北师大版数学八年级上册《第一章 勾股定理》单元同步测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2019八上·惠山期中）已知△ABC中，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是 （ ）
A．∠A＝∠C－∠B B．a2＝b2－c2
C．a：b：c＝2：3：4 D．a＝ ，b＝ ，c＝1
2．（2022八上·双流月考）如图，以一直角三角形的三边分别向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则B所代表的正方形的面积为（ ）
A．144 B．196 C．256 D．304
3．（2021八上·顺德期末）在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021八上·余杭期中）在锐角中，，，高，则BC的长度为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
5．（2023八上·德惠月考）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时， 梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5m，则小巷的宽为（ ）．
A．2.4m B．2m C．2.5m D．2.7m
6．（2023八上·滕州开学考） 如图在一个高为米，长为米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
7．（2023八上·清苑期中）在中，，，的对边分别是a，b，c，，则该三角形的三边满足的关系是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八上·瑞昌期中）有五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25.现将它们摆成两个直角三角形，下面摆放正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2018八上·扬州月考）在⊿ 中，若 ，则⊿ 是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
10．（2023八上·长春汽车经济技术开发期中）《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：―根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024八上·坪山期末）2002年在北京石开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．如图，弦图是由四个能够重合的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若，，则小正方形的面积为 ．
12．（2023八上·上海市月考）在中，，，， ．
13．（2021八上·陕西月考）小红从家里出发向正北方向走80米，接着向正东方向走150米，现在她离家的距离是 米.
14．（2019八上·东台期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是2，3，1，2，则最大正方形E的面积是 .
15．（2018八上·江阴期中）如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，CD⊥AB于D，CD=16，CB=20，则AC= ；
16．（2016八上·龙湾期中）操场上有两棵树，一棵高7米，另一棵高4米，两树相距4米。一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，至少要飞行 米。
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2023八上·渠县月考）若△ABC中，∠C=90°．
（1）若，求；
（2）若求；
18．（2024八上·榆阳期末）如图，一棵竖直的大杉树在一次台风中被刮断，树顶落在离树根处，工作人员要查看断痕处的情况，在离树根有的处架起一个长的梯子，点在同一条直线上，求这棵树原来的总高度．
19．（2024八上·长沙期末）如图所示，A城与C城的直线距离为60公里，B城与C城的直线距离为80公里，A城与B城的直线距离为100公里．
（1）现需要在A，B，C三座城市所图成的三角形区域内建造一个加油站．使得这个加油站到三座城市A，B，C的距离相等，则加油站点一定是三条 的交点；（请在以下选项中选出正确答案并将对应选项序号填写在横线上：①中线②高线③角平分线④垂直平分线）
（2）判断形状，并说明理由．
20．（2016八上·扬州期末）如图，一块四边形草地ABCD，其中∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m ， AD＝12m， CD =13cm，求这块草地的面积．
21．（2019八上·新兴期中）如图，圆柱形容器高为16cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子的上沿蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁A处到达B处的最短距离为多少
22．（2023八上·乐山期末）如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m（踏板厚度忽略不计）， 右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂直高度BC为1m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5m（不考虑支柱的直径）.求秋千支柱AD的高.
23．（2016八上·怀柔期末）小红家最近新盖了房子，室内装修时，木工师傅让小红爸爸去建材市场买一块长3m，宽2.2m的薄木板用来做家居面，到了市场爸爸看到满足这个尺寸的木板有点大，买还是不买爸爸犹豫了，因为他知道他家门框高只有2m，宽只有1m，他不知道这块木板买回家后能不能完整的通过自家门框．请你替小红爸爸解决一下难题，帮他算一算要买的木板能否通过自家门框进入室内．（备用图可供做题参考，薄木板厚度可以忽略不计）
24．（2018八上·泰兴期中）如图，一架云梯AB的长25m，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端A距地面距离AC为24m．
（1）这个梯子底端B离墙的距离BC有多少米？
（2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4 m吗？为什么？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：A、由条件可得∠A+∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，可求得∠C=90°，故△ABC为直角三角形；
B、由条件可得到a2+c2=b2，满足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形；
C、不妨设a=2，b=3，c=4，此时a2+b2=13，而c2=16，即a2+b2≠c2，故△ABC不是直角三角形；
D、由条件有a2+c2= ，满足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形；
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的判定方法：①有一个角是直角的三角形是直角三角形，②较小两边的平方和等于最大边长的平方的三角形是直角三角形，从而即可一一判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理可得：正方形B的面积=169-25=144，
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理及正方形的面积公式求解即可.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、三边长分别为，由，故该三角形不是直角三角形；
B、三边长分别为，由，故该三角形不是直角三角形；
C、三边长分别为，由，故该三角形是直角三角形；
D、三边长分别为，由，故该三角形不是直角三角形；
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理的逆定理判断各选项。
4．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
AD是锐角△ABC的高，
，，
在中，
在中，
故答案为：C.
【分析】在Rt△ABD中，由勾股定理求出BD长，在Rt△ACD中，由勾股定理求出CD长，然后根据线段的和差关系求BC长即可.
5．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴
∴CD=CB+BD=0.7+2=2.7m
则小巷的宽为2.7m
故答案为：D
【分析】根据直角三角形中勾股定理可得，则，则小巷的宽CD=CB+BD，即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可得：楼梯的水平宽度为：（米），
∴地毯至少需要3+4=7（米），
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理求出，再计算求解即可。
7．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵在中，，，的对边分别是a，b，c，，
∴，
故答案为：C
【分析】根据题意结合勾股定理即可求解。
8．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵152+202≠242，72+202≠252，∴A中的两个三角形都不是直角三角形，A不符合题意；
B、∵152+202≠242，72+242=252，∴B中的一个三角形是直角三角形，一个不是直角三角形，B不符合题意；
C、∵152+202=252，72+242=252，∴C中的两个三角形是直角三角形，C符合题意；
D、∵152+242≠252， 72+202≠252，∴D中的两个三角形不是直角三角形，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用题中给出的数据，计算并判断较短两边的平方和是否等于最长边的平方即可求解.
9．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵（n2-1）2+（2n）2=（n2+1）2，∴三角形为直角三角形，
故答案为：D.
【分析】由于该三角形三边满足较小两边的平方和等于最大边的平方，故该三角形是直角三角形。
10．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得：∠AOB=90°，
设折断处离地面的高度OA是x尺，
由勾股定理得：x2+42=(10-x) 2．
故答案为：D．
【分析】设折断处离地面的高度OA是x尺，根据勾股定理得出方程，即可求解．
11．【答案】4
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在，，，，
由勾股定理得：，
∴小正方形面积.
故答案为：4．
【分析】利用勾股定理求得，再利用小正方形面积，计算求解即可．
12．【答案】12
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AB=13，AC=5
∴
故答案为：12.
【分析】本题考查勾股定理的应用，根据题意∠C=90°可知AB是斜边，所以即可得出答案.
13．【答案】170
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图：OA＝80米，AB＝150米，
根据勾股定理得：OB＝ （米）.
故答案为：170.
【分析】画出示意图，由题意可得OA＝80米，AB＝150米，∠OAB=90°，然后利用勾股定理求解即可.
14．【答案】18.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得：
x2=22+32=13；
y2=12+22=5；
z2=x2+y2=18；
即最大正方形E的面积为：z2=18.
故答案为：18.
【分析】分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为x，y，z，由勾股定理得出x2=22+32，y2=22+12，z2=x2+y2，即最大正方形的面积为z2.
15．【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设AC=x．
∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC=x．
在Rt△BDC中，∵CD=16，CB=20，∴BD= =12，∴AD=x－12．
在Rt△ADC中，∵AD2+DC2=AC2，∴ ，解得：x= ．
故答案为： ．
【分析】由等角对等边可得AB=AC，在直角三角形BDC中，用勾股定理可求得BD的值，于是AD可用含AC的代数式表示，在直角三角形ADC中，用勾股定理可得关于AC的方程，解方程即可求解。
16．【答案】5
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】两棵树的高度差为3m，间距为4m，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离= =5m
故答案为：5
【分析】根据题意画出示意图，由题意知两棵树的高度差为3m，间距为4m，根据勾股定理即可算出一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，至少要飞行的距离。
17．【答案】（1）解：13
（2）解：8
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：（1）c==13；
（2）b==8.
【分析】（1）利用勾股定理计算即可；
（2）利用勾股定理计算即可.
18．【答案】解：，
，
，，
，
，
，
这棵树原来的总高度为：．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】在中根据勾股定理求出，由勾股定理求出，最后由这棵树原来的总高度为，计算求解即可.
19．【答案】（1）④
（2）解：是直角三角形．
理由：∵，，
∴
∴
∴是直角三角形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：（1）∵线段垂直平分线上的点到两边的距离相等，
∴加油站 点一定是三条 垂直平分线的交点，
故答案为：④.
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质求解即可；
（2）根据勾股定理逆定理求解即可。
20．【答案】解：连结AC，
在△ABC中，
∵∠B=90°，AB=4m，BC=3m，
∴AC= =5（m），S△ABC= ×3×4=6（m2），
在△ACD中，
∵AD=12m，AC=5m，CD=13m，
∴AD2+AC2=CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S△ACD= ×5×12=30（m2）．
∴四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=6+30=36（m2）．
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】连结AC利用勾股定理得出AC的长，利用勾股定理的逆定理判断出△ACD是直角三角形，根据三角形的面积公式算出两三角形的面积，再相加即可。
21．【答案】解：如图所示，圆柱形玻璃容器，高16cm，底面周长为24cm，
∴在Rt△ABD中，BD=12，AD=16
∴AB2=DA2+DB2=122+162=202，解得：AB=20
∴蚂蚁A处到达B处的最短距离为20cm
【知识点】几何体的展开图；两点之间线段最短；勾股定理的应用
【解析】【分析】把圆柱体的侧面展开成平面图形，再利用勾股定理，即可求解.
22．【答案】解：设AD＝xm，则由题意可得
AB＝(x－0.5)m，AE＝(x－1)m，
在Rt△ABE中，AE2＋BE2＝AB2，
即(x－1)2＋1.52＝(x－0.5)2，
解得x＝3．
即秋千支柱AD的高为3m．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】本题考查勾股定理的应用，理清题意，列出方程是解题关键，根据题意设AD=x，则AB=x-0.5，AE=x-1，在Rt△ABE中，由勾股定理可得： AE2＋BE2＝AB2 ，即可列出关于x的方程，解得x=3即为答案.
23．【答案】解：连结HF，如图所示：
∵FG=1，HG=2，
∴在Rt△FGH中，根据勾股定理：
FH= ，
∵BC=2.2= ，
∴FH＞BC，
∴小红爸爸要买的木板能通过自家门框进入室内．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】连结HF，在Rt△FGH中，根据勾股定理：算出FH的长，然后将BC与FH比较大小就可以得出结论了。
24．【答案】（1）解：由题意得此时AC=24米，AB=25米，根据AC2+BC2=AB2，可得：BC=7，
答：这个梯子底端离墙有7米
（2）解：不是.
理由：设滑动后梯子的底端到墙的距离为x米，
得方程，x2+(24 4)2=252，
解得：x=15，
所以梯子向后滑动了8米.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可求得BC=7m；（2）变化后AC=20米，AB=25米，再利用勾股定理可得BC=15米，从而可知梯子的底部在水平方向滑动了8米.
1 / 1北师大版数学八年级上册《第一章 勾股定理》单元同步测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2019八上·惠山期中）已知△ABC中，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是 （ ）
A．∠A＝∠C－∠B B．a2＝b2－c2
C．a：b：c＝2：3：4 D．a＝ ，b＝ ，c＝1
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：A、由条件可得∠A+∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，可求得∠C=90°，故△ABC为直角三角形；
B、由条件可得到a2+c2=b2，满足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形；
C、不妨设a=2，b=3，c=4，此时a2+b2=13，而c2=16，即a2+b2≠c2，故△ABC不是直角三角形；
D、由条件有a2+c2= ，满足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形；
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的判定方法：①有一个角是直角的三角形是直角三角形，②较小两边的平方和等于最大边长的平方的三角形是直角三角形，从而即可一一判断得出答案.
2．（2022八上·双流月考）如图，以一直角三角形的三边分别向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则B所代表的正方形的面积为（ ）
A．144 B．196 C．256 D．304
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理可得：正方形B的面积=169-25=144，
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理及正方形的面积公式求解即可.
3．（2021八上·顺德期末）在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、三边长分别为，由，故该三角形不是直角三角形；
B、三边长分别为，由，故该三角形不是直角三角形；
C、三边长分别为，由，故该三角形是直角三角形；
D、三边长分别为，由，故该三角形不是直角三角形；
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理的逆定理判断各选项。
4．（2021八上·余杭期中）在锐角中，，，高，则BC的长度为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
AD是锐角△ABC的高，
，，
在中，
在中，
故答案为：C.
【分析】在Rt△ABD中，由勾股定理求出BD长，在Rt△ACD中，由勾股定理求出CD长，然后根据线段的和差关系求BC长即可.
5．（2023八上·德惠月考）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时， 梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5m，则小巷的宽为（ ）．
A．2.4m B．2m C．2.5m D．2.7m
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴
∴CD=CB+BD=0.7+2=2.7m
则小巷的宽为2.7m
故答案为：D
【分析】根据直角三角形中勾股定理可得，则，则小巷的宽CD=CB+BD，即可求出答案.
6．（2023八上·滕州开学考） 如图在一个高为米，长为米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可得：楼梯的水平宽度为：（米），
∴地毯至少需要3+4=7（米），
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理求出，再计算求解即可。
7．（2023八上·清苑期中）在中，，，的对边分别是a，b，c，，则该三角形的三边满足的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵在中，，，的对边分别是a，b，c，，
∴，
故答案为：C
【分析】根据题意结合勾股定理即可求解。
8．（2023八上·瑞昌期中）有五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25.现将它们摆成两个直角三角形，下面摆放正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵152+202≠242，72+202≠252，∴A中的两个三角形都不是直角三角形，A不符合题意；
B、∵152+202≠242，72+242=252，∴B中的一个三角形是直角三角形，一个不是直角三角形，B不符合题意；
C、∵152+202=252，72+242=252，∴C中的两个三角形是直角三角形，C符合题意；
D、∵152+242≠252， 72+202≠252，∴D中的两个三角形不是直角三角形，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用题中给出的数据，计算并判断较短两边的平方和是否等于最长边的平方即可求解.
9．（2018八上·扬州月考）在⊿ 中，若 ，则⊿ 是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵（n2-1）2+（2n）2=（n2+1）2，∴三角形为直角三角形，
故答案为：D.
【分析】由于该三角形三边满足较小两边的平方和等于最大边的平方，故该三角形是直角三角形。
10．（2023八上·长春汽车经济技术开发期中）《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：―根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得：∠AOB=90°，
设折断处离地面的高度OA是x尺，
由勾股定理得：x2+42=(10-x) 2．
故答案为：D．
【分析】设折断处离地面的高度OA是x尺，根据勾股定理得出方程，即可求解．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024八上·坪山期末）2002年在北京石开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．如图，弦图是由四个能够重合的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若，，则小正方形的面积为 ．
【答案】4
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在，，，，
由勾股定理得：，
∴小正方形面积.
故答案为：4．
【分析】利用勾股定理求得，再利用小正方形面积，计算求解即可．
12．（2023八上·上海市月考）在中，，，， ．
【答案】12
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AB=13，AC=5
∴
故答案为：12.
【分析】本题考查勾股定理的应用，根据题意∠C=90°可知AB是斜边，所以即可得出答案.
13．（2021八上·陕西月考）小红从家里出发向正北方向走80米，接着向正东方向走150米，现在她离家的距离是 米.
【答案】170
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图：OA＝80米，AB＝150米，
根据勾股定理得：OB＝ （米）.
故答案为：170.
【分析】画出示意图，由题意可得OA＝80米，AB＝150米，∠OAB=90°，然后利用勾股定理求解即可.
14．（2019八上·东台期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是2，3，1，2，则最大正方形E的面积是 .
【答案】18.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得：
x2=22+32=13；
y2=12+22=5；
z2=x2+y2=18；
即最大正方形E的面积为：z2=18.
故答案为：18.
【分析】分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为x，y，z，由勾股定理得出x2=22+32，y2=22+12，z2=x2+y2，即最大正方形的面积为z2.
15．（2018八上·江阴期中）如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，CD⊥AB于D，CD=16，CB=20，则AC= ；
【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设AC=x．
∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC=x．
在Rt△BDC中，∵CD=16，CB=20，∴BD= =12，∴AD=x－12．
在Rt△ADC中，∵AD2+DC2=AC2，∴ ，解得：x= ．
故答案为： ．
【分析】由等角对等边可得AB=AC，在直角三角形BDC中，用勾股定理可求得BD的值，于是AD可用含AC的代数式表示，在直角三角形ADC中，用勾股定理可得关于AC的方程，解方程即可求解。
16．（2016八上·龙湾期中）操场上有两棵树，一棵高7米，另一棵高4米，两树相距4米。一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，至少要飞行 米。
【答案】5
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】两棵树的高度差为3m，间距为4m，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离= =5m
故答案为：5
【分析】根据题意画出示意图，由题意知两棵树的高度差为3m，间距为4m，根据勾股定理即可算出一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，至少要飞行的距离。
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2023八上·渠县月考）若△ABC中，∠C=90°．
（1）若，求；
（2）若求；
【答案】（1）解：13
（2）解：8
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：（1）c==13；
（2）b==8.
【分析】（1）利用勾股定理计算即可；
（2）利用勾股定理计算即可.
18．（2024八上·榆阳期末）如图，一棵竖直的大杉树在一次台风中被刮断，树顶落在离树根处，工作人员要查看断痕处的情况，在离树根有的处架起一个长的梯子，点在同一条直线上，求这棵树原来的总高度．
【答案】解：，
，
，，
，
，
，
这棵树原来的总高度为：．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】在中根据勾股定理求出，由勾股定理求出，最后由这棵树原来的总高度为，计算求解即可.
19．（2024八上·长沙期末）如图所示，A城与C城的直线距离为60公里，B城与C城的直线距离为80公里，A城与B城的直线距离为100公里．
（1）现需要在A，B，C三座城市所图成的三角形区域内建造一个加油站．使得这个加油站到三座城市A，B，C的距离相等，则加油站点一定是三条 的交点；（请在以下选项中选出正确答案并将对应选项序号填写在横线上：①中线②高线③角平分线④垂直平分线）
（2）判断形状，并说明理由．
【答案】（1）④
（2）解：是直角三角形．
理由：∵，，
∴
∴
∴是直角三角形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：（1）∵线段垂直平分线上的点到两边的距离相等，
∴加油站 点一定是三条 垂直平分线的交点，
故答案为：④.
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质求解即可；
（2）根据勾股定理逆定理求解即可。
20．（2016八上·扬州期末）如图，一块四边形草地ABCD，其中∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m ， AD＝12m， CD =13cm，求这块草地的面积．
【答案】解：连结AC，
在△ABC中，
∵∠B=90°，AB=4m，BC=3m，
∴AC= =5（m），S△ABC= ×3×4=6（m2），
在△ACD中，
∵AD=12m，AC=5m，CD=13m，
∴AD2+AC2=CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S△ACD= ×5×12=30（m2）．
∴四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=6+30=36（m2）．
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】连结AC利用勾股定理得出AC的长，利用勾股定理的逆定理判断出△ACD是直角三角形，根据三角形的面积公式算出两三角形的面积，再相加即可。
21．（2019八上·新兴期中）如图，圆柱形容器高为16cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子的上沿蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁A处到达B处的最短距离为多少
【答案】解：如图所示，圆柱形玻璃容器，高16cm，底面周长为24cm，
∴在Rt△ABD中，BD=12，AD=16
∴AB2=DA2+DB2=122+162=202，解得：AB=20
∴蚂蚁A处到达B处的最短距离为20cm
【知识点】几何体的展开图；两点之间线段最短；勾股定理的应用
【解析】【分析】把圆柱体的侧面展开成平面图形，再利用勾股定理，即可求解.
22．（2023八上·乐山期末）如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m（踏板厚度忽略不计）， 右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂直高度BC为1m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5m（不考虑支柱的直径）.求秋千支柱AD的高.
【答案】解：设AD＝xm，则由题意可得
AB＝(x－0.5)m，AE＝(x－1)m，
在Rt△ABE中，AE2＋BE2＝AB2，
即(x－1)2＋1.52＝(x－0.5)2，
解得x＝3．
即秋千支柱AD的高为3m．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】本题考查勾股定理的应用，理清题意，列出方程是解题关键，根据题意设AD=x，则AB=x-0.5，AE=x-1，在Rt△ABE中，由勾股定理可得： AE2＋BE2＝AB2 ，即可列出关于x的方程，解得x=3即为答案.
23．（2016八上·怀柔期末）小红家最近新盖了房子，室内装修时，木工师傅让小红爸爸去建材市场买一块长3m，宽2.2m的薄木板用来做家居面，到了市场爸爸看到满足这个尺寸的木板有点大，买还是不买爸爸犹豫了，因为他知道他家门框高只有2m，宽只有1m，他不知道这块木板买回家后能不能完整的通过自家门框．请你替小红爸爸解决一下难题，帮他算一算要买的木板能否通过自家门框进入室内．（备用图可供做题参考，薄木板厚度可以忽略不计）
【答案】解：连结HF，如图所示：
∵FG=1，HG=2，
∴在Rt△FGH中，根据勾股定理：
FH= ，
∵BC=2.2= ，
∴FH＞BC，
∴小红爸爸要买的木板能通过自家门框进入室内．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】连结HF，在Rt△FGH中，根据勾股定理：算出FH的长，然后将BC与FH比较大小就可以得出结论了。
24．（2018八上·泰兴期中）如图，一架云梯AB的长25m，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端A距地面距离AC为24m．
（1）这个梯子底端B离墙的距离BC有多少米？
（2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4 m吗？为什么？
【答案】（1）解：由题意得此时AC=24米，AB=25米，根据AC2+BC2=AB2，可得：BC=7，
答：这个梯子底端离墙有7米
（2）解：不是.
理由：设滑动后梯子的底端到墙的距离为x米，
得方程，x2+(24 4)2=252，
解得：x=15，
所以梯子向后滑动了8米.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可求得BC=7m；（2）变化后AC=20米，AB=25米，再利用勾股定理可得BC=15米，从而可知梯子的底部在水平方向滑动了8米.
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