北师大版数学九年级上册《第二章 一元二次方程》单元提升测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024八下·百色期中）若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
2．（2023八下·瑶海期中）用配方法解方程时．变形结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·广安）关于的一元一次方程有以两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B．
C．且 D．
4．（2024八下·金华期中）对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
5．（2022·仙桃）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（ ）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
6．（2022·呼和浩特）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
7．（2024·绥江模拟） 如图，在一块长为36米，宽为25米的矩形空地上修建三条宽均为x米的笔直小道，其余部分（即图中阴影部分）改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为840平方米，求x的值.根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·易门模拟）某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言纪念，全班同学共写了1980份留言，如果全班同学有x名学生，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．x（x﹣1）＝1980 B．x（x+1）＝1980
C． D．
9．（2024·眉山） 眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·重庆市模拟）端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以10元每袋的
价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多
售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽子
售价降低x元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2018·吉林）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
12．（2024·眉山） 已知方程的两根分别为，，则的值为 ．
13．（2024·重庆）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增.该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是 .
14．（2016·随州）已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x2﹣8x+15=0的根，则该等腰三角形的周长为 ．
15．（2022·衢州）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程： （不必化简）．
16．（2024·吉林）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB'，AB⊥B'C于点C，BC＝0.5尺，B'C＝2尺．设AC的长度为x尺，可列方程为 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024九上·信丰期末）用配方法解方程x2﹣4x﹣5＝0．
18．（2024八下·宁明期中）解方程：
（1）；
（2）.
19．（2024·内江）已知关于x的一元二次方程（p为常数）有两个不相等的实数根和.
（1）填空： ， ；
（2）求，；
（3）已知，求p的值.
20．（2023·襄阳）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若方程的两个根为，，且，求的值．
21．（2021·黄石模拟）已知关于 的方程 有两个实数根 、 .
（1）求 的取值范围.
（2）若 、 满足等式 ，求 的值.
22．（2024八下·义乌月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．
（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根为x1，x2．
①求代数式；的最大值；
②若方程的一个根是6，x1和x2是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长．
23．（2024八下·昭平期中）阅读材料：
材料：关于的一元二次方程的两个实数根和系数，b，c有如下关系：；
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）类比：一元二次方程的两个实数根为m，n，则 ；mn= ；
（2）应用：已知一元一次方程的两个实数根为m，n，求的值；
（3）提升：已知实数s，t满足且，求的值.
24．（2024八下·义乌期中）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.
（1）若每件衬衫降价5元，则商场平均每天可售出衬衫 件，每天获得的利润为 元。
（2）若商场每天要获得利润1200元，请计算出每件衬衫应降价多少元？
（3）商场每天要获得利润有可能达到1400元吗？若能，请求出此时每件衬衫的利润；若不能，请说明理由
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由一元二次方程的定义可知：，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的定义，得到关于a的不等式，解之即可.
2．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
．
故答案为：A．
【分析】利用配方法求解即可。
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 关于的一元一次方程有以两个不相等的实数根，
∴且
∴，
∴，
∴且.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程两个不等实根判断出，即可求出m的取值范围，谨记是解题的易错点.
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得：，
整理得：，
，
∴有两个不相等的实数根，
故答案为：C．
【分析】根据新定义下的实数运算列出关于的一元二次方程，再根据根的判别式判断根的情况.
5．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴
∵是方程的两个实数根，
∵，
又
∴
把代入整理得，
解得，
故答案为：A.
【分析】根据方程有两个实数根可得△≥0，代入求解可得m的范围，根据根与系数的关系可得x1+x2=2m，x1x2=m2-4m-1，然后结合已知条件可得m的值.
6．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程根与系数关系可得，，，则。
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：把小路平移后，如图所示：
设小路宽为x，则种草坪部分的长为，宽为，
由题意得
故答案为：D
【分析】先根据题意将把小路平移，进而设小路宽为x，则种草坪部分的长为，宽为，从而即可求解。
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用；列一元二次方程
【解析】【解答】解： 全班同学有x名学生，则每人写(x 1)份留言，
根据题意得：x(x 1)=1980，
故选：A．
【分析】基本关系： 留言总份数= 每个同学写的留言份数×学生人数，每个同学写的留言份数=全班学生人数-1，（因为不需要给自己写留言），据此列一元二次方程即可。
9．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 该村水稻亩产量年平均增长率为 ，根据题意得
670（1+x）2=780.
故答案为：B.
【分析】此题的等量关系为：2021年水稻亩产量×（1+增长率）2=2023年水稻亩产量 ，据此列方程即可.
10．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每袋粽子售价降低x元，每天的利润为1440元．
根据题意，得，
故答案为：A．
【分析】设每袋粽子售价降低x元，由于每天的利润为1440元，根据利润＝（定价﹣进价）×销售量即可列出方程．
11．【答案】-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=0，
即：22﹣4（﹣m）=0，
解得：m=﹣1，
故答案为：答案为﹣1．
【分析】由一元二次方程有两个相等的 实数根，则根的判别式等于0，从而得出方程，求解得出m的值。
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 方程的两根分别为， ，
∴x1+x2=-1，x1x2=-2，
∴.
故答案为：.
【分析】利用一元二次方程根与系数，可得到x1+x2=-1，x1x2=-2，再将代数式转化为，然后整体代入求值.
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】
解：设该公司这两年缴税的年平均增长率是 x，根据题意得：
40（1+x）2=48.4
解得：x1=0.1=10％，x2=-2.1（不合题意，舍去）
则该公司这两年缴税的年平均增长率是10％
故答案为：10％
【分析】本题考查一元二次方程的应---平均增长率，理解基础量a，增长率x，增长时间n，终止量b的数量关系（a（1+x）n=b）是解题关键。设平均增长率为x，根据题意，列出方程求解，注意根的取舍。
14．【答案】19或21或23
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由方程x2﹣8x+15=0得：（x﹣3）（x﹣5）=0，
∴x﹣3=0或x﹣5=0，
解得：x=3或x=5，
当等腰三角形的三边长为9、9、3时，其周长为21；
当等腰三角形的三边长为9、9、5时，其周长为23；
当等腰三角形的三边长为9、3、3时，3+3＜9，不符合三角形三边关系定理，舍去；
当等腰三角形的三边长为9、5、5时，其周长为19；
综上，该等腰三角形的周长为19或21或23，
故答案为：19或21或23．
【分析】求出方程的解，分为两种情况，看看是否符合三角形三边关系定理，求出即可．本题考查了解一元二次方程和等腰三角形性质，三角形的三边关系定理的应用，因式分解法求出方程的解是根本，根据等腰三角形的性质分类讨论是关键．
15．【答案】
【知识点】几何体的展开图；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：根据题意得长方体的长为cm，宽为xcm，高为1.5cm，列方程为：
.
故答案为：.
【分析】观察长方体的展开图可知此长方体的长，宽，高，再利用长方体的容积为360cm3，可得到关于x的方程.
16．【答案】x2+22＝（x+0.5）2
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设AC的长度为x尺，则AB'=AB=x+0.5(尺)，
在Rt△ACB'中，∵AC2+B'C2=AB'2，
即x2+22＝（x+0.5）2.
故答案为：x2+22＝（x+0.5）2.
【分析】设AC的长度为x尺，则AB'=AB=x+0.5(尺)，在Rt△ACB'中，利用勾股定理即可列出方程.
17．【答案】解：方程变形得：x2﹣4x＝5，即x2﹣4x+4＝9，
变形得：（x﹣2）2＝9，
开方得：x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
解得：x1＝5，x2＝﹣1．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】利用配方法的计算方法求解一元二次方程即可。
18．【答案】（1）解：，，，.
（2）解：，，，
，.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程，将方程进行因式分解后可得出两个一元一次方程，即可的解；
（2）利用因式分解法解方程，先将方程移项，再进行因式分解后可得出两个一元一次方程，即可的解.
19．【答案】（1）p；
（2），，
，
关于x的一元二次方程（p为常数）有两个不相等的实数根和，
，
，
.
（3）由根与系数的关系得，，，
，
，
，
，
解得或，
一元二次方程为或，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意；
.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）由题意得
x1+x2=p，x1x2=1.
故答案为：p，1.
【分析】（1）利用一元二次方程根与系数，可得到x1+x2=p，x1x2=1.
（2）将 转化为，然后整体代入即可；将x=x1代入方程，可得到，再在方程两边同时除以x1即可求解.
（3）将已知等式转化为，然后整体代入可得到关于p的方程，解方程求出p的值，然后检验可得到符合题意的p的值.
20．【答案】（1）解：，
有两个不相等的实数，
，
解得：；
（2）解：方程的两个根为，，
，
，
解得：，（舍去）．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据题意，有两个不等的实数根，可得b2－4ac>0，代入即可求得k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系，可以表示出αβ，代入可得关于k的一元二次方程，求解即可.注意k的取值范围.
21．【答案】（1）解：∴ ，解得： 且
（2）解：由（1）可得 ，∴
∴
，
∴
解得： （不合题意舍去），
∴k的值为-1.
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）利用已知方程有两个实数根，可建立关于k的不等式组，然后求出不等式组的解集.
（2）利用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2和x1x2，再整体代入，可建立关于k的方程，解方程求出符合题意的k的值.
22．【答案】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m）
＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m
＝1＞0，
∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：①∵该方程的两个实数根为x1，x2．
∴x1+x2＝2m+1，x1x2＝m2+m，
∴
＝（x1+x2）2﹣6x1x2
＝（2m+1）2﹣6（m2+m）
＝﹣2m2﹣2m+1
＝﹣2（m+）2+，
∴代数式的最大值为；
②：36﹣（2m+1）×6+m2+m＝0，
∴m1＝5，m2＝6，
将m＝5代入方程得：x2﹣11x+30＝0，
解得x1＝5，x2＝6，
∴等腰三角形的周长16或17；
将m＝6代入方程得：x2﹣13x+42＝0，
解得x1＝6，x2＝7，
∴等腰三角形的周长19或20．
综上分析，等腰三角形的周长16或17或19或20．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】(1)根据根的判别式：方程有两个不相等的实数根，，进行证明即可.
(2)①由根与系数的关系求得x1+x2＝2m+1，x1x2＝m2+m，代入化简分析即可.
②将把x＝6代入方程求出m的值，分m＝5，m＝6两种情况讨论即可.
23．【答案】（1）；
（2）根据题意，一元二次方程的两个实数根为m，n，
；
（3）实数s，t满足且，
实数s，t是一元二次方程的两个实数根，
的值为.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）利用根与系数的关系可知，即可求解；
（2）利用根与系数的关系可知，再根据，整体代入求解即可；
（3）根据题意可知s、t即为利用根与系数的关系可得再由，求出t-s，最后根据即可求出.
24．【答案】（1）30；1050
（2）解：设每件衬衫应降价x元，根据题意，得
（40-x）(20+2x)=1200
x1=10，x2=20
∵要尽快减少库存，∴x=20
答：每件衬衫应降价20元
（3）解：设每件衬衫应降价x元，
由题意得：（40-x） (20+2x)=1400 化简得 x2-30x+300=0
b2-4ac=(-30)2-4×1×300= -300<0 ∴方程无实根 ∴1400元的利润无法达到
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：商场平均每天可售出衬衫（件），每天获得的利润为（元）．
故答案为：30，1050；
【分析】（1）根据题意得到每天的销售量，然后由利润=销售量×每件利润，即可得到答案；
（2）设每件衬衫应降价x元，利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程（40-x）(20+2x)=1200 ，解方程即可；
（3）由题意得：（40-x） (20+2x)=1400 ，，无实数解，即可得解．
1 / 1北师大版数学九年级上册《第二章 一元二次方程》单元提升测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024八下·百色期中）若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由一元二次方程的定义可知：，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的定义，得到关于a的不等式，解之即可.
2．（2023八下·瑶海期中）用配方法解方程时．变形结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
．
故答案为：A．
【分析】利用配方法求解即可。
3．（2024·广安）关于的一元一次方程有以两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B．
C．且 D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 关于的一元一次方程有以两个不相等的实数根，
∴且
∴，
∴，
∴且.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程两个不等实根判断出，即可求出m的取值范围，谨记是解题的易错点.
4．（2024八下·金华期中）对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得：，
整理得：，
，
∴有两个不相等的实数根，
故答案为：C．
【分析】根据新定义下的实数运算列出关于的一元二次方程，再根据根的判别式判断根的情况.
5．（2022·仙桃）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（ ）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴
∵是方程的两个实数根，
∵，
又
∴
把代入整理得，
解得，
故答案为：A.
【分析】根据方程有两个实数根可得△≥0，代入求解可得m的范围，根据根与系数的关系可得x1+x2=2m，x1x2=m2-4m-1，然后结合已知条件可得m的值.
6．（2022·呼和浩特）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程根与系数关系可得，，，则。
7．（2024·绥江模拟） 如图，在一块长为36米，宽为25米的矩形空地上修建三条宽均为x米的笔直小道，其余部分（即图中阴影部分）改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为840平方米，求x的值.根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：把小路平移后，如图所示：
设小路宽为x，则种草坪部分的长为，宽为，
由题意得
故答案为：D
【分析】先根据题意将把小路平移，进而设小路宽为x，则种草坪部分的长为，宽为，从而即可求解。
8．（2024·易门模拟）某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言纪念，全班同学共写了1980份留言，如果全班同学有x名学生，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．x（x﹣1）＝1980 B．x（x+1）＝1980
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用；列一元二次方程
【解析】【解答】解： 全班同学有x名学生，则每人写(x 1)份留言，
根据题意得：x(x 1)=1980，
故选：A．
【分析】基本关系： 留言总份数= 每个同学写的留言份数×学生人数，每个同学写的留言份数=全班学生人数-1，（因为不需要给自己写留言），据此列一元二次方程即可。
9．（2024·眉山） 眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 该村水稻亩产量年平均增长率为 ，根据题意得
670（1+x）2=780.
故答案为：B.
【分析】此题的等量关系为：2021年水稻亩产量×（1+增长率）2=2023年水稻亩产量 ，据此列方程即可.
10．（2024·重庆市模拟）端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以10元每袋的
价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多
售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽子
售价降低x元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每袋粽子售价降低x元，每天的利润为1440元．
根据题意，得，
故答案为：A．
【分析】设每袋粽子售价降低x元，由于每天的利润为1440元，根据利润＝（定价﹣进价）×销售量即可列出方程．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2018·吉林）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
【答案】-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=0，
即：22﹣4（﹣m）=0，
解得：m=﹣1，
故答案为：答案为﹣1．
【分析】由一元二次方程有两个相等的 实数根，则根的判别式等于0，从而得出方程，求解得出m的值。
12．（2024·眉山） 已知方程的两根分别为，，则的值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 方程的两根分别为， ，
∴x1+x2=-1，x1x2=-2，
∴.
故答案为：.
【分析】利用一元二次方程根与系数，可得到x1+x2=-1，x1x2=-2，再将代数式转化为，然后整体代入求值.
13．（2024·重庆）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增.该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是 .
【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】
解：设该公司这两年缴税的年平均增长率是 x，根据题意得：
40（1+x）2=48.4
解得：x1=0.1=10％，x2=-2.1（不合题意，舍去）
则该公司这两年缴税的年平均增长率是10％
故答案为：10％
【分析】本题考查一元二次方程的应---平均增长率，理解基础量a，增长率x，增长时间n，终止量b的数量关系（a（1+x）n=b）是解题关键。设平均增长率为x，根据题意，列出方程求解，注意根的取舍。
14．（2016·随州）已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x2﹣8x+15=0的根，则该等腰三角形的周长为 ．
【答案】19或21或23
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由方程x2﹣8x+15=0得：（x﹣3）（x﹣5）=0，
∴x﹣3=0或x﹣5=0，
解得：x=3或x=5，
当等腰三角形的三边长为9、9、3时，其周长为21；
当等腰三角形的三边长为9、9、5时，其周长为23；
当等腰三角形的三边长为9、3、3时，3+3＜9，不符合三角形三边关系定理，舍去；
当等腰三角形的三边长为9、5、5时，其周长为19；
综上，该等腰三角形的周长为19或21或23，
故答案为：19或21或23．
【分析】求出方程的解，分为两种情况，看看是否符合三角形三边关系定理，求出即可．本题考查了解一元二次方程和等腰三角形性质，三角形的三边关系定理的应用，因式分解法求出方程的解是根本，根据等腰三角形的性质分类讨论是关键．
15．（2022·衢州）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程： （不必化简）．
【答案】
【知识点】几何体的展开图；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：根据题意得长方体的长为cm，宽为xcm，高为1.5cm，列方程为：
.
故答案为：.
【分析】观察长方体的展开图可知此长方体的长，宽，高，再利用长方体的容积为360cm3，可得到关于x的方程.
16．（2024·吉林）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB'，AB⊥B'C于点C，BC＝0.5尺，B'C＝2尺．设AC的长度为x尺，可列方程为 ．
【答案】x2+22＝（x+0.5）2
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设AC的长度为x尺，则AB'=AB=x+0.5(尺)，
在Rt△ACB'中，∵AC2+B'C2=AB'2，
即x2+22＝（x+0.5）2.
故答案为：x2+22＝（x+0.5）2.
【分析】设AC的长度为x尺，则AB'=AB=x+0.5(尺)，在Rt△ACB'中，利用勾股定理即可列出方程.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024九上·信丰期末）用配方法解方程x2﹣4x﹣5＝0．
【答案】解：方程变形得：x2﹣4x＝5，即x2﹣4x+4＝9，
变形得：（x﹣2）2＝9，
开方得：x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
解得：x1＝5，x2＝﹣1．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】利用配方法的计算方法求解一元二次方程即可。
18．（2024八下·宁明期中）解方程：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：，，，.
（2）解：，，，
，.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程，将方程进行因式分解后可得出两个一元一次方程，即可的解；
（2）利用因式分解法解方程，先将方程移项，再进行因式分解后可得出两个一元一次方程，即可的解.
19．（2024·内江）已知关于x的一元二次方程（p为常数）有两个不相等的实数根和.
（1）填空： ， ；
（2）求，；
（3）已知，求p的值.
【答案】（1）p；
（2），，
，
关于x的一元二次方程（p为常数）有两个不相等的实数根和，
，
，
.
（3）由根与系数的关系得，，，
，
，
，
，
解得或，
一元二次方程为或，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意；
.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）由题意得
x1+x2=p，x1x2=1.
故答案为：p，1.
【分析】（1）利用一元二次方程根与系数，可得到x1+x2=p，x1x2=1.
（2）将 转化为，然后整体代入即可；将x=x1代入方程，可得到，再在方程两边同时除以x1即可求解.
（3）将已知等式转化为，然后整体代入可得到关于p的方程，解方程求出p的值，然后检验可得到符合题意的p的值.
20．（2023·襄阳）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若方程的两个根为，，且，求的值．
【答案】（1）解：，
有两个不相等的实数，
，
解得：；
（2）解：方程的两个根为，，
，
，
解得：，（舍去）．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据题意，有两个不等的实数根，可得b2－4ac>0，代入即可求得k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系，可以表示出αβ，代入可得关于k的一元二次方程，求解即可.注意k的取值范围.
21．（2021·黄石模拟）已知关于 的方程 有两个实数根 、 .
（1）求 的取值范围.
（2）若 、 满足等式 ，求 的值.
【答案】（1）解：∴ ，解得： 且
（2）解：由（1）可得 ，∴
∴
，
∴
解得： （不合题意舍去），
∴k的值为-1.
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）利用已知方程有两个实数根，可建立关于k的不等式组，然后求出不等式组的解集.
（2）利用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2和x1x2，再整体代入，可建立关于k的方程，解方程求出符合题意的k的值.
22．（2024八下·义乌月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．
（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根为x1，x2．
①求代数式；的最大值；
②若方程的一个根是6，x1和x2是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长．
【答案】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m）
＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m
＝1＞0，
∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：①∵该方程的两个实数根为x1，x2．
∴x1+x2＝2m+1，x1x2＝m2+m，
∴
＝（x1+x2）2﹣6x1x2
＝（2m+1）2﹣6（m2+m）
＝﹣2m2﹣2m+1
＝﹣2（m+）2+，
∴代数式的最大值为；
②：36﹣（2m+1）×6+m2+m＝0，
∴m1＝5，m2＝6，
将m＝5代入方程得：x2﹣11x+30＝0，
解得x1＝5，x2＝6，
∴等腰三角形的周长16或17；
将m＝6代入方程得：x2﹣13x+42＝0，
解得x1＝6，x2＝7，
∴等腰三角形的周长19或20．
综上分析，等腰三角形的周长16或17或19或20．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】(1)根据根的判别式：方程有两个不相等的实数根，，进行证明即可.
(2)①由根与系数的关系求得x1+x2＝2m+1，x1x2＝m2+m，代入化简分析即可.
②将把x＝6代入方程求出m的值，分m＝5，m＝6两种情况讨论即可.
23．（2024八下·昭平期中）阅读材料：
材料：关于的一元二次方程的两个实数根和系数，b，c有如下关系：；
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）类比：一元二次方程的两个实数根为m，n，则 ；mn= ；
（2）应用：已知一元一次方程的两个实数根为m，n，求的值；
（3）提升：已知实数s，t满足且，求的值.
【答案】（1）；
（2）根据题意，一元二次方程的两个实数根为m，n，
；
（3）实数s，t满足且，
实数s，t是一元二次方程的两个实数根，
的值为.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）利用根与系数的关系可知，即可求解；
（2）利用根与系数的关系可知，再根据，整体代入求解即可；
（3）根据题意可知s、t即为利用根与系数的关系可得再由，求出t-s，最后根据即可求出.
24．（2024八下·义乌期中）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.
（1）若每件衬衫降价5元，则商场平均每天可售出衬衫 件，每天获得的利润为 元。
（2）若商场每天要获得利润1200元，请计算出每件衬衫应降价多少元？
（3）商场每天要获得利润有可能达到1400元吗？若能，请求出此时每件衬衫的利润；若不能，请说明理由
【答案】（1）30；1050
（2）解：设每件衬衫应降价x元，根据题意，得
（40-x）(20+2x)=1200
x1=10，x2=20
∵要尽快减少库存，∴x=20
答：每件衬衫应降价20元
（3）解：设每件衬衫应降价x元，
由题意得：（40-x） (20+2x)=1400 化简得 x2-30x+300=0
b2-4ac=(-30)2-4×1×300= -300<0 ∴方程无实根 ∴1400元的利润无法达到
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：商场平均每天可售出衬衫（件），每天获得的利润为（元）．
故答案为：30，1050；
【分析】（1）根据题意得到每天的销售量，然后由利润=销售量×每件利润，即可得到答案；
（2）设每件衬衫应降价x元，利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程（40-x）(20+2x)=1200 ，解方程即可；
（3）由题意得：（40-x） (20+2x)=1400 ，，无实数解，即可得解．
1 / 1
