北师大版数学八年级上册《第二章 实数》单元同步测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022七下·南部月考）下列实数：，，，，中，无理数有（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024八下·浙江月考）下列各式中计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八下·岳麓月考） 要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·南京）估计12的算术平方根介于（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
5．（2023九上·池州开学考）下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八下·梁平月考）下列各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022九下·长沙期中） 9的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024八下·中山期中）如图，在数轴上点表示的实数是（ ）
A． B． C．－2 D．
9．（2024八下·江城期中）若是整数，则整数的值是（ ）
A．1或3 B．3或6 C．3或12 D．6或12
10．（2023八上·榆树月考）下列说法正确的是（ ）
A．-4的平方根是±2 B．-4的算术平方根是-2
C．的平方根是±4 D．0的平方根与算术平方根都是0
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2023八下·前郭尔罗斯期末）计算
12．（2017七下·濮阳期中）写出一个大于3且小于4的无理数 ．
13．（2022七下·江油月考）一个正数a的平方根分别是2m和-3m+1，则这个正数a为 .
14．（北师大版数学八年级上册第二章实数第三节《立方根》同步练习） 的平方根是 .
15．（2024八下·青山湖月考）的整数部分是 .
16．（2023八上·上海市期中）如图，数轴上点所对应的数为，化简： ．
三、解答题（共6题，共72分）
17．（2023八上·光明期中）计算：
（1）|-2|+；
（2）+-；
（3）；
（4）．
18．（2019八上·西安月考）把下列各数填入相应的横线里：
， ， ，0，0.8， ， ，
正有理数集合： ；
整数集合： ；
负分数集合： ；
无理数集合： .
19．（2017八上·深圳月考）已知4是3a﹣2的算术平方根，2﹣15a﹣b的立方根为﹣5．
（1）求a和b的值；
（2）求2b﹣a﹣4的平方根．
20．（2024八上·邵阳期末）阅读下列解题过程
例：若代数式的值是2，求a的取值范围
解：原式，
当时，原式，解得（舍去）；
当时，原式，符合条件；
当时，原式，解得（舍去）．
的取值范围是．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
（1）当时，化简： ．
（2）若，求a的取值范围．
21．（2023八上·沙坪坝期中）我们知道无理数都可以化为无限不循环小数，所以 的小数部分不可能全部写出来 ，若的整数部分为a，小数部分为b，则 ，且b＜1．
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）若的整数部分为m，小数部分为n，求的值．
22．（2024八上·大竹期末）阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值．
小明的方法：
∵，设，
∴．∴．
∴，解得．∴．
（上述方法中使用了完全平方公式：，下面可参考使用）问题：
（1）请你依照小明的方法，估算的值（结果保留两位小数）；
（2）请结合上述具体实例，概括出估算的公式：已知非负整数a、b、，且，估计的值（用含a、b的代数式表示）；
（3）请用（2）中的结论估算的近似值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：下列实数：，，，，中，无理数有，，中，共有3个.
故答案为：C.
【分析】无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数，圆周率π都是无理数，据此判断.
2．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B错误；
C、，C错误；
D、，D正确.
故答案为：D.
【分析】被开方数不相同的两个二次根式不能合并，A、B错误；两个二次根式相乘除，把被开方数相乘除，C错误，D正确.
3．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题有：
解得：x≥2，
的取值范围是x≥2.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可.
4．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵9＜12＜16，
∴，
即.
故答案为：C.
【分析】根据算术平方根的性质，被开方数越大，其算术平方根就越大可得，从而可得答案.
5．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】A、∵不是同类二次根式，∴A不正确；
B、∵，∴B不正确；
C、∵，∴C正确；
D、∵，∴D不正确；
故答案为：C.
【分析】利用二次根式的加减法，二次根式的乘除法逐项判断即可.
6．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】A、∵a≥0时，是二次根式，∴A不符合题意；
B、∵，∴不是最简二次根式，∴B不符合题意；
C、∵是最简二次根式，∴C符合题意；
D、∵，∴不是最简二次根式，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用二次根式的定义及最简二次根式的定义逐项分析判断即可.
7．【答案】C
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵，
∴9的算术平方根是3.
故答案为：C.
【分析】若一个正数a的平方等于b，则a叫做b的算术平方根，据此解答.
8．【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：如图，
∵
∴
∴点表示的实数是：
故答案为：A.
【分析】先根据勾股定理求出OA的长度，然后根据圆的性质得到进而根据数轴上的点所表示数的特点即可求解.
9．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：原式=，
∵是整数，
∴当x=3或12时，符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的乘法法则将原式化简为，结合题意可得应该是一个完全平方数，再结合整数的定义即可求解.
10．【答案】D
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解：
A：-4的平方根是±2，说法错误，负数没有平方根；
B：-4的算术平方根是-2，说法错误，负数没有算术平方根；
C：的平方根是±4，说法错误，表示要求16的算术平方根，应为4；
D：0的平方根与算术平方根都是0，说法正确。
故答案为：D
【分析】明确只有非负数才有算术平方根和平方根、两者的表示符号不同、0的平方根与算术平方根都是0。
11．【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：原式=；
故答案为： .
【分析】利用二次根式的加减法则计算即可.
12．【答案】π（答案不唯一）
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：∵π≈3.14…，
∴3＜π＜4，
故答案为：π（答案不唯一）．
【分析】根据无理数是无限不循环小数进行解答，由于π≈3.14…，故π符合题意．
13．【答案】4
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵一个正数a的平方根分别是2m和-3m+1，
∴
解得
故答案为：4
【分析】一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，据此解答即可.
14．【答案】
【知识点】平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】∵
∴4的平方根是
【分析】考查立方根和平方根的结合
15．【答案】2
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】
的整数部分是2.
故答案为：2.
【分析】先估计的近似值，然后判断的近似值，最后得出的整数部分。
16．【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由数轴得：，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据数轴求出，再根据进行化简．
17．【答案】（1）解：原式＝2+1+
＝3+3
＝6；
（2）解：原式＝
＝2；
（3）解：原式＝（7-5）-2+
＝2-2+
＝；
（4）解：原式＝
＝3-．
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】（1）根据绝对值的非负性，先计算|-2|=2；根据0指数幂等于1，可计算=1；化简三次根式，=3；最后根据有理数的加减混合运算，从左到右以此计算即可.
（2）先化简二次根式，再合并同类项即可.
(3)根据完全平方式，可先计算=-=7-5=2；再将后面的括号先去掉，括号前是减号，去掉括号需要变号；最后根据实数混合运算计算即可.
（4）根据二次根式的乘除法原则，直接将根号里面的数值进行乘除法计算；根据实数混合运算计算即可.
18．【答案】；-2,0；；
【知识点】有理数及其分类；无理数的概念
【解析】【解答】解：正有理数集合： ；
整数集合： ；
负分数集合： ；
无理数集合： .
故答案为： ； ； ； .
【分析】根据无理数的定义，以及有理数的分类进行解答，即可得到答案.
19．【答案】（1）解：∵4是3a﹣2的算术平方根，∴3a﹣2=16，∴a=6，∵2﹣15a﹣b的立方根为﹣5，∴2﹣15a﹣b=﹣125，∴2﹣15×6﹣b=﹣125，∴b=37
（2）解：2b﹣a﹣4=2×37﹣6﹣4=64，64的平方根为±8，∴2b﹣a﹣4的平方根为±8
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方
【解析】【分析】（1）一个数的算术平方根平方后是这个数，一个数的立方根立方后是这个数；（2）根据（1）中a，b的值可得所给数，这个数的平方根有两个，且互为相反数.
20．【答案】（1）2
（2）解：，
当时，原式，
，符合条件；
当时，原式，（舍去）；
当时，原式，
，符合条件，
∴a的取值范围是或．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴a-2≥0，a-4≤0，
∴= a-2+4-a=2.
故答案为：2.
【分析】（1）根据a的取值范围，可以得出a-2≥0，a-4≤0，从而化简二次根式，可得出答案；
（2）首先得出 ， 然后根据a的取值范围，分别进行化简，化简结果为10的符合条件，即可得出a的取值范围。
21．【答案】（1）4；
（2）解：∵，
∴，
∴m＝5，-5，
∴
，
．
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1）∵16＜17＜25，
∴4＜＜5，
∴整数部分为4，小数部分是-4；
故答案为：4，-4；
【分析】（1）利用夹逼法估算出的整数部分，再确定小数部分即可；
（2）利用夹逼法估算出的整数部分m，再确定小数部分n值，然后代入计算即可.
22．【答案】（1）解：∵，
设，
∴，
∴，
∴．
解得，
∴；
（2）解：设，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴；
（3）解：∵，
∴．
【知识点】无理数的估值；完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）根据例题设，两边同时平方得到， 舍去得到． 记得， 回代到，从而求解；
（2）设 ，两边同时平方得到， 舍去得到， 回代，从而求解；
（3）根据例题仿写计算即可求解.
1 / 1北师大版数学八年级上册《第二章 实数》单元同步测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022七下·南部月考）下列实数：，，，，中，无理数有（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：下列实数：，，，，中，无理数有，，中，共有3个.
故答案为：C.
【分析】无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数，圆周率π都是无理数，据此判断.
2．（2024八下·浙江月考）下列各式中计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B错误；
C、，C错误；
D、，D正确.
故答案为：D.
【分析】被开方数不相同的两个二次根式不能合并，A、B错误；两个二次根式相乘除，把被开方数相乘除，C错误，D正确.
3．（2024八下·岳麓月考） 要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题有：
解得：x≥2，
的取值范围是x≥2.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可.
4．（2022·南京）估计12的算术平方根介于（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵9＜12＜16，
∴，
即.
故答案为：C.
【分析】根据算术平方根的性质，被开方数越大，其算术平方根就越大可得，从而可得答案.
5．（2023九上·池州开学考）下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】A、∵不是同类二次根式，∴A不正确；
B、∵，∴B不正确；
C、∵，∴C正确；
D、∵，∴D不正确；
故答案为：C.
【分析】利用二次根式的加减法，二次根式的乘除法逐项判断即可.
6．（2024八下·梁平月考）下列各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】A、∵a≥0时，是二次根式，∴A不符合题意；
B、∵，∴不是最简二次根式，∴B不符合题意；
C、∵是最简二次根式，∴C符合题意；
D、∵，∴不是最简二次根式，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用二次根式的定义及最简二次根式的定义逐项分析判断即可.
7．（2022九下·长沙期中） 9的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵，
∴9的算术平方根是3.
故答案为：C.
【分析】若一个正数a的平方等于b，则a叫做b的算术平方根，据此解答.
8．（2024八下·中山期中）如图，在数轴上点表示的实数是（ ）
A． B． C．－2 D．
【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：如图，
∵
∴
∴点表示的实数是：
故答案为：A.
【分析】先根据勾股定理求出OA的长度，然后根据圆的性质得到进而根据数轴上的点所表示数的特点即可求解.
9．（2024八下·江城期中）若是整数，则整数的值是（ ）
A．1或3 B．3或6 C．3或12 D．6或12
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：原式=，
∵是整数，
∴当x=3或12时，符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的乘法法则将原式化简为，结合题意可得应该是一个完全平方数，再结合整数的定义即可求解.
10．（2023八上·榆树月考）下列说法正确的是（ ）
A．-4的平方根是±2 B．-4的算术平方根是-2
C．的平方根是±4 D．0的平方根与算术平方根都是0
【答案】D
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解：
A：-4的平方根是±2，说法错误，负数没有平方根；
B：-4的算术平方根是-2，说法错误，负数没有算术平方根；
C：的平方根是±4，说法错误，表示要求16的算术平方根，应为4；
D：0的平方根与算术平方根都是0，说法正确。
故答案为：D
【分析】明确只有非负数才有算术平方根和平方根、两者的表示符号不同、0的平方根与算术平方根都是0。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2023八下·前郭尔罗斯期末）计算
【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：原式=；
故答案为： .
【分析】利用二次根式的加减法则计算即可.
12．（2017七下·濮阳期中）写出一个大于3且小于4的无理数 ．
【答案】π（答案不唯一）
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：∵π≈3.14…，
∴3＜π＜4，
故答案为：π（答案不唯一）．
【分析】根据无理数是无限不循环小数进行解答，由于π≈3.14…，故π符合题意．
13．（2022七下·江油月考）一个正数a的平方根分别是2m和-3m+1，则这个正数a为 .
【答案】4
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵一个正数a的平方根分别是2m和-3m+1，
∴
解得
故答案为：4
【分析】一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，据此解答即可.
14．（北师大版数学八年级上册第二章实数第三节《立方根》同步练习） 的平方根是 .
【答案】
【知识点】平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】∵
∴4的平方根是
【分析】考查立方根和平方根的结合
15．（2024八下·青山湖月考）的整数部分是 .
【答案】2
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】
的整数部分是2.
故答案为：2.
【分析】先估计的近似值，然后判断的近似值，最后得出的整数部分。
16．（2023八上·上海市期中）如图，数轴上点所对应的数为，化简： ．
【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由数轴得：，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据数轴求出，再根据进行化简．
三、解答题（共6题，共72分）
17．（2023八上·光明期中）计算：
（1）|-2|+；
（2）+-；
（3）；
（4）．
【答案】（1）解：原式＝2+1+
＝3+3
＝6；
（2）解：原式＝
＝2；
（3）解：原式＝（7-5）-2+
＝2-2+
＝；
（4）解：原式＝
＝3-．
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】（1）根据绝对值的非负性，先计算|-2|=2；根据0指数幂等于1，可计算=1；化简三次根式，=3；最后根据有理数的加减混合运算，从左到右以此计算即可.
（2）先化简二次根式，再合并同类项即可.
(3)根据完全平方式，可先计算=-=7-5=2；再将后面的括号先去掉，括号前是减号，去掉括号需要变号；最后根据实数混合运算计算即可.
（4）根据二次根式的乘除法原则，直接将根号里面的数值进行乘除法计算；根据实数混合运算计算即可.
18．（2019八上·西安月考）把下列各数填入相应的横线里：
， ， ，0，0.8， ， ，
正有理数集合： ；
整数集合： ；
负分数集合： ；
无理数集合： .
【答案】；-2,0；；
【知识点】有理数及其分类；无理数的概念
【解析】【解答】解：正有理数集合： ；
整数集合： ；
负分数集合： ；
无理数集合： .
故答案为： ； ； ； .
【分析】根据无理数的定义，以及有理数的分类进行解答，即可得到答案.
19．（2017八上·深圳月考）已知4是3a﹣2的算术平方根，2﹣15a﹣b的立方根为﹣5．
（1）求a和b的值；
（2）求2b﹣a﹣4的平方根．
【答案】（1）解：∵4是3a﹣2的算术平方根，∴3a﹣2=16，∴a=6，∵2﹣15a﹣b的立方根为﹣5，∴2﹣15a﹣b=﹣125，∴2﹣15×6﹣b=﹣125，∴b=37
（2）解：2b﹣a﹣4=2×37﹣6﹣4=64，64的平方根为±8，∴2b﹣a﹣4的平方根为±8
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方
【解析】【分析】（1）一个数的算术平方根平方后是这个数，一个数的立方根立方后是这个数；（2）根据（1）中a，b的值可得所给数，这个数的平方根有两个，且互为相反数.
20．（2024八上·邵阳期末）阅读下列解题过程
例：若代数式的值是2，求a的取值范围
解：原式，
当时，原式，解得（舍去）；
当时，原式，符合条件；
当时，原式，解得（舍去）．
的取值范围是．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
（1）当时，化简： ．
（2）若，求a的取值范围．
【答案】（1）2
（2）解：，
当时，原式，
，符合条件；
当时，原式，（舍去）；
当时，原式，
，符合条件，
∴a的取值范围是或．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴a-2≥0，a-4≤0，
∴= a-2+4-a=2.
故答案为：2.
【分析】（1）根据a的取值范围，可以得出a-2≥0，a-4≤0，从而化简二次根式，可得出答案；
（2）首先得出 ， 然后根据a的取值范围，分别进行化简，化简结果为10的符合条件，即可得出a的取值范围。
21．（2023八上·沙坪坝期中）我们知道无理数都可以化为无限不循环小数，所以 的小数部分不可能全部写出来 ，若的整数部分为a，小数部分为b，则 ，且b＜1．
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）若的整数部分为m，小数部分为n，求的值．
【答案】（1）4；
（2）解：∵，
∴，
∴m＝5，-5，
∴
，
．
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1）∵16＜17＜25，
∴4＜＜5，
∴整数部分为4，小数部分是-4；
故答案为：4，-4；
【分析】（1）利用夹逼法估算出的整数部分，再确定小数部分即可；
（2）利用夹逼法估算出的整数部分m，再确定小数部分n值，然后代入计算即可.
22．（2024八上·大竹期末）阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值．
小明的方法：
∵，设，
∴．∴．
∴，解得．∴．
（上述方法中使用了完全平方公式：，下面可参考使用）问题：
（1）请你依照小明的方法，估算的值（结果保留两位小数）；
（2）请结合上述具体实例，概括出估算的公式：已知非负整数a、b、，且，估计的值（用含a、b的代数式表示）；
（3）请用（2）中的结论估算的近似值．
【答案】（1）解：∵，
设，
∴，
∴，
∴．
解得，
∴；
（2）解：设，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴；
（3）解：∵，
∴．
【知识点】无理数的估值；完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）根据例题设，两边同时平方得到， 舍去得到． 记得， 回代到，从而求解；
（2）设 ，两边同时平方得到， 舍去得到， 回代，从而求解；
（3）根据例题仿写计算即可求解.
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