北师大版数学八年级上册《第一章 勾股定理》单元提升测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023八上·鹿城开学考）如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．（2022八上·罗湖期中）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D'处，若AB=3，AD=4，则ED的长为（ ）
A． B．3 C．1 D．
3．（2021八上·城阳月考）下列各组数中不是勾股数的是（ ）
A．9，15，12 B．11，60，61
C．6，8，10 D．0.3，0.4，0.5
4．（2023八上·织金期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四条线段，其中能组成直角三角形三边的一组线段是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022八上·杭州期中）如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米.若将它往水平方向向前推进3米（即DE=3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ）
A．1米 B．米 C．2米 D．4米
6．（2018八上·张家港期中）如图，由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形图案是某届国际数学大会的会标，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么 的值为（ ）
A．256 B．169 C．29 D．48
7．（2024八上·盐田期末）如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
8．（2024八上·信宜期末）小强家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是，，，那么电梯内能放入下列木条中的最大长度是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023八上·黄岛期中）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（ ）
A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸
10．（2023八上·深圳期中）华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从点到点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约9米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（ ）米.
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024八上·罗湖期末）如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之和为 .
12．（2017八上·揭阳月考）如图，长方形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，将一边 AD 折叠，使点 A恰好落在边 BC 的点 F 处，折痕为 DE．若 AB=4，BF=2，则 AE的长是 ．
13．（2021八上·甘州期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 ， 和 ， 和 是这个台阶的两个端点， 点上有一只蚂蚁想到 点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为 .
14．（2024八上·雅安期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图所示的“垂美”四边形的对角线，交于点，若，，则＝ ．
15．（2024八上·榆树期末）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个水池的深度是 尺．
16．（2023八上·东阳期中）如图，已知AP平分∠BAC，PD⊥AB于D，PC⊥AC于C，且PB＝PE.其中AC=16，AB=21，PB=13，则PC= .
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2023八上·滕州开学考） “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”又到了放风筝的最佳时节．某校八年级班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：测得水平距离的长为米；根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；牵线放风筝的小明的身高为米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？
18．（2024八上·信宜期末）如图，一辆小汽车在一段限速高速公路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方的处，过了后，测得小汽车到达与车速检测仪之间的距离为的处．
（1）你能计算这辆小汽车的速度吗？
（2）这辆小汽车超速了吗？
19．（2024八上·万州期末）已知：在线段的同侧分别过A、B作，，分别在射线，上取点C、D.若，，点P是线段上的一个动点.
（1）如图1，连接、，当且时，求的长；
（2）如图2，点P在线段上以2个单位每秒的速度从点B向点A运动，同时点Q在射线上以x个单位每秒的速度从A点开始运动，当点P到达A点时停止运动.
①连接，当时，求x的值；
②是否存在实数x的值，使得某时刻与全等？若存在，请你求出x的值；若不存在，请说明理由.
20．已知如下数表：
n 2 3 4 5 ……
a 22-1 32-1 42-1 52-1 ……
b 4 6 8 10 ……
c 22+1 32+1 42+1 52+1 ……
（1）观察a，b，c与n之间的关系，用含自然数n（n>1）的代数式表示：a= ，b= ，c= ．
（2）试猜想：以a，b，c为边的三角形是直角三角形吗？请说明理由．
21．（2023八上·宁海期末）定义：在任意中，如果一个内角度数的2倍与另一个内角度数的和为，那么称此三角形为“倍角互余三角形”.
（1）【基础巩固】若是“倍角互余三角形”，，，则 ；
（2）【尝试应用】如图1，在中，，点为线段上一点，若与互余.求证：是“倍角互余三角形”；
（3）【拓展提高】如图2，在中，，，，试问在边上是否存在点，使得是“倍角互余三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由.
22．（2017八上·义乌期中）在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，
（1）求高台A比矮台B高多少米？
（2）求旗杆的高度OM；
（3）玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．
23．（2023八上·温州期中）为了测量学校旗杆的高度，八(1)班的两个数学研究小组设计了不同的方案，请结合下面表格的信息，完成任务问题．
测量旗杆的高度
测量工具 测量角度的仪器、皮尺等
测量小组 第一小组 第二小组
测量方案示意图
设计方案及测量数据 在地面确定点C，并测得旗杆顶端A的仰角，即∠ACB=45°． 如图1，绳子垂直挂下来时，相比旗杆，测量多出的绳子长度FP为2米．如图2，绳子斜拉直后至末端点P位置，测量点P到地面的距离PD为1米，以及点P到旗杆AB的距离PE为9米．
（1）任务一：判断分析
第一小组要测旗杆AB的高度，只需要测量 的长度为线段并说明理由．
（2）任务二：推理计算
利用第二小组获得的数据，求旗杆的高度AB．
24．（2020八上·常州期中）在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处.
（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为 °.
（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB＝6，AD＝10，求CE的长.
（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB＝6，AD＝10，求CG的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接AB，AD，AC，BC，BD，CD，
根据题意可知
∵，∴△ABC是直角三角形，
∵，∴△ACD是直角三角形。
∵，∴△ABD是直角三角形；
即可构成的直角三角形有3个，即：△ABC，△ADC，△ABD.
故答案为：A.
【分析】考查各三角形三边长，根据勾股定理逆定理进行判断即可。
2．【答案】A
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AB=3，AD=4，
∴DC=3，BC=4，
∴，
根据折叠可得：△DEC≌△D'EC，
∴D'C=DC=3，DE=D'E，
设ED=x，则D'E=x，AD'=AC-CD'=2，AE=4-x，
在Rt△AED'中：，
∴，
解得：。
故答案为A。
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再设ED=x，则D'E=x，AD'=AC-CD'=2，AE=4-x，根据勾股定理可得，再求出x的值即可。
3．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】根据勾股数的含义知，A、B、C三个选项的三组数均是勾股数， 选项D中的三个数都不是整数，故不是勾股数．
故答案为：D．
【分析】若三个整数中两个小数的平方和等于大数的平方，则称这组数为勾股数，根据含义判断即可。
4．【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：由图可得：A：即故A能组成直角三角形，符合题意；
B：即故不能组成直角三角形，不符合题意；
C：即故不能组成直角三角形，不符合题意；
D：即故不能组成直角三角形，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据图形利用勾股定理求出各边的长，再利用勾股定理逆定理直接求证即可.
5．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，过点C作CF⊥AB于点F，
由题意可知：AB＝AC＝5米，CF＝3米，∠AFC=90°，
∴AF2+CF2＝AC2，即 AF2+9=25，
解得：AF＝4米，
∴BF＝AB-AF＝5-4＝1米，
∴此时木马上升的高度为1米.
故答案为：A．
【分析】过点C作CF⊥AB于点F，由题意可知：AB＝AC＝5米，CF＝3米，∠AFC=90°，利用勾股定理求得AF的长，再用AB-AF即可求得木马上升的高度.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】大正方形的面积为16，得到它的边长为4，
即得a +b =4 =16，
由题意4× ab+3=16，
2ab=13，
所以(a+b) =a +2ab+b =16+13=29.
故答案为：C.
【分析】利用已知大小正方形的面积，可求出a +b =4 ，及4× ab+3=16，就可求出ab的值，然后求出答案。
7．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设直角三角形的各边长为a，b，c，满足a2+c2=c2，
可以得到：阴影部分面积+小正方形面积+大正方形面积－重叠部分面积=最大正方形面积，
即：阴影部分面积+a2+b2－重叠部分面积=c2.
所以有阴影部分面积＝重叠部分面积.
故答案为：C.
【分析】结合勾股定理的几何意义，将三个正方形的面积联系起来，再用两种方法表示出最大正方形的面积，问题得到解决.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：底面的斜边长度为：，电梯对角的长度为：，
故答案为：B
【分析】先用勾股定理计算出底面的斜边长度，再用勾股定理计算出电梯对角的长度即可.
9．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设OA=OB=AD=BC=，过D作DE⊥AB于E，
则DE=10，OE=CD=1，AE=．
在Rt△ADE中，
，即，
解得．
故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸．
故答案为：C．
【分析】先构造直角三角形，再根据勾股定理列方程求解．
10．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：展开图：
9÷3=3（米），
（米），
（米）；
故答案为：D.
【分析】在圆柱的展开图中，每圈巨龙的长度与高度和圆柱的周长组成了直角三角形，根据勾股定理求出每圈巨龙的长度，最后乘3便是答案.
11．【答案】64
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图．
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2＝CE2﹣DE2＝102﹣62＝64，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2＝AF2+BF2＝CD2＝64，
∴阴影部分的面积之和＝AF2+BF2＝AB2＝64，
故答案为：64．
【分析】先根据勾股定理求出CD2的值，然后由AB＝CD可得出AB2的值，再利用AB2＝AF2+BF2＝64，从而可求得阴影部分的面积的和即可解答．
12．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】设AE=x，则BE=AB-AE=4-x，已知折叠后点A恰好落在边BC的点F处，由折叠的性质可得EF=AE=x，在Rt△BEF中，由勾股定理得，BE2+BF2=EF2，即（4-x）2+22=x2，解得x= ，即AE的长为 ．
【分析】设AE=x，则BE=AB-AE=4-x，由折叠的性质可得EF=AE=x，在Rt△BEF中，由勾股定理建立方程，求解即可。
13．【答案】
【知识点】几何体的展开图；勾股定理
【解析】【解答】展开图为：
则AC=100cm，BC=15×3+10×3=75cm，
在Rt△ABC中，AB= =125cm．
所以蚂蚁所走的最短路线长度为125cm．
故答案为：125．
【分析】把立体几何图展开得到平面几何图，然后利用勾股定理计算AB，则根据两点间线段最短得到蚂蚁所走的路线最短。
14．【答案】41
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：，
，
在和中，根据勾股定理得，
，，
，
，，
．
故答案为：41．
【分析】抓住有对顶角的一对直角三角形，根据勾股定理得AD2+BC2=OA2+OD2+OB2+OC2，AB2+DC2=OA2+OB2+OD2+OC2，于是有：AD2+BC2=AB2+DC2，据此求解。
15．【答案】12
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设水池的深度为x尺，则芦苇的长为尺，
根据勾股定理得： ，
解得：
即水池的深度是12尺．
故答案为：12
【分析】设水池的深度为x尺，则芦苇的长为尺，根据勾股定理列出关于x的方程，解此方程即可解答.
16．【答案】12
【知识点】全等三角形的应用；角平分线的性质；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由AP平分∠BAC，PD⊥AB于D，PC⊥AC于C，可得PC=PD，AD=AC=16；又PB＝PE，可证EPCBPD，所以BD=AB-AD=AB-AC=21-16=5；在直角BPD中，，所以PC=PD=12.
故答案为：12.
【分析】角平分线上的点到角两边的距离相等，全等三角形对应边相等。
17．【答案】（1）解：在中，由勾股定理得，，
所以，米，
所以，米，
答：风筝的高度为米
（2）解：如下图所示：
由题意得，米，
米，
，即米，
米，
他应该往回收线米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】(1)利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
(2)根据勾股定理即可得到结论。
18．【答案】（1）解：在中，，；
根据勾股定理可得：，
小汽车的速度为；
（2）解：，
这辆小汽车不超速行驶．
答：这辆小汽车不超速．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出BC的长度，再用BC的长度除以时间即可；
（2）根据（1）中求出的速度与限速比较即可判断.
19．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
；
（2）解：①∵，
∴，
∴，
，
∴；
②∵，
∴或，
若，
则，
，
；
若，
则，，
∴；
综上：存在实数或，使得与全等.
【知识点】全等三角形的应用；勾股定理；直角三角形的性质
【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质.
（1）先利用角的运算可求出，结合已知条件可证明，由全等三角形的性质可求出 ，由勾股定理可得：，代入数据可求出答案；
（2）①由等腰直角三角形性质可求出，据此可求出；
②分两种情况：若；若，由全等三角形的性质可求出对应的边的长度，据此可求出答案.
20．【答案】（1）n2-1；2n；n2+1
（2）解：∵a2+b2=（ n2-1 ）2+（ 2n）2=n4+2n2+1，
c2=（n2+1）2=n4+2n2+1，
∴a2+b2=c2，
∴ 以a，b，c为边的三角形是直角三角形 .
【知识点】勾股定理的逆定理；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）由表格知：n=2时，a= 22-1 ，b=4=2×2，c= 22+1 ，
n=3时，a= 32-1 ，b=6=2×3，c= 32+1 ，
n=4时，a= 42-1 ，b=8=2×4，c= 42+1 ，
·······
∴ 用含自然数n（n>1）的代数式表示：a= n2-1 ，b= 2n ，c=n2+1 ．
【分析】（1）利用表格中的数据找出规律；
（2）利用勾股定理的逆定理进行解答即可.
21．【答案】（1）15
（2）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴是倍角互余三角形.
（3）解：①当平分时，则，
∴，
∴，则，
设，则，，
在中，，
解得，所以.
②当时，作点关于的对称点，连接、，并延长交于点.
设，则，
∵点、点关于对称，
∴，
∴，
∴，
即，
利用等积法求得：，
∴，
在中，
设，在中，，
∴，
在中，，
∴，
综上所述，或时，为倍角互余三角形.
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；定义新运算；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵是“倍角互余三角形”，，，
∴，
∴，
故答案为：15；
【分析】（1）由题意可得∠A+2∠B=90°，据此计算；
（2）由内角和定理可得∠B+∠CAB=90°，由题意可得∠CAB+∠CAD=90°，则∠B=∠CAD，∠B+∠CAD+∠BAD=2∠B+∠BAD=90°，据此证明；
（3）①当AE平分∠CAB时，则2∠EAB+∠B=90°，∠CAE=∠FAE，∠ACE=∠AFE，证明△ACE≌△AFE，得到AE=AC=3，则BF=2，设CE=a，则EF=a，BE=4-a，由勾股定理可求出a的值，进而可得BE；②当∠CAE=∠B时，作点A关于BC的对称点H，连接AE、HE，并延长HE交AB于点F，设∠CAE=x，则∠ABC=x，∠AHE=∠CAE=x，∠CEH=∠BEF，则∠BEF+∠ABC=90°，根据等面积法可得HF，然后利用勾股定理可得AF，设AE=HE=a，利用勾股定理可得a的值，进而可得CE、BE的值.
22．【答案】（1）解：10-3=7(米）
（2）解：作AE⊥OM于E，BF⊥OM与F，
∵∠AOE+∠BOF=∠BOF+∠OBF=90°，
∴∠AOE=∠OBF，
在△AOE和△OBF中，
，
∴△AOE≌△OBF（AAS），
∴OE=BF，AE=OF，
即OE+OF=AE+BF=CD=17（m）
∵EF=EM﹣FM=AC﹣BD=10﹣3=7（m），
∴2EO+EF=17，
则2EO=10，
所以OE=5m，OF=12m，
所以OM=OF+FM=15m
（3）解：由勾股定理得ON=OA=13，
所以MN=15﹣13=2（m）．
答：玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米．
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据题意得到高台A比矮台B高（10-3）米；（2）根据题意和全等三角形的判定方法AAS，得到△AOE≌△OBF，得到对应边相等，求出旗杆的高度OM的值；（3）根据勾股定理求出ON=OA的值，得到玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．
23．【答案】（1）解：BC
理由如下，
∵AB⊥BC，∠ACB=45° ，∴△ABC是等腰直角三角形，故只需测试BC的长就是旗杆AB的长.
（2）解：设旗杆的长度为x米，则绳子的长度为(x+2)米
在Rt△AEC中，AE=(x-1)米，CE=6米，AC=(x+2)米．．
∴(x-1)2+92=(x+2)2
解得x=13
∴旗杆的高度为13米
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）先根据测得旗杆顶端A的仰角为45° ，结合AB与BC垂直，可知三角形ABC为等腰直角三角形，从而只需测试BC就可知旗杆高度AB的长；（2）设旗杆的长度为x米， 可以x表示出绳子的长，利用勾股定理求出x即可.
24．【答案】（1）18
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，
由折叠的性质得：AF＝AD＝10，EF＝ED，
∴BF＝ ＝ ＝8，
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，
设CE＝x，则EF＝ED＝6﹣x，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：22+x2＝（6﹣x）2，
解得：x＝ ，
即CE的长为 ；
（3）解：连接EG，如图3所示：
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
由折叠的性质得：AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，FE＝DE，
∴∠EFG＝90°＝∠C，
在Rt△CEG和△FEG中，
，
∴Rt△CEG≌△FEG（HL），
∴CG＝FG，
设CG＝FG＝y，
则AG＝AF+FG＝10+y，BG＝BC﹣CG＝10﹣y，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：62+（10﹣y）2＝（10+y）2，
解得：y＝ ，
即CG的长为 .
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝54°，
∴∠DAC＝90°﹣54°＝36°，
由折叠的性质得：∠DAE＝∠FAE，
∴∠DAE＝ ∠DAC＝18°；
故答案为：18；
【分析】（1）由矩形的性质可知∠BAD＝90°，易知∠DAC的度数，由折叠的性质可知∠DAE＝ ∠DAC，计算可得∠DAE的度数.（2）由矩形四个角都是直角及对边相等的性质及折叠后图形对应边相等的性质，结合勾股定理可得BF长，由CF＝BC﹣BF可求出CF长，设CE＝x，则EF＝ED＝6﹣x，在Rt△CEF中，根据勾股定理求出x值即可；（3）连接EG，由中点及折叠的性质利用HL定理可证Rt△CEG≌△FEG，结合全等三角形对应边相等的性质可设CG＝FG＝y，可用含y的代数式表示出AG、BG，在Rt△ABG中，根据勾股定理求解即可.
1 / 1北师大版数学八年级上册《第一章 勾股定理》单元提升测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023八上·鹿城开学考）如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接AB，AD，AC，BC，BD，CD，
根据题意可知
∵，∴△ABC是直角三角形，
∵，∴△ACD是直角三角形。
∵，∴△ABD是直角三角形；
即可构成的直角三角形有3个，即：△ABC，△ADC，△ABD.
故答案为：A.
【分析】考查各三角形三边长，根据勾股定理逆定理进行判断即可。
2．（2022八上·罗湖期中）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D'处，若AB=3，AD=4，则ED的长为（ ）
A． B．3 C．1 D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AB=3，AD=4，
∴DC=3，BC=4，
∴，
根据折叠可得：△DEC≌△D'EC，
∴D'C=DC=3，DE=D'E，
设ED=x，则D'E=x，AD'=AC-CD'=2，AE=4-x，
在Rt△AED'中：，
∴，
解得：。
故答案为A。
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再设ED=x，则D'E=x，AD'=AC-CD'=2，AE=4-x，根据勾股定理可得，再求出x的值即可。
3．（2021八上·城阳月考）下列各组数中不是勾股数的是（ ）
A．9，15，12 B．11，60，61
C．6，8，10 D．0.3，0.4，0.5
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】根据勾股数的含义知，A、B、C三个选项的三组数均是勾股数， 选项D中的三个数都不是整数，故不是勾股数．
故答案为：D．
【分析】若三个整数中两个小数的平方和等于大数的平方，则称这组数为勾股数，根据含义判断即可。
4．（2023八上·织金期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四条线段，其中能组成直角三角形三边的一组线段是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：由图可得：A：即故A能组成直角三角形，符合题意；
B：即故不能组成直角三角形，不符合题意；
C：即故不能组成直角三角形，不符合题意；
D：即故不能组成直角三角形，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据图形利用勾股定理求出各边的长，再利用勾股定理逆定理直接求证即可.
5．（2022八上·杭州期中）如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米.若将它往水平方向向前推进3米（即DE=3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ）
A．1米 B．米 C．2米 D．4米
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，过点C作CF⊥AB于点F，
由题意可知：AB＝AC＝5米，CF＝3米，∠AFC=90°，
∴AF2+CF2＝AC2，即 AF2+9=25，
解得：AF＝4米，
∴BF＝AB-AF＝5-4＝1米，
∴此时木马上升的高度为1米.
故答案为：A．
【分析】过点C作CF⊥AB于点F，由题意可知：AB＝AC＝5米，CF＝3米，∠AFC=90°，利用勾股定理求得AF的长，再用AB-AF即可求得木马上升的高度.
6．（2018八上·张家港期中）如图，由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形图案是某届国际数学大会的会标，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么 的值为（ ）
A．256 B．169 C．29 D．48
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】大正方形的面积为16，得到它的边长为4，
即得a +b =4 =16，
由题意4× ab+3=16，
2ab=13，
所以(a+b) =a +2ab+b =16+13=29.
故答案为：C.
【分析】利用已知大小正方形的面积，可求出a +b =4 ，及4× ab+3=16，就可求出ab的值，然后求出答案。
7．（2024八上·盐田期末）如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设直角三角形的各边长为a，b，c，满足a2+c2=c2，
可以得到：阴影部分面积+小正方形面积+大正方形面积－重叠部分面积=最大正方形面积，
即：阴影部分面积+a2+b2－重叠部分面积=c2.
所以有阴影部分面积＝重叠部分面积.
故答案为：C.
【分析】结合勾股定理的几何意义，将三个正方形的面积联系起来，再用两种方法表示出最大正方形的面积，问题得到解决.
8．（2024八上·信宜期末）小强家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是，，，那么电梯内能放入下列木条中的最大长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：底面的斜边长度为：，电梯对角的长度为：，
故答案为：B
【分析】先用勾股定理计算出底面的斜边长度，再用勾股定理计算出电梯对角的长度即可.
9．（2023八上·黄岛期中）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（ ）
A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设OA=OB=AD=BC=，过D作DE⊥AB于E，
则DE=10，OE=CD=1，AE=．
在Rt△ADE中，
，即，
解得．
故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸．
故答案为：C．
【分析】先构造直角三角形，再根据勾股定理列方程求解．
10．（2023八上·深圳期中）华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从点到点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约9米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（ ）米.
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：展开图：
9÷3=3（米），
（米），
（米）；
故答案为：D.
【分析】在圆柱的展开图中，每圈巨龙的长度与高度和圆柱的周长组成了直角三角形，根据勾股定理求出每圈巨龙的长度，最后乘3便是答案.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024八上·罗湖期末）如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之和为 .
【答案】64
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图．
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2＝CE2﹣DE2＝102﹣62＝64，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2＝AF2+BF2＝CD2＝64，
∴阴影部分的面积之和＝AF2+BF2＝AB2＝64，
故答案为：64．
【分析】先根据勾股定理求出CD2的值，然后由AB＝CD可得出AB2的值，再利用AB2＝AF2+BF2＝64，从而可求得阴影部分的面积的和即可解答．
12．（2017八上·揭阳月考）如图，长方形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，将一边 AD 折叠，使点 A恰好落在边 BC 的点 F 处，折痕为 DE．若 AB=4，BF=2，则 AE的长是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】设AE=x，则BE=AB-AE=4-x，已知折叠后点A恰好落在边BC的点F处，由折叠的性质可得EF=AE=x，在Rt△BEF中，由勾股定理得，BE2+BF2=EF2，即（4-x）2+22=x2，解得x= ，即AE的长为 ．
【分析】设AE=x，则BE=AB-AE=4-x，由折叠的性质可得EF=AE=x，在Rt△BEF中，由勾股定理建立方程，求解即可。
13．（2021八上·甘州期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 ， 和 ， 和 是这个台阶的两个端点， 点上有一只蚂蚁想到 点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为 .
【答案】
【知识点】几何体的展开图；勾股定理
【解析】【解答】展开图为：
则AC=100cm，BC=15×3+10×3=75cm，
在Rt△ABC中，AB= =125cm．
所以蚂蚁所走的最短路线长度为125cm．
故答案为：125．
【分析】把立体几何图展开得到平面几何图，然后利用勾股定理计算AB，则根据两点间线段最短得到蚂蚁所走的路线最短。
14．（2024八上·雅安期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图所示的“垂美”四边形的对角线，交于点，若，，则＝ ．
【答案】41
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：，
，
在和中，根据勾股定理得，
，，
，
，，
．
故答案为：41．
【分析】抓住有对顶角的一对直角三角形，根据勾股定理得AD2+BC2=OA2+OD2+OB2+OC2，AB2+DC2=OA2+OB2+OD2+OC2，于是有：AD2+BC2=AB2+DC2，据此求解。
15．（2024八上·榆树期末）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个水池的深度是 尺．
【答案】12
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设水池的深度为x尺，则芦苇的长为尺，
根据勾股定理得： ，
解得：
即水池的深度是12尺．
故答案为：12
【分析】设水池的深度为x尺，则芦苇的长为尺，根据勾股定理列出关于x的方程，解此方程即可解答.
16．（2023八上·东阳期中）如图，已知AP平分∠BAC，PD⊥AB于D，PC⊥AC于C，且PB＝PE.其中AC=16，AB=21，PB=13，则PC= .
【答案】12
【知识点】全等三角形的应用；角平分线的性质；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由AP平分∠BAC，PD⊥AB于D，PC⊥AC于C，可得PC=PD，AD=AC=16；又PB＝PE，可证EPCBPD，所以BD=AB-AD=AB-AC=21-16=5；在直角BPD中，，所以PC=PD=12.
故答案为：12.
【分析】角平分线上的点到角两边的距离相等，全等三角形对应边相等。
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2023八上·滕州开学考） “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”又到了放风筝的最佳时节．某校八年级班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：测得水平距离的长为米；根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；牵线放风筝的小明的身高为米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？
【答案】（1）解：在中，由勾股定理得，，
所以，米，
所以，米，
答：风筝的高度为米
（2）解：如下图所示：
由题意得，米，
米，
，即米，
米，
他应该往回收线米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】(1)利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
(2)根据勾股定理即可得到结论。
18．（2024八上·信宜期末）如图，一辆小汽车在一段限速高速公路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方的处，过了后，测得小汽车到达与车速检测仪之间的距离为的处．
（1）你能计算这辆小汽车的速度吗？
（2）这辆小汽车超速了吗？
【答案】（1）解：在中，，；
根据勾股定理可得：，
小汽车的速度为；
（2）解：，
这辆小汽车不超速行驶．
答：这辆小汽车不超速．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出BC的长度，再用BC的长度除以时间即可；
（2）根据（1）中求出的速度与限速比较即可判断.
19．（2024八上·万州期末）已知：在线段的同侧分别过A、B作，，分别在射线，上取点C、D.若，，点P是线段上的一个动点.
（1）如图1，连接、，当且时，求的长；
（2）如图2，点P在线段上以2个单位每秒的速度从点B向点A运动，同时点Q在射线上以x个单位每秒的速度从A点开始运动，当点P到达A点时停止运动.
①连接，当时，求x的值；
②是否存在实数x的值，使得某时刻与全等？若存在，请你求出x的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
；
（2）解：①∵，
∴，
∴，
，
∴；
②∵，
∴或，
若，
则，
，
；
若，
则，，
∴；
综上：存在实数或，使得与全等.
【知识点】全等三角形的应用；勾股定理；直角三角形的性质
【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质.
（1）先利用角的运算可求出，结合已知条件可证明，由全等三角形的性质可求出 ，由勾股定理可得：，代入数据可求出答案；
（2）①由等腰直角三角形性质可求出，据此可求出；
②分两种情况：若；若，由全等三角形的性质可求出对应的边的长度，据此可求出答案.
20．已知如下数表：
n 2 3 4 5 ……
a 22-1 32-1 42-1 52-1 ……
b 4 6 8 10 ……
c 22+1 32+1 42+1 52+1 ……
（1）观察a，b，c与n之间的关系，用含自然数n（n>1）的代数式表示：a= ，b= ，c= ．
（2）试猜想：以a，b，c为边的三角形是直角三角形吗？请说明理由．
【答案】（1）n2-1；2n；n2+1
（2）解：∵a2+b2=（ n2-1 ）2+（ 2n）2=n4+2n2+1，
c2=（n2+1）2=n4+2n2+1，
∴a2+b2=c2，
∴ 以a，b，c为边的三角形是直角三角形 .
【知识点】勾股定理的逆定理；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）由表格知：n=2时，a= 22-1 ，b=4=2×2，c= 22+1 ，
n=3时，a= 32-1 ，b=6=2×3，c= 32+1 ，
n=4时，a= 42-1 ，b=8=2×4，c= 42+1 ，
·······
∴ 用含自然数n（n>1）的代数式表示：a= n2-1 ，b= 2n ，c=n2+1 ．
【分析】（1）利用表格中的数据找出规律；
（2）利用勾股定理的逆定理进行解答即可.
21．（2023八上·宁海期末）定义：在任意中，如果一个内角度数的2倍与另一个内角度数的和为，那么称此三角形为“倍角互余三角形”.
（1）【基础巩固】若是“倍角互余三角形”，，，则 ；
（2）【尝试应用】如图1，在中，，点为线段上一点，若与互余.求证：是“倍角互余三角形”；
（3）【拓展提高】如图2，在中，，，，试问在边上是否存在点，使得是“倍角互余三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）15
（2）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴是倍角互余三角形.
（3）解：①当平分时，则，
∴，
∴，则，
设，则，，
在中，，
解得，所以.
②当时，作点关于的对称点，连接、，并延长交于点.
设，则，
∵点、点关于对称，
∴，
∴，
∴，
即，
利用等积法求得：，
∴，
在中，
设，在中，，
∴，
在中，，
∴，
综上所述，或时，为倍角互余三角形.
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；定义新运算；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵是“倍角互余三角形”，，，
∴，
∴，
故答案为：15；
【分析】（1）由题意可得∠A+2∠B=90°，据此计算；
（2）由内角和定理可得∠B+∠CAB=90°，由题意可得∠CAB+∠CAD=90°，则∠B=∠CAD，∠B+∠CAD+∠BAD=2∠B+∠BAD=90°，据此证明；
（3）①当AE平分∠CAB时，则2∠EAB+∠B=90°，∠CAE=∠FAE，∠ACE=∠AFE，证明△ACE≌△AFE，得到AE=AC=3，则BF=2，设CE=a，则EF=a，BE=4-a，由勾股定理可求出a的值，进而可得BE；②当∠CAE=∠B时，作点A关于BC的对称点H，连接AE、HE，并延长HE交AB于点F，设∠CAE=x，则∠ABC=x，∠AHE=∠CAE=x，∠CEH=∠BEF，则∠BEF+∠ABC=90°，根据等面积法可得HF，然后利用勾股定理可得AF，设AE=HE=a，利用勾股定理可得a的值，进而可得CE、BE的值.
22．（2017八上·义乌期中）在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，
（1）求高台A比矮台B高多少米？
（2）求旗杆的高度OM；
（3）玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．
【答案】（1）解：10-3=7(米）
（2）解：作AE⊥OM于E，BF⊥OM与F，
∵∠AOE+∠BOF=∠BOF+∠OBF=90°，
∴∠AOE=∠OBF，
在△AOE和△OBF中，
，
∴△AOE≌△OBF（AAS），
∴OE=BF，AE=OF，
即OE+OF=AE+BF=CD=17（m）
∵EF=EM﹣FM=AC﹣BD=10﹣3=7（m），
∴2EO+EF=17，
则2EO=10，
所以OE=5m，OF=12m，
所以OM=OF+FM=15m
（3）解：由勾股定理得ON=OA=13，
所以MN=15﹣13=2（m）．
答：玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米．
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据题意得到高台A比矮台B高（10-3）米；（2）根据题意和全等三角形的判定方法AAS，得到△AOE≌△OBF，得到对应边相等，求出旗杆的高度OM的值；（3）根据勾股定理求出ON=OA的值，得到玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．
23．（2023八上·温州期中）为了测量学校旗杆的高度，八(1)班的两个数学研究小组设计了不同的方案，请结合下面表格的信息，完成任务问题．
测量旗杆的高度
测量工具 测量角度的仪器、皮尺等
测量小组 第一小组 第二小组
测量方案示意图
设计方案及测量数据 在地面确定点C，并测得旗杆顶端A的仰角，即∠ACB=45°． 如图1，绳子垂直挂下来时，相比旗杆，测量多出的绳子长度FP为2米．如图2，绳子斜拉直后至末端点P位置，测量点P到地面的距离PD为1米，以及点P到旗杆AB的距离PE为9米．
（1）任务一：判断分析
第一小组要测旗杆AB的高度，只需要测量 的长度为线段并说明理由．
（2）任务二：推理计算
利用第二小组获得的数据，求旗杆的高度AB．
【答案】（1）解：BC
理由如下，
∵AB⊥BC，∠ACB=45° ，∴△ABC是等腰直角三角形，故只需测试BC的长就是旗杆AB的长.
（2）解：设旗杆的长度为x米，则绳子的长度为(x+2)米
在Rt△AEC中，AE=(x-1)米，CE=6米，AC=(x+2)米．．
∴(x-1)2+92=(x+2)2
解得x=13
∴旗杆的高度为13米
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）先根据测得旗杆顶端A的仰角为45° ，结合AB与BC垂直，可知三角形ABC为等腰直角三角形，从而只需测试BC就可知旗杆高度AB的长；（2）设旗杆的长度为x米， 可以x表示出绳子的长，利用勾股定理求出x即可.
24．（2020八上·常州期中）在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处.
（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为 °.
（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB＝6，AD＝10，求CE的长.
（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB＝6，AD＝10，求CG的长.
【答案】（1）18
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，
由折叠的性质得：AF＝AD＝10，EF＝ED，
∴BF＝ ＝ ＝8，
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，
设CE＝x，则EF＝ED＝6﹣x，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：22+x2＝（6﹣x）2，
解得：x＝ ，
即CE的长为 ；
（3）解：连接EG，如图3所示：
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
由折叠的性质得：AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，FE＝DE，
∴∠EFG＝90°＝∠C，
在Rt△CEG和△FEG中，
，
∴Rt△CEG≌△FEG（HL），
∴CG＝FG，
设CG＝FG＝y，
则AG＝AF+FG＝10+y，BG＝BC﹣CG＝10﹣y，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：62+（10﹣y）2＝（10+y）2，
解得：y＝ ，
即CG的长为 .
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝54°，
∴∠DAC＝90°﹣54°＝36°，
由折叠的性质得：∠DAE＝∠FAE，
∴∠DAE＝ ∠DAC＝18°；
故答案为：18；
【分析】（1）由矩形的性质可知∠BAD＝90°，易知∠DAC的度数，由折叠的性质可知∠DAE＝ ∠DAC，计算可得∠DAE的度数.（2）由矩形四个角都是直角及对边相等的性质及折叠后图形对应边相等的性质，结合勾股定理可得BF长，由CF＝BC﹣BF可求出CF长，设CE＝x，则EF＝ED＝6﹣x，在Rt△CEF中，根据勾股定理求出x值即可；（3）连接EG，由中点及折叠的性质利用HL定理可证Rt△CEG≌△FEG，结合全等三角形对应边相等的性质可设CG＝FG＝y，可用含y的代数式表示出AG、BG，在Rt△ABG中，根据勾股定理求解即可.
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