湘教版数学八年级上册《第2章 三角形》单元同步测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2021八上·衢江月考）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．2cm、10cm、13cm B．3cm、7cm、4cm
C．4cm、4cm、4cm D．5cm、14cm、6cm
2．（2019八上·桐梓期中）如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（ ）
A．59° B．60° C．56° D．22°
3．（2024·中山模拟）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ）
A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线
C．角平分线、中线、高线 D．角平分线、高线、中线
4．（2019·宁波）已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D.若∠1=25°，则∠2的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
5．（2022·顺德模拟）命题：已知，．求证：．运用反证法证明这个命题时，第一步应假设（ ）成立
A． B．
C． D．且
6．（2022·南浔模拟）如图，直线 .以直线 上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线 于点B、C，连结 .若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2018·黄冈）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（ ）
A．50° B．70° C．75° D．80°
8．（2024·北京市）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法.
（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.
上述方法通过判定得到，其中判定的依据是( )
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
9．（2024·邵东模拟）如图，已知，添加选项（ ）仍不能证明．
A． B． C． D．
10．如图，Rt中，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形.其作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024·维吾尔自治区二模） 如图，在中，，，点在上且，连结，则 .
12．（2017·官渡模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，边AB的垂直平分线MN交AC于点D，若△BCD的周长为24cm，BC=10cm，则AB的长为 cm．
13．（2023八上·东安期中）如图，已知方格纸中鱼4个相同的正方形，则 ．
14．（2023·孝感模拟）如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，则的度数为 ．
15．（2023八上·天门月考）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为5，面积是20，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为 ．
16．（2023八上·蕲春期中）如图，在中，的垂直平分线交于M，的垂直平分线交于N，连接、，若，则 ．
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2023八上·南昌月考）如图，，点E在边上，与相交于点． 若，．
（1）求线段的长；
（2）求的度数．
18．（2023八上·台州期中）如图，已知，分别是边上的高和中线，若，，，．
（1）求的长度．
（2）求的面积．
19．（2023八上·长沙期中） 如图，已知在与中，与交于点，且，．
（1）求证：；
（2）当时，求的度数．
20．（2024·金平模拟）如图，已知，是的一个外角.
（1）请用尺规作图法，作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若，求证：.
21．（2023八上·花垣期中） 如图，为任意三角形，以边、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、并且相交于点．
（1）求证：；
（2）．
22．（2024八上·海曙期末）如图，点B、C、D在同一条直线上，，，，．
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
23．如图，点A，B，C在同一条直线上，点在BD上，且.
（1）求DE的长.
（2）判断直线AC与直线BD的位置关系，并说明理由.
（3）判断直线AD与直线CE的位置关系，并说明理由.
24．（2020八上·大安期末）（阅读理解）
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是_____.
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范围是______.
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
（3）解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.
问题解决：
如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF.求证：AC＝BF.
25．（2024八上·黔西南期末）已知，如图①，是等边三角形，，是线段上的动点．
（1）问题解决：在图①中，若，根据给出的已知条件，直接写出一条未知线段的长度或一个角的大小；
（2）问题探究：如图②，在（1）的条件下，以线段为边在右侧作等边，连接，猜想与的数量关系并证明；
（3）拓展延伸：如图③，以线段为边在右侧作等边，在点从点向点的运动过程中，猜想点的运动路径是什么？当的值最小时，点运动路径的长度？（直接写出结果）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，
A、2+10＜13，不能组成三角形，不符合题意；
B、3+4＝7，不能够组成三角形，不符合题意；
C、4+4＞4，能组成三角形，符合题意；
D、5+6＜14，不能组成三角形，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此逐一判断即可.
2．【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：根据题意可得，在△ABC中， ，则 ，
又 AD为△ABC的角平分线，
又 在△AEF中，BE为△ABC的高
∴。
故答案为：A。
【分析】根据三角形的内角和得出∠CAB=62°，根据角平分线的定义得出，根据三角形高线的定义得出∠AEF=90°，从而根据直角三角形的两锐角互余算出∠EFA的度数，最后根据对顶角相等算出∠3的度数。
3．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：由图可得图表示的AD为角平分线，图表示的AD为高线，图表示的AD为中线，
故答案为：D.
【分析】根据图中折痕以及角平分线、高线、中线的定义即可求解.
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：设直线n与AB的交点为E。
∵∠AED是△BED的一个外角，
∴∠AED=∠B+∠1，
∵∠B=45°，∠1=25°，
∴∠AED=45°+25°=70°
∵m∥n，
∴∠2=∠AED=70°。
故答案为：C。
【分析】设直线n与AB的交点为E。由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠AED=∠B+∠1，再根据两直线平行内错角相等可得∠2=∠AED可求解。
5．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：∵的反面为，
∴第一步应假设成立，
故答案为：C．
【分析】根据反证法的证明方法和要求求解即可。
6．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ AB=AC，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】由作图可知AB=AC，可得∠ABC=∠ACB=68°，根据三角形的内角和定理可得结论.
7．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠C=25°，
∵∠B=60°，∠C=25°，
∴∠BAC=95°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=70°，
故答案为：B．
【分析】根据中垂线定理得出DA=DC，根据等边对等角得出DAC=∠C=25°，根据三角形的内角和得出∠BAC=95°，由角的和差得出∠BAD的值。
8．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：由作图过程可得OC=O'C'，OD=O'D'，CD=C'D'，
∴△COD≌△C'O'D'（SSS），
∴∠AOB=∠A'O'B'.
故答案为：A.
【分析】根据作图过程可得OC=O'C'=OD=O'D'，CD=C'D'，从而结合全等三角形的判定定理即可答案.
9．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A：添加AD=BC 后，满足两边和其中一边的对角对应相等，不能判定两个三角形全等，所以A符合题意；
B：添加AC=BD 后，满足两边及其夹角对应相等，可以判定两个三角形全等，所以B不符合题意；
C：添加∠D=∠C 后，满足两角及其中一角的对边对应相等，可以判定两个三角形全等，所以C不符合题意；
D：添加∠DAB=∠CBA后，满足两角及其夹边对应相等，可以判定两个三角形全等，所以D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据三角形全等的判定定理即可得出答案。
10．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A、根据图可得AD=AC，
∴△ACD是等腰三角形，故选项A不符合题意；
B、根据图可得所作直线是线段BC的垂直平分线，
∴不能推出△ACD和△ABD是等腰三角形，故选项B符合题意；
C、根据图可得所作直线是线段AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴△ABD是等腰三角形，故选项C不符合题意；
D、∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
根据图可得AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=30°=∠B，
∴DB=DA，
∴△ABD是等腰三角形，故选项D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】作法知AD=AC可得A中存在等腰三角形；由作法知所作直线是线段BC的垂直平分线，不能找出B中的等腰三角形；由作法知，所作性质是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得DA=DB，可得C中存在等腰三角形；由作法知AD是∠BAC的平分线，推得∠BAD=∠B，根据等角对等边得到DB=DA，可得D中存在等腰三角形.
11．【答案】10
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：，，
，
故答案为：10.
【分析】先利用三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质求得∠ACB与ACD的度数，再由角的和差关系即可求解.
12．【答案】14
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴△DBC的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=AB+BC，
∵BC=10cm，△DBC的周长是24cm，
∴AC=24﹣10=14cm．
故答案为：14cm．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AD=BD，然后求出△DBC的周长=AC+BC=AB+BC，再代入数据进行计算即可得解．
13．【答案】
【知识点】全等三角形的应用；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：对方格进行点标注，如图：
由题意得，（SAS），∴∠FCB=∠GCD，∴∠FCB+∠GCB=∠GCD+∠GCB=90°，即∠1+∠2=90°。
故答案为：90°.
【分析】由图形发现全等三角形，将∠1进行转移，继而求出角度和。
14．【答案】65°
【知识点】三角形的外角性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵∠A=50°，∠B=80°，
∴∠ACD=∠A+∠B=130°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠DCE=∠ACD=65°.
故答案为：65°.
【分析】由三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠ACD=∠A+∠B=130°，由作图痕迹可得射线CE是∠ACD的角平分线，进而根据角平分线的定义可求出∠DCE的度数.
15．【答案】10.5
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AD和AM，如下图：
∵三角形ABC是等腰三角形，点D是底边BC的中点
∴AD⊥BC，CD=2.5
∴S△ABC=×BC×AD=20，解得AD=8；
∵EF垂直平分AC
∴AM=CM
∴三角形CDM的周长=CD+CM+MD=CD+AM+MD≥AD+CD=8+2.5=10.5
故答案为：10.5.
【分析】根据等腰三角形的性质，可得AD⊥BC，CD=2.5；根据三角形的面积，列一元一次方程，可得AD的值；根据线段垂直平分线的性质，可得AM=CM；根据两点之间线段最短，可得三角形CDM的周长最小值.
16．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵的垂直平分线交于M，的垂直平分线交于N ；
∴∠B=∠BAM，∠C=∠CAN；
∴∠BAN=∠BAM-∠MAN=∠B-10°，∠CAM=∠CAN-∠MAN=∠C-10°；
∴∠BAC=∠BAN+∠MAN+∠CAM=∠B-10°+10°+∠C-10°=∠B+∠C-10°=180°-∠BAC-10°
∴2∠BAC=170°，解得∠BAC=85°.
故答案为：85°.
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两个端点的夹角相等，可得∠B=∠BAM，∠C=∠CAN；根据角的和差性质，可得∠BAN和∠CAM的代数式；根据三角形的内角和定理，列一元一次方程方程，解方程即可求出∠BAC的度数.
17．【答案】（1）解：∵，，，
，，
；
（2）解：∵，，，
，，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】根据全等三角形的性质可得AB与BE的长，然后再求出AE即可；
（2）根据全等三角形的性质可得∠DBC与∠A的度数，再求出∠ABC，即可求出答案.
18．【答案】（1）解：，是边上的高，
．
．
的长度为．
（2）解：，，，
又是边上的中线，
．
，
即．
．
的面积是．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据已知条件：∠BAC=90°，AD是BC边上的高，因此的面积=，由此即可求出AD的长.
（2）先求出的面积，然后观察图片发现：等底等高，因此这两个三角形的面积相等，而这两个三角形的面积和等于的面积，因此，的面积=的面积，从而即可求出答案.
19．【答案】（1）解：在和中，
．
（2）解：，，．
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定AAS可得；
（2）根据，可得EB=EC，可得∠EBC=∠ECB根据三角形外角和可得∠EBC=∠AEB.
20．【答案】（1）解：如图所示，为所求.
（2）证明：，
，，
平分，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线的作图方法进行作图；
（2）根据平行线的性质得∠B=∠PCD，∠A=∠PCA，再根据角平分线的定义得∠PCD=∠PCA，从而得∠B=∠A，最后根据等腰三角形“等角对等边”得CA=CB.
21．【答案】（1）证明：∵以AB、AC为边分别向外做等边△ABD和等边△ACE，∴AD=AB，AC=AE，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=BE；
（2）解：∵△DAC≌△BAE，
∴∠BEA=∠ACD，
∴∠BPC=∠ECP+∠PEC=∠DCA+∠ACE+∠PEC
=∠BEA+∠ACE+∠PEC
=∠ACE+∠AEC
=60°+60°
=120°．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质准备条件，用SAS证明△DAC≌△BAE，根据全等三角形的对应边相等得出结论；
（2）根据全等三角形的对应角相等得到∠BEA=∠ACD ，根据外角性质求出∠BPC =120°。
22．【答案】（1）证明：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义可证得∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，利用余角的性质可证得∠BAC=∠DCE，然后利用ASA可证得结论.
（2）利用全等三角形的性质可证得AC=CE，同时可求出∠CED的度数，利用等边对等角及三角形的内角和定理求出∠AEC的度数，然后根据∠AED=∠AEC+∠CED，代入计算求出∠AED的度数.
23．【答案】（1）解：∵△ABD≌△EBC，
（2）直线AC与直线BD垂直.
理由：，
.
又点A，B，C在同一条直线上，，
，
直线AC与直线BD垂直.
（3）直线AD与直线CE垂直.
理由：如图，莚长CE交AD于点.
，
.
在Rt中，
，
，
，即直线AD与直线CE垂直.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【分析】（1）根据三角形全等的性质和等量代换原则，可得DE的值；
（2）根据三角形全等的性质，可得∠ABD=∠EBC；根据三点同线和等量代换原则，可得∠EBC的度数；根据垂线的判定定理，可得AC⊥BD.
24．【答案】（1）B
（2）C
（3）解：延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，
∵AD是△ABC中线，
∴CD＝BD，
∵在△ADC和△MDB中
∴△ADC≌△MDB，
∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，
∴BF＝BM＝AC，
即AC＝BF.
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：在△ADC和△EDB中
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故答案为：B；
（2）解：如图：
∵由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，
∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7，
故答案为：C.
【分析】（1）根据AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可；（2）根据全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三边关系得出8-6<2AD<8+6，求出即可；（3） 延长AD到M，使AD＝DM，连接BM， 根据“SAS”证明 △ADC≌△MDB， 推出BM=AC，∠CAD=∠M，根据AE=EF，推出∠CAD=∠AFE=∠BFD，求出∠BFD=∠M，根据等腰三角形的性质求出即可。
25．【答案】（1）解：∵是等边三角形，，
∴（答案不唯一）；
（2）解：与的数量关系为：，
理由如下：∵与都是等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
在与中，
∴，
∴；
（3）解：连接，
由（2）得：，
∴，
∴点的运动路径是一条线段，当时，有最小值，此时，
∵，
∴
∴点的运动路径长度是3
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一性质”即可求解；
（2）利用等边三角形的性质得到 ， 根据SAS证明 ，根据全等三角形的性质即可求解；
（3）连接，由（2）得：， 从而得到 ， 进而得到 当时，有最小值，此时， 根据含30°直角三角形的性质，从而求解.
1 / 1湘教版数学八年级上册《第2章 三角形》单元同步测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2021八上·衢江月考）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．2cm、10cm、13cm B．3cm、7cm、4cm
C．4cm、4cm、4cm D．5cm、14cm、6cm
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，
A、2+10＜13，不能组成三角形，不符合题意；
B、3+4＝7，不能够组成三角形，不符合题意；
C、4+4＞4，能组成三角形，符合题意；
D、5+6＜14，不能组成三角形，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此逐一判断即可.
2．（2019八上·桐梓期中）如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（ ）
A．59° B．60° C．56° D．22°
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：根据题意可得，在△ABC中， ，则 ，
又 AD为△ABC的角平分线，
又 在△AEF中，BE为△ABC的高
∴。
故答案为：A。
【分析】根据三角形的内角和得出∠CAB=62°，根据角平分线的定义得出，根据三角形高线的定义得出∠AEF=90°，从而根据直角三角形的两锐角互余算出∠EFA的度数，最后根据对顶角相等算出∠3的度数。
3．（2024·中山模拟）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ）
A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线
C．角平分线、中线、高线 D．角平分线、高线、中线
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：由图可得图表示的AD为角平分线，图表示的AD为高线，图表示的AD为中线，
故答案为：D.
【分析】根据图中折痕以及角平分线、高线、中线的定义即可求解.
4．（2019·宁波）已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D.若∠1=25°，则∠2的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：设直线n与AB的交点为E。
∵∠AED是△BED的一个外角，
∴∠AED=∠B+∠1，
∵∠B=45°，∠1=25°，
∴∠AED=45°+25°=70°
∵m∥n，
∴∠2=∠AED=70°。
故答案为：C。
【分析】设直线n与AB的交点为E。由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠AED=∠B+∠1，再根据两直线平行内错角相等可得∠2=∠AED可求解。
5．（2022·顺德模拟）命题：已知，．求证：．运用反证法证明这个命题时，第一步应假设（ ）成立
A． B．
C． D．且
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：∵的反面为，
∴第一步应假设成立，
故答案为：C．
【分析】根据反证法的证明方法和要求求解即可。
6．（2022·南浔模拟）如图，直线 .以直线 上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线 于点B、C，连结 .若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ AB=AC，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】由作图可知AB=AC，可得∠ABC=∠ACB=68°，根据三角形的内角和定理可得结论.
7．（2018·黄冈）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（ ）
A．50° B．70° C．75° D．80°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠C=25°，
∵∠B=60°，∠C=25°，
∴∠BAC=95°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=70°，
故答案为：B．
【分析】根据中垂线定理得出DA=DC，根据等边对等角得出DAC=∠C=25°，根据三角形的内角和得出∠BAC=95°，由角的和差得出∠BAD的值。
8．（2024·北京市）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法.
（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.
上述方法通过判定得到，其中判定的依据是( )
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：由作图过程可得OC=O'C'，OD=O'D'，CD=C'D'，
∴△COD≌△C'O'D'（SSS），
∴∠AOB=∠A'O'B'.
故答案为：A.
【分析】根据作图过程可得OC=O'C'=OD=O'D'，CD=C'D'，从而结合全等三角形的判定定理即可答案.
9．（2024·邵东模拟）如图，已知，添加选项（ ）仍不能证明．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A：添加AD=BC 后，满足两边和其中一边的对角对应相等，不能判定两个三角形全等，所以A符合题意；
B：添加AC=BD 后，满足两边及其夹角对应相等，可以判定两个三角形全等，所以B不符合题意；
C：添加∠D=∠C 后，满足两角及其中一角的对边对应相等，可以判定两个三角形全等，所以C不符合题意；
D：添加∠DAB=∠CBA后，满足两角及其夹边对应相等，可以判定两个三角形全等，所以D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据三角形全等的判定定理即可得出答案。
10．如图，Rt中，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形.其作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A、根据图可得AD=AC，
∴△ACD是等腰三角形，故选项A不符合题意；
B、根据图可得所作直线是线段BC的垂直平分线，
∴不能推出△ACD和△ABD是等腰三角形，故选项B符合题意；
C、根据图可得所作直线是线段AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴△ABD是等腰三角形，故选项C不符合题意；
D、∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
根据图可得AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=30°=∠B，
∴DB=DA，
∴△ABD是等腰三角形，故选项D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】作法知AD=AC可得A中存在等腰三角形；由作法知所作直线是线段BC的垂直平分线，不能找出B中的等腰三角形；由作法知，所作性质是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得DA=DB，可得C中存在等腰三角形；由作法知AD是∠BAC的平分线，推得∠BAD=∠B，根据等角对等边得到DB=DA，可得D中存在等腰三角形.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024·维吾尔自治区二模） 如图，在中，，，点在上且，连结，则 .
【答案】10
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：，，
，
故答案为：10.
【分析】先利用三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质求得∠ACB与ACD的度数，再由角的和差关系即可求解.
12．（2017·官渡模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，边AB的垂直平分线MN交AC于点D，若△BCD的周长为24cm，BC=10cm，则AB的长为 cm．
【答案】14
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴△DBC的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=AB+BC，
∵BC=10cm，△DBC的周长是24cm，
∴AC=24﹣10=14cm．
故答案为：14cm．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AD=BD，然后求出△DBC的周长=AC+BC=AB+BC，再代入数据进行计算即可得解．
13．（2023八上·东安期中）如图，已知方格纸中鱼4个相同的正方形，则 ．
【答案】
【知识点】全等三角形的应用；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：对方格进行点标注，如图：
由题意得，（SAS），∴∠FCB=∠GCD，∴∠FCB+∠GCB=∠GCD+∠GCB=90°，即∠1+∠2=90°。
故答案为：90°.
【分析】由图形发现全等三角形，将∠1进行转移，继而求出角度和。
14．（2023·孝感模拟）如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，则的度数为 ．
【答案】65°
【知识点】三角形的外角性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵∠A=50°，∠B=80°，
∴∠ACD=∠A+∠B=130°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠DCE=∠ACD=65°.
故答案为：65°.
【分析】由三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠ACD=∠A+∠B=130°，由作图痕迹可得射线CE是∠ACD的角平分线，进而根据角平分线的定义可求出∠DCE的度数.
15．（2023八上·天门月考）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为5，面积是20，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为 ．
【答案】10.5
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AD和AM，如下图：
∵三角形ABC是等腰三角形，点D是底边BC的中点
∴AD⊥BC，CD=2.5
∴S△ABC=×BC×AD=20，解得AD=8；
∵EF垂直平分AC
∴AM=CM
∴三角形CDM的周长=CD+CM+MD=CD+AM+MD≥AD+CD=8+2.5=10.5
故答案为：10.5.
【分析】根据等腰三角形的性质，可得AD⊥BC，CD=2.5；根据三角形的面积，列一元一次方程，可得AD的值；根据线段垂直平分线的性质，可得AM=CM；根据两点之间线段最短，可得三角形CDM的周长最小值.
16．（2023八上·蕲春期中）如图，在中，的垂直平分线交于M，的垂直平分线交于N，连接、，若，则 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵的垂直平分线交于M，的垂直平分线交于N ；
∴∠B=∠BAM，∠C=∠CAN；
∴∠BAN=∠BAM-∠MAN=∠B-10°，∠CAM=∠CAN-∠MAN=∠C-10°；
∴∠BAC=∠BAN+∠MAN+∠CAM=∠B-10°+10°+∠C-10°=∠B+∠C-10°=180°-∠BAC-10°
∴2∠BAC=170°，解得∠BAC=85°.
故答案为：85°.
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两个端点的夹角相等，可得∠B=∠BAM，∠C=∠CAN；根据角的和差性质，可得∠BAN和∠CAM的代数式；根据三角形的内角和定理，列一元一次方程方程，解方程即可求出∠BAC的度数.
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2023八上·南昌月考）如图，，点E在边上，与相交于点． 若，．
（1）求线段的长；
（2）求的度数．
【答案】（1）解：∵，，，
，，
；
（2）解：∵，，，
，，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】根据全等三角形的性质可得AB与BE的长，然后再求出AE即可；
（2）根据全等三角形的性质可得∠DBC与∠A的度数，再求出∠ABC，即可求出答案.
18．（2023八上·台州期中）如图，已知，分别是边上的高和中线，若，，，．
（1）求的长度．
（2）求的面积．
【答案】（1）解：，是边上的高，
．
．
的长度为．
（2）解：，，，
又是边上的中线，
．
，
即．
．
的面积是．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据已知条件：∠BAC=90°，AD是BC边上的高，因此的面积=，由此即可求出AD的长.
（2）先求出的面积，然后观察图片发现：等底等高，因此这两个三角形的面积相等，而这两个三角形的面积和等于的面积，因此，的面积=的面积，从而即可求出答案.
19．（2023八上·长沙期中） 如图，已知在与中，与交于点，且，．
（1）求证：；
（2）当时，求的度数．
【答案】（1）解：在和中，
．
（2）解：，，．
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定AAS可得；
（2）根据，可得EB=EC，可得∠EBC=∠ECB根据三角形外角和可得∠EBC=∠AEB.
20．（2024·金平模拟）如图，已知，是的一个外角.
（1）请用尺规作图法，作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若，求证：.
【答案】（1）解：如图所示，为所求.
（2）证明：，
，，
平分，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线的作图方法进行作图；
（2）根据平行线的性质得∠B=∠PCD，∠A=∠PCA，再根据角平分线的定义得∠PCD=∠PCA，从而得∠B=∠A，最后根据等腰三角形“等角对等边”得CA=CB.
21．（2023八上·花垣期中） 如图，为任意三角形，以边、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、并且相交于点．
（1）求证：；
（2）．
【答案】（1）证明：∵以AB、AC为边分别向外做等边△ABD和等边△ACE，∴AD=AB，AC=AE，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=BE；
（2）解：∵△DAC≌△BAE，
∴∠BEA=∠ACD，
∴∠BPC=∠ECP+∠PEC=∠DCA+∠ACE+∠PEC
=∠BEA+∠ACE+∠PEC
=∠ACE+∠AEC
=60°+60°
=120°．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质准备条件，用SAS证明△DAC≌△BAE，根据全等三角形的对应边相等得出结论；
（2）根据全等三角形的对应角相等得到∠BEA=∠ACD ，根据外角性质求出∠BPC =120°。
22．（2024八上·海曙期末）如图，点B、C、D在同一条直线上，，，，．
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义可证得∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，利用余角的性质可证得∠BAC=∠DCE，然后利用ASA可证得结论.
（2）利用全等三角形的性质可证得AC=CE，同时可求出∠CED的度数，利用等边对等角及三角形的内角和定理求出∠AEC的度数，然后根据∠AED=∠AEC+∠CED，代入计算求出∠AED的度数.
23．如图，点A，B，C在同一条直线上，点在BD上，且.
（1）求DE的长.
（2）判断直线AC与直线BD的位置关系，并说明理由.
（3）判断直线AD与直线CE的位置关系，并说明理由.
【答案】（1）解：∵△ABD≌△EBC，
（2）直线AC与直线BD垂直.
理由：，
.
又点A，B，C在同一条直线上，，
，
直线AC与直线BD垂直.
（3）直线AD与直线CE垂直.
理由：如图，莚长CE交AD于点.
，
.
在Rt中，
，
，
，即直线AD与直线CE垂直.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【分析】（1）根据三角形全等的性质和等量代换原则，可得DE的值；
（2）根据三角形全等的性质，可得∠ABD=∠EBC；根据三点同线和等量代换原则，可得∠EBC的度数；根据垂线的判定定理，可得AC⊥BD.
24．（2020八上·大安期末）（阅读理解）
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是_____.
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范围是______.
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
（3）解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.
问题解决：
如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF.求证：AC＝BF.
【答案】（1）B
（2）C
（3）解：延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，
∵AD是△ABC中线，
∴CD＝BD，
∵在△ADC和△MDB中
∴△ADC≌△MDB，
∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，
∴BF＝BM＝AC，
即AC＝BF.
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：在△ADC和△EDB中
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故答案为：B；
（2）解：如图：
∵由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，
∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7，
故答案为：C.
【分析】（1）根据AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可；（2）根据全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三边关系得出8-6<2AD<8+6，求出即可；（3） 延长AD到M，使AD＝DM，连接BM， 根据“SAS”证明 △ADC≌△MDB， 推出BM=AC，∠CAD=∠M，根据AE=EF，推出∠CAD=∠AFE=∠BFD，求出∠BFD=∠M，根据等腰三角形的性质求出即可。
25．（2024八上·黔西南期末）已知，如图①，是等边三角形，，是线段上的动点．
（1）问题解决：在图①中，若，根据给出的已知条件，直接写出一条未知线段的长度或一个角的大小；
（2）问题探究：如图②，在（1）的条件下，以线段为边在右侧作等边，连接，猜想与的数量关系并证明；
（3）拓展延伸：如图③，以线段为边在右侧作等边，在点从点向点的运动过程中，猜想点的运动路径是什么？当的值最小时，点运动路径的长度？（直接写出结果）
【答案】（1）解：∵是等边三角形，，
∴（答案不唯一）；
（2）解：与的数量关系为：，
理由如下：∵与都是等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
在与中，
∴，
∴；
（3）解：连接，
由（2）得：，
∴，
∴点的运动路径是一条线段，当时，有最小值，此时，
∵，
∴
∴点的运动路径长度是3
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一性质”即可求解；
（2）利用等边三角形的性质得到 ， 根据SAS证明 ，根据全等三角形的性质即可求解；
（3）连接，由（2）得：， 从而得到 ， 进而得到 当时，有最小值，此时， 根据含30°直角三角形的性质，从而求解.
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