北师大版数学九年级上册《第一章 特殊平行四边形》单元同步测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024·自贡）如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点M，N，再分别以M、N为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点B，连接．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：依题意，AM=AN=BM=BN，
∴四边形AMNB是菱形，
∴∠MBN=∠A=40°，
故答案为：A.
【分析】根据尺规作图痕迹可判断为菱形，利用菱形的性质得出结果.
2．（2024八下·印江期中）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰．测得．则该菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，，
∴S菱形ABCD=×BD×AC=×8×6=24cm2，
故答案为：A.
【分析】利用菱形的面积=对角线乘积的一半列出算式求解即可.
3．（2019九上·贵阳期末）如图，菱形ABCD的周长为28，对角线AC，BD交于点O，E为AD的中点，则OE的长等于（ ）
A．2 B．3.5 C．7 D．14
【答案】B
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵四边形ABCD为菱形，∴AB 28=7，且O为BD的中点．
∵E为AD的中点，∴OE为△ABD的中位线，∴OE AB=3.5．
故答案为：B．
【分析】根据菱形的四边相等、对角线互相平分，可得AB=7，OB=OD，利用三角形的中位线平行且等于第三边的一半，可求出OE的长.
4．（2024·成都）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，且对角线AC与BD相交于点O，
∴AC=BD，OA=OB=OC=OD，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，AB∥CD，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，
故A、B、D选项都不一定正确，只有C选项一定正确.
故答案为：C.
【分析】矩形的性质：矩形的对边相等且平行，对角线相等且互相平分，四个角都是直角，据此逐一判断得出答案.
5．（2024八下·深圳期中） 下列判断错误的是( )
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．四条边都相等的四边形是菱形
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、“ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ”说法正确，不符合题意；
B、“ 四个内角都相等的四边形是矩形 ”说法正确，不符合题意；
C、∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴“ 对角线相等的四边形是矩形 ”说法错误，符合题意；
D、“ 四条边都相等的四边形是菱形 ”说法正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定定理“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判断A选项；根据矩形的判定定理“四个内角都相等的四边形是矩形”可判断B选项；根据矩形的判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”可判断C选项；根据菱形的判定定理“ 四条边都相等的四边形是菱形 ”可判断D选项.
6．（2021八下·绵阳期末）如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线AC，BD就可以判断，其推理依据是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．矩形的四个角是直角
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形，
故答案为：D.
【分析】矩形的判定定理有：对角线相等的平行四边形是矩形；一个角是直角的平行四边形是矩形；结合题意分别判断即可.
7．（2024·重庆市模拟）正方形具备而矩形不具备的性质是（ ）
A．四条边都相等 B．四个角都是直角
C．对角线互相平分 D．对角线相等
【答案】A
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：正方形具备而矩形不具备的性质是四条边相等且对角线互相垂直，
故答案为：A.
【分析】利用正方形和矩形的性质逐项分析判断即可.
8．（2024八下·绥江期中）如图，点在正方形的内部，且在对角线的上方，连接、，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：依题意，设，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=90°-x，
∴∠AED=180°-∠ADE-∠DAE=180°-x-(90°-x)=90°，
故选：C.
【分析】利用正方形的性质推理角度关系，此处为便于直观理解角度关系，在设元与标量的基础上利用同角余角相等倒角逐步往目标角靠拢计算.
9．（2024八下·保山期中）如图，在正方形的外侧，作等边，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是正方形，
∠BAD=90°，
是等边三角形，
∠DAE=60°，
∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°.
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质得到∠BAD=90°，等边三角形的性质得到∠DAE=60°，据此即可得到∠BAE的度数.
10．（2021八下·伍家岗期末）如图，E为正方形ABCD的对角线上一点，四边形EFCG为矩形，若正方形ABCD的边长为4，则EG＋GC的长为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】A
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵E为正方形ABCD的对角线上一点，
∴∠EDG=45°.
∵四边形EFCG为矩形，
∴∠EGD=90°，
∴∠EDG=∠DEG=45°.
∴EG=DG.
∴EG＋GC=DG+GC=CD=4.
故答案为：A.
【分析】根据正方形的每条对角线平分一组对角得出∠EDG=45°，进而根据矩形的性质及三角形的内角和定理得出∠EDG=∠DEG=45°，再根据等角对等边得出EG=DG，从而即可算出答案.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2023·黑龙江）如图，在矩形中对角线，交于点，请添加一个条件 ，使矩形是正方形（填一个即可）
【答案】
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：开放性命题，答案不唯一，可以添加：AB=BC，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，
∴矩形ABCD是正方形.
故答案为：AB=BC.
【分析】开放性命题，答案不唯一，根据正方形的判定方法：有一组邻边相等的矩形是正方形及对角线互相垂直的矩形是正方形进行添加即可.
12．（2024八下·新晃期中）如图，已知点O是矩形ABCD的对称中心，E、F分别是边AD、BC上的点，且关于点O中心对称，如果矩形的面积是22，那么图中阴影部分的面积是 .
【答案】55
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；矩形的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：在矩形中，，
∴，
在与中，
，
∴，
，
∴，
故答案为：．
【分析】根据矩形性质准备条件，根据ASA证明，从而根据三角形全等的性质得到，再由矩形对角线性质即可得到，根据矩形的面积公式求解即可。
13．（2023八下·靖江期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且，，于点E，则 ．
【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，
∴AC⊥BD，，，
在中，根据勾股定理得，，
∵S菱形ABCD =AC×BD=BC×AE，
即S菱形ABCD =×6×8=5×AE，
∴AE=.
故答案为：.
【分析】根据菱形的性质：对角线互相垂直平分，可求得OB，OC的值，再根据勾股定理求得菱形的边长，最后再根据菱形的面积获得等式，进而求出高AE的值.
14．如图，菱形ABCD的周长16cm，则菱形ABCD的一边中点E到对角线交点O的距离为 .cm.
【答案】2
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 菱形ABCD的周长16cm
∴BC=16÷4=4cm
∵O和E分别是AC和AB的中点
∴OE==2cm
故答案为：2.
【分析】根据菱形的四边相等，已知周长，可求出菱形的边长；根据菱形的对角线互相平分可得点O事AC的中点，再根据三角形的中线定理，可得OE的长.
15．（2023九上·潼南月考）如图，在矩形ABCD中，，，作AE平分∠BAD，若连接BF，则BF的长度为 。
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】四边形ABCD是矩形，
，BC=AD=4，CD=AB=6，∠BCD=90°，
AE平分∠BAD，
DF=AD=4，
CF=CD-DF=6-4=2，
由勾股定理可得
故答案为： .
【分析】根据矩形的性质得到，BC=AD=4，CD=AB=6，∠BCD=90°，进而得到由角平分线的性质得到从而求得CF的值，最后利用勾股定理即可求解.
16．（2023九上·商河月考）如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，只要添加条件AC BD．就能保证四边形EFGH是菱形．
【答案】=
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：由题意可得：四边形EFGH为平行四边形，
∴只要添加条件AC=BD， 就能保证四边形EFGH是菱形，
故答案为：=.
【分析】根据菱形的判定方法，结合图形判断求解即可。
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2023八下·义乌期末）如图，在中，已知，，与交于点，且．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由．
（2）若，且，，求的长．
【答案】（1）解：四边形是菱形；
，
，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是菱形
（2）解：菱形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
菱形，
，，
，
，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和已知条件得到：，进而判断出四边形ENFM为平行四边形，再由对角线互相垂直的平行四边形为菱形，即可得证；
（2）由得到：，进而四边形ABNE为平行四边形，得到：，再由菱形的性质和勾股定理可求得：即可求出AB的长
18．（2017-2018学年数学浙教版八年级下册5.3.2 正方形的判定 同步练习）如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由
【答案】（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AEBD是矩形
（2）解：当∠BAC=90°时，
理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD=BD=CD，
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形
【知识点】正方形的判定
【解析】【分析】利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得出∠ADB=90°，即可得AEBD是矩形；利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=CD，进而利用正方形的判定得出即可．
19．（2021·黄梅模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O， ， ，OE与AB交于点F.
（1）求证：四边形AEBO的为矩形；
（2）若OE＝10，AC＝16，求菱形ABCD的面积.
【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴四边形AEBO为平行四边形，
又∵四边形ABCD为菱形，
∴ ，
∴ ，
∴平行四边形AEBO为矩形
（2）解：∵四边形AEBO为矩形，
∴AB＝OE＝10，
又∵四边形ABCD为菱形，
∴AO＝ AC＝8，
∴ ，
∴ ，
∴BD＝2BO＝12，
∴菱形ABCD的面积＝ .
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）因为两组对边分别平行，所以，四边形AEBO是平行四边形.因为四边形ABCD是菱形，所以对角线AC⊥BD，即∠AOB=90°，所以四边形AEBO的为矩.
（2）因为四边形ABCD是菱形，所以OA=AC=8，因为OE=10，∠OAE=90°，在△AOE中，由勾股定理可得，AE=6，所以OB=AE=6，所以BD=2OB=12，所以，菱形ABCD的面积＝对角线乘积的一半.
20．（2023八下·舞阳期末）如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，且，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，，，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，．
，，
，
四边形是平行四边形．
又，即，
平行四边形是矩形．
（2）解：平分，．
，，
，．
在中，由勾股定理，得．
由（1）知，四边形DEBF是矩形，
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）首先根据平行四边形的性质，来证明四边形DEBF是平行四边形，又利用题目条件以及矩形的判定 ，证明平行四边形DEBF是矩形.
（2）首先根据平行四边形的性质，所以DC∥AB，利用平行线的性质可以得到∠DFA=∠DAF，所以AD=DF，然后再利用勾股定理解出DE，最后根据矩形的性质解出BF即可.
21．（2018·南宁）如图，在 ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．
（1）求证： ABCD是菱形；
（2）若AB=5，AC=6，求 ABCD的面积．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°，∵BE=DF，∴△AEB≌△AFD，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形。
（2）解：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是菱形，AC=6，
∴AC⊥BD，
AO=OC= AC= ×6=3，
∵AB=5，AO=3，
∴BO= = =4，
∴BD=2BO=8，
∴S平行四边形ABCD= ×AC×BD=24．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由菱形判定定理“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可证明△AEB≌△AFD，可得AB=AD。
（2）由菱形的性质“对角线互相垂直且平分”可求得另一条对角线BD的长度，而菱形的面积=对角线长度之积的一半。
22．（2017-2018学年数学浙教版八年级下册5.1.2 矩形的判定 同步练习）王华同学要证明命题“对角线相等的平行四边形是矩形”是正确的，她先作出了如图所示的平行四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．
已知：如图1，在平行四边形ABCD中， ，求证：平行四边形ABCD是 ．
（1）在方框中填空，以补全已知和求证；
（2）按王晓的想法写出证明过程；
证明：
【答案】（1）AC=BD；矩形
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD=BC，
在△ADC和△BCD中，
∵AC=BD，AD=BC，CD=DC
∴△ADC≌△BCD，
∴∠ADC=∠BCD．
又∵AD∥CB，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴∠ADC=∠BCD=90°．
∴平行四边形ABCD是矩形
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】在△ABD和△CDB中， ∵AC=BD，AD=BC，CD=DC，∴△ADC≌△BCD．∴∠ADC=∠BCD，∴AB//CD，AD//CB， ∴四边形ABCD是平行四边形∠ADC+∠BCD=180°，∴∠ADC=∠BCD=90°．一个角是直角的平行四边形是矩形.
23．（2018八上·濮阳开学考）如图，点E是正方形ABCD内的一点，将△BEC绕点C顺时针旋转至△DFC．
（1）请问最小旋转度数为多少？
（2）指出图中的全等图形以及它们的对应角？
（3）若∠EBC=30°，∠BCE=80°，求∠F的度数．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD为正方形，∴CB=CA，∠BCA=90°，
∴△BEC绕点C顺时针旋转90°可得到△DFC，
∴最小旋转度数为90°
（2）解：△BCE≌△DCF，对应角为：∠CBE与∠CDF，∠BCE与∠DCF，∠BEC与∠DFC
（3）解：∵∠EBC=30°，∠BCE=80°，∴∠BEC=180°-30°-80°=70°，
∴∠F=∠BEC=70°
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得出CB=CA，∠BCA=90°，根据旋转的性质△BEC绕点C顺时针旋转90°可得到△DFC；
（2）根据旋转的性质△BEC绕点C顺时针旋转90°可得到△DFC，故△BCE≌△DCF，对应角为：∠CBE与∠CDF，∠BCE与∠DCF，∠BEC与∠DFC；
（3）根据三角形的内角和得出∠BEC的度数，根据旋转的性质得出∠F=∠BEC=70°。
24．如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B'，连接AB'并延长交直线DC于点F．
（1）当点F与点C重合时如图（1），易证：DF+BE=AF（不需证明）；
（2）当点F在DC的延长线上时如图（2），当点F在CD的延长线上时如图（3），线段DF、BE、AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．
【答案】（1）解：由折叠可得AB=AB'，BE=B'E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DC=DF，∠CB'E=45°，
∴B'E=B'F，
∴AF=AB'+B'F，
即DF+BE=AF；
（2）解：图（2）的结论：DF+BE=AF；
图（3）的结论：BE﹣DF=AF；
图（2）的证明：延长CD到点G，使DG=BE，连接AG，
需证△ABE≌△ADG，
∵CB∥AD，
∴∠AEB=∠EAD，
∵∠BAE=∠B'AE，
∴∠B'AE=∠DAG，
∴∠GAF=∠DAE，
∴∠AGD=∠GAF，
∴GF=AF，
∴BE+DF=AF；
图（3）的证明：在BC上取点M，使BM=DF，连接AM，
需证△ABM≌△ADF，
∵∠BAM=∠FAD，AF=AM
∵△ABE≌△A'BE
∴∠BAE=∠EAB'，
∴∠MAE=∠DAE，
∵AD∥BE，
∴∠AEM=∠DAB，
∴∠MAE=∠AEM，
∴ME=MA=AF，
∴BE﹣DF=AF．
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（1）由折叠可得AB=AB'，BE=B'E，再根据四边形ABCD是正方形，易证B'E=B'F，即可证明DF+BE=AF；
（2）图（2）的结论：DF+BE=AF；图（3）的结论：BE﹣DF=AF；证明图（2）：延长CD到点G，使DG=BE，连接AG，需证△ABE≌△ADG，
根据CB∥AD，得∠AEB=∠EAD，即可得出∠B'AE=∠DAG，则∠GAF=∠DAE，则∠AGD=∠GAF，即可得出答案BE+DF=AF．
【分析】此题考查了图形折叠问题，涉及知识点有正方形性质，平行的性质，全等三角形的性质，找到相应的边角关系并求答.
1 / 1北师大版数学九年级上册《第一章 特殊平行四边形》单元同步测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024·自贡）如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点M，N，再分别以M、N为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点B，连接．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八下·印江期中）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰．测得．则该菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2019九上·贵阳期末）如图，菱形ABCD的周长为28，对角线AC，BD交于点O，E为AD的中点，则OE的长等于（ ）
A．2 B．3.5 C．7 D．14
4．（2024·成都）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八下·深圳期中） 下列判断错误的是( )
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．四条边都相等的四边形是菱形
6．（2021八下·绵阳期末）如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线AC，BD就可以判断，其推理依据是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．矩形的四个角是直角
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
7．（2024·重庆市模拟）正方形具备而矩形不具备的性质是（ ）
A．四条边都相等 B．四个角都是直角
C．对角线互相平分 D．对角线相等
8．（2024八下·绥江期中）如图，点在正方形的内部，且在对角线的上方，连接、，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024八下·保山期中）如图，在正方形的外侧，作等边，则为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021八下·伍家岗期末）如图，E为正方形ABCD的对角线上一点，四边形EFCG为矩形，若正方形ABCD的边长为4，则EG＋GC的长为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2023·黑龙江）如图，在矩形中对角线，交于点，请添加一个条件 ，使矩形是正方形（填一个即可）
12．（2024八下·新晃期中）如图，已知点O是矩形ABCD的对称中心，E、F分别是边AD、BC上的点，且关于点O中心对称，如果矩形的面积是22，那么图中阴影部分的面积是 .
13．（2023八下·靖江期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且，，于点E，则 ．
14．如图，菱形ABCD的周长16cm，则菱形ABCD的一边中点E到对角线交点O的距离为 .cm.
15．（2023九上·潼南月考）如图，在矩形ABCD中，，，作AE平分∠BAD，若连接BF，则BF的长度为 。
16．（2023九上·商河月考）如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，只要添加条件AC BD．就能保证四边形EFGH是菱形．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2023八下·义乌期末）如图，在中，已知，，与交于点，且．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由．
（2）若，且，，求的长．
18．（2017-2018学年数学浙教版八年级下册5.3.2 正方形的判定 同步练习）如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由
19．（2021·黄梅模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O， ， ，OE与AB交于点F.
（1）求证：四边形AEBO的为矩形；
（2）若OE＝10，AC＝16，求菱形ABCD的面积.
20．（2023八下·舞阳期末）如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，且，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，，，求的长．
21．（2018·南宁）如图，在 ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．
（1）求证： ABCD是菱形；
（2）若AB=5，AC=6，求 ABCD的面积．
22．（2017-2018学年数学浙教版八年级下册5.1.2 矩形的判定 同步练习）王华同学要证明命题“对角线相等的平行四边形是矩形”是正确的，她先作出了如图所示的平行四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．
已知：如图1，在平行四边形ABCD中， ，求证：平行四边形ABCD是 ．
（1）在方框中填空，以补全已知和求证；
（2）按王晓的想法写出证明过程；
证明：
23．（2018八上·濮阳开学考）如图，点E是正方形ABCD内的一点，将△BEC绕点C顺时针旋转至△DFC．
（1）请问最小旋转度数为多少？
（2）指出图中的全等图形以及它们的对应角？
（3）若∠EBC=30°，∠BCE=80°，求∠F的度数．
24．如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B'，连接AB'并延长交直线DC于点F．
（1）当点F与点C重合时如图（1），易证：DF+BE=AF（不需证明）；
（2）当点F在DC的延长线上时如图（2），当点F在CD的延长线上时如图（3），线段DF、BE、AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：依题意，AM=AN=BM=BN，
∴四边形AMNB是菱形，
∴∠MBN=∠A=40°，
故答案为：A.
【分析】根据尺规作图痕迹可判断为菱形，利用菱形的性质得出结果.
2．【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，，
∴S菱形ABCD=×BD×AC=×8×6=24cm2，
故答案为：A.
【分析】利用菱形的面积=对角线乘积的一半列出算式求解即可.
3．【答案】B
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵四边形ABCD为菱形，∴AB 28=7，且O为BD的中点．
∵E为AD的中点，∴OE为△ABD的中位线，∴OE AB=3.5．
故答案为：B．
【分析】根据菱形的四边相等、对角线互相平分，可得AB=7，OB=OD，利用三角形的中位线平行且等于第三边的一半，可求出OE的长.
4．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，且对角线AC与BD相交于点O，
∴AC=BD，OA=OB=OC=OD，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，AB∥CD，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，
故A、B、D选项都不一定正确，只有C选项一定正确.
故答案为：C.
【分析】矩形的性质：矩形的对边相等且平行，对角线相等且互相平分，四个角都是直角，据此逐一判断得出答案.
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、“ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ”说法正确，不符合题意；
B、“ 四个内角都相等的四边形是矩形 ”说法正确，不符合题意；
C、∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴“ 对角线相等的四边形是矩形 ”说法错误，符合题意；
D、“ 四条边都相等的四边形是菱形 ”说法正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定定理“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判断A选项；根据矩形的判定定理“四个内角都相等的四边形是矩形”可判断B选项；根据矩形的判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”可判断C选项；根据菱形的判定定理“ 四条边都相等的四边形是菱形 ”可判断D选项.
6．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形，
故答案为：D.
【分析】矩形的判定定理有：对角线相等的平行四边形是矩形；一个角是直角的平行四边形是矩形；结合题意分别判断即可.
7．【答案】A
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：正方形具备而矩形不具备的性质是四条边相等且对角线互相垂直，
故答案为：A.
【分析】利用正方形和矩形的性质逐项分析判断即可.
8．【答案】C
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：依题意，设，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=90°-x，
∴∠AED=180°-∠ADE-∠DAE=180°-x-(90°-x)=90°，
故选：C.
【分析】利用正方形的性质推理角度关系，此处为便于直观理解角度关系，在设元与标量的基础上利用同角余角相等倒角逐步往目标角靠拢计算.
9．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是正方形，
∠BAD=90°，
是等边三角形，
∠DAE=60°，
∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°.
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质得到∠BAD=90°，等边三角形的性质得到∠DAE=60°，据此即可得到∠BAE的度数.
10．【答案】A
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵E为正方形ABCD的对角线上一点，
∴∠EDG=45°.
∵四边形EFCG为矩形，
∴∠EGD=90°，
∴∠EDG=∠DEG=45°.
∴EG=DG.
∴EG＋GC=DG+GC=CD=4.
故答案为：A.
【分析】根据正方形的每条对角线平分一组对角得出∠EDG=45°，进而根据矩形的性质及三角形的内角和定理得出∠EDG=∠DEG=45°，再根据等角对等边得出EG=DG，从而即可算出答案.
11．【答案】
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：开放性命题，答案不唯一，可以添加：AB=BC，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，
∴矩形ABCD是正方形.
故答案为：AB=BC.
【分析】开放性命题，答案不唯一，根据正方形的判定方法：有一组邻边相等的矩形是正方形及对角线互相垂直的矩形是正方形进行添加即可.
12．【答案】55
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；矩形的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：在矩形中，，
∴，
在与中，
，
∴，
，
∴，
故答案为：．
【分析】根据矩形性质准备条件，根据ASA证明，从而根据三角形全等的性质得到，再由矩形对角线性质即可得到，根据矩形的面积公式求解即可。
13．【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，
∴AC⊥BD，，，
在中，根据勾股定理得，，
∵S菱形ABCD =AC×BD=BC×AE，
即S菱形ABCD =×6×8=5×AE，
∴AE=.
故答案为：.
【分析】根据菱形的性质：对角线互相垂直平分，可求得OB，OC的值，再根据勾股定理求得菱形的边长，最后再根据菱形的面积获得等式，进而求出高AE的值.
14．【答案】2
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 菱形ABCD的周长16cm
∴BC=16÷4=4cm
∵O和E分别是AC和AB的中点
∴OE==2cm
故答案为：2.
【分析】根据菱形的四边相等，已知周长，可求出菱形的边长；根据菱形的对角线互相平分可得点O事AC的中点，再根据三角形的中线定理，可得OE的长.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】四边形ABCD是矩形，
，BC=AD=4，CD=AB=6，∠BCD=90°，
AE平分∠BAD，
DF=AD=4，
CF=CD-DF=6-4=2，
由勾股定理可得
故答案为： .
【分析】根据矩形的性质得到，BC=AD=4，CD=AB=6，∠BCD=90°，进而得到由角平分线的性质得到从而求得CF的值，最后利用勾股定理即可求解.
16．【答案】=
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：由题意可得：四边形EFGH为平行四边形，
∴只要添加条件AC=BD， 就能保证四边形EFGH是菱形，
故答案为：=.
【分析】根据菱形的判定方法，结合图形判断求解即可。
17．【答案】（1）解：四边形是菱形；
，
，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是菱形
（2）解：菱形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
菱形，
，，
，
，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和已知条件得到：，进而判断出四边形ENFM为平行四边形，再由对角线互相垂直的平行四边形为菱形，即可得证；
（2）由得到：，进而四边形ABNE为平行四边形，得到：，再由菱形的性质和勾股定理可求得：即可求出AB的长
18．【答案】（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AEBD是矩形
（2）解：当∠BAC=90°时，
理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD=BD=CD，
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形
【知识点】正方形的判定
【解析】【分析】利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得出∠ADB=90°，即可得AEBD是矩形；利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=CD，进而利用正方形的判定得出即可．
19．【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴四边形AEBO为平行四边形，
又∵四边形ABCD为菱形，
∴ ，
∴ ，
∴平行四边形AEBO为矩形
（2）解：∵四边形AEBO为矩形，
∴AB＝OE＝10，
又∵四边形ABCD为菱形，
∴AO＝ AC＝8，
∴ ，
∴ ，
∴BD＝2BO＝12，
∴菱形ABCD的面积＝ .
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）因为两组对边分别平行，所以，四边形AEBO是平行四边形.因为四边形ABCD是菱形，所以对角线AC⊥BD，即∠AOB=90°，所以四边形AEBO的为矩.
（2）因为四边形ABCD是菱形，所以OA=AC=8，因为OE=10，∠OAE=90°，在△AOE中，由勾股定理可得，AE=6，所以OB=AE=6，所以BD=2OB=12，所以，菱形ABCD的面积＝对角线乘积的一半.
20．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，．
，，
，
四边形是平行四边形．
又，即，
平行四边形是矩形．
（2）解：平分，．
，，
，．
在中，由勾股定理，得．
由（1）知，四边形DEBF是矩形，
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）首先根据平行四边形的性质，来证明四边形DEBF是平行四边形，又利用题目条件以及矩形的判定 ，证明平行四边形DEBF是矩形.
（2）首先根据平行四边形的性质，所以DC∥AB，利用平行线的性质可以得到∠DFA=∠DAF，所以AD=DF，然后再利用勾股定理解出DE，最后根据矩形的性质解出BF即可.
21．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°，∵BE=DF，∴△AEB≌△AFD，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形。
（2）解：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是菱形，AC=6，
∴AC⊥BD，
AO=OC= AC= ×6=3，
∵AB=5，AO=3，
∴BO= = =4，
∴BD=2BO=8，
∴S平行四边形ABCD= ×AC×BD=24．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由菱形判定定理“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可证明△AEB≌△AFD，可得AB=AD。
（2）由菱形的性质“对角线互相垂直且平分”可求得另一条对角线BD的长度，而菱形的面积=对角线长度之积的一半。
22．【答案】（1）AC=BD；矩形
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD=BC，
在△ADC和△BCD中，
∵AC=BD，AD=BC，CD=DC
∴△ADC≌△BCD，
∴∠ADC=∠BCD．
又∵AD∥CB，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴∠ADC=∠BCD=90°．
∴平行四边形ABCD是矩形
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】在△ABD和△CDB中， ∵AC=BD，AD=BC，CD=DC，∴△ADC≌△BCD．∴∠ADC=∠BCD，∴AB//CD，AD//CB， ∴四边形ABCD是平行四边形∠ADC+∠BCD=180°，∴∠ADC=∠BCD=90°．一个角是直角的平行四边形是矩形.
23．【答案】（1）解：∵四边形ABCD为正方形，∴CB=CA，∠BCA=90°，
∴△BEC绕点C顺时针旋转90°可得到△DFC，
∴最小旋转度数为90°
（2）解：△BCE≌△DCF，对应角为：∠CBE与∠CDF，∠BCE与∠DCF，∠BEC与∠DFC
（3）解：∵∠EBC=30°，∠BCE=80°，∴∠BEC=180°-30°-80°=70°，
∴∠F=∠BEC=70°
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得出CB=CA，∠BCA=90°，根据旋转的性质△BEC绕点C顺时针旋转90°可得到△DFC；
（2）根据旋转的性质△BEC绕点C顺时针旋转90°可得到△DFC，故△BCE≌△DCF，对应角为：∠CBE与∠CDF，∠BCE与∠DCF，∠BEC与∠DFC；
（3）根据三角形的内角和得出∠BEC的度数，根据旋转的性质得出∠F=∠BEC=70°。
24．【答案】（1）解：由折叠可得AB=AB'，BE=B'E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DC=DF，∠CB'E=45°，
∴B'E=B'F，
∴AF=AB'+B'F，
即DF+BE=AF；
（2）解：图（2）的结论：DF+BE=AF；
图（3）的结论：BE﹣DF=AF；
图（2）的证明：延长CD到点G，使DG=BE，连接AG，
需证△ABE≌△ADG，
∵CB∥AD，
∴∠AEB=∠EAD，
∵∠BAE=∠B'AE，
∴∠B'AE=∠DAG，
∴∠GAF=∠DAE，
∴∠AGD=∠GAF，
∴GF=AF，
∴BE+DF=AF；
图（3）的证明：在BC上取点M，使BM=DF，连接AM，
需证△ABM≌△ADF，
∵∠BAM=∠FAD，AF=AM
∵△ABE≌△A'BE
∴∠BAE=∠EAB'，
∴∠MAE=∠DAE，
∵AD∥BE，
∴∠AEM=∠DAB，
∴∠MAE=∠AEM，
∴ME=MA=AF，
∴BE﹣DF=AF．
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（1）由折叠可得AB=AB'，BE=B'E，再根据四边形ABCD是正方形，易证B'E=B'F，即可证明DF+BE=AF；
（2）图（2）的结论：DF+BE=AF；图（3）的结论：BE﹣DF=AF；证明图（2）：延长CD到点G，使DG=BE，连接AG，需证△ABE≌△ADG，
根据CB∥AD，得∠AEB=∠EAD，即可得出∠B'AE=∠DAG，则∠GAF=∠DAE，则∠AGD=∠GAF，即可得出答案BE+DF=AF．
【分析】此题考查了图形折叠问题，涉及知识点有正方形性质，平行的性质，全等三角形的性质，找到相应的边角关系并求答.
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