北师大版数学八年级上册《第二章 实数》单元提升测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2017八上·雅安期末）在给出的一组数0，π， ，3.14， ，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．5个
2．（2022八上·龙华期中）若 与是同一个正数的两个平方根，则m的值为（ ）
A．3 B． C．1 D．
3．（2019八上·靖远月考）的平方根是（ ）
A．4 B．±4 C．±2 D．2
4．（2019八上·龙华期中）下列说法正确的是（ ）
A．无限小数都是无理数 B． 没有立方根
C．正数的两个平方根互为相反数 D． 没有平方根
5．（2023八上·遵化期中）甲、乙、丙三人对平方根和立方根进行了研究，以下是他们三人的结论：
甲：当时，乙：时，丙：当时，则下列说法正确的是（ ）.
A．只有甲、乙正确 B．只有甲、丙正确
C．甲、乙、丙都正确 D．甲、乙、丙都不正确
6．（2019八上·永登期中）若 的小数部分是a， 的小数部分是b，则a+b的值为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．2
7．（2023八上·太原期中）如图的数轴上，点，对应的实数分别为1，3，线段于点，且长为1个单位长度.若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点，则点表示的实数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2017八上·双柏期末）下列计算，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2019八上·丹江口期末）把 根号外的因式移到根号内，得（ ）
A． B．- C．- D．
10．（2019八上·嘉定期中）下列各式中，一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2023八上·叙州月考）已知正数m的两个平方根是2a-1与2-a，则m的值为 ．
12．（2024八上·岳阳楼期末）规定用符号表示一个实数的整数部分，例如，，按此规定的值为 ．
13．（2024八上·天元期末）点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数为，则A、B之间表示的整数点有 个.
14．（2020八上·德江期末）实数 、 在数轴上位置如图，化简： ；
15．（2024八上·怀化期末）观察下列等式：
第1个等式：=，
第个等式：=，
第个等式：，
第个等式：=，
…
按上述规律，计算 ．
16．（2023八上·福州月考）已知x，y为实数，且，则= .
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2022八上·莲湖期末）计算：.
18．（2023八上·织金期中）计算：
19．（2023八上·浦东期中）计算：．
20．（2023八上·杨浦期中）计算：．
21．（2024八上·河北期末）已知，，都是实数，若，则称与是关于的“平衡数”．
（1）与 是关于的“平衡数”，与 是关于的“平衡数”；
（2）若，判断与是否是关于的“平衡数”，并说明理由．
22．（2021八上·即墨期中）我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用．其实，还有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消除分子中的根式．
比如： ＝ ．
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较： 和 的大小可以先将它们分子有理化如下： ， ．
因为 ，所以， ．
再例如，求y＝ 的最大值、做法如下：
解：由x＋2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝ ＝ ．当x＝2时，分母 有最小值2.所以y的最大值是2
利用上面的方法，完成下面问题：
（1）比较 ﹣ 和 ﹣ 的大小；
（2）求y＝ ﹣ ＋2的最大值．
23．（2023八上·李沧期中）我们知道是无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，所以的整数部分为2，小数部分为．
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）如果的整数部分为的整数部分为，求的立方根；
（3）已知，其中是整数，且，求的值．
24．（2023八上·滕州开学考）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分．
（1）求和的值；
（2）求的算术平方根．
25．（2023八上·吉林期中） [阅读材料]在解决数学问题时，我们要仔细阅读题干。找出有用信息，然后利用这些信息解决问题。有些题目信息比较明显。我们把这样的信息称为显性条件s而有些信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现总合你总作为条件。我们把这样的条件称为隐含条件。做题时。我们要注意发现题目中的隐含条件。
（1）[感知探索]补全下面两个问题的解答过程：
已知a≤1，化简
解：原式=|a-1|-（2-a）．
∵a≤1．显性条件
请进一步完成的化简、
（2）三角形的三边长分别为2、5、m．化简．
解：三角形的三边长分别为2、5、m．
∴m的取值范围是 隐含条件
化简．
（3）[拓展应用]解方程：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：无理数有：π，，共有3个．
故选C．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
2．【答案】D
【知识点】平方根；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：∵ 与是同一个正数的两个平方根，
∴ 与互为相反数，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数可得m+4+m-2=0，求解可得m的值.
3．【答案】C
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【分析】一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，其中正的平方根叫它的算术平方根。
=4，平方根是±2，
故选C.
【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握平方根的定义，即可完成。
4．【答案】C
【知识点】立方根及开立方；无理数的概念
【解析】【解答】A、无限循环小数是有理数，故不符合题意；
B、 有立方根是 ，故不符合题意；
C、正数的两个平方根互为相反数，故符合题意；
D、﹣（﹣13）＝13有平方根，故不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据无理数、立方根、平方根的定义解答即可．
5．【答案】B
【知识点】算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：根据题意
甲：当时，，根据开方和平方的定义，说法正确，
乙：时，，根据算术平方根的非负性，时，说法错误，
丙：当时，，根据开立方的定义，说法正确。
故答案为：B
【分析】根据算术平方根的非负性、开方和平方的定义、开立方的定义判定即可。
6．【答案】B
【知识点】无理数的估值；代数式求值
【解析】【解答】∵2< <3，
∴5<3+ <6，0<3 <1
∴a=3+ 5= 2.b=3 ，
∴a+b= 2+3 =1，
故答案为：B.
【分析】求出的取值范围，由此可得到3+ 和3 的取值范围，就可得到a，b的值，然后代入求出a+b的值。
7．【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】根据题意可得：AC=3-1=2，AB=1，∠BAC=90°，
∴CB=，
∴PC=BC=，
∵点C表示的数为3，
∴点P表示的数为，
故答案为：A.
【分析】先利用勾股定理求出CB的长，可得PC=BC=，再结合“点C表示的数为3”，可得点P表示的数为，从而得解.
8．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：∵ =2，
∴选项A不正确；
∵ =2，
∴选项B正确；
∵3 ﹣ =2 ，
∴选项C不正确；
∵ + =3 ≠ ，
∴选项D不正确．
故选：B．
【分析】根据二次根式的加减法则，以及二次根式的性质逐项判断即可．
9．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵m＜0，∴ = = ．故答案为：C．
【分析】 先确定根号外的因式的符号，把根号外的正因式平方后移到根号内，再把根号内的被开方数化简即可.
10．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、 =|a+b|，故本选项不符合题意；
B、 =|a2+1|=a2+1，故本选项符合题意；
C、只有a+1≥0，a-1≥0时该等式才能力，故本选项不符合题意；
D、只有当b＞0时该等式才能力，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的性质进行化简．
11．【答案】9
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵正数m的两个平方根是与，
∴2a-1+2-a=0，
解得：a=-1，
∴2a-1=2×（-1）-1=-3，
∵，
∴m=9，
故答案为：9.
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，然后求出m的值即可.
12．【答案】5
【知识点】无理数的估值；定义新运算
【解析】【解答】∵，
∴，
∴，
∴的值为5，
故答案为：5.
【分析】先利用估算无理数大小的方法求出，再根据题干中的定义求出的值为5即可.
13．【答案】6
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：，，
，，
∴A、B之间表示的整数有-3，-2，-1，0，1，2，共6个，
故答案为：6
【分析】先根据题意估算无理数的大小，进而结合有理数在数轴上的表示即可求解。
14．【答案】 2a
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】∵a＜0＜b，且|a|＞b，
∴原式= (a+b) (a b)= a b a+b= 2a.
故答案为 2a.
【分析】根据数轴表示数的方法得到a＜0＜b，且|a|＞b，则原式=-（a+b）-（a-b），然后去括号合并即可．
15．【答案】
【知识点】二次根式的加减法；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：第1个等式：=，
第个等式：=，
第个等式：，
第个等式：=，
…
第n个等式：，
=
故答案为： .
【分析】先根据第1、2、3、4个等式的规律得到第n个等式的规律为；，在列项相消即可.
16．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：根据题意得，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】先根据二次根式的被开方数的非负性求出x的值，从而可得出y的值，再将x和y的值代入求解即可．
17．【答案】解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据二次根式的乘除法法则可得原式=4+-，然后根据二次根式的减法法则进行计算.
18．【答案】解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】原式=
=
=
=
【分析】先利用二次根式的除法法则、乘法法则以及完全平方公式进行计算，再进行何必即可.
19．【答案】解：
．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】先将二次根式化为同类二次根式，再进行混合运算，合并同类二次根式即可求解.
20．【答案】解：，
，
，
，
．
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】根据二次根式的乘除混合运算法则计算。把被开方数相乘除，二次根式前面的因式相乘除，最后化简即可。
21．【答案】（1）；
（2），
整理得：，
解得：，
则，不是关于的“平衡数”
【知识点】二次根式的加减法；定义新运算
【解析】【解答】解：(1) 2-4=-2，， 所以与-2是关于的“平衡数”，与 是关于的“平衡数.
故答案为：；.【分析】掌握二次根式的加减运算，并理解题述“平衡数的概念”
（1）利用“平衡数”的定义计算即可；
（2）利用“平衡数”的定义计算即可。
22．【答案】（1）解：∵ ﹣ ＝ ， ﹣ ＝ ，
∵ ，
∴ ，
即 ；
（2）∵ ， ，
∴ ，
∵y＝ ﹣ ＋2＝ ，
∴当 时，分母 有最小值 ，
∴则 的最大值为： ．
【知识点】无理数的估值；二次根式有意义的条件；分母有理化；定义新运算
【解析】【分析】（1）利用平方差公式进行分子有理化计算，从而比较大小；
（2）利用二次根式有意义的条件确定x的取值范围，再通过利用平方差公式对原式进行分子有理化变形，从而确定其最大值。
23．【答案】（1）5；
（2）（2）因为，所以的整数部分为3，即；因为，所以的整数部分为4，即．
所以，，所以，
（3）
【知识点】无理数的估值
【解析】【分析】（1）估算在哪两个连续整数之间，继而求出其整数部分、小数部分；
（2）根据题意，求出a和b的值，继而由立方根的含义求出答案；
（3）确定x和y的值，代入式子求值即可。
24．【答案】（1）解：的平方根是，的立方根是，，，
即，
（2）解：，
，
是的整数部分，
，
由知，，
所以，
那么的算术平方根是，
即的算术平方根是．
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方；无理数的估值
【解析】【分析】（1）根据算术平方根，立方根的定义，求得a和b的值；
(2)根据(1) 的结果，代入代数式，然后求得算术平方根即可求解.
25．【答案】（1）解：
=
=
=
=-1
（2）3＜m＜7
（3）解：
当x-2≥0，3-2x≥0，x不存在；
当x-2≥0，3-2x≤0，即x≥2时，，3x=6，x=2，
当x-2≤0，3-2x≥0，即x≤时，，-3x=-4，x=
当x-2≤0，3-2x≤0，即≤x≤2时，，x=2
综上， 的解是x=2或x=.
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【解答】（2）解：
【分析】本题考查根式的化简，熟悉二次根式的性质、完全平方公式、三角形的三边关系很重要。，三角形的第三边大于两边之差，小于两边之和.
（1）根据二次根式的性质可得原式= |a-1|-（2-a） ，结合a≤1，化简后原式=-1；
（2）结合三角形的三边关系得出m的范围，用完全平方和二次根式的性质，化简即可；（3）用二次根式的性质，化简后方程为；分情况讨论，分别求解，可得出方程的根。
1 / 1北师大版数学八年级上册《第二章 实数》单元提升测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2017八上·雅安期末）在给出的一组数0，π， ，3.14， ，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．5个
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：无理数有：π，，共有3个．
故选C．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
2．（2022八上·龙华期中）若 与是同一个正数的两个平方根，则m的值为（ ）
A．3 B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】平方根；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：∵ 与是同一个正数的两个平方根，
∴ 与互为相反数，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数可得m+4+m-2=0，求解可得m的值.
3．（2019八上·靖远月考）的平方根是（ ）
A．4 B．±4 C．±2 D．2
【答案】C
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【分析】一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，其中正的平方根叫它的算术平方根。
=4，平方根是±2，
故选C.
【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握平方根的定义，即可完成。
4．（2019八上·龙华期中）下列说法正确的是（ ）
A．无限小数都是无理数 B． 没有立方根
C．正数的两个平方根互为相反数 D． 没有平方根
【答案】C
【知识点】立方根及开立方；无理数的概念
【解析】【解答】A、无限循环小数是有理数，故不符合题意；
B、 有立方根是 ，故不符合题意；
C、正数的两个平方根互为相反数，故符合题意；
D、﹣（﹣13）＝13有平方根，故不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据无理数、立方根、平方根的定义解答即可．
5．（2023八上·遵化期中）甲、乙、丙三人对平方根和立方根进行了研究，以下是他们三人的结论：
甲：当时，乙：时，丙：当时，则下列说法正确的是（ ）.
A．只有甲、乙正确 B．只有甲、丙正确
C．甲、乙、丙都正确 D．甲、乙、丙都不正确
【答案】B
【知识点】算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：根据题意
甲：当时，，根据开方和平方的定义，说法正确，
乙：时，，根据算术平方根的非负性，时，说法错误，
丙：当时，，根据开立方的定义，说法正确。
故答案为：B
【分析】根据算术平方根的非负性、开方和平方的定义、开立方的定义判定即可。
6．（2019八上·永登期中）若 的小数部分是a， 的小数部分是b，则a+b的值为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．2
【答案】B
【知识点】无理数的估值；代数式求值
【解析】【解答】∵2< <3，
∴5<3+ <6，0<3 <1
∴a=3+ 5= 2.b=3 ，
∴a+b= 2+3 =1，
故答案为：B.
【分析】求出的取值范围，由此可得到3+ 和3 的取值范围，就可得到a，b的值，然后代入求出a+b的值。
7．（2023八上·太原期中）如图的数轴上，点，对应的实数分别为1，3，线段于点，且长为1个单位长度.若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点，则点表示的实数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】根据题意可得：AC=3-1=2，AB=1，∠BAC=90°，
∴CB=，
∴PC=BC=，
∵点C表示的数为3，
∴点P表示的数为，
故答案为：A.
【分析】先利用勾股定理求出CB的长，可得PC=BC=，再结合“点C表示的数为3”，可得点P表示的数为，从而得解.
8．（2017八上·双柏期末）下列计算，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：∵ =2，
∴选项A不正确；
∵ =2，
∴选项B正确；
∵3 ﹣ =2 ，
∴选项C不正确；
∵ + =3 ≠ ，
∴选项D不正确．
故选：B．
【分析】根据二次根式的加减法则，以及二次根式的性质逐项判断即可．
9．（2019八上·丹江口期末）把 根号外的因式移到根号内，得（ ）
A． B．- C．- D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵m＜0，∴ = = ．故答案为：C．
【分析】 先确定根号外的因式的符号，把根号外的正因式平方后移到根号内，再把根号内的被开方数化简即可.
10．（2019八上·嘉定期中）下列各式中，一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、 =|a+b|，故本选项不符合题意；
B、 =|a2+1|=a2+1，故本选项符合题意；
C、只有a+1≥0，a-1≥0时该等式才能力，故本选项不符合题意；
D、只有当b＞0时该等式才能力，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的性质进行化简．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2023八上·叙州月考）已知正数m的两个平方根是2a-1与2-a，则m的值为 ．
【答案】9
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵正数m的两个平方根是与，
∴2a-1+2-a=0，
解得：a=-1，
∴2a-1=2×（-1）-1=-3，
∵，
∴m=9，
故答案为：9.
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，然后求出m的值即可.
12．（2024八上·岳阳楼期末）规定用符号表示一个实数的整数部分，例如，，按此规定的值为 ．
【答案】5
【知识点】无理数的估值；定义新运算
【解析】【解答】∵，
∴，
∴，
∴的值为5，
故答案为：5.
【分析】先利用估算无理数大小的方法求出，再根据题干中的定义求出的值为5即可.
13．（2024八上·天元期末）点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数为，则A、B之间表示的整数点有 个.
【答案】6
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：，，
，，
∴A、B之间表示的整数有-3，-2，-1，0，1，2，共6个，
故答案为：6
【分析】先根据题意估算无理数的大小，进而结合有理数在数轴上的表示即可求解。
14．（2020八上·德江期末）实数 、 在数轴上位置如图，化简： ；
【答案】 2a
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】∵a＜0＜b，且|a|＞b，
∴原式= (a+b) (a b)= a b a+b= 2a.
故答案为 2a.
【分析】根据数轴表示数的方法得到a＜0＜b，且|a|＞b，则原式=-（a+b）-（a-b），然后去括号合并即可．
15．（2024八上·怀化期末）观察下列等式：
第1个等式：=，
第个等式：=，
第个等式：，
第个等式：=，
…
按上述规律，计算 ．
【答案】
【知识点】二次根式的加减法；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：第1个等式：=，
第个等式：=，
第个等式：，
第个等式：=，
…
第n个等式：，
=
故答案为： .
【分析】先根据第1、2、3、4个等式的规律得到第n个等式的规律为；，在列项相消即可.
16．（2023八上·福州月考）已知x，y为实数，且，则= .
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：根据题意得，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】先根据二次根式的被开方数的非负性求出x的值，从而可得出y的值，再将x和y的值代入求解即可．
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2022八上·莲湖期末）计算：.
【答案】解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据二次根式的乘除法法则可得原式=4+-，然后根据二次根式的减法法则进行计算.
18．（2023八上·织金期中）计算：
【答案】解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】原式=
=
=
=
【分析】先利用二次根式的除法法则、乘法法则以及完全平方公式进行计算，再进行何必即可.
19．（2023八上·浦东期中）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】先将二次根式化为同类二次根式，再进行混合运算，合并同类二次根式即可求解.
20．（2023八上·杨浦期中）计算：．
【答案】解：，
，
，
，
．
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【分析】根据二次根式的乘除混合运算法则计算。把被开方数相乘除，二次根式前面的因式相乘除，最后化简即可。
21．（2024八上·河北期末）已知，，都是实数，若，则称与是关于的“平衡数”．
（1）与 是关于的“平衡数”，与 是关于的“平衡数”；
（2）若，判断与是否是关于的“平衡数”，并说明理由．
【答案】（1）；
（2），
整理得：，
解得：，
则，不是关于的“平衡数”
【知识点】二次根式的加减法；定义新运算
【解析】【解答】解：(1) 2-4=-2，， 所以与-2是关于的“平衡数”，与 是关于的“平衡数.
故答案为：；.【分析】掌握二次根式的加减运算，并理解题述“平衡数的概念”
（1）利用“平衡数”的定义计算即可；
（2）利用“平衡数”的定义计算即可。
22．（2021八上·即墨期中）我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用．其实，还有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消除分子中的根式．
比如： ＝ ．
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较： 和 的大小可以先将它们分子有理化如下： ， ．
因为 ，所以， ．
再例如，求y＝ 的最大值、做法如下：
解：由x＋2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝ ＝ ．当x＝2时，分母 有最小值2.所以y的最大值是2
利用上面的方法，完成下面问题：
（1）比较 ﹣ 和 ﹣ 的大小；
（2）求y＝ ﹣ ＋2的最大值．
【答案】（1）解：∵ ﹣ ＝ ， ﹣ ＝ ，
∵ ，
∴ ，
即 ；
（2）∵ ， ，
∴ ，
∵y＝ ﹣ ＋2＝ ，
∴当 时，分母 有最小值 ，
∴则 的最大值为： ．
【知识点】无理数的估值；二次根式有意义的条件；分母有理化；定义新运算
【解析】【分析】（1）利用平方差公式进行分子有理化计算，从而比较大小；
（2）利用二次根式有意义的条件确定x的取值范围，再通过利用平方差公式对原式进行分子有理化变形，从而确定其最大值。
23．（2023八上·李沧期中）我们知道是无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，所以的整数部分为2，小数部分为．
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）如果的整数部分为的整数部分为，求的立方根；
（3）已知，其中是整数，且，求的值．
【答案】（1）5；
（2）（2）因为，所以的整数部分为3，即；因为，所以的整数部分为4，即．
所以，，所以，
（3）
【知识点】无理数的估值
【解析】【分析】（1）估算在哪两个连续整数之间，继而求出其整数部分、小数部分；
（2）根据题意，求出a和b的值，继而由立方根的含义求出答案；
（3）确定x和y的值，代入式子求值即可。
24．（2023八上·滕州开学考）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分．
（1）求和的值；
（2）求的算术平方根．
【答案】（1）解：的平方根是，的立方根是，，，
即，
（2）解：，
，
是的整数部分，
，
由知，，
所以，
那么的算术平方根是，
即的算术平方根是．
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方；无理数的估值
【解析】【分析】（1）根据算术平方根，立方根的定义，求得a和b的值；
(2)根据(1) 的结果，代入代数式，然后求得算术平方根即可求解.
25．（2023八上·吉林期中） [阅读材料]在解决数学问题时，我们要仔细阅读题干。找出有用信息，然后利用这些信息解决问题。有些题目信息比较明显。我们把这样的信息称为显性条件s而有些信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现总合你总作为条件。我们把这样的条件称为隐含条件。做题时。我们要注意发现题目中的隐含条件。
（1）[感知探索]补全下面两个问题的解答过程：
已知a≤1，化简
解：原式=|a-1|-（2-a）．
∵a≤1．显性条件
请进一步完成的化简、
（2）三角形的三边长分别为2、5、m．化简．
解：三角形的三边长分别为2、5、m．
∴m的取值范围是 隐含条件
化简．
（3）[拓展应用]解方程：．
【答案】（1）解：
=
=
=
=-1
（2）3＜m＜7
（3）解：
当x-2≥0，3-2x≥0，x不存在；
当x-2≥0，3-2x≤0，即x≥2时，，3x=6，x=2，
当x-2≤0，3-2x≥0，即x≤时，，-3x=-4，x=
当x-2≤0，3-2x≤0，即≤x≤2时，，x=2
综上， 的解是x=2或x=.
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【解答】（2）解：
【分析】本题考查根式的化简，熟悉二次根式的性质、完全平方公式、三角形的三边关系很重要。，三角形的第三边大于两边之差，小于两边之和.
（1）根据二次根式的性质可得原式= |a-1|-（2-a） ，结合a≤1，化简后原式=-1；
（2）结合三角形的三边关系得出m的范围，用完全平方和二次根式的性质，化简即可；（3）用二次根式的性质，化简后方程为；分情况讨论，分别求解，可得出方程的根。
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