江西省宜春市丰城市重点中学2023-2024学年八年级下学期开学数学试题
一、单选题
1．（2024八下·丰城开学考）下列曲线中，表示y不是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的概念；函数的图象
【解析】【解答】解：根据函数的定义可知，对于自变量x，y都有唯一的值与其对应，
故只有D选项不是函数.
故答案为：D.
【分析】根据函数的定义逐项判定，即可得到答案.
2．（2024八下·丰城开学考）直角三角形的两直角边的长分别为3，5，第三边长为（ ）
A．4 B． C．4或 D．4和
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形的两直角边的长分别为3，5，
∴第三边为：.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理即可求解.
3．（2024八下·丰城开学考）如图，长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A．3cm B．4cm C．6cm D．12cm
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，AD=9cm，∠A=90°，
设ED=x，则AE=（9-x）cm，
由折叠知BE=DE=x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，即32+（9-x）2=x2，
解得：x=5，
∴AE=4，
∴△ABE的面积为×4×3=6cm2；
故答案为：C.
【分析】设ED=x，利用折叠的性质可得BE=DE=x，AE=（9-x）cm，在Rt△ABE中，利用勾股定理建立关于x方程并解之，即得AE的长，利用三角形的面积公式即可求解.
4．（2024八下·丰城开学考）如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：将楼梯展开，如图，
∴.
故答案为：D.
【分析】将楼梯展开，根据两点之间线段最短以及勾股定理进行求解，即可得到答案.
5．（2024八下·丰城开学考）已知△ABC的三边之长分别为a、1、3，则化简|9-2a|- 的结果是（ ）
A．12-4a B．4a-12 C．12 D．-12
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；绝对值的非负性
【解析】【解答】根据三角形的三边长为 a、1、3，
可得知a＜1+3=4，a＞3-1=2，∴2＜a＜4
∴ |9-2a|-
=9-2a-
=9-2a+（3-2a）
=12-4a.
故答案为：A.
【分析】根据三角形的三边的关系，可利用算数平方根的和绝对值的非负性，计算结果。
6．（2024八下·丰城开学考）已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（ ）
A．若， 则
B．若， 则
C．若， 则
D．若， 则
【答案】D
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，，为直线上的三个点，
∴，
∵， k>0，
∴，
A选项：若，则， 即同号，
当时，，
当时，，不符合题意，故A选项错误；
B选项：若，则异号，同理可得或，不符合题意，故B选项错误；
C选项：若，则同号，同理可得或，不符合题意，故C选项错误；
D选项：若，则异号，只能是，则，即 ，符合题意，故D选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据题意得到，即，根据一次函数图象的性质逐项分析，即可得到答案.
二、填空题
7．（2024八下·丰城开学考）函数的自变量的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】分式的基本性质；二次根式有意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意可知，x+1≥0且x-3≠0，
∴.
故答案为：.
【分析】根据二次根式有意义的条件以及分母不为零得到x+1≥0且x-3≠0，进行计算即可得到答案.
8．（2024八下·丰城开学考）如图，直线：与直线：交于点，则不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：根据题意可知，当x≥1时，直线：在直线：的上方，
∴不等式的解集为.
故答案为：.
【分析】根据题意直接写出直线在直线的上方所对应自变量的范围，即可得到答案.
9．（2024八下·丰城开学考）已知是整数，则满足条件的最小正整数n为 ．
【答案】3
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：由题意得，
∴最小整数n为3，
故答案为：3
【分析】先根据题意得到，进而根据二次根式的定义即可求解。
10．（2024八下·丰城开学考）一次函数y= -2x+4的图象与坐标轴所围成的三角形面积是 .
【答案】4
【知识点】三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：令y=0，则x=2；令x=0，则y=4，
∴一次函数y=-2x+4的图象与x轴的交点为（2，0），与y轴的交点为（0，4）.
∴S= .
故答案为4.
【分析】根据题意中的解析式可求得该函数与x轴和y轴的交点，从而求得一次函数y=-2x+4的图象与坐标轴所围成的三角形面积。
11．（2024八下·丰城开学考）定义：平面上一点与某个图形所有点相连的线段中最短的线段长度叫做点与该图形之间的距离，记为．如图，已知菱形，，，平面内一动点菱形外部到菱形的距离为，则点运动轨迹的长度为 .
【答案】
【知识点】菱形的性质；圆的周长
【解析】【解答】解：如图，
根据题意可知，点P运动轨迹的长度为菱形ABCD的边长加上一个圆的周长，
∴点运动轨迹的长度为：.
故答案为：.
【分析】根据题目中的定义得到点P运动轨迹的长度为菱形ABCD的边长加上一个圆的周长，利用菱形的性质以及圆的周长公式进行求解，即可得到答案.
12．（2024八下·丰城开学考）矩形纸片，长，宽，折叠纸片，使折痕经过点，交边于点，点落在点处，展平后得到折痕，同时得到线段，，不再添加其它线段，当图中存在角时，的长为 厘米．
【答案】或或
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：当∠ABE=30°时，；
当∠AEB=30°时，；
当∠ABE=15°时，，延长交AD于F，如图，
设AE=x，则，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，AE的长为或或.
故答案为：或或.
【分析】根据翻折的性质得到，分情况讨论，∠ABE=30°时，当∠AEB=30°时以及当∠ABE=15°时，分别求出AE的长，即可得到答案.
三、解答题
13．（2024八下·丰城开学考）化简：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式=；
（2）解：原式=
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）将各项化简为最简二次根式，根据二次根式的乘法与加法法则进行计算，即可得到答案；
（2）将各项化简为最简二次根式，根据二次根式的加减法则进行计算，即可得到答案.
14．（2024八下·丰城开学考）已知其中，化简求值；
【答案】解：
，
，
原式；
【知识点】二次根式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】将原式化简得到，将 代入化简后的式子进行计算，即可得到答案.
15．（2024八下·丰城开学考）已知与成正比例，且当时，．
（1）求出y与x之间的函数解析式；
（2）判断点是否在这个函数的图象上．
【答案】（1）解：由题知，
令，
当时，，
，
解得．
，即，
y与x之间的函数解析式为：．
（2）解：将代入函数解析式得，．
点P在这个函数的图象上．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）令，将代入计算得到，进而即可求出k的值，整理即可求出，即可求解；
（2）将代入函数解析式即可求得y的值，即可得到点P在这个函数的图象上．
16．（2024八下·丰城开学考）如图，在菱形中，E为边上一点，交于点M，交于点F．求证：．
【答案】证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【分析】根据菱形的性质得到，，证明四边形是平行四边形，，得到，则，进而即可证明．
17．（2024八下·丰城开学考）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，已知点A，点B均为格点．按下列要求作图，使得每个图形的顶点均在格点上．
（1）请在图①中，画出以为边的正方形；
（2）请在图②中，画出以为底的等腰，且的面积为 ▲
【答案】（1）解：∵，
∴画图如下：
则正方形即为所求．
（2）解：根据等腰三角形的两腰相等，画图如下：
则等腰即为所求．
．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的判定
【解析】【解答】解：（2）
，
故答案为：．
【分析】（1）根据勾股定理求出，根据正方形的判定定理即可画出图形；
（2）根据等腰三角形的两腰相等画出图形，利用三角形的面积公式即可求出的面积 .
18．（2024八下·丰城开学考）已知a，b，c满足．
（1）求a，b，c的值；
（2）试问：以a，b，c为三边长能否构成直角三角形，如果能，请求出这个三角形的面积，如不能构成三角形，请说明理由．
【答案】（1）解：根据题意得：，，，
解得：，，．
（2）解：能构成直角三角形，
，
，
，
以、、为边长的三角形是直角三角形．
三角形的面积是：．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据非负数的性质得到，，，即可求出a，b，c的值；
（2）根据勾股定理的逆定理得到，即可得到以、、为边长的三角形是直角三角形，根据三角形的面积公式求解求出三角形的面积，即可得到答案.
19．（2024八下·丰城开学考）我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励.现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元.
（1）求甲、乙两种奖品的单价；
（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的 ，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用。
【答案】（1）解：设甲种奖品的单价为x元/件，乙种奖品的单价为y元/件，
依题意，得： ，
解得 ，
答：甲种奖品的单价为20元/件，乙种奖品的单价为10元/件.
（2）解：设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品（60﹣m）件，
∵购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，
∴m (60﹣m)，
∴m≥20.
依题意，得：w＝20m+10（60﹣m）＝10m+600，
∵10＞0，
∴w随m值的增大而增大，
∴当学习购买20件甲种奖品、40件乙种奖品时，最小费用是800元.
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设甲种奖品的单价为x元/件，乙种奖品的单价为y元/件，由题意可得x+2y=40，2x+3y=70，联立求解即可；
（2）设购买甲种奖品m件，由题意可得m≥(60-m)，求解可得m的范围，w＝20m+10(60-m)＝10m+600，然后结合一次函数的性质进行求解.
20．（2024八下·丰城开学考）如图，直线OC、BC的函数关系式分别是y1=x和y2=﹣2x+6，动点P（x，0）在OB上运动（0＜x＜3），过点P作直线m与x轴垂直．
（1）求点C的坐标，并回答当x取何值时y1＞y2；
（2）设△COB中位于直线m左侧部分的面积为s，求出s与x之间函数关系式；
（3）当x为何值时，直线m平分△COB的面积．
【答案】（1）解：解方程组得
∴C点坐标为（2，2）；
当x>2时，y1>y2
（2）解：作CD⊥x轴于点D，则D（2，0）．
①s=x2（0②s=-x2+6x-6（2（3）解：直线m平分△AOB的面积，
则点P只能在线段OD，即0又△COB的面积等于3，
故x2=3×，解之得x=
【知识点】一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，解方程组求出点C的坐标，结合图形即可得到当x>2时，；
（2）作CD⊥x轴于点D，则得到D（2，0），根据三角形面积公式即可得到当0当2（3）根据直线m平分△AOB的面积，则可得到点P只能在线段OD，即021．（2024八下·丰城开学考）如图，在四边形ABCD中，ABCD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm，BC=8cm．点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿线段AB方向向B运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时发，当点Q运动到点C时，P、Q同时运动停止，设运动时间为t秒．
（1）求CD的长；
（2）当t为何值时，四边形PBQD为平行四边形？
（3）在运动过程中，是否存在四边形BCQP是矩形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：过作于，
ABCD，∠BCD=90°，
则，
根据勾股定理，，，
，
，
（2）解：如图，当四边形PBQD为平行四边形时，
点在上，点在上，
由题意可知，，
，
解得，
时，四边形PBQD为平行四边形；
（3）解：不存在，理由如下：
，，
，
若四边形是矩形，则，
由题意可知，，
即，
解得，
不存在．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）过作于，得到，根据勾股定理求出DM的长，进而即可求出CD的长；
（2）当四边形PBQD为平行四边形时，点在上，点在上，根据题意可知，，即可求出t的值；
（3）根据题意得到，若四边形是矩形，则，得到，，求出，即不存在四边形是矩形.
22．（2024八下·丰城开学考）我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如，都是根分式．
（1）请根据以上信息，写出根分式中的取值范围： ；
（2）已知两个根分式与．
①是否存在的值使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由；
②当是一个整数时，求无理数的值．
【答案】（1）且
（2）解：不存在，理由如下：
由得，
解得，
经检验，是原方程的增根，
原方程无解，
不存在；
，
是一个整数，
是整数，
或，
解得或x=1或或，
为无理数，且，
．
【知识点】二次根式有意义的条件；无理方程
【解析】【解答】解：（1）根据题意可知，x-1≥0且x-2≠0，
则且.
故答案为：且.
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件以及分母不能为零得到x-1≥0且x-2≠0，即可求解；
（2）根据题意列出方程得到，解方程即可得到答案；
计算得到，根据是一个整数，得到或，解方程取无理数且的x值，即可得到答案.
23．（2024八下·丰城开学考）
（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE，求证：CE＝CF；
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD；
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10， 求直角梯形ABCD的面积．
【答案】（1）证明：如图1，在正方形ABCD中，
∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，
∴△CBE≌△CDF，
∴CE=CF；
（2）证明：如图，延长AD至F，使DF=BE，连接CF，
由（1）知△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，
即∠ECF=∠BCD=90°，
又∵∠GCE=45°，
∴∠GCF=∠GCE=45°，
∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，
∴△ECG≌△FCG，
∴GE=GF，
∴GE=DF+GD=BE+GD；
（3）解：如图：过点C作CG⊥AD于G，
∵AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠A＝90°，
∵∠A＝∠B＝90°，GC⊥AD，
∴四边形ABCG是矩形，且AB＝BC＝12，
∴四边形ABCG是正方形，
∴AG＝12，
由（2）可得DE＝DG＋BE，
∴DE＝4＋DG，
在△ADE中，AE2＋DA2＝DE2，
∴（12 4）2＋（12 DG）2＝（4＋DG）2，
∴DG＝6，
∴AD＝6，
∴S四边形ABCD＝ (AD＋BC)×AB＝×(6＋12)×12＝108．
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；直角梯形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质证明，根据全等三角形的性质即可证明CE=CF；
（2）延长AD至F，使DF=BE，连接CF，得到∠BCE=∠DCF，进而得到∠GCF=∠GCE=45°，证明，得到GE=GF，即可证明GE＝BE＋GD；
（3）过点C作CG⊥AD于G，得到∠A＝90°，证明四边形ABCG是矩形，且AB＝BC＝12，即四边形ABCG是正方形，得到AG＝12，根据勾股定理得到AE2＋DA2＝DE2，求出DG＝6，进而即可求出直角梯形ABCD的面积．
1 / 1江西省宜春市丰城市重点中学2023-2024学年八年级下学期开学数学试题
一、单选题
1．（2024八下·丰城开学考）下列曲线中，表示y不是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·丰城开学考）直角三角形的两直角边的长分别为3，5，第三边长为（ ）
A．4 B． C．4或 D．4和
3．（2024八下·丰城开学考）如图，长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A．3cm B．4cm C．6cm D．12cm
4．（2024八下·丰城开学考）如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（ ）
A． B．3 C． D．
5．（2024八下·丰城开学考）已知△ABC的三边之长分别为a、1、3，则化简|9-2a|- 的结果是（ ）
A．12-4a B．4a-12 C．12 D．-12
6．（2024八下·丰城开学考）已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（ ）
A．若， 则
B．若， 则
C．若， 则
D．若， 则
二、填空题
7．（2024八下·丰城开学考）函数的自变量的取值范围是 ．
8．（2024八下·丰城开学考）如图，直线：与直线：交于点，则不等式的解集为 ．
9．（2024八下·丰城开学考）已知是整数，则满足条件的最小正整数n为 ．
10．（2024八下·丰城开学考）一次函数y= -2x+4的图象与坐标轴所围成的三角形面积是 .
11．（2024八下·丰城开学考）定义：平面上一点与某个图形所有点相连的线段中最短的线段长度叫做点与该图形之间的距离，记为．如图，已知菱形，，，平面内一动点菱形外部到菱形的距离为，则点运动轨迹的长度为 .
12．（2024八下·丰城开学考）矩形纸片，长，宽，折叠纸片，使折痕经过点，交边于点，点落在点处，展平后得到折痕，同时得到线段，，不再添加其它线段，当图中存在角时，的长为 厘米．
三、解答题
13．（2024八下·丰城开学考）化简：
（1）；
（2）．
14．（2024八下·丰城开学考）已知其中，化简求值；
15．（2024八下·丰城开学考）已知与成正比例，且当时，．
（1）求出y与x之间的函数解析式；
（2）判断点是否在这个函数的图象上．
16．（2024八下·丰城开学考）如图，在菱形中，E为边上一点，交于点M，交于点F．求证：．
17．（2024八下·丰城开学考）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，已知点A，点B均为格点．按下列要求作图，使得每个图形的顶点均在格点上．
（1）请在图①中，画出以为边的正方形；
（2）请在图②中，画出以为底的等腰，且的面积为 ▲
18．（2024八下·丰城开学考）已知a，b，c满足．
（1）求a，b，c的值；
（2）试问：以a，b，c为三边长能否构成直角三角形，如果能，请求出这个三角形的面积，如不能构成三角形，请说明理由．
19．（2024八下·丰城开学考）我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励.现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元.
（1）求甲、乙两种奖品的单价；
（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的 ，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用。
20．（2024八下·丰城开学考）如图，直线OC、BC的函数关系式分别是y1=x和y2=﹣2x+6，动点P（x，0）在OB上运动（0＜x＜3），过点P作直线m与x轴垂直．
（1）求点C的坐标，并回答当x取何值时y1＞y2；
（2）设△COB中位于直线m左侧部分的面积为s，求出s与x之间函数关系式；
（3）当x为何值时，直线m平分△COB的面积．
21．（2024八下·丰城开学考）如图，在四边形ABCD中，ABCD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm，BC=8cm．点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿线段AB方向向B运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时发，当点Q运动到点C时，P、Q同时运动停止，设运动时间为t秒．
（1）求CD的长；
（2）当t为何值时，四边形PBQD为平行四边形？
（3）在运动过程中，是否存在四边形BCQP是矩形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
22．（2024八下·丰城开学考）我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如，都是根分式．
（1）请根据以上信息，写出根分式中的取值范围： ；
（2）已知两个根分式与．
①是否存在的值使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由；
②当是一个整数时，求无理数的值．
23．（2024八下·丰城开学考）
（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE，求证：CE＝CF；
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD；
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10， 求直角梯形ABCD的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】函数的概念；函数的图象
【解析】【解答】解：根据函数的定义可知，对于自变量x，y都有唯一的值与其对应，
故只有D选项不是函数.
故答案为：D.
【分析】根据函数的定义逐项判定，即可得到答案.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形的两直角边的长分别为3，5，
∴第三边为：.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理即可求解.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，AD=9cm，∠A=90°，
设ED=x，则AE=（9-x）cm，
由折叠知BE=DE=x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，即32+（9-x）2=x2，
解得：x=5，
∴AE=4，
∴△ABE的面积为×4×3=6cm2；
故答案为：C.
【分析】设ED=x，利用折叠的性质可得BE=DE=x，AE=（9-x）cm，在Rt△ABE中，利用勾股定理建立关于x方程并解之，即得AE的长，利用三角形的面积公式即可求解.
4．【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：将楼梯展开，如图，
∴.
故答案为：D.
【分析】将楼梯展开，根据两点之间线段最短以及勾股定理进行求解，即可得到答案.
5．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；绝对值的非负性
【解析】【解答】根据三角形的三边长为 a、1、3，
可得知a＜1+3=4，a＞3-1=2，∴2＜a＜4
∴ |9-2a|-
=9-2a-
=9-2a+（3-2a）
=12-4a.
故答案为：A.
【分析】根据三角形的三边的关系，可利用算数平方根的和绝对值的非负性，计算结果。
6．【答案】D
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，，为直线上的三个点，
∴，
∵， k>0，
∴，
A选项：若，则， 即同号，
当时，，
当时，，不符合题意，故A选项错误；
B选项：若，则异号，同理可得或，不符合题意，故B选项错误；
C选项：若，则同号，同理可得或，不符合题意，故C选项错误；
D选项：若，则异号，只能是，则，即 ，符合题意，故D选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据题意得到，即，根据一次函数图象的性质逐项分析，即可得到答案.
7．【答案】
【知识点】分式的基本性质；二次根式有意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意可知，x+1≥0且x-3≠0，
∴.
故答案为：.
【分析】根据二次根式有意义的条件以及分母不为零得到x+1≥0且x-3≠0，进行计算即可得到答案.
8．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：根据题意可知，当x≥1时，直线：在直线：的上方，
∴不等式的解集为.
故答案为：.
【分析】根据题意直接写出直线在直线的上方所对应自变量的范围，即可得到答案.
9．【答案】3
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：由题意得，
∴最小整数n为3，
故答案为：3
【分析】先根据题意得到，进而根据二次根式的定义即可求解。
10．【答案】4
【知识点】三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：令y=0，则x=2；令x=0，则y=4，
∴一次函数y=-2x+4的图象与x轴的交点为（2，0），与y轴的交点为（0，4）.
∴S= .
故答案为4.
【分析】根据题意中的解析式可求得该函数与x轴和y轴的交点，从而求得一次函数y=-2x+4的图象与坐标轴所围成的三角形面积。
11．【答案】
【知识点】菱形的性质；圆的周长
【解析】【解答】解：如图，
根据题意可知，点P运动轨迹的长度为菱形ABCD的边长加上一个圆的周长，
∴点运动轨迹的长度为：.
故答案为：.
【分析】根据题目中的定义得到点P运动轨迹的长度为菱形ABCD的边长加上一个圆的周长，利用菱形的性质以及圆的周长公式进行求解，即可得到答案.
12．【答案】或或
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：当∠ABE=30°时，；
当∠AEB=30°时，；
当∠ABE=15°时，，延长交AD于F，如图，
设AE=x，则，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，AE的长为或或.
故答案为：或或.
【分析】根据翻折的性质得到，分情况讨论，∠ABE=30°时，当∠AEB=30°时以及当∠ABE=15°时，分别求出AE的长，即可得到答案.
13．【答案】（1）解：原式=；
（2）解：原式=
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）将各项化简为最简二次根式，根据二次根式的乘法与加法法则进行计算，即可得到答案；
（2）将各项化简为最简二次根式，根据二次根式的加减法则进行计算，即可得到答案.
14．【答案】解：
，
，
原式；
【知识点】二次根式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】将原式化简得到，将 代入化简后的式子进行计算，即可得到答案.
15．【答案】（1）解：由题知，
令，
当时，，
，
解得．
，即，
y与x之间的函数解析式为：．
（2）解：将代入函数解析式得，．
点P在这个函数的图象上．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）令，将代入计算得到，进而即可求出k的值，整理即可求出，即可求解；
（2）将代入函数解析式即可求得y的值，即可得到点P在这个函数的图象上．
16．【答案】证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【分析】根据菱形的性质得到，，证明四边形是平行四边形，，得到，则，进而即可证明．
17．【答案】（1）解：∵，
∴画图如下：
则正方形即为所求．
（2）解：根据等腰三角形的两腰相等，画图如下：
则等腰即为所求．
．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的判定
【解析】【解答】解：（2）
，
故答案为：．
【分析】（1）根据勾股定理求出，根据正方形的判定定理即可画出图形；
（2）根据等腰三角形的两腰相等画出图形，利用三角形的面积公式即可求出的面积 .
18．【答案】（1）解：根据题意得：，，，
解得：，，．
（2）解：能构成直角三角形，
，
，
，
以、、为边长的三角形是直角三角形．
三角形的面积是：．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据非负数的性质得到，，，即可求出a，b，c的值；
（2）根据勾股定理的逆定理得到，即可得到以、、为边长的三角形是直角三角形，根据三角形的面积公式求解求出三角形的面积，即可得到答案.
19．【答案】（1）解：设甲种奖品的单价为x元/件，乙种奖品的单价为y元/件，
依题意，得： ，
解得 ，
答：甲种奖品的单价为20元/件，乙种奖品的单价为10元/件.
（2）解：设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品（60﹣m）件，
∵购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，
∴m (60﹣m)，
∴m≥20.
依题意，得：w＝20m+10（60﹣m）＝10m+600，
∵10＞0，
∴w随m值的增大而增大，
∴当学习购买20件甲种奖品、40件乙种奖品时，最小费用是800元.
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设甲种奖品的单价为x元/件，乙种奖品的单价为y元/件，由题意可得x+2y=40，2x+3y=70，联立求解即可；
（2）设购买甲种奖品m件，由题意可得m≥(60-m)，求解可得m的范围，w＝20m+10(60-m)＝10m+600，然后结合一次函数的性质进行求解.
20．【答案】（1）解：解方程组得
∴C点坐标为（2，2）；
当x>2时，y1>y2
（2）解：作CD⊥x轴于点D，则D（2，0）．
①s=x2（0②s=-x2+6x-6（2（3）解：直线m平分△AOB的面积，
则点P只能在线段OD，即0又△COB的面积等于3，
故x2=3×，解之得x=
【知识点】一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，解方程组求出点C的坐标，结合图形即可得到当x>2时，；
（2）作CD⊥x轴于点D，则得到D（2，0），根据三角形面积公式即可得到当0当2（3）根据直线m平分△AOB的面积，则可得到点P只能在线段OD，即021．【答案】（1）解：过作于，
ABCD，∠BCD=90°，
则，
根据勾股定理，，，
，
，
（2）解：如图，当四边形PBQD为平行四边形时，
点在上，点在上，
由题意可知，，
，
解得，
时，四边形PBQD为平行四边形；
（3）解：不存在，理由如下：
，，
，
若四边形是矩形，则，
由题意可知，，
即，
解得，
不存在．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）过作于，得到，根据勾股定理求出DM的长，进而即可求出CD的长；
（2）当四边形PBQD为平行四边形时，点在上，点在上，根据题意可知，，即可求出t的值；
（3）根据题意得到，若四边形是矩形，则，得到，，求出，即不存在四边形是矩形.
22．【答案】（1）且
（2）解：不存在，理由如下：
由得，
解得，
经检验，是原方程的增根，
原方程无解，
不存在；
，
是一个整数，
是整数，
或，
解得或x=1或或，
为无理数，且，
．
【知识点】二次根式有意义的条件；无理方程
【解析】【解答】解：（1）根据题意可知，x-1≥0且x-2≠0，
则且.
故答案为：且.
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件以及分母不能为零得到x-1≥0且x-2≠0，即可求解；
（2）根据题意列出方程得到，解方程即可得到答案；
计算得到，根据是一个整数，得到或，解方程取无理数且的x值，即可得到答案.
23．【答案】（1）证明：如图1，在正方形ABCD中，
∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，
∴△CBE≌△CDF，
∴CE=CF；
（2）证明：如图，延长AD至F，使DF=BE，连接CF，
由（1）知△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，
即∠ECF=∠BCD=90°，
又∵∠GCE=45°，
∴∠GCF=∠GCE=45°，
∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，
∴△ECG≌△FCG，
∴GE=GF，
∴GE=DF+GD=BE+GD；
（3）解：如图：过点C作CG⊥AD于G，
∵AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠A＝90°，
∵∠A＝∠B＝90°，GC⊥AD，
∴四边形ABCG是矩形，且AB＝BC＝12，
∴四边形ABCG是正方形，
∴AG＝12，
由（2）可得DE＝DG＋BE，
∴DE＝4＋DG，
在△ADE中，AE2＋DA2＝DE2，
∴（12 4）2＋（12 DG）2＝（4＋DG）2，
∴DG＝6，
∴AD＝6，
∴S四边形ABCD＝ (AD＋BC)×AB＝×(6＋12)×12＝108．
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；直角梯形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质证明，根据全等三角形的性质即可证明CE=CF；
（2）延长AD至F，使DF=BE，连接CF，得到∠BCE=∠DCF，进而得到∠GCF=∠GCE=45°，证明，得到GE=GF，即可证明GE＝BE＋GD；
（3）过点C作CG⊥AD于G，得到∠A＝90°，证明四边形ABCG是矩形，且AB＝BC＝12，即四边形ABCG是正方形，得到AG＝12，根据勾股定理得到AE2＋DA2＝DE2，求出DG＝6，进而即可求出直角梯形ABCD的面积．
1 / 1
