九年级数学上点拨与训练二十一章 一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程（3）（含解析）

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九年级数学上点拨与训练
二十一章 一元二次方程
21.3实际问题与一元二次方程（3）
专题探究：一元二次方程应用题中十二种常见应用
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二、老师告诉你
列一元二次方程解决应用题的一般步骤：
（1）审：读懂题目，弄清题意，明确已知量、未知量，以及它们之间的关系．
（2）设：设出未知数．
（3）列：找出相等关系，列出方程．（可以利用画图、列表等理顺数量关系）
（4）解：解方程，求出未知数的值．
（5）验：检验方程的解是否符合实际意义．
（6）答：写出答案．
应用一：增长率问题
【新知导学1】
例1-1．某商店以每件40元的价格进了一批商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出188件商品.
（1）求该商品平均每月的价格增长率；
（2）因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售.经过市场调查发现：售价每下降一元，每个月多卖出一件，设实际售价为x元，则x为多少元时销售此商品每月的利润可达到4000元.
【对应导练1】
1．受各方面因素的影响，最近两年来某地平均房价由10000元/平方米，下降到8100元/平方米，如果在这两年里，年平均下降率相同.
（1）求年平均下降率；
（2）按照这个年平均下降率，预计下一年房价每平方米多少元？
.
2．某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品.当商品售价为40元时，一月份销售256件.二、三月该商品十分畅销.销售量持续走高.在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件.设二、三这两个月的月平均增长率不变.
（1）求二、三这两个月的月平均增长率；
（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？
3．某水杯制造厂原来每件产品的成本是100元.根据利润需要，该厂通过改进生产技术提高了生产效率，连续两次降低成本，两次降低后的成本是81元，那么这两次平均每次降低成本的百分率是多少？
应用二、销售问题
【新知导学2】
例2-1 .某药店新进一批桶装消毒液,每桶进价35元,原计划以每桶55元的价格销售,为更好地助力疫情防控,现决定降价销售.已知这种消毒液销售量y(桶)与每桶降价x(元)()之间满足一次函数关系,其图象如图所示:
（1）求y与x之间的函数关系式;
（2）在这次助力疫情防控活动中,该药店仅获利1760元.这种消毒液每桶实际售价多少元
【对应导练2】
1．某商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售增加盈利,该商店采取了降价措施,在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件,当每件商品降价多少元时,该商品每天的销售利润为1200元
2．某商场销售一批衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,商场采取了降价措施.假设在一定范围内,衬衫的单价每降1元,商场平均每天可多售出2件.如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元,那么衬衫的单价降了多少元？
3．2022年11月29日，神舟十五号发射升空，中国首次实现空间站“三舱三船”最大构型，以及6名航天员同时在轨驻留.某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型.已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元.为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个.
（1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天盈利多少元？
（2）在每个模型盈利不少于25元的前提下，要使“中国空间站”模型每天盈利1200元，每个模型应降价多少元？
应用三、传播问题
【新知导学3】
例3-1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感.
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人.
（2）如果不及时控制，三轮传染后，患流感的有多少人？
.
【对应导练3】
1．北京2022年冬奥会冰壶混合双人循环赛在冰立方举行.参加比赛的每两支队伍之间都进行一场比赛，共要比赛45场，共有多少支队伍参加比赛？
2．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支.已知主干、支干和小分支的总数是43，求这种植物每个支干长出的小分支个数.
3．某种传染病的传播速度极快，通常情况下，每天一个人会传染给若干个人.现有一个人患病，两天后共有225个人患病.
（1）求每天一个人传染给了几个人；
（2）两天后人们有所察觉，平均一个人一天以少传染5个人的速度递减，求再经过两天后，共有几个人患病.
应用四、几何问题
【新知导学4】
例4-1．第二十二届中国上海国际艺术节即将举办.主办方工作人员准备利用一边靠墙（墙长25米）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为320平方米的长方形等候区.如图，为了方便观众进出，在两边空出两个宽均为1米的出入口，共用去隔栏绳50米（靠墙一面不用隔栏绳）.请问工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别为多少米？
【对应导练4】
1．如图1，有一张长40cm，宽20cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒.若纸盒的底面积是150cm2，求纸盒的高.
2．如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动.
（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是？
3．如图所示，已知在中，，，，点Q从点A开始沿AB边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以的速度移动.
（1）如果Q、P分别从A、B两点同时出发，那么几秒后，的面积等于
（2）在（1）中，的面积能否等于10 试说明理由.
应用五、函数问题
【新知导学5】
例5-1．某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠.现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.
(1)求y与x之间的函数关系式.
(2)若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
【对应导练5】
1．某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y(千克)与每千克降价x(元)()之间满足一次函数关系，其图像如图所示.
(1)求y与x之间的函数关系式.
(2)当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利多少元？
(3)若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
2.俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
应用六、数字问题
【新知导学6】
例6-1．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小3，如果把这个两位数的个位数字与十位数字交换，那么所得的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是____________.
【对应导练6】
1．若两个连续奇数的积为63，则这两个数的和为( )
A.16 B.17 C. D.
2．2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）.
3．约定:上方相邻两数之和等于这两数箭头共同指向的数.示例:如图(1),即4+3=7,根据图(2),完成问题.
(1)用含x的式子表示:,______.
(2)当时,求x的值.
应用七、古代问题
【新知导学7】
例7-1．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作,其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何”.意思是：一块矩形田地的面积为864平方步,只知道它的长与宽共60步,问它的长比宽多多少步？根据题意得,长比宽多______步.
【对应导练7】
1．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位.在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”设绳索的长为x尺，下列方程正确的是( ).
A. B.
C. D.
2．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈,末折抵地,去根六尺.问折高者几何？意思是：一根竹子,原高一丈(一丈尺),一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部6尺远,问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺,则可列方程为( )
A. B.
C. D.
3．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺.问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
4．读诗词解题（通过列方程，算出周瑜去世时的年龄）：
大江东去浪淘尽，千古风流数人物.
而立之年（30岁的代称）督东吴，早逝英年两位数.
十位恰小个位三，个位平方与寿符（相等）.
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
.
应用八、情境问题
【新知导学8】
例8-1 .在一块长，宽的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案.
(1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳的方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗 若不符合，请用方程的方法说明理由；
(2)你还有其他的设计方案吗 请在图中画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明.
【对应导练8】
1．春秋旅行社为吸引市民组团去西湖风景区旅游，推出了如下图所示的收费标准.某单位组织员工去西湖风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，则该单位这次共有多少名员工去西湖风景区旅游？
2．在一块长16m、宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半.下面分别是小明和小颖的设计方案.
小明说：我的设计方案如图（1），其中花园四周小路的宽度相等.通过解方程，我得到小路的宽度为2m.
小颖说：我的设计方案如图（2），其中矩形荒地四个角处的扇形相同.
（1）你认为小明的结果对吗？请计算说明；
（2）请你帮助小颖求出图中的x（结果保留根号和π）.
应用九、行程问题
【新知导学9】
例9-1．甲、乙两个机器人分别从相距70米的A，B两个位置同时出发，相向运动.甲第1分钟走了2米，且以后每分钟比前1分钟多走1米，乙每分钟走5米.
（1）甲、乙开始运动多少分钟后第一次相遇？
（2）如果甲、乙到达B或A后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1米，乙继续按照每分钟5米的速度行走，那么它们开始运动多少分钟后第二次相遇？
【对应导练9】
1..《九章算术》中有这样一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三.乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会.问甲、乙各行几何？”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.问甲、乙各走了多少步？请问乙走的步数是( )
A.36 B.26 C.24.5 D.10.5
应用十、工程问题
【新知导学10】
例10-1．为了美化干线公路, 相关部门拟派一个工程队对 39000 米长的公路进行路面 “白改黑”工程改造. 该工程 队计划使用一大一小两种型号的设备交替施工, 小型设备平均每小时可铺设路面 30 米, 大型设备平均每 小时可铺设路面 60 米.
(1)由于小型设备工作效率较低,该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多, 当这个 工程完工时,小型设备的使用时间为多少小时
(2)通过勘察, 现又新增了部分支线公路需要美化, 结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程 39000 米多了9 000米. 于是在实际施工中, 小型设备在工作效率不变的情况下, 使用时间比原计划增加了 小时, 同时, 由于新来的工人操作大型设备不够熟练, 大型设备平均每小时铺设的路面比原计划 减少了m 米, 使用时间增加了 小时, 求m 的值.
【对应导练10】
1.甲、乙两工程队共同承建某高速路隧道工程, 隧道总长 2000 米, 甲、乙两队分别从隧道两端向中间施 工, 计划每天各施工 6 米. 因地质情况不同,两支队伍每合格完成 1 米隧道, 施工所需成本不同, 甲队 每合格完成 1 米的施工成本为 6 万元; 乙队每合格完成 1 米的施工成本为 8 万元.
(1)若工程结算时, 乙队的总施工成本不低于甲队的总施工成本的, 则甲队最多施工多少米
(2)实际施工开始后, 因地质情况比预估的更复杂, 甲、乙两队的每日完成量和施工成本都发生变化. 甲队每合格完成 1 米的施工成本增加m 万元, 每天比计划多挖 米; 乙队在施工成本不变的情 况下, 每天比计划少挖 米. 最终每天的实际总成本比计划多 万元, 求m 的值.
应用十一、新定义问题
新知导学11】
例11-1．定义新运算：规定 例如 若 则x的值为 ．
【对应导练11】
1．小颖设计一个神奇的魔术盒，当放任意实数对进入其中，会得到一个新的实数，若将实数放入其中，得到一个新数，则 ．
2．新定义：如果一个矩形，它的周长和面积分别是另外一个矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是另一个矩形的“减半”矩形．
(1)验证：矩形 是矩形的“减半”矩形，其中矩形 的长为12、宽为2， 矩形长为4、宽为3．
(2)探索：一矩形的长为2、宽为1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由．
3．对x，y定义一种新运算T，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．
（1）已知T（1，﹣1）=﹣2，T（4，2）=1．
①求a、b的值；
②若关于m的方程T（1﹣m，﹣m2）=﹣2有实数解，求实数m的值；
（2）若T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则a、b应满足怎样的关系式？
应用十二、其他问题
【新知导学12】
例12-1．如图，客轮沿折线A─B─C从A出发经B再到C匀速航行，货轮从AC的中点D出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮，两船同时起航，并同时到达折线A─B─C上的某点E处，已知AB=BC=200海里，∠ABC=90°，客轮速度是货轮速度的2倍．
（1）选择：两船相遇之处E点 _____
A、在线段AB上；
B、在线段BC上；
C、可以在线段AB上，也可以在线段BC上．
（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？
【对应导练12】
1．节能减排是国家“十四五”规划中的一个重要目标，规划提出要在2030年前实现“碳达峰”，到2060年实现“碳中和”发展．为响应国家号召，某省政府计划对一批工业园区的碳排放工厂进行改建和重建，该计划拟定2021年，工厂改建和重建数量共100座，且改建座数不低于重建座数的4倍．
（1）按拟定计划，2021年至少要改建多少座工厂？
（2）经财政实际预算，2021年改建与重建工厂的平均费用之比为1：2，且改建工厂按照拟定计划中最少的数量计算，将花费资金156亿元．为加快实现“碳达峰”的目标，该省政府计划加大投入，计划指出2022年用于工厂改建和重建的费用将在2021年实际预算的基础上增加10a%，另外2022年改建与重建工厂的平均费用将比2021年分别增加a%和5a%，改建与重建工厂的座数将比2021年分别增加5a%和8a%，求a的值．
九年级数学上点拨与训练
二十一章 一元二次方程
21.3实际问题与一元二次方程（3）
专题探究：一元二次方程应用题中十二种常见应用
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二、老师告诉你
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第12讲 一元二次方程应用题中十种常见应用（解析版）
老师告诉你
列一元二次方程解决应用题的一般步骤：
（1）审：读懂题目，弄清题意，明确已知量、未知量，以及它们之间的关系．
（2）设：设出未知数．
（3）列：找出相等关系，列出方程．（可以利用画图、列表等理顺数量关系）
（4）解：解方程，求出未知数的值．
（5）验：检验方程的解是否符合实际意义．
（6）答：写出答案．
应用一：增长率问题
【新知导学1】
例1-1．某商店以每件40元的价格进了一批商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出188件商品.
（1）求该商品平均每月的价格增长率；
（2）因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售.经过市场调查发现：售价每下降一元，每个月多卖出一件，设实际售价为x元，则x为多少元时销售此商品每月的利润可达到4000元.
答案：（1）20%
（2）60元
解析：（1）设该商品平均每月的价格增长率为m，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）.
答：该商品平均每月的价格增长率为20%.
（2）依题意，得：，
整理，得：，
解得：，（不合题意，舍去）.
答：x为60元时商品每天的利润可达到4000元.
【对应导练1】
1．受各方面因素的影响，最近两年来某地平均房价由10000元/平方米，下降到8100元/平方米，如果在这两年里，年平均下降率相同.
（1）求年平均下降率；
（2）按照这个年平均下降率，预计下一年房价每平方米多少元？
答案：（1）10%
（2）7290元
解析：（1）设年平均下降率为x，根据题意，得.
解得，（不合题意，舍去），
答：年平均下降率10%.
（2）（元），
答：按照这个平均下降率，预计下一年房价每平方米7290元.
2．某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品.当商品售价为40元时，一月份销售256件.二、三月该商品十分畅销.销售量持续走高.在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件.设二、三这两个月的月平均增长率不变.
（1）求二、三这两个月的月平均增长率；
（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？
答案：（1）二、三这两个月的月平均增长率为
（2）当商品降价5元时，商品获利4250元
解析：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：
，
解得：，（不合题意舍去）.
答：二、三这两个月的月平均增长率为；
（2）设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得：
，
解得：，（不合题意舍去）.
答：当商品降价5元时，商品获利4250元.
3．某水杯制造厂原来每件产品的成本是100元.根据利润需要，该厂通过改进生产技术提高了生产效率，连续两次降低成本，两次降低后的成本是81元，那么这两次平均每次降低成本的百分率是多少？
答案：10%
解析：设这两次平均每次降低成本的百分率是x，
由题意，得，
解得，（舍去）.
答：这两次平均每次降低成本的百分率是10%.
应用二、销售问题
【新知导学2】
例2-1 .某药店新进一批桶装消毒液,每桶进价35元,原计划以每桶55元的价格销售,为更好地助力疫情防控,现决定降价销售.已知这种消毒液销售量y(桶)与每桶降价x(元)()之间满足一次函数关系,其图象如图所示:
（1）求y与x之间的函数关系式;
（2）在这次助力疫情防控活动中,该药店仅获利1760元.这种消毒液每桶实际售价多少元
答案：（1）
（2）43
解析:（1）设销售量y与每桶降价x之间的函数关系式为:,
将点,代入一次函数表达式得:,
解得:,
故y与x之间的函数关系式:;
（2）由题意得:,
整理,得:.
解得:,(舍去).
(元).
答:这种消毒液每桶实际售价为43元.
【对应导练2】
1．某商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售增加盈利,该商店采取了降价措施,在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件,当每件商品降价多少元时,该商品每天的销售利润为1200元
答案：每件商品降价10元时,该商品每天的销售利润为1200元
解析:设每件商品降价x元,根据题意,得
解这个方程得,
由,得的值
答:每件商品降价10元时,该商品每天的销售利润为1200元.
2．某商场销售一批衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,商场采取了降价措施.假设在一定范围内,衬衫的单价每降1元,商场平均每天可多售出2件.如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元,那么衬衫的单价降了多少元？
答案：衬衫的单价降了15元
解析：设衬衫的单价降了x元.根据题意,得
,
解得：,
答：衬衫的单价降了15元.
3．2022年11月29日，神舟十五号发射升空，中国首次实现空间站“三舱三船”最大构型，以及6名航天员同时在轨驻留.某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型.已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元.为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个.
（1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天盈利多少元？
（2）在每个模型盈利不少于25元的前提下，要使“中国空间站”模型每天盈利1200元，每个模型应降价多少元？
答案：（1）平均每天可以售出28个模型，此时每天盈利1008元
（2）每个模型应降价10元
解析：（1）（个）.
（元）.
答：若每个模型降价4元，平均每天可以售出28个模型，此时每天盈利1008元.
（2）设每个模型应降价x元，则每个模型可盈利元，平均每天可售出个，
根据题意，得，
整理，得，
解得，，
每个模型盈利不少于25元，
.
答：每个模型应降价10元.
应用三、传播问题
【新知导学3】
例3-1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感.
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人.
（2）如果不及时控制，三轮传染后，患流感的有多少人？
答案：（1）11个人
（2）1728人
解析：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
根据题意，得
解得，（不合题意，舍去）.
答：每轮传染中平均一个人传染了11个人.
（2）（人）.
答：三轮传染后，患流感的有1728人.
【对应导练3】
1．北京2022年冬奥会冰壶混合双人循环赛在冰立方举行.参加比赛的每两支队伍之间都进行一场比赛，共要比赛45场，共有多少支队伍参加比赛？
答案：共有10支队伍参加比赛
解析：设共有x支队伍参加比赛.依题意，得，整理，得，解得，（不合题意，舍去）.
答：共有10支队伍参加比赛.
2．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支.已知主干、支干和小分支的总数是43，求这种植物每个支干长出的小分支个数.
答案：这种植物每个支干长出的小分支个数是6
解析：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x.
依题意，得，
整理，得，
解得（不合题意，舍去），.
答：这种植物每个支干长出的小分支个数是6.
3．某种传染病的传播速度极快，通常情况下，每天一个人会传染给若干个人.现有一个人患病，两天后共有225个人患病.
（1）求每天一个人传染给了几个人；
（2）两天后人们有所察觉，平均一个人一天以少传染5个人的速度递减，求再经过两天后，共有几个人患病.
答案：（1）每天一个人传染给了14个人
（2）再经过两天后，共有11250个人患病
解析：（1）设每天一个人传染给了x个人.
由题意，得，
整理，得，
解得（舍去），.
答：每天一个人传染给了14个人.
（2）由题意，得.
答：再经过两天后，共有11250个人患病.
应用四、几何问题
【新知导学4】
例4-1．第二十二届中国上海国际艺术节即将举办.主办方工作人员准备利用一边靠墙（墙长25米）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为320平方米的长方形等候区.如图，为了方便观众进出，在两边空出两个宽均为1米的出入口，共用去隔栏绳50米（靠墙一面不用隔栏绳）.请问工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别为多少米？
答案：工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别为16米、20米
解析：方法1：设工作人员围成的这个长方形垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米.
依题意，得，
整理，得，
解得，.
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意.
答：工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别为16米、20米.
方法2：设工作人员围成的这个长方形平行于墙的一边长为y米，则垂直于墙的一边长为米.
依题意，得，
整理，得，
解得，.
，不符合题意，舍去，，
答：工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别为16米、20米.
【对应导练4】
1．如图1，有一张长40cm，宽20cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒.若纸盒的底面积是150cm2，求纸盒的高.
答案：.
解析：设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是，
依题意，得：，
化简，得：，
解得：，.
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去.
答：若纸盒的底面积是，纸盒的高为.
2．如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动.
（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是？
答案：（1）P、Q两点从出发开始到5秒时，四边形的面积为
（2）P、Q两点从出发开始到秒时，点P和点Q的距离第一次是
解析：（1）当运动时间为t秒时，，，
由题意得，，
解得，
答：P、Q两点从出发开始到5秒时，四边形的面积为；
（2）过点Q作于点M，如图，
，，
，即，
解得，（舍），
答：P、Q两点从出发开始到秒时，点P和点Q的距离第一次是.
3．如图所示，已知在中，，，，点Q从点A开始沿AB边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以的速度移动.
（1）如果Q、P分别从A、B两点同时出发，那么几秒后，的面积等于
（2）在（1）中，的面积能否等于10 试说明理由.
答案：（1）2秒或4秒后，的面积等于
（2）不能，理由见解析
解析：（1）设t秒后，的面积等于，根据题意得：
，
解得：或4.
答：2秒或4秒后，的面积等于.
（2）由题意得，
，
整理得：，
，
此方程无解，
所以的面积不能等于.
应用五、函数问题
【新知导学5】
例5-1．某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠.现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.
(1)求y与x之间的函数关系式.
(2)若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
答案：(1)，
(2)12元
解析：（1）设y与x之间的函数关系式为，，
由题意可知，将和代入中，
得，解得：，
y与x之间的函数关系式为，.
故答案为：，.
（2）根据题意得，
整理得：，
解得：，，
又要让顾客获得更大实惠，
.
答：这种干果每千克应降价12元.
【对应导练5】
1．某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y(千克)与每千克降价x(元)()之间满足一次函数关系，其图像如图所示.
(1)求y与x之间的函数关系式.
(2)当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利多少元？
(3)若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
答案：(1)
(2)2240元
(3)12元
解析：(1)设y与x之间的函数关系式为，
将，代入，得，
解得，
y与x之间的函数关系式为.
(2)(元).
答：当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利2240元.
(3)依题意，得，
整理，得，
解得，.
要让顾客获得更大实惠，.
答：这种菠萝蜜每千克应降价12元.
2.俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
【解析】（1）售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，则售单价每上涨（x-44）元，每天销售量减少10（x-44）本，所以y=300-10（x-44），然后利用销售单价不低于44元，且获利不高于30%确定x的范围；
（2）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到（x-40）（-10x+740）=2400，然后解方程后利用x的范围确定销售单价；
（3）利用利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到w=（x-40）（-10x+740），再把它变形为顶点式，然后利用二次函数的性质得到x=52时w最大，从而计算出x=52时对应的w的值即可．
解：（1）y=300-10（x-44），
即y=-10x+740（44≤x≤52）；
（2）根据题意得（x-40）（-10x+740）=2400，
解得x1=50，x2=64（舍去），
答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；
（3）w=（x-40）（-10x+740）
=-10x2+1140x-29600
=-10（x-57）2+2890，
当x＜57时，w随x的增大而增大，
而44≤x≤52，
所以当x=52时，w有最大值，最大值为-10（52-57）2+2890=2640，
答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w最大，最大利润是2640元．
应用六、数字问题
【新知导学6】
例6-1．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小3，如果把这个两位数的个位数字与十位数字交换，那么所得的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是____________.
答案：63
解析：设原来两位数的个位上的数字为x，则十位上的数字为.
依题意，得，
整理，得，
解得，（舍去），
原来的两位数是63.
【对应导练6】
1．若两个连续奇数的积为63，则这两个数的和为( )
A.16 B.17 C. D.
答案：C
解析：设两个奇数其中较小的为x，则另一个为；因为它们的积为63，所以，解得，；所以当时，另一个数为9，其和为16，当时，另一个为-7，其和为-16
故答案为C.
2．2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）.
答案：5
解析：设这个最小数为x，
根据题意，得，
解得，（不符合题意，舍去）.
答：这个最小数为5.
3．约定:上方相邻两数之和等于这两数箭头共同指向的数.示例:如图(1),即4+3=7,根据图(2),完成问题.
(1)用含x的式子表示:,______.
(2)当时,求x的值.
答案：(1)
(2)0或
解析：(1)依题意得.故答案为.
(2),.又,整理得,解得,.故x的值为0或.
应用七、古代问题
【新知导学7】
例7-1．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作,其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何”.意思是：一块矩形田地的面积为864平方步,只知道它的长与宽共60步,问它的长比宽多多少步？根据题意得,长比宽多______步.
答案：12
解析：设长为x步,宽为步,
,
解得,,(舍去),
∴当时,,
∴长比宽多：(步),
故答案为12.
【对应导练7】
1．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位.在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”设绳索的长为x尺，下列方程正确的是( ).
A. B.
C. D.
答案：B
解析：设绳索有x尺长，
则，即，
，
故选：B.
2．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈,末折抵地,去根六尺.问折高者几何？意思是：一根竹子,原高一丈(一丈尺),一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部6尺远,问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺,则可列方程为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：如图,根据题意,,,
设折断处离地面的高度是x尺,即,
根据勾股定理,,即.
故选：D.
3．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺.问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：如图，
根据题意，，，
设折断处离地面的高度是x尺，即，
根据勾股定理，，即.
故选：D.
4．读诗词解题（通过列方程，算出周瑜去世时的年龄）：
大江东去浪淘尽，千古风流数人物.
而立之年（30岁的代称）督东吴，早逝英年两位数.
十位恰小个位三，个位平方与寿符（相等）.
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
答案：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为.
由题意得.
解得，.
当时，周瑜的年龄为25岁，不到而立之年，不合题意，舍去；
当时，周瑜的年龄为36岁，符合题意.
答：周瑜去世时的年龄为36岁.
应用八、情境问题
【新知导学8】
例8-1 .在一块长，宽的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案.
(1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳的方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗 若不符合，请用方程的方法说明理由；
(2)你还有其他的设计方案吗 请在图中画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明.
答案：(1)小芳的方案不符合条件，小路的宽度应为
(2)见解析
解析：(1)不符合.理由如下：设小路宽度均为.
根据题意得，解得，.
不符合题意，应舍去，，
小芳的方案不符合条件，小路的宽度应为.
(2)答案不唯一.例如：
如图(1)，取上边的中点作为三角形的顶点，下边的两个端点作为三角形的另外两个顶点，作三角形，此三角形的面积等于矩形面积的一半.
如图(2)，矩形荒地的四个角均为长，宽的小长方形，除去这四个小长方形得到的剩余部分的面积为矩形面积的一半.
【对应导练8】
1．春秋旅行社为吸引市民组团去西湖风景区旅游，推出了如下图所示的收费标准.某单位组织员工去西湖风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，则该单位这次共有多少名员工去西湖风景区旅游？
答案：（元），
25000元元，
人数一定超过25名.
（名），（元），
27000元元，
人数一定少于40名.
设该单位这次共有x名员工去西湖风景区旅游.
根据题意，得，
解得，（不合题意，舍去），
.
答：该单位这次共有30名员工去西湖风景区旅游.
2．在一块长16m、宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半.下面分别是小明和小颖的设计方案.
小明说：我的设计方案如图（1），其中花园四周小路的宽度相等.通过解方程，我得到小路的宽度为2m.
小颖说：我的设计方案如图（2），其中矩形荒地四个角处的扇形相同.
（1）你认为小明的结果对吗？请计算说明；
（2）请你帮助小颖求出图中的x（结果保留根号和π）.
答案：（1）小明的结果正确.设小路的宽度为x m，
则，
整理得，
解得或（舍去）.
则，故小明的结果正确.
（2）矩形荒地四个角处的四个扇形可合并成一个圆，设这个圆的半径为r m，
则，解得或（舍去）.
因为图中x为圆的半径，故图中的x为m.
应用九、行程问题
【新知导学9】
例9-1．甲、乙两个机器人分别从相距70米的A，B两个位置同时出发，相向运动.甲第1分钟走了2米，且以后每分钟比前1分钟多走1米，乙每分钟走5米.
（1）甲、乙开始运动多少分钟后第一次相遇？
（2）如果甲、乙到达B或A后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1米，乙继续按照每分钟5米的速度行走，那么它们开始运动多少分钟后第二次相遇？
答案：（1）甲、乙开始运动7分钟后第一次相遇
（2）它们开始运动15分钟后第二次相遇
解析：（1）设甲、乙开始运动m分钟后第一次相遇.
依题意，得，
整理，得，
解得，（不合题意，舍去）.
答：甲、乙开始运动7分钟后第一次相遇.
（2）设它们开始运动n分钟后第二次相遇.
依题意，得，
整理，得，
解得，（不合题意，舍去）.
答：它们开始运动15分钟后第二次相遇.
【对应导练9】
1.《九章算术》中有这样一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三.乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会.问甲、乙各行几何？”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.问甲、乙各走了多少步？请问乙走的步数是( )
A.36 B.26 C.24.5 D.10.5
答案：D
解析：设甲、乙两人从出发到相遇所用的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步.
依题意，得，
整理，得，
解得，（不合题意，舍去），
.
故乙走的步数是10.5.
应用十、工程问题
【新知导学10】
例10-1．为了美化干线公路, 相关部门拟派一个工程队对 39000 米长的公路进行路面 “白改黑”工程改造. 该工程 队计划使用一大一小两种型号的设备交替施工, 小型设备平均每小时可铺设路面 30 米, 大型设备平均每 小时可铺设路面 60 米.
(1)由于小型设备工作效率较低,该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多, 当这个 工程完工时,小型设备的使用时间为多少小时
(2)通过勘察, 现又新增了部分支线公路需要美化, 结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程 39000 米多了9 000米. 于是在实际施工中, 小型设备在工作效率不变的情况下, 使用时间比原计划增加了 小时, 同时, 由于新来的工人操作大型设备不够熟练, 大型设备平均每小时铺设的路面比原计划 减少了m 米, 使用时间增加了 小时, 求m 的值.
答案： (1) 300小时
(5) 5
解析： (1)设小型设备的使用时间为 x小时,则 大型设备的使用时间为 (小时),
根据题意得, ,
解得.
答: 小型设备的使用时间为 300 小时.
(2) 由 (1) 得, 大型设备的原计划使用时间为 (小时),
根据题意得, 小型设备的实际使用时间为 小时,大型设备平均每小时铺设路面 米, 使用 时间为 (小时),
整理得 ，
解得 ， (不合题意, 舍去).
即m 的值为 5 .
【对应导练10】
1.甲、乙两工程队共同承建某高速路隧道工程, 隧道总长 2000 米, 甲、乙两队分别从隧道两端向中间施 工, 计划每天各施工 6 米. 因地质情况不同,两支队伍每合格完成 1 米隧道, 施工所需成本不同, 甲队 每合格完成 1 米的施工成本为 6 万元; 乙队每合格完成 1 米的施工成本为 8 万元.
(1)若工程结算时, 乙队的总施工成本不低于甲队的总施工成本的, 则甲队最多施工多少米
(2)实际施工开始后, 因地质情况比预估的更复杂, 甲、乙两队的每日完成量和施工成本都发生变化. 甲队每合格完成 1 米的施工成本增加m 万元, 每天比计划多挖 米; 乙队在施工成本不变的情 况下, 每天比计划少挖 米. 最终每天的实际总成本比计划多 万元, 求m 的值.
答案： (1) 1000 米
(2) 4
解析： (1)设甲队施工x 米, 则乙队施工 米
由题意得, , 解得,
甲队最多施工 1000 米.
(2)由题意得,
整理得, ,
解得, 即m 的值为 4 .
应用十一、新定义问题
新知导学11】
例11-1．定义新运算：规定 例如 若 则x的值为 ．
【答案】或
【详解】本题考查一元二次方程的解法，借助于定义的新运算把所给的条件转化成一元二次方程，解方程即可求解．
【分析】解：由题意可得：
整理，得：
解得：
故答案为：或 ．
【对应导练11】
1．小颖设计一个神奇的魔术盒，当放任意实数对进入其中，会得到一个新的实数，若将实数放入其中，得到一个新数，则 ．
【答案】或
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据题意列出方程，解方程，即可求解．
【详解】解：依题意，
即
∴
∴
解得：或
故答案为：或．
2．新定义：如果一个矩形，它的周长和面积分别是另外一个矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是另一个矩形的“减半”矩形．
(1)验证：矩形 是矩形的“减半”矩形，其中矩形 的长为12、宽为2， 矩形长为4、宽为3．
(2)探索：一矩形的长为2、宽为1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)不存在，理由见解析
【分析】本题考查了矩形的性质，一元二次方程的应用；
（1）根据矩形的周长和面积公式进行计算即可求解；
（2）设该“减半”矩形长和宽分别为，，()，根据新定义得出联立解关于的一元二次方程，进而根据方程无实数解，即可求解．
【详解】（1）解： 矩形的周长为： ，
矩形的周长为： ，
矩形 的周长 矩形的周长．
矩形的面积为： ，
矩形的面积为： ，
矩形的面积 矩形 的面积．
矩形是矩形的“减半”矩形．
（2）该矩形不存在“减半”矩形，
若矩形存在“减半”矩形，设该“减半”矩形长和宽分别为，，
原矩形的长和宽分别为，，
由题可知：
由①得：
将 代入②得：
即
方程 无解．
该矩形不存在“减半”矩形．
3．对x，y定义一种新运算T，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．
（1）已知T（1，﹣1）=﹣2，T（4，2）=1．
①求a、b的值；
②若关于m的方程T（1﹣m，﹣m2）=﹣2有实数解，求实数m的值；
（2）若T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则a、b应满足怎样的关系式？
【答案】（1）①；②；（2）a=2b．
【详解】试题分析：（1）①利用题意得出关于a，b的方程组进而求出答案；
②利用已知得出关于m的等式求出答案；
（2）根据题意得出：，进而得出a，b的关系．
解：（1）①由题意得：，
解得：；
②由题意得：=﹣2，
化简得：m2+m﹣1=0，
解得：；
（2）由题意得：，
化简得：（a﹣2b）（x2﹣y2）=0，
∵该式对任意实数x、y都成立，
∴a﹣2b=0，
∴a=2b．
考点：一元二次方程的应用；分式的混合运算；解二元一次方程组．
应用十二、其他问题
【新知导学12】
例12-1．如图，客轮沿折线A─B─C从A出发经B再到C匀速航行，货轮从AC的中点D出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮，两船同时起航，并同时到达折线A─B─C上的某点E处，已知AB=BC=200海里，∠ABC=90°，客轮速度是货轮速度的2倍．
（1）选择：两船相遇之处E点 _____
A、在线段AB上；
B、在线段BC上；
C、可以在线段AB上，也可以在线段BC上．
（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？
【答案】B
【解析】（1）连接BD，则△ABD是等腰直角三角形，假设E为AB的中点，有AB=2DE，此时DE最短；假设E点在线段AB上，但不在中点，根据已知客轮速度是货轮速度的2倍可得AE=2DE，由假设E为AB的中点，有AB=2DE得出AE=AB，很明显假设不成立．故E点不在AB上，应该在线段BC上；
（2）设货轮从出发到两船相遇共航行了x海里，过D点作DF⊥CB于F，连接DE，则DE=x,AB+BE=2x,根据D点是AC的中点，得DF=AB=100，EF=400-100-2x,在Rt△DFE中，DE2=DF2+EF2，得x2=1002+（300-2x）2解方程求解即可．
解：（1）两船相遇之处E点在线段BC上．
故答案为：B．
（2）设货轮从出发到两船相遇共航行了x海里，过D点作DF⊥CB于F，连接DE，则DE=x,AB+BE=2x,
∵D点是AC的中点，
∴DF=AB=100，EF=400-100-2x,
在Rt△DFE中，DE2=DF2+EF2，得x2=1002+（300-2x）2，
解得x=200±，
∵200+＞100（舍去），
∴DE=200-．
答：货轮从出发到两船相遇共航行了（200-）海里．
【对应导练12】
1．节能减排是国家“十四五”规划中的一个重要目标，规划提出要在2030年前实现“碳达峰”，到2060年实现“碳中和”发展．为响应国家号召，某省政府计划对一批工业园区的碳排放工厂进行改建和重建，该计划拟定2021年，工厂改建和重建数量共100座，且改建座数不低于重建座数的4倍．
（1）按拟定计划，2021年至少要改建多少座工厂？
（2）经财政实际预算，2021年改建与重建工厂的平均费用之比为1：2，且改建工厂按照拟定计划中最少的数量计算，将花费资金156亿元．为加快实现“碳达峰”的目标，该省政府计划加大投入，计划指出2022年用于工厂改建和重建的费用将在2021年实际预算的基础上增加10a%，另外2022年改建与重建工厂的平均费用将比2021年分别增加a%和5a%，改建与重建工厂的座数将比2021年分别增加5a%和8a%，求a的值．
【解析】（1）设2021年改建x座工厂，则重建工厂为（100-x）座，根据改建座数不低于重建座数的4倍列出不等式求解即可；
（2）设2021年改建一座工厂花费y亿元，重建一座为2y亿元，根据将花费资金156亿元列出方程求出y；再根据2022年改建和重建的费用和等于2021年实际预算的基础上增加10a%，列出方程求出a.
解：（1）设2021年改建x座工厂，则重建工厂为（100-x）座，
根据题意得：x≥4（100-x），
解得：x≥80，
∴至少改建80座工厂；
（2）由（1）得：2021年改建工厂80座，则此时重建工厂20座，
设改建一座工厂花费y亿元，重建一座为2y亿元，
根据题意得：80y+20×2y=156，
解得y=1.3，
∴2y=2.6，
由题意得：1.3（1+a%）×80（1+5a%）+2.6（1+5a%）×20（1+8a%）=156（1+10a%），
解得：a=10．
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