2.2直线的方程同步练习卷（含解析）-高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 2.2直线的方程同步练习卷（含解析）-高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 971.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-08-09 20:13:07 | ||
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文档简介
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2.2直线的方程同步练习卷-高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册
一、单选题
1．经过点，倾斜角为的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图所示，直线与的图象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ）
A．； B．；
C．； D．；
5．直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线， ，，则（ ）
A．或 B． C．或 D．
8．已知直线的倾斜角为，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．过点且在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线可以是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列四个选项中，说法错误的是（ ）
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B．直线与直线互相平行，则
C．过两点的所有直线的方程为
D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为.
11．下列说法正确的是（ ）
A．直线必过定点
B．直线在y轴上的截距为1
C．直线的倾斜角为
D．点，直线与线段相交，则实数m的取值范围是或
三、填空题
12．一条光线沿经过点且斜率为的直线射到x轴上后反射，则反射光线所在的直线方程为 ．
13．已知直线：与直线：互相垂直，实数k的值为 ．
14．已知直线经过点，且倾斜角等于直线的倾斜角的一半，则直线的点斜式方程为 ．
四、解答题
15．已知平面内两点，．
(1)求过点且与直线垂直的直线的方程．
(2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程．
16．已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点.
(1)当时，求直线的方程；
(2)当的面积为时，求直线的方程.
17．已知直线过定点．
(1)求点的坐标；
(2)若直线在轴和轴上的截距相等，求的值．
18．设直线l的方程为．
(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
(2)若，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，求△OMN面积取最值时，直线l的方程．
19．已知直线，且与坐标轴形成的三角形面积为.求：
（1）求证：不论为何实数，直线过定点P；
（2）分别求和时，所对应的直线条数；
（3）针对的不同取值，讨论集合直线经过P，且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素个数.
参考答案：
1．B
【分析】由倾斜角得到直线的斜率，再利用直线的点斜式方程得到直线方程.
【详解】因为直线的倾斜角为，所以斜率，
又因为直线过点，所以直线的点斜式方程为，即.
故选：B.
2．D
【分析】先求得所求直线的斜率，再根据点斜式求得正确答案.
【详解】直线的斜率为
由垂直关系可得垂线的斜率为，
又垂线过点，
垂线方程为
故选：D
3．D
【分析】根据两直线分别经过第几象限，对应的一次项系数和常数项需要满足的条件对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对A，由经过第一，四，三象限，可知，，
由过第一，二，三象限知，，故本选项错误；
对B，由经过第一，二，四象限，可知，，
由过第一，二，三象限知，，故本选项错误；
对C，由经过第一，三，四象限，可知，，
由过第一，三，四象限知，，故本选项错误；
对D，由经过第一，二，四象限，可知，，
由过第一，二，四象限知，，故本选项正确；
故选：D.
4．C
【分析】根据题意，得到直线过定点，若使得到直线的距离最大，则，求得，得到，进而得到直线方程.
【详解】由直线，
可得化为，
联立方程组，解得，即直线过定点，
若要到直线的距离最大，只需，
此时点到直线的最大距离，即为线段的长度，可得，
又由直线的斜率为，
因为，可得，可得，
故此时直线的方程为，即，
经检验，此时，上述直线的方程能够成立.
故选：C.
5．A
【分析】把直线方程化为斜截式方程进行求解即可.
【详解】由，得，
所以直线的斜率是.
故选：A.
6．B
【分析】根据给定的直线方程，求出直线的斜率，进而求出倾斜角.
【详解】直线的斜率，所以该直线的倾斜角为.
故选：B
7．B
【分析】由两直线平行和垂直的条件，列方程求解.
【详解】已知直线，
由，得，且，解得，
由，得，故.
故选：B.
8．A
【分析】首先确定，再根据同角三角函数基本关系式，即可求解.
【详解】由条件可知，，则，
所以，解得：，,
故选：A
9．ACD
【分析】根据各选项直线方程判断是否过点，以及求出其在两坐标轴上的截距.
【详解】对于A：因为，所以过点，
且在两坐标轴上的截距都是，符合题意，故A正确；
对于B：因为，所以过点，
令，解得，即直线在轴上的截距为，不符合题意，故B错误；
对于C：因为，所以过点，
令得，令得，
所以直线在两坐标轴上的截距都是，符合题意，故C正确；
对于D：因为，所以过点，
令得，令得，
所以直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，符合题意，故D正确.
故选：ACD
10．AD
【分析】根据直线的倾斜角与斜率判断A；根据两直线平行求出参数的值，即可判断B；根据两点式方程判断C；分截距都为与都不为两种情况讨论，即可判断D.
【详解】对于A：坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角，
但是与轴平行（重合）的直线的倾斜角为，斜率不存在，故A错误；
对于B：因为直线与直线互相平行，
则，解得或，
当时直线与直线重合，故舍去，
当时直线与直线平行，符合题意，
综上可得，故B正确；
对于C：过两点的所有直线的方程为，故C正确；
对于D：当截距都为时直线方程为，
当截距都不为时，设直线方程为，则，解得，
所以直线方程为，
综上可得满足条件的直线方程为或，故D错误.
故选：AD
11．AC
【分析】根据直线过定点、纵截距、倾斜角、数形结合等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，过定点，A选项正确.
B选项，直线即，纵截距为，B选项错误.
C选项，直线的斜率为，
倾斜角为，C选项正确.
D选项，直线即过定点，
画出图象如下图所示，
其中，
直线的斜率为，所以或，
解得或，所以D选项错误.
故选：AC
12．
【分析】根据点斜式求入射光线所在直线方程，然后利用对称性可得所求.
【详解】由题知，入射光线所在直线方程为，即，
因为入射光线所在直线和反射光线所在直线关于x轴对称，
所以反射光线所在的直线方程为.
故答案为：
13．1或4
【分析】根据两直线互相垂直的公式，即可求解.
【详解】由，可知，，
解得：或.
故答案为：或
14．
【分析】由直线可知该直线的斜率，由斜率计算出倾斜角，可得直线的倾斜角，继而可得直线的斜率，即可得出直线的点斜式方程.
【详解】设直线的倾斜角为，
则斜率，又，故，
设直线的的倾斜角为，则，
直线的斜率，
又直线经过点，
则直线的点斜式方程为：.
故答案为：.
15．(1)
(2)或
【分析】（1）利用斜率公式求出直线的斜率，再根据直线的斜率与直线垂直的直线的斜率乘积为和点斜式求解即可；
（2）求出线段垂直平分线的方程为，故点在直线上，设点为，根据等腰直角三角形两直角边垂直，所在直线斜率存在，斜率之积为建立等式求解即可．
【详解】（1）由题意得，则直线的斜率为，
所以过点且与直线垂直的直线的方程为：，
即．
（2）的中点坐标为，
由（1）可知线段垂线的斜率为，所以线段垂直平分线的方程为，
即．
因为是以为顶点的等腰直角三角形，
所以点在直线上，
故设点为，
由可得：，
解得或，
所以点坐标为或，
则直线的方程为或．
16．(1)；
(2)或
【分析】（1）设直线的截距式为，由题意列出方程组，求出截距即可得解；
（2）利用截距表示出三角形面积，再联立方程求出截距，即可得解.
【详解】（1）设直线的方程为，且
由，得，由直线过点，得，解得，
所以直线的方程为.
（2）设直线的方程为，且直线不经过原点，
由题意知，，，解得或，
所以直线的方程为或.
17．(1)
(2)或2
【分析】（1）利用直线求定点的方法直接列方程求解即可.
（2）首先得出，然后根据截距相等列方程求解即可.
【详解】（1）直线，
则，
定点.
（2）由直线在轴和轴上的截距相等，显然不为0（否则直线在坐标轴上的截距不相等，与题意矛盾），
令，可得，
令，可得，
由直线在轴和轴上的截距相等，有，解得或2，
故或2．
18．(1)或
(2)
【分析】（1）根据题意，求出在两个坐标轴上的截距，求出，表达出来直线方程；（2）由（1）和，利用△OMN面积取最值，求出的值，表达直线方程.
【详解】（1）由，令，令，
由直线方程在两坐标轴上的截距相等，则，解得或，
故直线方程：或
（2）由（1）可知，，
当且仅当，即取等号.
即直线方程：.
19．（1）定点，见解析；（2）时，2条直线，时，4条直线；（3）①时，2条直线； ②时，3条直线； ③时，4条直线.
【分析】（1）直线方程化为，令求得直线所过的定点；
（2）由题意知直线的斜率存在且不为0，设出直线方程，求出直线与轴的交点，计算对应三角形的面积，由此求得直线条数；
（3）由题意得，讨论和时方程对应的实数根，从而求出对应直线的条数，即可得出集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中元素的个数．
【详解】（1）直线可化为，
令，解得，
∴不论为何实数，直线过定点.
（2）由题意知，直线的斜率存在，且，
设直线方程为，则直线与轴的交点为，与轴的交点为；
∴的面积为；
令，得，时，方程化为，
解得，有两个正根，即有两条直线；
时，方程化为，，方程无实数根，即无直线；
综上知，时有两条直线；
令，得，时，方程化为，
解得，有两个正根，即有两条直线；
时，方程化为，解得，有两个负根，即有两条直线；
综上知，时有四条直线；
（3）由题意得，，时，方程化为，
解得，有两个正根，即有两条直线；
时，方程化为，， 时，
，方程无实数根，此时无直线；
时，，方程有一负根，此时有一条直线；
时，，解得，方程有两负根，即有两条直线；
综上知，时有两条直线；时有三条直线，时有4条直线；
所以时，集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有2个；
时，集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有3个；
时，集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有4个．
【点睛】本题考查直线恒过定点、集合元素个数的判断，考查函数与方程思想、分类讨论思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2.2直线的方程同步练习卷-高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册
一、单选题
1．经过点，倾斜角为的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图所示，直线与的图象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ）
A．； B．；
C．； D．；
5．直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线， ，，则（ ）
A．或 B． C．或 D．
8．已知直线的倾斜角为，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．过点且在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线可以是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列四个选项中，说法错误的是（ ）
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B．直线与直线互相平行，则
C．过两点的所有直线的方程为
D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为.
11．下列说法正确的是（ ）
A．直线必过定点
B．直线在y轴上的截距为1
C．直线的倾斜角为
D．点，直线与线段相交，则实数m的取值范围是或
三、填空题
12．一条光线沿经过点且斜率为的直线射到x轴上后反射，则反射光线所在的直线方程为 ．
13．已知直线：与直线：互相垂直，实数k的值为 ．
14．已知直线经过点，且倾斜角等于直线的倾斜角的一半，则直线的点斜式方程为 ．
四、解答题
15．已知平面内两点，．
(1)求过点且与直线垂直的直线的方程．
(2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程．
16．已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点.
(1)当时，求直线的方程；
(2)当的面积为时，求直线的方程.
17．已知直线过定点．
(1)求点的坐标；
(2)若直线在轴和轴上的截距相等，求的值．
18．设直线l的方程为．
(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
(2)若，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，求△OMN面积取最值时，直线l的方程．
19．已知直线，且与坐标轴形成的三角形面积为.求：
（1）求证：不论为何实数，直线过定点P；
（2）分别求和时，所对应的直线条数；
（3）针对的不同取值，讨论集合直线经过P，且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素个数.
参考答案：
1．B
【分析】由倾斜角得到直线的斜率，再利用直线的点斜式方程得到直线方程.
【详解】因为直线的倾斜角为，所以斜率，
又因为直线过点，所以直线的点斜式方程为，即.
故选：B.
2．D
【分析】先求得所求直线的斜率，再根据点斜式求得正确答案.
【详解】直线的斜率为
由垂直关系可得垂线的斜率为，
又垂线过点，
垂线方程为
故选：D
3．D
【分析】根据两直线分别经过第几象限，对应的一次项系数和常数项需要满足的条件对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对A，由经过第一，四，三象限，可知，，
由过第一，二，三象限知，，故本选项错误；
对B，由经过第一，二，四象限，可知，，
由过第一，二，三象限知，，故本选项错误；
对C，由经过第一，三，四象限，可知，，
由过第一，三，四象限知，，故本选项错误；
对D，由经过第一，二，四象限，可知，，
由过第一，二，四象限知，，故本选项正确；
故选：D.
4．C
【分析】根据题意，得到直线过定点，若使得到直线的距离最大，则，求得，得到，进而得到直线方程.
【详解】由直线，
可得化为，
联立方程组，解得，即直线过定点，
若要到直线的距离最大，只需，
此时点到直线的最大距离，即为线段的长度，可得，
又由直线的斜率为，
因为，可得，可得，
故此时直线的方程为，即，
经检验，此时，上述直线的方程能够成立.
故选：C.
5．A
【分析】把直线方程化为斜截式方程进行求解即可.
【详解】由，得，
所以直线的斜率是.
故选：A.
6．B
【分析】根据给定的直线方程，求出直线的斜率，进而求出倾斜角.
【详解】直线的斜率，所以该直线的倾斜角为.
故选：B
7．B
【分析】由两直线平行和垂直的条件，列方程求解.
【详解】已知直线，
由，得，且，解得，
由，得，故.
故选：B.
8．A
【分析】首先确定，再根据同角三角函数基本关系式，即可求解.
【详解】由条件可知，，则，
所以，解得：，,
故选：A
9．ACD
【分析】根据各选项直线方程判断是否过点，以及求出其在两坐标轴上的截距.
【详解】对于A：因为，所以过点，
且在两坐标轴上的截距都是，符合题意，故A正确；
对于B：因为，所以过点，
令，解得，即直线在轴上的截距为，不符合题意，故B错误；
对于C：因为，所以过点，
令得，令得，
所以直线在两坐标轴上的截距都是，符合题意，故C正确；
对于D：因为，所以过点，
令得，令得，
所以直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，符合题意，故D正确.
故选：ACD
10．AD
【分析】根据直线的倾斜角与斜率判断A；根据两直线平行求出参数的值，即可判断B；根据两点式方程判断C；分截距都为与都不为两种情况讨论，即可判断D.
【详解】对于A：坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角，
但是与轴平行（重合）的直线的倾斜角为，斜率不存在，故A错误；
对于B：因为直线与直线互相平行，
则，解得或，
当时直线与直线重合，故舍去，
当时直线与直线平行，符合题意，
综上可得，故B正确；
对于C：过两点的所有直线的方程为，故C正确；
对于D：当截距都为时直线方程为，
当截距都不为时，设直线方程为，则，解得，
所以直线方程为，
综上可得满足条件的直线方程为或，故D错误.
故选：AD
11．AC
【分析】根据直线过定点、纵截距、倾斜角、数形结合等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，过定点，A选项正确.
B选项，直线即，纵截距为，B选项错误.
C选项，直线的斜率为，
倾斜角为，C选项正确.
D选项，直线即过定点，
画出图象如下图所示，
其中，
直线的斜率为，所以或，
解得或，所以D选项错误.
故选：AC
12．
【分析】根据点斜式求入射光线所在直线方程，然后利用对称性可得所求.
【详解】由题知，入射光线所在直线方程为，即，
因为入射光线所在直线和反射光线所在直线关于x轴对称，
所以反射光线所在的直线方程为.
故答案为：
13．1或4
【分析】根据两直线互相垂直的公式，即可求解.
【详解】由，可知，，
解得：或.
故答案为：或
14．
【分析】由直线可知该直线的斜率，由斜率计算出倾斜角，可得直线的倾斜角，继而可得直线的斜率，即可得出直线的点斜式方程.
【详解】设直线的倾斜角为，
则斜率，又，故，
设直线的的倾斜角为，则，
直线的斜率，
又直线经过点，
则直线的点斜式方程为：.
故答案为：.
15．(1)
(2)或
【分析】（1）利用斜率公式求出直线的斜率，再根据直线的斜率与直线垂直的直线的斜率乘积为和点斜式求解即可；
（2）求出线段垂直平分线的方程为，故点在直线上，设点为，根据等腰直角三角形两直角边垂直，所在直线斜率存在，斜率之积为建立等式求解即可．
【详解】（1）由题意得，则直线的斜率为，
所以过点且与直线垂直的直线的方程为：，
即．
（2）的中点坐标为，
由（1）可知线段垂线的斜率为，所以线段垂直平分线的方程为，
即．
因为是以为顶点的等腰直角三角形，
所以点在直线上，
故设点为，
由可得：，
解得或，
所以点坐标为或，
则直线的方程为或．
16．(1)；
(2)或
【分析】（1）设直线的截距式为，由题意列出方程组，求出截距即可得解；
（2）利用截距表示出三角形面积，再联立方程求出截距，即可得解.
【详解】（1）设直线的方程为，且
由，得，由直线过点，得，解得，
所以直线的方程为.
（2）设直线的方程为，且直线不经过原点，
由题意知，，，解得或，
所以直线的方程为或.
17．(1)
(2)或2
【分析】（1）利用直线求定点的方法直接列方程求解即可.
（2）首先得出，然后根据截距相等列方程求解即可.
【详解】（1）直线，
则，
定点.
（2）由直线在轴和轴上的截距相等，显然不为0（否则直线在坐标轴上的截距不相等，与题意矛盾），
令，可得，
令，可得，
由直线在轴和轴上的截距相等，有，解得或2，
故或2．
18．(1)或
(2)
【分析】（1）根据题意，求出在两个坐标轴上的截距，求出，表达出来直线方程；（2）由（1）和，利用△OMN面积取最值，求出的值，表达直线方程.
【详解】（1）由，令，令，
由直线方程在两坐标轴上的截距相等，则，解得或，
故直线方程：或
（2）由（1）可知，，
当且仅当，即取等号.
即直线方程：.
19．（1）定点，见解析；（2）时，2条直线，时，4条直线；（3）①时，2条直线； ②时，3条直线； ③时，4条直线.
【分析】（1）直线方程化为，令求得直线所过的定点；
（2）由题意知直线的斜率存在且不为0，设出直线方程，求出直线与轴的交点，计算对应三角形的面积，由此求得直线条数；
（3）由题意得，讨论和时方程对应的实数根，从而求出对应直线的条数，即可得出集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中元素的个数．
【详解】（1）直线可化为，
令，解得，
∴不论为何实数，直线过定点.
（2）由题意知，直线的斜率存在，且，
设直线方程为，则直线与轴的交点为，与轴的交点为；
∴的面积为；
令，得，时，方程化为，
解得，有两个正根，即有两条直线；
时，方程化为，，方程无实数根，即无直线；
综上知，时有两条直线；
令，得，时，方程化为，
解得，有两个正根，即有两条直线；
时，方程化为，解得，有两个负根，即有两条直线；
综上知，时有四条直线；
（3）由题意得，，时，方程化为，
解得，有两个正根，即有两条直线；
时，方程化为，， 时，
，方程无实数根，此时无直线；
时，，方程有一负根，此时有一条直线；
时，，解得，方程有两负根，即有两条直线；
综上知，时有两条直线；时有三条直线，时有4条直线；
所以时，集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有2个；
时，集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有3个；
时，集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有4个．
【点睛】本题考查直线恒过定点、集合元素个数的判断，考查函数与方程思想、分类讨论思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力．
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