2.5直线与圆、圆与圆的位置关系同步练习卷（含解析）-高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册

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2.5直线与圆、圆与圆的位置关系同步练习卷-高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册
一、单选题
1．当圆截直线所得的弦长最短时，实数（ ）
A． B． C． D．1
2．已知圆，直线与圆恰有一个公共点，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
3．圆：与圆：的公切线有且仅有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
4．已知圆与圆相交，则相交的公共弦长为（ ）
A． B． C．5 D．2
5．若直线与曲线相交，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．若点P在直线上，点Q在圆上，则线段PQ长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，的半径等于2，弦平行于x轴，将劣弧沿弦对称，恰好经过原点O，此时直线与这两段弧有4个交点，则m的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆，直线过点，把圆分成面积为的两部分，则的最大值所在区间为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．过点作圆的切线，所得切线方程为（ ）
A． B． C． D．
10．已知圆，直线与，下列结论正确的是（ ）
A．直线，不可能平行
B．直线与圆相切
C．直线与圆截得弦长为
D．
11．以下四个命题正确的是（ ）
A．若点在圆外，则实数的取值范围为
B．圆上有且仅有3个点到直线：的距离等于
C．圆：和圆：外离
D．设为实数，若直线与曲线恰有一个公共点，则
三、填空题
12．圆与圆外切，则实数 .
13．已知圆关于直线（a，b为大于0的数）对称，则的最小值为 ，此时直线方程为 ．
14．已知圆：，直线上点，过点作圆的两条切线，（其中，为切点），则四边形面积的最小值为 .
四、解答题
15．已知直线l过点，圆C：（C为圆心）．
(1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程．
(2)若直线l与圆C交于M，N两点，P为线段MN的中点，直线l与直线的交点为Q，判断是否为定值？若是，求定值；若不是，请说明理由．
16．已知平面上有两点，和直线.
(1)求过点的圆的切线的方程；
(2)动点在直线上运动，求的最小值.
17．已知过点且斜率为k的直线l与圆C：相交于A，B两点.
(1)求k的取值范围；
(2)若为坐标原点，求
18．已知圆：，.
(1)过点作圆的切线，求直线的方程
(2)过点作直线与圆相交，所得弦长不小于，求直线的斜率的取值范围.
19．已知圆：和点，为圆外一点，直线与圆相切于点，.
(1)求点的轨迹方程；
(2)记（1）中的点的轨迹为，是否存在斜率为的直线，使以被曲线截得得弦为直径得圆过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
参考答案：
1．B
【分析】先求出直线必过的定点，分析该定点在圆内，结合弦长最短建立方程求解即可.
【详解】将直线的方程变形为，由，可得，
所以，直线经过定点，
圆的标准方程为，圆心为，
因为，即点在圆内，
故当时，圆心到直线的距离取最大值，此时，直线截圆所得弦长最短，
，直线的斜率为，所以，，解得．
故选：B．
2．B
【分析】法一，直线与圆相切转化为圆心到直线的距离与半径相等，求参数即可；法二，直线过圆上定点，由相切性质得垂直关系，从而得斜率.
【详解】直线与圆恰有一个公共点，
直线与圆相切，
法一，圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，解得.
法二，由直线过定点，
设直线，定点为，
由在圆上，直线与圆相切，
故点即为切点，故直线，即斜率.
故选：B.
3．B
【分析】将两圆方程化为标准方程，通过两圆的圆心距及半径关系，判断两圆的位置关系即可求解．
【详解】解：圆，则圆心，半径，
圆，则圆心，半径，
得两圆的圆心距为：，
则，
得两圆相交，得两圆的公切线有且仅有2条．
故选：B
4．D
【分析】求出两圆的公共弦所在的直线方程，再利用圆的弦长公式计算即得.
【详解】圆的圆心为，半径，
圆圆心，半径，
而，则两圆相交，
于是得两圆的公共弦所在的直线方程为，圆心到此直线距离，
所以公共弦长为.
故选：D
5．C
【分析】利用直线和圆的位置关系求解，得到相切情况的取值，从而得到取值范围.
【详解】曲线是圆的上半部分，当直线与曲线相切时，由2，得或（舍去）．结合图象可知，又，
所以．
故选：C.
6．B
【分析】求出圆的圆心和半径，判断直线与圆的位置关系，则线段PQ长度的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可.
【详解】圆的圆心为，半径，
因为圆心到直线的距离为，
所以线段PQ长度的最小值为.
故选：B
7．C
【分析】由题意，分别求出直线过点以及与劣弧相切时的值，再结合图形，即可得解．
【详解】解：因为圆的劣弧关于弦对称的图形恰好经过坐标原点，
所以，，
如图所示，当直线过时，
将代入中，
故，
解得，
由对称性可知，圆弧对应的圆的圆心在轴上，设为，
则，即，
解得，且劣弧对应的圆的半径为2，
故劣弧对应的圆方程为，
当直线与劣弧相切时，由，
解得舍），
结合图形可知，当时，直线与两段弧有4个交点，可排除B、D，
由，可排除A，
由，故的取值可能是．
故选：C．
8．C
【分析】根据题意画出图形，找出最小，即时，然后计算即可.
【详解】如图所示，圆的面积为：.
,要使最大，则最小.
由圆的性质知道，当时，最小.
，则，则.
与圆的交点为.
此时..
故选：C.
9．AB
【分析】根据切线斜率是否存在分类讨论，利用圆心到切线距离等于半径可求结果．
【详解】
由圆心为，半径为1，过点斜率存在时，设切线为，
则，可得，所以，即；
斜率不存在时，，显然与圆相切，
综上，切线方程为：或．
故选：AB．
10．ACD
【分析】根据结合，利用点到直线的距离公式求解，利用计算，利用即可判断．
【详解】A．由得直线，不可能平行，故A正确；
B．圆的圆心为，半径为2，所以圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离，故B错误；
C．直线到圆心的距离为，
所以直线与圆截得弦长为，故C正确；
D．∵，故，故D正确．
故选：ACD．
11．AB
【分析】对于A，利用点到圆心的距离大于半径列不等式求解判断，对于B，通过计算圆心到直线的距离与半径比较可得结论，对于C，求两圆的圆心和半径，再求出圆心距，与两圆的半径和比较即可，对于D，通过作出图形，结合图形求解判断.
【详解】对于A，圆的标准方程为，因为点在圆外，
所以点到圆心的距离，解得或，所以A正确；
对于B，圆心到直线的距离，而圆的半径，
所以有且仅有3个点到直线的距离等于，所以B正确；
对于C，圆的圆心坐标和半径为，，圆的圆心坐标和半径为，，
因为圆心之间的距离，所以两圆相交，所以C错误；
对于D，曲线，即表示一个半径为1的半圆，如图所示，
当直线经过点时，得，
当直线经过点时，得，此时直线也恰好过点，
当直线与半圆相切时，，得（舍去），或，
由图可知当，或时，直线与曲线恰有一个公共点，所以D错误.
故选：AB
12．±4
【分析】根据圆心距与半径之和的关系即可求解.
【详解】两圆的圆心为，，半径为1和4，
因为两圆外切，则，解得.
故答案为：±4
13．
【分析】空1：由题意得直线过圆心，从而得到，利用基本不等式“1”的妙用求解最小值；空2：由空1结果代入回直线方程即可.
【详解】圆，整理得，则其圆心为，
由题意得：直线过圆心，
所以，又，，
所以．（当且仅当，时，取“＝”）．
此时直线方程为，即.
故答案为：；.
14．
【分析】根据勾股定理可得，即可根据面积公式即可求解.
【详解】
四边形的面积,
当与直线垂直时，此时取最小值，故最小值为，
又半径，所以，则四边形面积的最小值为.
故答案为：
15．(1)或．
(2)为定值2．
【分析】（1）考虑直线斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，求出直线方程；
（2）设直线l的方程为，与直线联立求出点坐标，根据垂径定理得到直线CP与直线l垂直，表达出直线CP的方程，与直线l联立得到点坐标，计算出.
【详解】（1）若直线l的斜率不存在，即直l的方程为，符合题意；
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即．
因为直线l与圆C相切，所以，解得．
故直线l的方程为或．
（2）因为直线l与圆C相交，所以直线l的斜率存在，
设直线l的方程为．
联立，解得，即．
因为P为线段MN的中点，所以直线CP与直线l垂直，
故直线CP方程为，
联立，解得，即．
则
．
故为定值2．
16．(1)或
(2)
【分析】（1）思路一：分切线斜率是否存在，结合相切的条件即可求解；思路二：设出切线方程，然后使用距离公式求解；
（2）思路一：找点的对称点，将题目转换为将军饮马模型即可求解；思路二：先用不等式的性质证明，然后说明当，时等号成立，即可得到的最小值是.
【详解】（1）方法一：过点且斜率不存在的直线为，
圆的圆心到直线的距离，
即直线与圆相切，故满足题意；
当过点且斜率存在的直线为，
若直线与圆相切，
则，解得，此时满足题意的直线为，
综上所述，所求切线的方程为或.
方法二：所求切线经过点，设其方程为.
则该直线到点的距离为，即.
所以，此即，得.
故或，从而所求切线的方程为或.
（2）方法一：如图所示：
设点关于直线的对称点，显然，
则，解得，所以的坐标为，
设与直线交于点，
则，等号成立当且仅当重合，
所以的最小值为.
方法二：设，则，从而.
故
.
从而
.
当，时，有，.
所以的最小值是.
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用直线和曲线的位置关系根据一元二次方程的判别式求出的取值范围．
（2）利用一元二次方程根和系数关系的应用和向量的数量积的应用求出，即可由圆的弦长公式求解．
【详解】（1）设过点且斜率为的直线的方程为：，
则：，
整理得：，
直线与圆交于，两点，
，
所以：，
解得：．
（2）直线与圆交于,，,两点，
，
由于：，
则：，所以：，
故
解得：或．
由于，所以，
直线的方程为：，
圆心到直线的距离，
圆的半径为
所以．
18．(1)
(2)
【分析】（1）运用直线与圆相切的条件构造方程求解即可；
（2）运用垂径定理和勾股定理，结合点到直线距离求解即可.
【详解】（1）点在圆上，设直线方程为，
因为相切，所以，解得，
所以直线的方程为.
（2）由（1）的，设直线与圆交于，两点，
所以，即，即，即，
即，即，两边平方得到，
即，解得或者.
则求直线的斜率的取值范围为或者.
19．(1)
(2)存在，或
【分析】（1）根据圆的切线性质，结合两点间距离公式进行求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数关系，结合直径所对圆周角为直角的性质、互相垂直两直线的斜率关系进行求解即可.
【详解】（1）设点坐标为，直线与圆相切于点，
则，所以，
即，
化简得.
（2）设直线方程为，点，.
联立方程，得，
所以.
因为以为直径得圆过点，则，
即，
化简得，
代入根与系数关系中，得，
解得或，
故直线的方程为或.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用直径所对圆周角为直角、一元二次方程根与系数关系进行求解.
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