2）求该二次函数图象与x轴、y轴的交点．
思维拓展
7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k与二次函数y＝kx2＋a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，抛物线y＝ax2＋c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为 ．
9．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝x2－3上，且0＜x1＜x2，则y1 y2.（填“＜”或“＞”或“＝”）
10．抛物线y＝2x2＋n与直线y＝2x－1交于点（m，3）．
（1）求m和n的值；
（2）求抛物线y＝2x2＋n的顶点坐标和对称轴；
（3）当x取何值时，二次函数y＝2x2＋n中，y随x的增大而减小；
（4）函数y＝2x2＋n与y＝2x－1的图象是否还有其他交点？若有，请求出该交点；若没有，请说明理由．
11．如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y＝x＋1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连接AM、BM．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）判断△ABM的形状，并说明理由．
延伸探究
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点B的坐标是（2，0），顶点C的坐标是（0，4），M是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线AM与y轴交于点G．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图（1），N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接OM，记△AOG，△MOG的面积分别为S1，S2．当S1＝2S2，且直线CN∥AM时，求证：点N与点M关于y轴对称．
13．（中考新考法 线段间数量关系探究）已知点C为抛物线y＝ax2＋1的顶点．
（1）直接写出点C的坐标为 ；
（2）若抛物线经过点（2，3）．
①直接写出抛物线解析式为： ；
②如图1，点B（0，5），以OB为底的等腰Rt△OAB交抛物线于点P，将点P绕原点O顺时针旋转45°到P'，求P'的坐标；
（3）如图2，过抛物线上一点M作直线l平行于y轴，直线CE交抛物线另一点于E，交直线l于点D，过M作MN∥x轴，交抛物线于另一点N，过E作EF⊥MN于点F．若点M的横坐标为，试探究DM与FM之间的数量关系并说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
第3课时 二次函数的图象和性质(1)
提优目标：1.能表示二次函数的图象的顶点坐标、对称轴以及函数的增减性,并能解决有关数学问题.
2.能辨别二次函数 与 图象之间的异同.
基础巩固
1．抛物线y＝x2－2的顶点坐标是（ ）
A．（－2，0） B．（0，－2）
C．（1，－2） D．（，0）或（，0）
【思路点拔】根据y＝ax2＋k的顶点坐标为（0，k）求解．
解：抛物线y＝x2－2的顶点坐标为（0，－2），
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
2．（教材P33练习 变式）若在同一平面直角坐标系中，作y＝3x2，y＝x2－2，y＝－2x2＋1的图象，则它们（ ）
A．开口方向相同
B．互相可以通过平移得到
C．都经过原点
D．都关于y轴对称
【思路点拔】写出题目中各个函数图象的开口方向、对称轴和当x＝0时对应的y的值，即可判断哪个选项是符合题意的．
解：函数y＝3x2的图象开口向上，对称轴是y轴，过点（0，0），
函数y＝x2－2的图象开口向上，对称轴是y轴，过点（0，－2），
函数y＝－2x2＋1的图象开口向下，对称轴是y轴，过点（0，1），
故D符合题意，选项A、B、C不符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
3．将抛物线y＝x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A．y＝x2＋3 B．y＝x2－3 C．y＝（x＋3）2 D．y＝（x－3）2
【思路点拔】根据二次函数变化规律：左加右减，上加下减，进而得出变化后解析式．
解：∵抛物线y＝x2向上平移3个单位，
∴平移后的解析式为：y＝x2＋3．
故选：A．
【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质，熟练记忆平移规律是解题关键．
4．二次函数y＝－2x2＋9的最大值等于 9 ．
【思路点拔】依据题意，根据二次函数的图象与性质，由二次函数y＝－2x2＋9的a＝－2＜0，开口向下，结合解析式可以得解．
解：由题意，根据二次函数的图象与性质，由二次函数y＝－2x2＋9的a＝－2＜0，开口向下，
∴二次函数y＝－2x2＋9有最大值为9．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时需要熟练掌握并理解是关键．
5．已知二次函数y＝ax2－2的图象经过点（1，－1），则这个二次函数的关系式为 y＝x2－2 ．
【思路点拔】利用待定系数法求得解析式解答.
解：把点（1，－1）代入解析式得，a＝1．
所以二次函数的关系式为y＝x2－2；
【点评】主要考查了用待定系数法解二次函数解析式和利用一元二次方程判断函数图象与x轴的交点．
6．已知二次函数y＝x2－4．
（1）求该二次函数图象的对称轴与顶点坐标；
（2）求该二次函数图象与x轴、y轴的交点．
【思路点拔】（1）由二次函数顶点式求解．
（2）分别将x＝0，y＝0代入解析式求解．
解：（1）∵y＝x2－4，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，－4）．
（2）将y＝0代入y＝x2－4得0＝x2－4，
解得x1＝－2，x2＝2，
抛物线与x轴交点坐标为（－2，0），（2，0），
将x＝0代入y＝x2－4得y＝－4，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，－4）．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
思维拓展
7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k与二次函数y＝kx2＋a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】本题可先由一次函数y＝ax＋k图象与二次函数y＝kx2＋a的图象分别求出对应的a，k的范围，再相比较看是否一致即可．
解：A、由抛物线可知，a＞0，k＞0，由直线可知，a＜0，k＞0，故本选项错误，不符合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，k＜0，由直线可知，a＞0，k＞0，矛盾，故本选项错误，，不符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，k＞0，由直线可知，a＜0，k＞0，矛盾，故本选项正确，符合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，k＜0，由直线可知，a＞0，k＜0，矛盾，故本选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等是解题的关键．
8．如图，抛物线y＝ax2＋c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为 －2 ．
【思路点拔】过A作AH⊥x轴于H，根据正方形的性质得到∠AOB＝45°，得到AH＝OH，利用待定系数法求得a、c的值，即可求得结论．
解：过A作AH⊥x轴于H，
∵四边形ABCO是正方形，
∴∠AOB＝45°，
∴∠AOH＝45°，
∴AH＝OH，
设A（m，m），则B（0，2m），
∴，
解得am＝－1，m，
∴ac的值为－2，
故答案为：－2．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据图象得出抛物线经过的点的坐标是解题的关键．
9．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝x2－3上，且0＜x1＜x2，则y1 ＜ y2.（填“＜”或“＞”或“＝”）
【思路点拔】依据题意，求出抛物线y＝x2－3的对称轴x＝0，从而由二次函数的性质，根据抛物线开口向下，故当x＞0时y随x的增大而减小，进而判断得解．
解：由题意得抛物线y＝x2－3的对称轴x＝0，
又a＝1＞0，
∴抛物线y＝x2－3开口向上．
∴当x＞0时y随x的增大而增大．
∴对于A、B当0＜x1＜x2时，y1＜y2．
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并理解是关键．
10．抛物线y＝2x2＋n与直线y＝2x－1交于点（m，3）．
（1）求m和n的值；
（2）求抛物线y＝2x2＋n的顶点坐标和对称轴；
（3）当x取何值时，二次函数y＝2x2＋n中，y随x的增大而减小；
（4）函数y＝2x2＋n与y＝2x－1的图象是否还有其他交点？若有，请求出该交点；若没有，请说明理由．
【思路点拔】（1）先把（m，3）代入y＝2x－1可求出m，得到交点坐标为（2，3），然后把（2，3）代入y＝2x2＋n可求出n的值；
（2）由（1）得抛物线的解析式为y＝2x2－5，然后根据二次函数的性质求解；
（3）由（1）得抛物线的解析式为y＝2x2－5，然后根据二次函数的性质求解；
（4）把直线与抛物线的交点问题转化为方程组的解的问题解决：通过解方程组判断有没有其他交点．
解：（1）把（m，3）代入y＝2x－1得2m－1＝3，解得m＝2，
把（2，3）代入y＝2x2＋n得2 4＋n＝3，解得n＝－5；
（2）抛物线的解析式为y＝2x2－5，它的顶点坐标为（0，－5），对称轴为y轴；
（3）当x＜0时，二次函数y＝2x2－5中y随x的增大而减小；
（4）函数y＝2x2＋n与y＝2x－1的图象还有其他交点．
解方程组得或，
所以函数y＝2x2＋n与直线y＝2x－1的图象还有一个交点坐标为（－1，－3）．
【点评】本题考查了二次函数的性质等知识点，解答本题的关键是掌握二次函数的性质：二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
11．如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y＝x＋1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连接AM、BM．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）判断△ABM的形状，并说明理由．
【思路点拔】（1）由条件可分别求得A、B的坐标，设出抛物线解析式，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）结合（1）中A、B、C的坐标，根据勾股定理可分别求得AB、AM、BM，可得到AB2＋AM2＝BM2，可判定△ABM为直角三角形．
解：（1）∵A点为直线y＝x＋1与x轴的交点，
∴A（－1，0），
又B点横坐标为2，代入y＝x＋1可求得y＝3，
∴B（2，3），
∵抛物线顶点在y轴上，
∴可设抛物线解析式为y＝ax2＋c，
把A、B两点坐标代入可得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2－1；
（2）△ABM为直角三角形．理由如下：
由（1）知抛物线解析式为y＝x2－1，可知M点坐标为（0，－1），
∴AM2＝12＋12＝2，AB2＝（2＋1）2＋32＝18，BM2＝22＋（3＋1）2＝20，
∴AM2＋AB2＝2＋18＝20＝BM2，
∴△ABM为直角三角形．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，勾股定理及其逆定理等知识点．在（1）中确定出A、B两点的坐标是解题的关键，在（2）中分别求得AB、AM、BM的长是解题的关键．本题考查知识点较为基础，难度适中．
延伸探究
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点B的坐标是（2，0），顶点C的坐标是（0，4），M是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线AM与y轴交于点G．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图（1），N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接OM，记△AOG，△MOG的面积分别为S1，S2．当S1＝2S2，且直线CN∥AM时，求证：点N与点M关于y轴对称．
【思路点拔】（1）用待定系数法求出解析式即可；
（2）过点M作MD⊥y轴，垂足为D，根据面积关系得出OA＝2MD，设M点的坐标为（m，－m2＋4），求出M点的坐标，用待定系数法求出直线AM的解析式，根据C点坐标求出直线CN的解析式，确定N点的坐标，即可得出结论．
解：（1）∵抛物线y＝ax2＋c（a≠0）与x轴交于（2，0），顶点C的坐标是（0，4），
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为y＝－x2＋4；
（2）证明：过点M作MD⊥y轴，垂足为D，
当△AOG与△MOG都以OG为底时，
∵S1＝2S2，
∴OA＝2MD，
当y＝0时，则－x2＋4＝0，
解得x＝±2，
∵B（2，0），
∴A（－2，0），
∴OA＝2，MD＝1，
设M点的坐标为（m，－m2＋4），
∵点M在第一象限，
∴m＝1，
∴－m2＋4＝3，
即M（1，3），
设直线AM的解析式为y＝kx＋b，
∴，
解得，
∴直线AM的解析式为y＝x＋2，
∵CN∥AM，
∴设直线CN的解析式为y＝x＋t，
∵C（0，4），
∴t＝4，
即直线CN的解析式为y＝x＋4，将其代入y＝－x2＋4中，
得x＋4＝－x2＋4，
解得x＝0或－1，
∵N点在第二象限，
∴N（－1，3），
∵M（1，3），
∴点N与点M关于y轴对称；
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，一次函数的性质等知识是解题的关键．
13．（中考新考法 线段间数量关系探究）已知点C为抛物线y＝ax2＋1的顶点．
（1）直接写出点C的坐标为 （0，1） ；
（2）若抛物线经过点（2，3）．
①直接写出抛物线解析式为： yx2＋1 ；
②如图1，点B（0，5），以OB为底的等腰Rt△OAB交抛物线于点P，将点P绕原点O顺时针旋转45°到P'，求P'的坐标；
（3）如图2，过抛物线上一点M作直线l平行于y轴，直线CE交抛物线另一点于E，交直线l于点D，过M作MN∥x轴，交抛物线于另一点N，过E作EF⊥MN于点F．若点M的横坐标为，试探究DM与FM之间的数量关系并说明理由．
【思路点拔】（1）令x＝0，则y＝ax2＋1＝1，即可求解；
（2）①用待定系数法即可求解；②设将线段OP′顺时针旋转45°到P″，则OP⊥OP″，得到点P″的坐标为（3，－2），进而求解；
（3）求出直线CE的表达式为：y＝kx＋1，得到D（，1），再求出E的坐标为（，1），进而求解．
解：（1）令x＝0，则y＝ax2＋1＝1，
故点C的坐标为（0，1），
故答案为：（0，1）；
（2）①点的坐标（2，3）代入抛物线表达式得：3＝4a＋1，解得a，
故抛物线的表达式为：yx2＋1①，
故答案为：yx2＋1；
②∵点B的坐标为（0，5），Rt△OAB为等腰三角形，
∴点A的坐标为（2.5，2.5）；
设直线AB的表达式为y＝kx＋5，
将点A的坐标代入上式得：2.5＝2.5k＋5，解得：k＝－1，
故直线AB的表达式为：y＝－x＋5②，
联立①②并解得（舍去），
∴点P的坐标为（2，3）；
如图，设将线段OP′顺时针旋转45°到P″，则OP⊥OP″，
由旋转的性质得，点P″的坐标为（3，－2），
连接PP″交OP′于点H，则点H是PP″的中点，
由中点坐标公式得：点H（2.5，0.5），
则直线OH的表达式为yx，
设点P′（m，m），
由题意得：OP＝OP′，即m2＋（m）2＝22＋32，
解得：m，
故点P′的坐标为：（，）；
（3）DM＝2FM，理由：
对于y＝ax2＋1③
当x时，y＝ax2＋11，即点M（，1），
设直线CE的表达式为：y＝kx＋b，
将点C的坐标代入上式并解得b＝1，
故直线CE的表达式为：y＝kx＋1④，则点D（，1），
联立③④并解得：，
即点E的坐标为：（，1），
则点F的坐标为：（，），
则FM，DM＝（1）－（1）2FM，
即DM＝2FM．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及到等腰直角三角形的性质、图形的旋转等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活运用等腰直角三角形的性质是解题的关键．
