2.3直线的交点坐标与距离公式同步练习卷（含解析）-高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 2.3直线的交点坐标与距离公式同步练习卷（含解析）-高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-08-09 20:12:07 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
2.3直线的交点坐标与距离公式同步练习卷-高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册
一、单选题
1．已知直线：，则点到直线距离的最大值为（ ）
A． B． C．5 D．10
2．两平行直线之间的距离为（ ）
A． B．3 C． D．
3．过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知与关于直线对称，则下列说法中错误的是（ ）
A．直线过,的中点 B．直线的斜率为
C．直线的斜率为3 D．直线的一个方向向量的坐标是
5．一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（ ）
A．24 B．0 C．20 D．
8．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B．5 C． D．
二、多选题
9．已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（ ）
A． B． C．12 D．14
10．已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当，平行时，两直线的距离为 D．直线过定点，直线过定点
11．点、，过、的直线为，下列说法正确的有（ ）
A．若，则直线的方程为
B．若，则直线的倾斜角为
C．任意实数，都有
D．存在两个不同的实数，能使直线在、轴上的截距互为相反数
三、填空题
12．已知直线l经过直线和的交点，且直线l在坐标轴上的截距相等，则直线l的方程是 .
13．若点到直线l：的距离为d，则d的取值范围是 ．
14．已知，，，第三个顶点C在曲线上移动，则的重心的轨迹方程是 ．
四、解答题
15．已知直线，直线与直线垂直，且直线，的交点的横坐标与纵坐标相等．
(1)求直线的方程；
(2)若直线l被直线，所截得的线段恰好被点平分，求直线l的方程．
16．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点.
(1)求边所在直线的方程;
(2)若的面积等于7，且点的坐标满足，求点的坐标.
17．已知直线l：．
(1)证明：直线一定经过第三象限；
(2)设直线与轴，轴分别交于A，B点，当点离直线最远时，求的面积．
18．已知直线l过直线和的交点P.
(1)若直线l过点，求直线l的斜率；
(2)若直线l与直线垂直，求直线l的一般式方程；
(3)若原点到直线l的距离为1，求直线l的方程.
19．射线所在直线的方向向量为，点在内，于点.
(1)若，，求的值；
(2)若，的面积是，求的值.
参考答案：
1．B
【分析】根据直线方程，可得直线过定点，即可求出结果.
【详解】直线：，即，
由，得到，所以直线过定点，
当直线垂直于直线时，距离最大，此时最大值为，
故选：B.
2．A
【分析】利用平行直线间的距离公式即可得解.
【详解】直线可化为，
直线可化为，
所以两平行直线之间的距离为.
故选：A.
3．A
【分析】先求出两直线的交点坐标，再由与直线垂直可设所求直线为，将交点坐标代入可求得结果.
【详解】由，得，
设与直线垂直的直线的方程为，则
，得，
所以所求直线方程为.
故选：A
4．B
【分析】根据与关于直线对称，逐项判断可得答案.
【详解】对于A，因为与关于直线对称，所以直线过，的中点，故A正确；
对于B，直线的斜率为，故B错误；
对于C，因为直线的斜率为，所以直线的斜率为3 ，故C正确；
对于D，因为直线的斜率为3，所以直线的一个方向向量的坐标是，故D正确.
故选：B.
5．A
【分析】由题意利用反射定律，可得反射光线所在直线经过点，点，再用两点式求得反射光线QP′所在的直线方程．
【详解】由题意可得反射光线所在直线经过点，
设点关于x轴的对称点为，
则根据反射定律，点在反射光线所在直线上，
故反射光线所在直线的方程为 ，即，
故选：A．
6．C
【分析】求出两直线的交点坐标，再利用二倍角的正切公式求出直线的斜率即可求解.
【详解】由，解得，即所求方程的直线过点，
令直线的倾斜角为，则，显然是锐角，
因此所求方程的直线斜率，
所以所求的直线方程为，即.
故选：C
7．C
【分析】利用垂直可求，根据垂足坐标可求，进而可得答案.
【详解】因为直线与互相垂直，
所以，解得；
垂足在直线上，所以，
垂足在直线上，所以，
所以.
故选：C
8．A
【分析】先求出点关于直线的对称点为，则线段的长度即为最短总路程，再利用两点间的距离公式进行求解．
【详解】设点关于直线的对称点为，
则，解得，
，又点
故“将军饮马”的最短总路程为．
故选：A．
9．BD
【分析】将直线化为，代入两平行线间距离公式分析求解.
【详解】将直线化为，
则，之间的距离，
即，解得或．
故选：BD．
10．BC
【分析】
选项A，当时和重合；选项B：当时，，，故；选项C，当，平行时，，根据平行线间的距离公式可得；选项D，： 定点坐标为可判断错误.
【详解】选项A：当时，：即，：即，
故和重合，A错误；
选项B：当时，：即，：即，
直线的斜率为，直线的斜率为，
因，故，B正确；
选项C：当，平行时，可得，得或，
当时，由A选项知和重合，
当时，：，：，
故两平行的距离为，故C正确；
选项D：直线：即，故当时，，
故直线的定点坐标为，
：即，故当时，得，
故直线过定点，故D错误；
故选：BC
11．ABD
【分析】利用点斜式可判断A选项；利用斜率公式以及倾斜角与斜率的关系可判断B选项；利用平面内两点间的距离公式可判断C选项；利用截距式方程可判断D选项.
【详解】对于A选项，当时，点，又因为点，则，
此时，直线的方程为，即，A对；
对于B选项，若，则，又因为点，，
设直线的倾斜角为，则，且，则，
即直线的倾斜角为，B对；
对于C选项，，
当且仅当时，等号成立，C错；
对于D选项，若直线过原点，则直线的斜率为，
此时，直线的方程为，即，
因为点在直线上，则，解得，
若直线不经过原点，设直线的方程为，
因为点在直线上，则，此时，直线的方程为，
因为点在直线上，则，解得.
综上所述，存在两个不同的实数，能使直线在、轴上的截距互为相反数，D对.
故选：ABD.
12．或
【分析】求出给定的两条直线交点坐标，再按直线是否过原点分类求解即可.
【详解】由，解得，即直线过点，
当直线过原点时，直线的方程为，
当直线不过原点时，设直线的方程为，则，解得，方程为，
所以直线的方程为或.
故答案为：或
13．
【分析】先确定直线恒过定点，再计算，从而可得结论．
【详解】解：把直线的方程化为，
由方程组
解得
所以直线恒过定点，
其中直线不包括直线．
又，
且当与直线垂直时，点到直线的距离为，
所以点到直线的距离满足，
故答案为：．
14．
【分析】设，由题可得重心坐标为：，后由横纵坐标间关系可得答案.
【详解】设，因，则.
因，，则重心坐标为.
设，则，则.
故重心轨迹方程为：.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）先求出直线，的交点坐标，再设直线为，将交点坐标代入求出，从而可求出直线的方程；
（2）设直线l交直线，分别于点，则有，，，从而可求出两点的坐标，则可求出直线的斜率，进而可求出直线的方程.
【详解】（1）由题意设直线，的交点坐标为，则，得，
所以直线，的交点坐标为，
由题意设直线为，则，得，
所以直线的方程为；
（2）设直线l交直线，分别于点，
因为为的中点，所以，
因为，，
所以，即，
由，解得，
所以，所以，
所以，
所以直线的方程为，即.
16．(1)
(2)或
【分析】（1）根据直线的两点式求解直线方程即可；
（2）首先求出点到直线的距离及，再根据，得到，最后解方程组即可求出点的坐标.
【详解】（1）因为、，
所以边所在直线的方程为，整理得；
（2）点到直线的距离，
又，因为，
所以有，即，
又点的坐标满足，
因此有或，
解得或，
所以点的坐标为或．
17．(1)证明见解析
(2)6
【分析】（1）直线l的方程可化为，由即可求出直线l过定点，从而证得直线l一定经过第三象限．
（2）由（1）可知，直线l经过定点，则当时，点P离直线l最远，利用两点间距离公式求出此时|PQ|的值，再根据两垂直直线的斜率关系求出k的值，得到直线l的方程，再求出点A，B的坐标，从而求出△PAB的面积．
【详解】（1）直线l方程，可化为，
令，解得，
则直线l经过定点，
故直线l一定经过第三象限．
（2）由（1）可知，直线l经过定点，则当时，点P离直线l最远，且，
此时，所以直线l的斜率为，
即，则l：，
则，，，
故的面积为．
18．(1)；
(2)；
(3)或.
【分析】（1）解方程组求出交点坐标，再利用斜率坐标公式计算即得.
（2）由垂直关系求出直线l的斜率，再由点斜式求出方程化简即得.
（3）按直线斜率存在与否分类，借助点到直线距离公式计算求解.
【详解】（1）直线l过直线和的交点P，
由，解得，即点，又直线l过点，
所以直线l的斜率.
（2）直线l与直线垂直，则直线l的斜率，方程为，
所以直线l的一般式方程为：.
（3）原点到直线l的距离为1，若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为：；
若直线l的斜率存在，设直线l的方程：，
由原点到直线l的距离为1，得，解得，直线l的方程：，
所以直线l的方程为：或.
19．(1)
(2)或
【分析】
（1）求出以及直线，可求出点到直线的距离，再利用勾股定理可求得的值；
（2）求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求出的值，可得出关于的方程，结合可求得的值.
【详解】（1）解：因为，则，
因为，则直线的一个方向向量为，所以，直线的方程为，
所以，点到直线的距离为，
所以，.
（2）解：因为直线的一个方向向量为，
所以，直线的方程为，即.
点到直线的距离为，，
，可得或，
即或，因为，解得或.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
2.3直线的交点坐标与距离公式同步练习卷-高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册
一、单选题
1．已知直线：，则点到直线距离的最大值为（ ）
A． B． C．5 D．10
2．两平行直线之间的距离为（ ）
A． B．3 C． D．
3．过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知与关于直线对称，则下列说法中错误的是（ ）
A．直线过,的中点 B．直线的斜率为
C．直线的斜率为3 D．直线的一个方向向量的坐标是
5．一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（ ）
A．24 B．0 C．20 D．
8．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B．5 C． D．
二、多选题
9．已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（ ）
A． B． C．12 D．14
10．已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当，平行时，两直线的距离为 D．直线过定点，直线过定点
11．点、，过、的直线为，下列说法正确的有（ ）
A．若，则直线的方程为
B．若，则直线的倾斜角为
C．任意实数，都有
D．存在两个不同的实数，能使直线在、轴上的截距互为相反数
三、填空题
12．已知直线l经过直线和的交点，且直线l在坐标轴上的截距相等，则直线l的方程是 .
13．若点到直线l：的距离为d，则d的取值范围是 ．
14．已知，，，第三个顶点C在曲线上移动，则的重心的轨迹方程是 ．
四、解答题
15．已知直线，直线与直线垂直，且直线，的交点的横坐标与纵坐标相等．
(1)求直线的方程；
(2)若直线l被直线，所截得的线段恰好被点平分，求直线l的方程．
16．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点.
(1)求边所在直线的方程;
(2)若的面积等于7，且点的坐标满足，求点的坐标.
17．已知直线l：．
(1)证明：直线一定经过第三象限；
(2)设直线与轴，轴分别交于A，B点，当点离直线最远时，求的面积．
18．已知直线l过直线和的交点P.
(1)若直线l过点，求直线l的斜率；
(2)若直线l与直线垂直，求直线l的一般式方程；
(3)若原点到直线l的距离为1，求直线l的方程.
19．射线所在直线的方向向量为，点在内，于点.
(1)若，，求的值；
(2)若，的面积是，求的值.
参考答案：
1．B
【分析】根据直线方程，可得直线过定点，即可求出结果.
【详解】直线：，即，
由，得到，所以直线过定点，
当直线垂直于直线时，距离最大，此时最大值为，
故选：B.
2．A
【分析】利用平行直线间的距离公式即可得解.
【详解】直线可化为，
直线可化为，
所以两平行直线之间的距离为.
故选：A.
3．A
【分析】先求出两直线的交点坐标，再由与直线垂直可设所求直线为，将交点坐标代入可求得结果.
【详解】由，得，
设与直线垂直的直线的方程为，则
，得，
所以所求直线方程为.
故选：A
4．B
【分析】根据与关于直线对称，逐项判断可得答案.
【详解】对于A，因为与关于直线对称，所以直线过，的中点，故A正确；
对于B，直线的斜率为，故B错误；
对于C，因为直线的斜率为，所以直线的斜率为3 ，故C正确；
对于D，因为直线的斜率为3，所以直线的一个方向向量的坐标是，故D正确.
故选：B.
5．A
【分析】由题意利用反射定律，可得反射光线所在直线经过点，点，再用两点式求得反射光线QP′所在的直线方程．
【详解】由题意可得反射光线所在直线经过点，
设点关于x轴的对称点为，
则根据反射定律，点在反射光线所在直线上，
故反射光线所在直线的方程为 ，即，
故选：A．
6．C
【分析】求出两直线的交点坐标，再利用二倍角的正切公式求出直线的斜率即可求解.
【详解】由，解得，即所求方程的直线过点，
令直线的倾斜角为，则，显然是锐角，
因此所求方程的直线斜率，
所以所求的直线方程为，即.
故选：C
7．C
【分析】利用垂直可求，根据垂足坐标可求，进而可得答案.
【详解】因为直线与互相垂直，
所以，解得；
垂足在直线上，所以，
垂足在直线上，所以，
所以.
故选：C
8．A
【分析】先求出点关于直线的对称点为，则线段的长度即为最短总路程，再利用两点间的距离公式进行求解．
【详解】设点关于直线的对称点为，
则，解得，
，又点
故“将军饮马”的最短总路程为．
故选：A．
9．BD
【分析】将直线化为，代入两平行线间距离公式分析求解.
【详解】将直线化为，
则，之间的距离，
即，解得或．
故选：BD．
10．BC
【分析】
选项A，当时和重合；选项B：当时，，，故；选项C，当，平行时，，根据平行线间的距离公式可得；选项D，： 定点坐标为可判断错误.
【详解】选项A：当时，：即，：即，
故和重合，A错误；
选项B：当时，：即，：即，
直线的斜率为，直线的斜率为，
因，故，B正确；
选项C：当，平行时，可得，得或，
当时，由A选项知和重合，
当时，：，：，
故两平行的距离为，故C正确；
选项D：直线：即，故当时，，
故直线的定点坐标为，
：即，故当时，得，
故直线过定点，故D错误；
故选：BC
11．ABD
【分析】利用点斜式可判断A选项；利用斜率公式以及倾斜角与斜率的关系可判断B选项；利用平面内两点间的距离公式可判断C选项；利用截距式方程可判断D选项.
【详解】对于A选项，当时，点，又因为点，则，
此时，直线的方程为，即，A对；
对于B选项，若，则，又因为点，，
设直线的倾斜角为，则，且，则，
即直线的倾斜角为，B对；
对于C选项，，
当且仅当时，等号成立，C错；
对于D选项，若直线过原点，则直线的斜率为，
此时，直线的方程为，即，
因为点在直线上，则，解得，
若直线不经过原点，设直线的方程为，
因为点在直线上，则，此时，直线的方程为，
因为点在直线上，则，解得.
综上所述，存在两个不同的实数，能使直线在、轴上的截距互为相反数，D对.
故选：ABD.
12．或
【分析】求出给定的两条直线交点坐标，再按直线是否过原点分类求解即可.
【详解】由，解得，即直线过点，
当直线过原点时，直线的方程为，
当直线不过原点时，设直线的方程为，则，解得，方程为，
所以直线的方程为或.
故答案为：或
13．
【分析】先确定直线恒过定点，再计算，从而可得结论．
【详解】解：把直线的方程化为，
由方程组
解得
所以直线恒过定点，
其中直线不包括直线．
又，
且当与直线垂直时，点到直线的距离为，
所以点到直线的距离满足，
故答案为：．
14．
【分析】设，由题可得重心坐标为：，后由横纵坐标间关系可得答案.
【详解】设，因，则.
因，，则重心坐标为.
设，则，则.
故重心轨迹方程为：.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）先求出直线，的交点坐标，再设直线为，将交点坐标代入求出，从而可求出直线的方程；
（2）设直线l交直线，分别于点，则有，，，从而可求出两点的坐标，则可求出直线的斜率，进而可求出直线的方程.
【详解】（1）由题意设直线，的交点坐标为，则，得，
所以直线，的交点坐标为，
由题意设直线为，则，得，
所以直线的方程为；
（2）设直线l交直线，分别于点，
因为为的中点，所以，
因为，，
所以，即，
由，解得，
所以，所以，
所以，
所以直线的方程为，即.
16．(1)
(2)或
【分析】（1）根据直线的两点式求解直线方程即可；
（2）首先求出点到直线的距离及，再根据，得到，最后解方程组即可求出点的坐标.
【详解】（1）因为、，
所以边所在直线的方程为，整理得；
（2）点到直线的距离，
又，因为，
所以有，即，
又点的坐标满足，
因此有或，
解得或，
所以点的坐标为或．
17．(1)证明见解析
(2)6
【分析】（1）直线l的方程可化为，由即可求出直线l过定点，从而证得直线l一定经过第三象限．
（2）由（1）可知，直线l经过定点，则当时，点P离直线l最远，利用两点间距离公式求出此时|PQ|的值，再根据两垂直直线的斜率关系求出k的值，得到直线l的方程，再求出点A，B的坐标，从而求出△PAB的面积．
【详解】（1）直线l方程，可化为，
令，解得，
则直线l经过定点，
故直线l一定经过第三象限．
（2）由（1）可知，直线l经过定点，则当时，点P离直线l最远，且，
此时，所以直线l的斜率为，
即，则l：，
则，，，
故的面积为．
18．(1)；
(2)；
(3)或.
【分析】（1）解方程组求出交点坐标，再利用斜率坐标公式计算即得.
（2）由垂直关系求出直线l的斜率，再由点斜式求出方程化简即得.
（3）按直线斜率存在与否分类，借助点到直线距离公式计算求解.
【详解】（1）直线l过直线和的交点P，
由，解得，即点，又直线l过点，
所以直线l的斜率.
（2）直线l与直线垂直，则直线l的斜率，方程为，
所以直线l的一般式方程为：.
（3）原点到直线l的距离为1，若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为：；
若直线l的斜率存在，设直线l的方程：，
由原点到直线l的距离为1，得，解得，直线l的方程：，
所以直线l的方程为：或.
19．(1)
(2)或
【分析】
（1）求出以及直线，可求出点到直线的距离，再利用勾股定理可求得的值；
（2）求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求出的值，可得出关于的方程，结合可求得的值.
【详解】（1）解：因为，则，
因为，则直线的一个方向向量为，所以，直线的方程为，
所以，点到直线的距离为，
所以，.
（2）解：因为直线的一个方向向量为，
所以，直线的方程为，即.
点到直线的距离为，，
，可得或，
即或，因为，解得或.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)