湘教版数学八年级上册《第1章 分式》单元提升测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024·南充模拟）若，，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．（2024·馆陶模拟）对于如图分式中的符号，任意改变其中两个符号，分式的值不变的是（ ）．
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
3．（2017·历下模拟）化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八上·福州月考）若，则它们的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八上·东安期末）若关于x的方程有增根，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
6．（2024·长沙模拟）若分式方程无解，则实数的取值是（ ）
A．0或2 B．4 C．8 D．4或8
7．（2020八上·科尔沁期末）若关于x的方程 有正数解，则（ ）．
A．m＞0且m≠3 B．m＜6且m≠3 C．m＜0 D．m＞6
8．（2021八上·永兴月考）已知，，，，…，， 则y2021=（ ）
A． B．2-x C． D．1
9．（2024·广元） 我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2019·北部湾模拟）某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书.若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024·绥化） 化简： .
12．（2023·虹口模拟）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为 ．
13．（2019八上·株洲期中）计算： ＝ ．
14．（2024·犍为模拟）数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so，研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x，5，3（x＞5），则x的值是 ．
15．（2024八上·宁江期末）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a，b中的较小的值，如，按照这个规定，方程的解为 ．
16．（2020·资兴模拟）观察下列等式：
， ，
将以上三个等式两边分别相加得： = + + = =
猜想并得出： =
根据以上推理，求出分式方程 的解是 ．
三、解答题（共11题，共72分）
17．（2024·福田一模）先化简，再求值：，其中．
18．（2017·毕节）先化简，再求值：（ + ）÷ ，且x为满足﹣3＜x＜2的整数．
19．（2020八上·黄石期末）先化简，再求值： ，从 ，1，2，3中选择一个合适的数代入并求值.
20．（2024八上·柳州期末）解方程：．
21．（2018八上·营口期末）解方程： +1＝ .
22．（2017八上·罗山期末）解方程： ．
23．（2024·泰安）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间.某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人.甲组每天加工3000件农产品，乙组每天加工2700件农产品.已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍.求甲、乙两组各有多少名工人
24．（2024·重庆市模拟）宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花1480元购进甲种点茶器具套装的数量是花890元购进乙种点茶器具套装数量的2倍．
（1）求甲、乙两种点茶器具套装的单价．
（2）某学校社团开展茶文化学习活动，从该网店购进甲、乙两种点茶器具套装共花了2252元，甲种点茶器具套装比乙种点茶器具套装多2套，则学校购进甲、乙两种点茶器具套装各多少套？
25．（2024·潮南模拟）“元旦”期间，某电商想购进两种商品出售，已知每件种商品的进价比每件种商品的进价少5元，且用400元购进种商品的数量是用100元购进种商品数量的2倍．
（1）求每件种商品和每件种商品的进价分别是多少元？
（2）商店决定购进两种商品共80件，种商品加价5元出售，种商品比进价提高后出售，要使所有商品全部出售后利润不少于200元，求种商品至少购进多少件？
26．（2020八上·昆明期中）（阅读理解）
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式 、 的大小，只要作出它们的差 ，若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 .
（解决问题）
小丽和小颖分别两次购买同一种商品，小丽两次都买了 千克商品，小颖两次购买商品均花费 元，已知第一次购买该商品的价格为 元 千克，第二次购买该商品的价格为 元 千克（ ， 是整数，且 ）
（1）小丽和小颖两次所购买商品的平均价格分别是多少元 千克？
（2）请用作差法比较小丽和小颖两次所购买商品的平均价格的高低.
27．（2020八上·北京月考）观察下列方程的特征及其解的特点．
① 的解为 ， ；
② 的解为 ， ；
③ 的解为 ， ．
解答下列问题：
（1）请你写出一个符合上述特征的方程为 ，其解为 ， ．
（2）根据这类方程特征，写出第n个方程为 ，其解为 ， ；
（3）请利用（2）的结论，求关于x的方程 （其中n为正整数）的解．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】分式的值；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
∴，
故答案为：A．
【分析】把11转换为7m，可得（7m)n=7，进而求出mn=1，再代入分式中求解即可。
2．【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】
A、，符合题意；
B、，不符合题意；
C、，符合题意；
D、，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据分式的基本性质，将各个选项逐一计算即可.
3．【答案】A
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：原式=
= ．
故选A．
【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
4．【答案】B
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：，，，，
∵-，
∴．
故选B．
【分析】先利用有理数的乘方，负整数指数幂和零次幂的运算法则求出a，b，c，d的值，再比较大小，最后由小到大依次排列．
5．【答案】B
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：
两边同乘得：，
方程有增根，
将代入上式得：，
a=3.
故答案为：B.
【分析】根据解分式方程的一般步骤先去分母，再将增根代入即可解得a 的值.
6．【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：化简得3x﹣a+x=2（x﹣2），
由题意得分式方程的增根为0或2，
当x=0时，﹣a=﹣4，
解得，a=4，
当x=2时，6﹣a+2=0，
解得，a=8，
故答案为：D
【分析】根据分式方程无解结合分式方程的增根即可求解。
7．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：首先根据解分式方程的方法求出x的值，然后根据解为正数以及x 3求出m的取值范围.将方程的两边同时乘以(x-3)可得：x-2(x-3)=m，解得：x=6-m，根据解为正数可得： 且 ，则： 且 ，解得： 且 .
【分析】先利用分式方程的解法求出方程的解，再根据“方程由正数解”即可得到 且 求解即可。
8．【答案】A
【知识点】分式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵，
∴，
，
，
∴这列式子的结果以、、为周期，每3个数一循环，
∵2021÷3=673…2，
∴，
故答案为：A.
【分析】分式的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的；
（1）分式的加减法：①同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；②异分母分式相加减，先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后按照同分母分式加减法运算；
（2）分式的乘法：用分母的积做分母，分子的积做分子；
（3）分式的除法：除以一个数，等于乘以这个数的倒数，再按照分式的乘法法则进行运算；
本题先化简前几个式子，即可发现规律：这列式子的结果以、、为周期，每3个数一循环，从而利用2021÷3，看余数即可得出答案.
9．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解析】解：∵A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，B种绿植单价是x元，
∴A种绿植单价是3x元．
根据题意得：．
故答案为：C．
【分析】根据A，B两种绿植单价间的关系，可得出A种绿植单价是3x元，利用数量总价单价，结合用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
10．【答案】C
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设每个A型包装箱可以装书x本，则每个B型包装箱可以装书（x+15）本，根据单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个，列方程得： ，
故答案为：C.
【分析】由题意可得等量关系为：每个B型包装箱可以装书的数量=每个A型包装箱可以装书的数量+15；1080÷每个B型包装箱可以装书的数量=1080÷每个A型包装箱可以装书的数量-6，据此列方程即可。
11．【答案】
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】先把括号里的通分，再将除法转变成乘法，再约分即可.
12．【答案】
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设这批椽的数量为x株，由题意得，
故答案为：
【分析】设这批椽的数量为x株，根据“现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”即可列出分式方程，进而即可求解。
13．【答案】3
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】 =1+2=3
故答案为：3
【分析】根据0指数幂和负指数幂定义求解.
14．【答案】15
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：依据题意得：
解得：
经检验：为原方程的解.
故答案为：15.
【分析】题中给出了调和数的规律，可将x所在的那组调和数代入题中给出的规律里，然后列出方程求解即可。
15．【答案】
【知识点】分式的混合运算；解分式方程；定义新运算
【解析】【解答】解：根据新定义可得：若，即 ，则
，
∵
∴，解得： ，
∵ ，
∴不符合题意，舍去；
若 ，即 ，则
，
即，解得： ，
当 时， ，
故答案为：
【分析】根据新定义得到若，即 ，则 ，进而结合题意即可解出x；若 ，即 ，则，进而结合题意即可解出x。
16．【答案】x=5
【知识点】解分式方程；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据题意，
∵ ，
∴ ，
整理得： ，
∴ ，
解得：x=5，
经检验x=5是分式方程的解．
故答案为：x=5．
【分析】根据题目中的运算法则，原方程利用拆项法变形后，求出答案即可．
17．【答案】解：原式．
当x＝4时，原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】利用分式的混合运算法则和完全平方差公式对原式化简得到结果为，最后把代入计算即可.
18．【答案】解：（ + ）÷
=[ + ]×x
=（ + ）×x
=2x﹣3
∵x为满足﹣3＜x＜2的整数，
∴x=﹣2，﹣1，0，1，
∵x要使原分式有意义，
∴x≠﹣2，0，1，
∴x=﹣1，
当x=﹣1时，
原式=2×（﹣1）﹣3=﹣5
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】首先化简（ + ）÷ ，然后根据x为满足﹣3＜x＜2的整数，求出x的值，再根据x的取值范围，求出算式的值是多少即可．
19．【答案】解：原式
.
∵x2﹣1≠0，x﹣2≠0，∴取x＝3，原式＝ ＝4.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的运算法则和乘法公式将原式化简，根据分式存在有意义的条件选取合适的数代入代数式计算即可.
20．【答案】解：去分母得：2 x＝1 2（x 3），
解得：x＝5，
检验：把x＝5代入得：x 3≠0，
∴分式方程的解为x＝5
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】方程两边同乘以(x-3)约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况.
21．【答案】解：去分母得：8+x2﹣4＝x（x+2），
整理得：2x＝4，
解得：x＝2，
经检验x＝2是增根，分式方程无解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.
22．【答案】解：方程两边都同乘以（x﹣1）（x+2），得
x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=3，
化简，得x+2=3，
解得：x=1．
检验：把x=1代入（x﹣1）（x+2）=0．
∴x=1不是原方程的解，原分式方程无解
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】观察可得最简公分母是（x﹣1）（x+2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
23．【答案】解：设甲组有x名工人，乙组有（35-x）名工人.根据题意得：
解得：x=20
经检验，x=20是分式方程的解.
则35-x=15
答：甲组有20名工人，乙组有15名工人.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】本题考查分式方程的应用，由题意，理清数量关系是关键；设甲组有x名工人，乙组有（35-x）名工人，根据“ 乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍 ”列出方程，可得答案，注意检验.
24．【答案】（1）甲种点茶器具套装的单价为148元，则乙种点茶器具套装的单价为178元；
（2）甲种点茶器具套装为8套，乙种点茶器具套装6套．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）设甲种点茶器具套装的单价为x元，则乙种点茶器具套装的单价为（x+30）元，
根据题意可得：，
解得：x=148，
经检验，x=148是原方程的解，且符合题意，
∴x+30=178（元），
答：甲种点茶器具套装的单价为148元，则乙种点茶器具套装的单价为178元；
（2）设甲种点茶器具套装为a套，乙种点茶器具套装为（a-2）套，
根据题意可得：148a+178（a-2）=2252，
解得：a=8，
∴a-2=6（套），
答：甲种点茶器具套装为8套，乙种点茶器具套装6套．
【分析】（1）设甲种点茶器具套装的单价为x元，则乙种点茶器具套装的单价为（x+30）元，根据“ 花1480元购进甲种点茶器具套装的数量是花890元购进乙种点茶器具套装数量的2倍 ”列出方程，再求解即可；
（2）设甲种点茶器具套装为a套，乙种点茶器具套装为（a-2）套，根据“ 该网店购进甲、乙两种点茶器具套装共花了2252元 ”列出方程148a+178（a-2）=2252，再求解即可.
25．【答案】（1）解：设每件商品的进价为元，则每件商品的进价为元，根据题意，得，解这个分式方程，得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，则，
答：每件商品的进价为10元，每件商品的进价为5元；
（2）解：设购进商品件，由题意得：，
解得：，答：种商品至少购进30件．
【知识点】解分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【分析】(1)理解题意设价格利用数量的关系建立等量关系列方程；
(2)根据题目中的不等关系列出不等式即可求得结果；
26．【答案】（1）解：由题意得：小丽两次所购买商品的平均价格为 （元 千克），
小颖两次所购买商品的平均价格为 （元 千克），
答：小丽两次所购买商品的平均价格为 元，小颖两次所购买商品的平均价格为 元 ；
（2）解：由（1）的结论得： ，
，
，
，
因为 都是大于0的整数，且 ，
所以 ，
所以 ，
即小丽两次所购买商品的平均价格高于小颖两次所购买商品的平均价格.
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】（1）根据题意分别列式可求出小丽和小颖两次所购买商品的平均价格，然后化简即可。
（2）先列式，用小丽两次所购买商品的平均价格减去小颖两次所购买商品的平均价格，再通分计算，将结果化成最简分式，根据其值的大小，可作出判断。
27．【答案】（1）
（2）
（3）解：将原方程变形为： ，
令 ，即： ，
∴根据题意直接写出解为： ，
∴ ，
【知识点】解分式方程；探索数与式的规律
【解析】【解答】（1） ；
（2）根据题意归总结得第n个方程应为： ，
故答案为： ；
【分析】（1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果；（2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果；（3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可．
1 / 1湘教版数学八年级上册《第1章 分式》单元提升测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024·南充模拟）若，，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】分式的值；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
∴，
故答案为：A．
【分析】把11转换为7m，可得（7m)n=7，进而求出mn=1，再代入分式中求解即可。
2．（2024·馆陶模拟）对于如图分式中的符号，任意改变其中两个符号，分式的值不变的是（ ）．
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】
A、，符合题意；
B、，不符合题意；
C、，符合题意；
D、，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据分式的基本性质，将各个选项逐一计算即可.
3．（2017·历下模拟）化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：原式=
= ．
故选A．
【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
4．（2023八上·福州月考）若，则它们的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：，，，，
∵-，
∴．
故选B．
【分析】先利用有理数的乘方，负整数指数幂和零次幂的运算法则求出a，b，c，d的值，再比较大小，最后由小到大依次排列．
5．（2024八上·东安期末）若关于x的方程有增根，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：
两边同乘得：，
方程有增根，
将代入上式得：，
a=3.
故答案为：B.
【分析】根据解分式方程的一般步骤先去分母，再将增根代入即可解得a 的值.
6．（2024·长沙模拟）若分式方程无解，则实数的取值是（ ）
A．0或2 B．4 C．8 D．4或8
【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：化简得3x﹣a+x=2（x﹣2），
由题意得分式方程的增根为0或2，
当x=0时，﹣a=﹣4，
解得，a=4，
当x=2时，6﹣a+2=0，
解得，a=8，
故答案为：D
【分析】根据分式方程无解结合分式方程的增根即可求解。
7．（2020八上·科尔沁期末）若关于x的方程 有正数解，则（ ）．
A．m＞0且m≠3 B．m＜6且m≠3 C．m＜0 D．m＞6
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：首先根据解分式方程的方法求出x的值，然后根据解为正数以及x 3求出m的取值范围.将方程的两边同时乘以(x-3)可得：x-2(x-3)=m，解得：x=6-m，根据解为正数可得： 且 ，则： 且 ，解得： 且 .
【分析】先利用分式方程的解法求出方程的解，再根据“方程由正数解”即可得到 且 求解即可。
8．（2021八上·永兴月考）已知，，，，…，， 则y2021=（ ）
A． B．2-x C． D．1
【答案】A
【知识点】分式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵，
∴，
，
，
∴这列式子的结果以、、为周期，每3个数一循环，
∵2021÷3=673…2，
∴，
故答案为：A.
【分析】分式的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的；
（1）分式的加减法：①同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；②异分母分式相加减，先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后按照同分母分式加减法运算；
（2）分式的乘法：用分母的积做分母，分子的积做分子；
（3）分式的除法：除以一个数，等于乘以这个数的倒数，再按照分式的乘法法则进行运算；
本题先化简前几个式子，即可发现规律：这列式子的结果以、、为周期，每3个数一循环，从而利用2021÷3，看余数即可得出答案.
9．（2024·广元） 我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解析】解：∵A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，B种绿植单价是x元，
∴A种绿植单价是3x元．
根据题意得：．
故答案为：C．
【分析】根据A，B两种绿植单价间的关系，可得出A种绿植单价是3x元，利用数量总价单价，结合用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
10．（2019·北部湾模拟）某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书.若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设每个A型包装箱可以装书x本，则每个B型包装箱可以装书（x+15）本，根据单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个，列方程得： ，
故答案为：C.
【分析】由题意可得等量关系为：每个B型包装箱可以装书的数量=每个A型包装箱可以装书的数量+15；1080÷每个B型包装箱可以装书的数量=1080÷每个A型包装箱可以装书的数量-6，据此列方程即可。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024·绥化） 化简： .
【答案】
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】先把括号里的通分，再将除法转变成乘法，再约分即可.
12．（2023·虹口模拟）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为 ．
【答案】
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设这批椽的数量为x株，由题意得，
故答案为：
【分析】设这批椽的数量为x株，根据“现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”即可列出分式方程，进而即可求解。
13．（2019八上·株洲期中）计算： ＝ ．
【答案】3
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】 =1+2=3
故答案为：3
【分析】根据0指数幂和负指数幂定义求解.
14．（2024·犍为模拟）数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so，研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x，5，3（x＞5），则x的值是 ．
【答案】15
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：依据题意得：
解得：
经检验：为原方程的解.
故答案为：15.
【分析】题中给出了调和数的规律，可将x所在的那组调和数代入题中给出的规律里，然后列出方程求解即可。
15．（2024八上·宁江期末）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a，b中的较小的值，如，按照这个规定，方程的解为 ．
【答案】
【知识点】分式的混合运算；解分式方程；定义新运算
【解析】【解答】解：根据新定义可得：若，即 ，则
，
∵
∴，解得： ，
∵ ，
∴不符合题意，舍去；
若 ，即 ，则
，
即，解得： ，
当 时， ，
故答案为：
【分析】根据新定义得到若，即 ，则 ，进而结合题意即可解出x；若 ，即 ，则，进而结合题意即可解出x。
16．（2020·资兴模拟）观察下列等式：
， ，
将以上三个等式两边分别相加得： = + + = =
猜想并得出： =
根据以上推理，求出分式方程 的解是 ．
【答案】x=5
【知识点】解分式方程；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据题意，
∵ ，
∴ ，
整理得： ，
∴ ，
解得：x=5，
经检验x=5是分式方程的解．
故答案为：x=5．
【分析】根据题目中的运算法则，原方程利用拆项法变形后，求出答案即可．
三、解答题（共11题，共72分）
17．（2024·福田一模）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式．
当x＝4时，原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】利用分式的混合运算法则和完全平方差公式对原式化简得到结果为，最后把代入计算即可.
18．（2017·毕节）先化简，再求值：（ + ）÷ ，且x为满足﹣3＜x＜2的整数．
【答案】解：（ + ）÷
=[ + ]×x
=（ + ）×x
=2x﹣3
∵x为满足﹣3＜x＜2的整数，
∴x=﹣2，﹣1，0，1，
∵x要使原分式有意义，
∴x≠﹣2，0，1，
∴x=﹣1，
当x=﹣1时，
原式=2×（﹣1）﹣3=﹣5
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】首先化简（ + ）÷ ，然后根据x为满足﹣3＜x＜2的整数，求出x的值，再根据x的取值范围，求出算式的值是多少即可．
19．（2020八上·黄石期末）先化简，再求值： ，从 ，1，2，3中选择一个合适的数代入并求值.
【答案】解：原式
.
∵x2﹣1≠0，x﹣2≠0，∴取x＝3，原式＝ ＝4.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的运算法则和乘法公式将原式化简，根据分式存在有意义的条件选取合适的数代入代数式计算即可.
20．（2024八上·柳州期末）解方程：．
【答案】解：去分母得：2 x＝1 2（x 3），
解得：x＝5，
检验：把x＝5代入得：x 3≠0，
∴分式方程的解为x＝5
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】方程两边同乘以(x-3)约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况.
21．（2018八上·营口期末）解方程： +1＝ .
【答案】解：去分母得：8+x2﹣4＝x（x+2），
整理得：2x＝4，
解得：x＝2，
经检验x＝2是增根，分式方程无解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.
22．（2017八上·罗山期末）解方程： ．
【答案】解：方程两边都同乘以（x﹣1）（x+2），得
x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=3，
化简，得x+2=3，
解得：x=1．
检验：把x=1代入（x﹣1）（x+2）=0．
∴x=1不是原方程的解，原分式方程无解
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】观察可得最简公分母是（x﹣1）（x+2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
23．（2024·泰安）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间.某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人.甲组每天加工3000件农产品，乙组每天加工2700件农产品.已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍.求甲、乙两组各有多少名工人
【答案】解：设甲组有x名工人，乙组有（35-x）名工人.根据题意得：
解得：x=20
经检验，x=20是分式方程的解.
则35-x=15
答：甲组有20名工人，乙组有15名工人.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】本题考查分式方程的应用，由题意，理清数量关系是关键；设甲组有x名工人，乙组有（35-x）名工人，根据“ 乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍 ”列出方程，可得答案，注意检验.
24．（2024·重庆市模拟）宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花1480元购进甲种点茶器具套装的数量是花890元购进乙种点茶器具套装数量的2倍．
（1）求甲、乙两种点茶器具套装的单价．
（2）某学校社团开展茶文化学习活动，从该网店购进甲、乙两种点茶器具套装共花了2252元，甲种点茶器具套装比乙种点茶器具套装多2套，则学校购进甲、乙两种点茶器具套装各多少套？
【答案】（1）甲种点茶器具套装的单价为148元，则乙种点茶器具套装的单价为178元；
（2）甲种点茶器具套装为8套，乙种点茶器具套装6套．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）设甲种点茶器具套装的单价为x元，则乙种点茶器具套装的单价为（x+30）元，
根据题意可得：，
解得：x=148，
经检验，x=148是原方程的解，且符合题意，
∴x+30=178（元），
答：甲种点茶器具套装的单价为148元，则乙种点茶器具套装的单价为178元；
（2）设甲种点茶器具套装为a套，乙种点茶器具套装为（a-2）套，
根据题意可得：148a+178（a-2）=2252，
解得：a=8，
∴a-2=6（套），
答：甲种点茶器具套装为8套，乙种点茶器具套装6套．
【分析】（1）设甲种点茶器具套装的单价为x元，则乙种点茶器具套装的单价为（x+30）元，根据“ 花1480元购进甲种点茶器具套装的数量是花890元购进乙种点茶器具套装数量的2倍 ”列出方程，再求解即可；
（2）设甲种点茶器具套装为a套，乙种点茶器具套装为（a-2）套，根据“ 该网店购进甲、乙两种点茶器具套装共花了2252元 ”列出方程148a+178（a-2）=2252，再求解即可.
25．（2024·潮南模拟）“元旦”期间，某电商想购进两种商品出售，已知每件种商品的进价比每件种商品的进价少5元，且用400元购进种商品的数量是用100元购进种商品数量的2倍．
（1）求每件种商品和每件种商品的进价分别是多少元？
（2）商店决定购进两种商品共80件，种商品加价5元出售，种商品比进价提高后出售，要使所有商品全部出售后利润不少于200元，求种商品至少购进多少件？
【答案】（1）解：设每件商品的进价为元，则每件商品的进价为元，根据题意，得，解这个分式方程，得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，则，
答：每件商品的进价为10元，每件商品的进价为5元；
（2）解：设购进商品件，由题意得：，
解得：，答：种商品至少购进30件．
【知识点】解分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【分析】(1)理解题意设价格利用数量的关系建立等量关系列方程；
(2)根据题目中的不等关系列出不等式即可求得结果；
26．（2020八上·昆明期中）（阅读理解）
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式 、 的大小，只要作出它们的差 ，若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 .
（解决问题）
小丽和小颖分别两次购买同一种商品，小丽两次都买了 千克商品，小颖两次购买商品均花费 元，已知第一次购买该商品的价格为 元 千克，第二次购买该商品的价格为 元 千克（ ， 是整数，且 ）
（1）小丽和小颖两次所购买商品的平均价格分别是多少元 千克？
（2）请用作差法比较小丽和小颖两次所购买商品的平均价格的高低.
【答案】（1）解：由题意得：小丽两次所购买商品的平均价格为 （元 千克），
小颖两次所购买商品的平均价格为 （元 千克），
答：小丽两次所购买商品的平均价格为 元，小颖两次所购买商品的平均价格为 元 ；
（2）解：由（1）的结论得： ，
，
，
，
因为 都是大于0的整数，且 ，
所以 ，
所以 ，
即小丽两次所购买商品的平均价格高于小颖两次所购买商品的平均价格.
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】（1）根据题意分别列式可求出小丽和小颖两次所购买商品的平均价格，然后化简即可。
（2）先列式，用小丽两次所购买商品的平均价格减去小颖两次所购买商品的平均价格，再通分计算，将结果化成最简分式，根据其值的大小，可作出判断。
27．（2020八上·北京月考）观察下列方程的特征及其解的特点．
① 的解为 ， ；
② 的解为 ， ；
③ 的解为 ， ．
解答下列问题：
（1）请你写出一个符合上述特征的方程为 ，其解为 ， ．
（2）根据这类方程特征，写出第n个方程为 ，其解为 ， ；
（3）请利用（2）的结论，求关于x的方程 （其中n为正整数）的解．
【答案】（1）
（2）
（3）解：将原方程变形为： ，
令 ，即： ，
∴根据题意直接写出解为： ，
∴ ，
【知识点】解分式方程；探索数与式的规律
【解析】【解答】（1） ；
（2）根据题意归总结得第n个方程应为： ，
故答案为： ；
【分析】（1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果；（2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果；（3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可．
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