第二章直线和圆的方程同步练习卷（含解析）-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 第二章直线和圆的方程同步练习卷（含解析）-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-08-09 20:09:23 | ||
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文档简介
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第二章直线和圆的方程同步练习卷-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．已知直线与直线相互垂直，则的值为（ ）
A． B．1 C．3 D．
2．如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ）
A．； B．；
C．； D．；
4．已知直线l：，则下列说法不正确的是（ ）
A．直线l恒过点
B．若直线l与y轴的夹角为30°，则或
C．直线l的斜率可以等于0
D．若直线l在两坐标轴上的截距相等，则或
5．过原点的直线l的倾斜角为θ，则直线l关于直线对称的直线的倾斜角不可能为（ ）
A．θ B． C． D．
6．已知直线：，则点到直线距离的最大值为（ ）
A． B． C．5 D．10
7．已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（ ）
A． B．
C． D．
8．设圆：与圆：，点，分别是，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点P到坐标原点O的距离可能为（ ）
A． B． C． D．
10．已知曲线，下列结论正确的是（ ）
A．当时，曲线是一条直线
B．当时，曲线是一个圆
C．当曲线是圆时，它的面积的最小值为
D．当曲线是面积为的圆时，
11．已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．已知两条直线的方程分别是；，；，则两条直线的夹角 ．
13．一条光线沿经过点且斜率为的直线射到x轴上后反射，则反射光线所在的直线方程为 ．
14．已知圆关于直线对称，则下列结论正确的是 ．（填序号）
①圆的圆心是；②圆的半径是2；③；④ab的取值范围是．
四、解答题
15．m、n为已知实数，直线的方程为，直线的方程为．讨论直线与的位置关系．
16．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点.
(1)求边所在直线的方程;
(2)若的面积等于7，且点的坐标满足，求点的坐标.
17．已知直线l：．
(1)证明：直线一定经过第三象限；
(2)设直线与轴，轴分别交于A，B点，当点离直线最远时，求的面积．
18．已知点，圆上两动点满足，且四边形是矩形．
(1)当点在第一象限且横坐标为3时，求边所在直线的方程；
(2)求点的轨迹方程．
19．已知中，点，边上中线所在直线的方程为，边上的高线所在直线的方程为．
(1)求边所在直线方程；
(2)以为圆心作一个圆，使得三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，并记该圆为圆，过直线上一点作圆的切线，切点为，当四边形面积最小时，求直线的方程.
参考答案：
1．A
【分析】利用直线与直线垂直的条件求解即可.
【详解】
故选:A.
2．AD
【分析】利用斜率与倾斜角的定义，结合图象判断即可得.
【详解】由图可得，，故A、D正确.
故选：AD.
3．A
【分析】求出直线所过的定点，再确定最大值条件即可求解.
【详解】将直线变形得，
由，解得，因此直线过定点，
当时，点到直线的距离最大，
最大值为，又直线的斜率，
所以直线的方程为，即.
故选：A
4．C
【分析】将方程化为判断直线过定点，判断A的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B的正误；讨论和时直线的斜率和截距情况，判断CD的正误.
【详解】直线的方程可化为，
所以直线过定点，故A正确；
因为直线与轴的夹角为，
所以直线的倾斜角为或，
而直线的斜率为，所以或，
所以或，故B正确；
当时，直线，斜率不存在，
当时，直线的斜率为，
不可能等于，故C错误；
当时，直线在轴上的截距不存在，
当时，令，得，
令，得，令，
得，故D选项正确.
故选：C.
5．C
【分析】利用直线与直线对称，得到倾斜角之间的关系，然后对选项进行逐个分析判断即可.
【详解】设直线的倾斜角为，则，
因为直线和直线关于直线对称，
所以直线和直线也关于直线对称 ，
所以或，
对于A，当时，，所以A正确，
对于B，当时，，所以B正确，
对于C，若，则不成立，且也不成立，所以C错误，
对于D，当时，，所以D正确.
故选：C
6．B
【分析】根据直线方程，可得直线过定点，即可求出结果.
【详解】直线：，即，
由，得到，所以直线过定点，
当直线垂直于直线时，距离最大，此时最大值为，
故选：B.
7．C
【分析】直接将点的坐标代入检验即可逐一判断各个选项.
【详解】对于A，，的坐标都不满足圆的方程，
即圆不可能过四个点中的三个点，故A不符合题意；
对于B，，的坐标都不满足圆的方程，
即圆不可能过四个点中的三个点，故B不符合题意；
对于C，，，的坐标都满足圆的方程，
的坐标不满足圆的方程，
即圆过四个点中的三个点，故C符合题意；
对于D，，的坐标都不满足圆的方程，
即圆不可能过四个点中的三个点，故D不符合题意.
故选：C.
8．C
【分析】分析发现两圆心和的连线恰好垂直于直线，从而得出当与和共线时最小，从而得解.
【详解】
因为圆：的标准方程为；
圆：的标准方程为：
所以和的圆心坐标分别为、，半径，，
所以直线的斜率，而直线的斜率为1
所以直线与直线垂直，如图，
所以当与和共线时最小，此时，
又此时，，
所以最小值为.
故选：C
9．CD
【分析】设出动点、的中点坐标，然后求出中点的轨迹方程，再求出原点到该直线的距离可得答案.
【详解】令、分别在直线：与：上，
设AB的中点M的坐标为，则有：
，两式相加得：，
所以，则原点到该直线的距离，大于该值的都有可能.
故选：CD
10．AB
【分析】将代入曲线的方程化简，可判断A选项；利用圆的一般方程可判断B选项；求出圆的半径，利用圆的面积公式结合基本不等式可判断C选项；利用圆的半径公式可求出的值，可判断D选项.
【详解】对于A选项，当时，曲线的方程为，此时，曲线是一条直线，A对；
对于B选项，当时，曲线的方程可化为，
因为，此时，曲线是一个圆，B对；
对于C选项，当曲线是圆时，其半径为，
当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，
因此，当曲线是圆时，它的面积的最小值为，C错；
对于D选项，当曲线是面积为的圆时，其半径为，
即，解得或，D错.
故选：AB.
11．ABC
【分析】先明确两圆位置关系，从而根据两圆位置关系明确公切线的情况，再根据公切线特征情况分情况直接计算求解即可.
【详解】由题知，两圆半径，
所以，
故圆、外切，则两圆有三条公切线，如图，的中点为两圆外切切点，
当直线过的中点，且与垂直时，
因为，所以直线的方程为，即；
当直线与平行，且到的距离为时，设直线的方程为，
所以，解得或，
所以直线的方程为或．
故选：ABC．
12．/
【分析】求出两条直线的方向向量，利用向量夹角公式可得答案.
【详解】；的方向向量为，
；的方向向量为，
则，
因为，所以.
故答案为：.
13．
【分析】根据点斜式求入射光线所在直线方程，然后利用对称性可得所求.
【详解】由题知，入射光线所在直线方程为，即，
因为入射光线所在直线和反射光线所在直线关于x轴对称，
所以反射光线所在的直线方程为.
故答案为：
14．①②③④
【分析】根据圆的一般方程化为标准方程得出圆心和半径判断①②，再根据直线过圆心得出③，再结合换元应用二次函数值域判断④即可.
【详解】对于①②，将圆的方程化为标准方程可得，所以圆心为，半径为2，故①②正确；
对于③，由已知可得，直线经过圆心，所以，整理可得，故③正确；
对于④，由③知，所以，所以的取值范围是，故④正确．
故答案为：①②③④
15．答案见解析
【分析】将两直线方程联立方程组，根据方程系数的关系分析讨论即可.
【详解】由题意，列方程组，
因为，
①当时，、相交；
②当时，
（ⅰ）当时，、重合；
（ⅱ）当时，．
16．(1)
(2)或
【分析】（1）根据直线的两点式求解直线方程即可；
（2）首先求出点到直线的距离及，再根据，得到，最后解方程组即可求出点的坐标.
【详解】（1）因为、，
所以边所在直线的方程为，整理得；
（2）点到直线的距离，
又，因为，
所以有，即，
又点的坐标满足，
因此有或，
解得或，
所以点的坐标为或．
17．(1)证明见解析
(2)6
【分析】（1）直线l的方程可化为，由即可求出直线l过定点，从而证得直线l一定经过第三象限．
（2）由（1）可知，直线l经过定点，则当时，点P离直线l最远，利用两点间距离公式求出此时|PQ|的值，再根据两垂直直线的斜率关系求出k的值，得到直线l的方程，再求出点A，B的坐标，从而求出△PAB的面积．
【详解】（1）直线l方程，可化为，
令，解得，
则直线l经过定点，
故直线l一定经过第三象限．
（2）由（1）可知，直线l经过定点，则当时，点P离直线l最远，且，
此时，所以直线l的斜率为，
即，则l：，
则，，，
故的面积为．
18．(1)；
(2).
【分析】（1）求出点的坐标，进而求出直线的斜率，再结合垂直关系求出直线的方程.
（2）由圆的性质可得线段的中垂线过原点，再借助圆的定义求出轨迹方程即得.
【详解】（1）设点，由，得，直线的斜率，而，
所以直线的方程为，即.
（2）由于线段是圆的弦，则线段的中垂线必过圆心，
又线段的中垂线是矩形的对称轴，因此该对称轴垂直平分线段，即，
显然不重合，当重合时，点重合，则点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除点外），
所以点的轨迹方程是.
19．(1)
(2)
【分析】（1）借助中线的性质与高的性质计算可得、两点坐标，即可得直线方程；
（2）借助切线的性质与面积公式计算可得时，四边形面积最小，结合两圆公共弦的求法可得直线的方程.
【详解】（1）因为边上的高线所在直线的方程为，
且直线的斜率为，则，故直线的方程为，即，
联立直线和直线的方程可得，解得，即点，
设点，则线段的中点为，
由题意可得，解得，
即点，则，即；
（2）因为，
，
，
则，
故圆的半径为，
所以，圆的方程为，
由与圆相切，故,
又，故取最小值，四边形面积最小，
则当为点到直线的距离时，
即时，四边形面积最小，
设，有，
解得，故，由与圆相切，故、、、四点共圆，
切该圆以为直径，圆心为，即，半径为，
即该圆方程为，即，
又圆的方程为，即，
两圆方程作差得，
即直线为.
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第二章直线和圆的方程同步练习卷-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．已知直线与直线相互垂直，则的值为（ ）
A． B．1 C．3 D．
2．如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ）
A．； B．；
C．； D．；
4．已知直线l：，则下列说法不正确的是（ ）
A．直线l恒过点
B．若直线l与y轴的夹角为30°，则或
C．直线l的斜率可以等于0
D．若直线l在两坐标轴上的截距相等，则或
5．过原点的直线l的倾斜角为θ，则直线l关于直线对称的直线的倾斜角不可能为（ ）
A．θ B． C． D．
6．已知直线：，则点到直线距离的最大值为（ ）
A． B． C．5 D．10
7．已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（ ）
A． B．
C． D．
8．设圆：与圆：，点，分别是，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点P到坐标原点O的距离可能为（ ）
A． B． C． D．
10．已知曲线，下列结论正确的是（ ）
A．当时，曲线是一条直线
B．当时，曲线是一个圆
C．当曲线是圆时，它的面积的最小值为
D．当曲线是面积为的圆时，
11．已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．已知两条直线的方程分别是；，；，则两条直线的夹角 ．
13．一条光线沿经过点且斜率为的直线射到x轴上后反射，则反射光线所在的直线方程为 ．
14．已知圆关于直线对称，则下列结论正确的是 ．（填序号）
①圆的圆心是；②圆的半径是2；③；④ab的取值范围是．
四、解答题
15．m、n为已知实数，直线的方程为，直线的方程为．讨论直线与的位置关系．
16．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点.
(1)求边所在直线的方程;
(2)若的面积等于7，且点的坐标满足，求点的坐标.
17．已知直线l：．
(1)证明：直线一定经过第三象限；
(2)设直线与轴，轴分别交于A，B点，当点离直线最远时，求的面积．
18．已知点，圆上两动点满足，且四边形是矩形．
(1)当点在第一象限且横坐标为3时，求边所在直线的方程；
(2)求点的轨迹方程．
19．已知中，点，边上中线所在直线的方程为，边上的高线所在直线的方程为．
(1)求边所在直线方程；
(2)以为圆心作一个圆，使得三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，并记该圆为圆，过直线上一点作圆的切线，切点为，当四边形面积最小时，求直线的方程.
参考答案：
1．A
【分析】利用直线与直线垂直的条件求解即可.
【详解】
故选:A.
2．AD
【分析】利用斜率与倾斜角的定义，结合图象判断即可得.
【详解】由图可得，，故A、D正确.
故选：AD.
3．A
【分析】求出直线所过的定点，再确定最大值条件即可求解.
【详解】将直线变形得，
由，解得，因此直线过定点，
当时，点到直线的距离最大，
最大值为，又直线的斜率，
所以直线的方程为，即.
故选：A
4．C
【分析】将方程化为判断直线过定点，判断A的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B的正误；讨论和时直线的斜率和截距情况，判断CD的正误.
【详解】直线的方程可化为，
所以直线过定点，故A正确；
因为直线与轴的夹角为，
所以直线的倾斜角为或，
而直线的斜率为，所以或，
所以或，故B正确；
当时，直线，斜率不存在，
当时，直线的斜率为，
不可能等于，故C错误；
当时，直线在轴上的截距不存在，
当时，令，得，
令，得，令，
得，故D选项正确.
故选：C.
5．C
【分析】利用直线与直线对称，得到倾斜角之间的关系，然后对选项进行逐个分析判断即可.
【详解】设直线的倾斜角为，则，
因为直线和直线关于直线对称，
所以直线和直线也关于直线对称 ，
所以或，
对于A，当时，，所以A正确，
对于B，当时，，所以B正确，
对于C，若，则不成立，且也不成立，所以C错误，
对于D，当时，，所以D正确.
故选：C
6．B
【分析】根据直线方程，可得直线过定点，即可求出结果.
【详解】直线：，即，
由，得到，所以直线过定点，
当直线垂直于直线时，距离最大，此时最大值为，
故选：B.
7．C
【分析】直接将点的坐标代入检验即可逐一判断各个选项.
【详解】对于A，，的坐标都不满足圆的方程，
即圆不可能过四个点中的三个点，故A不符合题意；
对于B，，的坐标都不满足圆的方程，
即圆不可能过四个点中的三个点，故B不符合题意；
对于C，，，的坐标都满足圆的方程，
的坐标不满足圆的方程，
即圆过四个点中的三个点，故C符合题意；
对于D，，的坐标都不满足圆的方程，
即圆不可能过四个点中的三个点，故D不符合题意.
故选：C.
8．C
【分析】分析发现两圆心和的连线恰好垂直于直线，从而得出当与和共线时最小，从而得解.
【详解】
因为圆：的标准方程为；
圆：的标准方程为：
所以和的圆心坐标分别为、，半径，，
所以直线的斜率，而直线的斜率为1
所以直线与直线垂直，如图，
所以当与和共线时最小，此时，
又此时，，
所以最小值为.
故选：C
9．CD
【分析】设出动点、的中点坐标，然后求出中点的轨迹方程，再求出原点到该直线的距离可得答案.
【详解】令、分别在直线：与：上，
设AB的中点M的坐标为，则有：
，两式相加得：，
所以，则原点到该直线的距离，大于该值的都有可能.
故选：CD
10．AB
【分析】将代入曲线的方程化简，可判断A选项；利用圆的一般方程可判断B选项；求出圆的半径，利用圆的面积公式结合基本不等式可判断C选项；利用圆的半径公式可求出的值，可判断D选项.
【详解】对于A选项，当时，曲线的方程为，此时，曲线是一条直线，A对；
对于B选项，当时，曲线的方程可化为，
因为，此时，曲线是一个圆，B对；
对于C选项，当曲线是圆时，其半径为，
当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，
因此，当曲线是圆时，它的面积的最小值为，C错；
对于D选项，当曲线是面积为的圆时，其半径为，
即，解得或，D错.
故选：AB.
11．ABC
【分析】先明确两圆位置关系，从而根据两圆位置关系明确公切线的情况，再根据公切线特征情况分情况直接计算求解即可.
【详解】由题知，两圆半径，
所以，
故圆、外切，则两圆有三条公切线，如图，的中点为两圆外切切点，
当直线过的中点，且与垂直时，
因为，所以直线的方程为，即；
当直线与平行，且到的距离为时，设直线的方程为，
所以，解得或，
所以直线的方程为或．
故选：ABC．
12．/
【分析】求出两条直线的方向向量，利用向量夹角公式可得答案.
【详解】；的方向向量为，
；的方向向量为，
则，
因为，所以.
故答案为：.
13．
【分析】根据点斜式求入射光线所在直线方程，然后利用对称性可得所求.
【详解】由题知，入射光线所在直线方程为，即，
因为入射光线所在直线和反射光线所在直线关于x轴对称，
所以反射光线所在的直线方程为.
故答案为：
14．①②③④
【分析】根据圆的一般方程化为标准方程得出圆心和半径判断①②，再根据直线过圆心得出③，再结合换元应用二次函数值域判断④即可.
【详解】对于①②，将圆的方程化为标准方程可得，所以圆心为，半径为2，故①②正确；
对于③，由已知可得，直线经过圆心，所以，整理可得，故③正确；
对于④，由③知，所以，所以的取值范围是，故④正确．
故答案为：①②③④
15．答案见解析
【分析】将两直线方程联立方程组，根据方程系数的关系分析讨论即可.
【详解】由题意，列方程组，
因为，
①当时，、相交；
②当时，
（ⅰ）当时，、重合；
（ⅱ）当时，．
16．(1)
(2)或
【分析】（1）根据直线的两点式求解直线方程即可；
（2）首先求出点到直线的距离及，再根据，得到，最后解方程组即可求出点的坐标.
【详解】（1）因为、，
所以边所在直线的方程为，整理得；
（2）点到直线的距离，
又，因为，
所以有，即，
又点的坐标满足，
因此有或，
解得或，
所以点的坐标为或．
17．(1)证明见解析
(2)6
【分析】（1）直线l的方程可化为，由即可求出直线l过定点，从而证得直线l一定经过第三象限．
（2）由（1）可知，直线l经过定点，则当时，点P离直线l最远，利用两点间距离公式求出此时|PQ|的值，再根据两垂直直线的斜率关系求出k的值，得到直线l的方程，再求出点A，B的坐标，从而求出△PAB的面积．
【详解】（1）直线l方程，可化为，
令，解得，
则直线l经过定点，
故直线l一定经过第三象限．
（2）由（1）可知，直线l经过定点，则当时，点P离直线l最远，且，
此时，所以直线l的斜率为，
即，则l：，
则，，，
故的面积为．
18．(1)；
(2).
【分析】（1）求出点的坐标，进而求出直线的斜率，再结合垂直关系求出直线的方程.
（2）由圆的性质可得线段的中垂线过原点，再借助圆的定义求出轨迹方程即得.
【详解】（1）设点，由，得，直线的斜率，而，
所以直线的方程为，即.
（2）由于线段是圆的弦，则线段的中垂线必过圆心，
又线段的中垂线是矩形的对称轴，因此该对称轴垂直平分线段，即，
显然不重合，当重合时，点重合，则点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除点外），
所以点的轨迹方程是.
19．(1)
(2)
【分析】（1）借助中线的性质与高的性质计算可得、两点坐标，即可得直线方程；
（2）借助切线的性质与面积公式计算可得时，四边形面积最小，结合两圆公共弦的求法可得直线的方程.
【详解】（1）因为边上的高线所在直线的方程为，
且直线的斜率为，则，故直线的方程为，即，
联立直线和直线的方程可得，解得，即点，
设点，则线段的中点为，
由题意可得，解得，
即点，则，即；
（2）因为，
，
，
则，
故圆的半径为，
所以，圆的方程为，
由与圆相切，故,
又，故取最小值，四边形面积最小，
则当为点到直线的距离时，
即时，四边形面积最小，
设，有，
解得，故，由与圆相切，故、、、四点共圆，
切该圆以为直径，圆心为，即，半径为，
即该圆方程为，即，
又圆的方程为，即，
两圆方程作差得，
即直线为.
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