湘教版数学八年级上册《第2章 三角形》单元提升测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023·长沙）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，6
2．（2024·恩施模拟）将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021八上·吴兴期末）用直角三角板作△ABC的高，下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024八上·播州期末）如图，在中，是高，平分，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2019八上·重庆月考）如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC=4cm2，则S阴影等于（ ）
A．2cm2 B．1cm2 C． cm2 D． cm2
6．（2024·滨江模拟）如图，在中，，将绕点逆时针旋转后得到，此时点恰好落在BD边上．若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·邵东模拟）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD，下列结论不一定正确的是（ ）
A．AD∥BC B．∠DAC=∠E C．BC⊥DE D．AD+BC=AE
8．（2024·眉山） 如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连结，则的周长为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
9．（2024·娄底模拟）用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图痕迹如图所示，可得△ODC≌O'D'C'，进一步得到∠O'＝∠O．上述作图中判定全等三角形的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
10．（2024八上·新昌期末）如图，在和中，B，E，C，F在同一条直线上．下面给出5个论断：①，②，③，④，⑤．选其中3个作为条件，不能判定的是（ ）．
A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①②④
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024·甘孜州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点F，作射线BF交AC于点G．则∠ABG的大小为 度．
12．（2024·牡丹江）如图，△ABC中，D是AB上一点，CF∥AB，D、E、F三点共线，请添加一个条件 ，使得AE＝CE．（只添一种情况即可）
13．（2024·滨州） 一副三角板如图1摆放，把三角板绕公共顶点O顺时针旋转至图2，即时，的大小为 ．
14．（2022·常州）如图，在中，是中线的中点.若的面积是1，则的面积是 .
15．（2023八上·吴忠期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为52°，则该三角形的底角的度数为 .
16．（2024·前郭尔罗斯模拟）如图，在△ABC中，∠C＝27°，点D在AC的垂直平分线上，将△ABD沿AD翻折后，使点B落在点B1处，线段B1D与AC相交于点E，则∠CED＝ ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024八上·海曙期末）如图，△ABC中，AB=AC，点E，D，F分别在三边上，且BE=CD，CF=BD．
（1）求证：△BDE≌△CFD；
（2）若∠EDF=50°，求∠A的度数．
18．将两把大小相同的含30°角的三角尺（∠BAC=∠B'A'C=30°）按图①所示的方式放置，固定三角尺A'B'C，然后将三角尺ABC 绕直角顶点C 按顺时针方向旋转（旋转角小于 90°）至图②所示的位置，AB 与A'C相交于点E，AC 与A'B'相交于点F，AB与A'B'相交于点O.
（1）求证：△BCE≌△B'CF.
（2）当旋转角等于30°时，AB 与A'B'垂直吗？ 请说明理由.
19．（2024八上·杭州月考）已知，如图，点、、、在同一直线上，，，．
（1）求证：≌；
（2）当，时，求的度数．
20．（2024·廉江模拟）综合与实践
主题：研究旋转的奥妙．
素材：一张等边三角形硬纸板和一根木棍．
步骤：如图，将一根木棍放在等边三角形硬纸板上，木棍一端与等边三角形的顶点重合，点在上（不与点重合），将木棍绕点顺时针方向旋转，得到线段，点的对应点为，连接．
猜想与证明：
（1）直接写出线段与线段的数量关系．
（2）证明（1）中你发现的结论．
21．（2024八上·叙州期末）
（1）问题发现：如图①，把一块三角板（AB=BC，∠ABC=90°）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知∠D=∠E=90°，在滑动过程中，发现与∠DAB始终相等的角是 ，与线段AD相等的线段是 ．
（2）拓展探究：如图②，在△ABC中，点D在边BC上，并且DA=DE，∠B=∠ADE=∠C．求证：△ADB≌△DEC．
（3）能力提升：如图③，在等边△DEF中，A，C分别为DE、DF边上的点，AE=4，连接AC，以AC为边在△DEF内作等边△ABC，连接BF，当∠CFB=30°时，请求出CD的长度．
22．（2024八上·叙州期末）请回忆华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容，该内容阐述了垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端钓距离相等；并给出了证明的方法。
（1）定理证明：根据教材的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
（2）定理应用：如图②，在△ABC中，直线m、n分别是边BC、AC的垂直平分线，直线m、n交于点O，过点O作OH⊥AB于点H．求证：AH=BH．
（3）如图③，在△ABC中，AB=BC，边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E．若∠ABC=120°，AC=9，求DE的值是多少？
23．（2024八上·昆明期中）
（1）如图①，在中，的平分线与的平分线交于点O，求证：
（2）如图②，在中， E是边BC延长线上一点，的平分线与的平分线交于点O，求证：；
（3）如图③，在中，D是边延长线上一点，E是边延长线上一点，的平分线与的平分线交于点O. 试探求∠A与的数量关系并证明你的结论；
24．（2023八上·城阳期中）
提出问题：早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者——海伦．一天，一位将军专程拜访他，请教一个百思不得其解的问题：如图1，将军每天从军营出发，先到河边饮马，然后再去军营开会，怎样走才能使路程最短？据说海伦略加思索就解决了它．这个问题被称为“将军饮马”的问题．你知道海伦是怎样解决这个问题的吗？
（1）研究方法：第一步作其中一定点的对称点，第二步连接对称点和另一定点，第三步找与河（对称轴）的交点．如图2，此时最短，由轴对称的性质可得，所以最短．如图3，在直线上任取点，的理由是： ．
（2）如图4，在等边，，，是的中点，是上的一点，则的最小值是 ；（请直接写出答案）
（3）如图5，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在轴上运动，当的值最小时，点的坐标是 ；（请直接写出答案）
（4）如图6，于点，于点，且，，当点在直线上运动时，的最小值是 ．（请直接写出答案）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：
A、1+3=4，故不能组成三角形，A不符合题意；
B、2+2＜7，故不能组成三角形，B不符合题意；
C、4+5＞7，故能组成三角形，C符合题意；
D、3+3=6，故不能组成三角形，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据三角形的三边关系结合题意对选项逐一分析即可求解。
2．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：根据题意可知：∠2=30°，∠3=45°，
∴∠1=∠2+∠75°.
故答案为：C.
【分析】根据三角板的性质得到∠2=30°，∠3=45°，再根据三角形外角性质即可得到答案.
3．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：A、B、D都不是高线，故错误；
C是高线，故正确.
故答案为：C.
【分析】从三角形一个端点向它的对边作一条垂线，三角形顶点和它对边垂足之间的线段称三角形这条边上的高.
4．【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠BAC=80°，
∴∠CAD=∠BAD=40°，
∵AF是高，
∴∠AFC=90°，
∴∠C+∠CAF=90°，
∵∠C= 60°，
∴∠CAF=30°，
∴∠DAF=∠CAD-∠CAF=40°-30°=10°.
故答案为：A.
【分析】在△AFC中，根据角平分线的定义求出∠CAD的度数，根据三角形内角和定理求出∠CAF的度数，再相减即可求出∠DAF的度数.
5．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】∵由于D. E. F分别为BC、AD、CE的中点，
∴△ABE、△DBE、△DCE、△AEC的面积相等，
S△BEC= S△ABC=2cm2.
S△BEF= S△BEC= ×2=1cm2.
故答案为：B
【分析】由线段中点的定义可得AE=DE，BD=CD，CF=EF，然后由等底同高的两个三角形的面积相等可求解.
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵绕点A逆时针旋转后得到，
∴，，
又∵，
∴，
∴.
故答案为：B．
【分析】由旋转性质得，，进而推出，然后利用三角形内角和定理求解即可．
7．【答案】C
【知识点】平行线的判定；三角形的外角性质；等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据题意得，∠ABD=60°，AB=AD，
∴ △ABD为等边三角形，
∴ ∠ABD=60°，
∴ ∠DBE=120°，即∠ABC=120°，
∴ ∠DAB=∠CBE=60°，
∴ AD∥BC，故A项不符合题意；
∵ △ABC≌△DBE，
∴ ∠CAB=∠EDB，
∵ ∠DAC=60°-∠CAB，∠EDB=∠ABD-∠E=60°-∠E，
∴ ∠DAC=∠E，故B项不符合题意；
∵ △ABC≌△DBE，
∴ BC=BE，
∵ △ABD为等边三角形，
∴ AB=AD，
∴ AE=AB+BE=AD+BC，故D项不符合题意；
而BC⊥DE不一定成立，故C项符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据旋转的性质可得∠ABD=60°，AB=AD，根据等边三角形的判定与性质可得∠DAB=60°，根据平行线的判定可得AD∥BC；根据旋转的性质可得△ABC≌△DBE推出 ∠CAB=∠EDB，再根据外角的性质即可得到 ∠DAC=∠E；根据旋转的性质可得BC=BE，根据等边三角形的性质可得AB=AD，即可判断出D项，而C项无法证明.
8．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知，EF垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴△BCD的周长为：BD+BC+CD=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10.
故答案为：C.
【分析】由作图可知，EF垂直平分AB，利用垂直平分线的性质，可证得AD=BD；再证明△BCD的周长等于AC+BC，代入计算可求解.
9．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】由作图过程可知OC=O C ，OD=O D ，CD=C D ，故利用“边边边”判定 △ODC≌O'D'C'，
故A正确，B、C、D错误，
正确答案：A.
【分析】作一个角等于已知角，由作图过程（轨迹）知道OC=OD=O C =O D ，CD=C D ，故可以判断利用三边对应相等判定两三角形全等，故对应角相等，作图有理有据。
10．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、①②③
∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，即BC=EF.
又∵AB=DE，AC=DF，
∴，A可以判定，不符合题意；
B、②③④
∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，即BC=EF.
又∵∠ACB=∠DFE，AC=DF，
∴，B可以判定，不符合题意；
C、③④⑤
∵∠ACB=∠DFE，AC=DF，∠A=∠D，
∴，C可以判定，不符合题意；
D、①②④
∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，即BC=EF.
当AB=DE，BC=EF，∠A=∠D，∠A和∠D分别是BC和EF的对角，所以不能判定两个三角形全等，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的判定定理判定即可.
11．【答案】35
【知识点】等腰三角形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：， ，
，
由题意得为的角平分线，
，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据等腰三角形的性质得到，进而根据作图过程得到为的角平分线，再结合角平分线的定义即可求解.
12．【答案】DE＝EF或AD＝CF
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵ CF∥AB，
∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，
添加DE＝EF，
∴△ADE≌△CFE（AAS）
∴AE=CE；
添加AD＝CF，
∴△ADE≌△CFE（ASA）
∴AE=CE；
故答案为：DE＝EF或AD＝CF（答案不唯一）.
【分析】由平行线的性质可得∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，可添加DE＝EF或AD＝CF，可证△ADE≌△CFE，可得AE=CE，据此解答即可.
13．【答案】75°
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题可知，∠B=45°，∠D=30°，
AB∥OD，
∠BOD=∠B=45°，
∠1=∠BOD+∠D=45°+30°=75°.
故答案为：75°.
【分析】先根据平行线的性质得出∠BOD=∠B=45°，再利用三角形外角的性质求解即可.
14．【答案】2
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵AD是BC边上的中线，E为AD的中点，
根据等底同高可知，△ACE的面积=△CDE的面积，
△ABD的面积=△ACD的面积2△ACE的面积，
故答案为：2.
【分析】根据E为AD的中点可得S△ACE=S△DCE=1，根据AD为中线可得D为BC的中点，则S△ABD=S△ACD，据此计算.
15．【答案】71°或19°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况讨论：
①若∠A＜90°，如图1所示：
∵BD⊥AC，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵∠ABD=52°，
∴∠A=90°-52°=38°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°-38°）=71°；
②若∠A＞90°，如图2所示：
同①可得：∠DAB=90°-52°=38°，
∴∠BAC=180°-38°=142°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°-142°）=19°；
综上所述：等腰三角形底角的度数为19°或71°.
故答案为：19°或71°.
【分析】分两种情况讨论：①若∠A＜90°，如图1所示：根据直角三角形两锐角互余可得∠A的度数，进而根据三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可得该三角形底角的度数；②若∠A＞90°，如图2所示：根据直角三角形两锐角互余可得∠DAB的度数，进而邻补角定义算出∠BAC的度数，最后根据三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可得该三角形底角的度数.
16．【答案】81°
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵点D在AC的垂直平分线上，
∴AD=CD，
∴∠C=∠DAC=27°，
∴∠ADB=∠C+∠DAC=54°，
∵将△ABD沿AD翻折后，使点B落在点B1处，
∴∠ADB=∠ADB1=54°，
∵∠ADB+∠ADB1+∠CDE=180°，
∴∠CDE=72°，
∴∠CED=180°-∠C-∠CDE=81°，
故答案为：81°.
【分析】先利用垂直平分线的性质及三角形外角的性质求出∠ADB=∠C+∠DAC=54°，再结合∠ADB+∠ADB1+∠CDE=180°，∠CDE=72°，求出∠CED=180°-∠C-∠CDE=81°即可.
17．【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
在△BDE和△CFD中，
，
∴△BDE≌△CFD（SAS）．
（2）解：∵△BDE≌△CFD，
∴∠BDE=∠CFD．
∵∠EDF=50°，
∴∠BDE+∠FDC=130°，
∴∠CFD+∠FDC=130°，
∴∠C=180°-∠CFD-∠FDC=50°，
∴∠B+∠C=2∠C=100°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=80°．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由等边对等角得∠B=∠C，从而可用SAS证 △BDE≌△CFD ；
（2）由（1）中的全等三角形可得∠BDE=∠CFD，由角的构成和平角的意义可求得∠BDE+∠CDF的度数，于是再根据三角形的内角和定理可求得∠C的度数，然后根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可求解.
18．【答案】（1）证明：由题意可得，
，
，
.
（2）解： 当旋转角等于30°时，，
，
，
，
，
.
【知识点】余角、补角及其性质；垂线的概念；三角形内角和定理；三角形的外角性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)利用余角的性质得到，再通过ASA判断.
(2)由题意可得，利用三角形的外角性质得到的度数，再通过三角形的内角和定理求得，进而证得.
19．【答案】（1）证明：，
，
在和中，
，
；
（2）解：，，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用已知条件可证得AB=ED，利用SAS可证得结论.
（2）利用三角形的内角和定理可求出∠A的度数，再利用全等三角形的对应角相等，可求出∠E的度数.
20．【答案】（1）解：
（2）证明：如图，连接．
由旋转的性质可知，，，
是等边三角形，．
是等边三角形，，，
，
，即．
在和中，
，．
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】PM=QN，
理由：连接AN，
∵ 将木棍绕点顺时针方向旋转，得到线段，
∴AN=MN，∠AMN=60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴AN=AM，∠MAN=60°，
∵△APQ是等边三角形，
∴AP=AQ，∠PAQ=∠MAN=60°，
∴∠PAM=∠QAN，
在△PAM和△QAN中
∴△PAM≌△QAN（SAS）
∴PM=QN.
【分析】（1）连接AN，利用旋转的性质可知AN=MN，∠AMN=60°，可推出△AMN是等边三角形，利用等边三角形的性质可证得AN=AM，∠MAN=60°，AP=AQ，∠PAQ=∠MAN=60°，即可推出∠PAM=∠QAN，利用SAS证明△PAM≌△QAN，利用全等三角形的对应边线段，可证得结论.
（2）连接AN，利用旋转的性质可知AN=MN，∠AMN=60°，可推出△AMN是等边三角形，利用等边三角形的性质可证得AN=AM，∠MAN=60°，AP=AQ，∠PAQ=∠MAN=60°，即可推出∠PAM=∠QAN，利用SAS证明△PAM≌△QAN，利用全等三角形的对应边线段，可证得结论.
21．【答案】（1）；
（2）证明：，，
，
在和中，
（3）解：如图，过B作BMI EF交DF于点M，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：（1），
，，
，
在和中，
，
，
，
故答案为：；；
【分析】（1）先根据题意进行角的运算得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明即可求解；
（2）先进行角的运算得到，进而根据三角形全等的判定即可求解；
（3）过B作BMI EF交DF于点M，根据等边三角形的性质得到，进而结合平行线的性质进行角的运算得到，再证明即可得到，从而进行线段的运算即可求解。
22．【答案】（1）证明：，
在和中， AC=BC
，
；
（2）证明：如图，连接OA、OB、OC，
直线m是边BC的垂直平分线
，
直线n是边AC的垂直平分线
，
，
，
；
（3）解：连结BD，BE，
，
边AB的垂直平分线垂AC于点D，边BC的垂直平分线垂AC于点E，
，
，
，
是等边三角形．
，
，
，
故答案为3
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据垂直得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明即可求解；
（2）先根据垂直平分线的性质得到，，进而结合题意即可求解；
（3）连结BD，BE，根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得到，再根据垂直平分线的性质得到，进而结合题意运用等边三角形的判定与性质得到，从而即可求解。
23．【答案】（1）证明： ∵BO平分∠ ABC ，CO平分∠ AC
在 中， ，
又 在 中， ，
（2）证明：
而 BO平分∠ ABC ，CO平分∠ ACE
∴∠ACE = 2∠OCE，∠ABC = 2∠OBC，
∴2∠BOC + 2∠OBC = ∠ABC + ∠A，
∴2∠BOC = ∠A
即 .
（3）解：如图，
∵ BO，CO分别是 ABC 的外角∠DBC，∠ECB 的角平分线，
∴∠DBC = 2∠1 = ∠ACB + ∠A，
∠ECB = 2
∠2 = ∠ABC + ∠A，
又
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）由BO平分∠ ABC ，CO平分∠ ACB，可得∠BOC=180°-（∠ABC+∠ACB），再根据∠ABC+∠ACB=180°-∠A，代入求解即可证。
（2）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，结合角平分线的性质，通过转化即可证明。
（3）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，结合角平分线的性质与三角形内角和为180°解题即可。
24．【答案】（1）两点之间，线段最短（或三角形任意两边之和大于第三边）；方法应用：对称变换在平面几何中有着广泛的应用，特别是在解决有关最值问题时是我们常用的思维方法，请你利用所学知识解决下列问题：
（2）
（3）
（4）
【知识点】两点之间线段最短；等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：线段的性质：两点之间线段最短（或利用三角形任意两边之和大于第三边）；
（2）根据（1）可得：EM+MC=EM+MB，
∴当点B、M、E三点共线时，的值最小，即是BE的长，
∵△ABC是等边三角形，且AB=6，
∴AB=CB=AC=6，
∴BE=BC=×6=，
故答案为：；
（3）过点A作关于x轴的对称点A'，连接A'B，交x轴于点P，
∵点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（2，1），
∴点P的坐标为（1，0），
故答案为：（1，0）；
（4）过点A作关于直线l的对称点A'，连接A'B，交直线l于点P，如图所示：
∵AD=2，，
∴AD=A'D=2，BN=BC-NC=BC-AD=4-2=2，
∴BM=BC+CM=BC+A'D=4+2=6，
在Rt△ABN中，，
∴A'M=AN=，
在Rt△A'MB中，，
故答案为：.
【分析】（1）利用线段的性质或三角形三边的关系分析求解即可；
（2）利用轴对称的性质及等边三角形的性质分析求解即可；
（3）利用“将军饮马”的计算方法分析求解即可；
（4）过点A作关于直线l的对称点A'，连接A'B，交直线l于点P，再利用勾股定理求出A'B的长即可.
1 / 1湘教版数学八年级上册《第2章 三角形》单元提升测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023·长沙）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，6
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：
A、1+3=4，故不能组成三角形，A不符合题意；
B、2+2＜7，故不能组成三角形，B不符合题意；
C、4+5＞7，故能组成三角形，C符合题意；
D、3+3=6，故不能组成三角形，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据三角形的三边关系结合题意对选项逐一分析即可求解。
2．（2024·恩施模拟）将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：根据题意可知：∠2=30°，∠3=45°，
∴∠1=∠2+∠75°.
故答案为：C.
【分析】根据三角板的性质得到∠2=30°，∠3=45°，再根据三角形外角性质即可得到答案.
3．（2021八上·吴兴期末）用直角三角板作△ABC的高，下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：A、B、D都不是高线，故错误；
C是高线，故正确.
故答案为：C.
【分析】从三角形一个端点向它的对边作一条垂线，三角形顶点和它对边垂足之间的线段称三角形这条边上的高.
4．（2024八上·播州期末）如图，在中，是高，平分，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠BAC=80°，
∴∠CAD=∠BAD=40°，
∵AF是高，
∴∠AFC=90°，
∴∠C+∠CAF=90°，
∵∠C= 60°，
∴∠CAF=30°，
∴∠DAF=∠CAD-∠CAF=40°-30°=10°.
故答案为：A.
【分析】在△AFC中，根据角平分线的定义求出∠CAD的度数，根据三角形内角和定理求出∠CAF的度数，再相减即可求出∠DAF的度数.
5．（2019八上·重庆月考）如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC=4cm2，则S阴影等于（ ）
A．2cm2 B．1cm2 C． cm2 D． cm2
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】∵由于D. E. F分别为BC、AD、CE的中点，
∴△ABE、△DBE、△DCE、△AEC的面积相等，
S△BEC= S△ABC=2cm2.
S△BEF= S△BEC= ×2=1cm2.
故答案为：B
【分析】由线段中点的定义可得AE=DE，BD=CD，CF=EF，然后由等底同高的两个三角形的面积相等可求解.
6．（2024·滨江模拟）如图，在中，，将绕点逆时针旋转后得到，此时点恰好落在BD边上．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵绕点A逆时针旋转后得到，
∴，，
又∵，
∴，
∴.
故答案为：B．
【分析】由旋转性质得，，进而推出，然后利用三角形内角和定理求解即可．
7．（2024·邵东模拟）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD，下列结论不一定正确的是（ ）
A．AD∥BC B．∠DAC=∠E C．BC⊥DE D．AD+BC=AE
【答案】C
【知识点】平行线的判定；三角形的外角性质；等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据题意得，∠ABD=60°，AB=AD，
∴ △ABD为等边三角形，
∴ ∠ABD=60°，
∴ ∠DBE=120°，即∠ABC=120°，
∴ ∠DAB=∠CBE=60°，
∴ AD∥BC，故A项不符合题意；
∵ △ABC≌△DBE，
∴ ∠CAB=∠EDB，
∵ ∠DAC=60°-∠CAB，∠EDB=∠ABD-∠E=60°-∠E，
∴ ∠DAC=∠E，故B项不符合题意；
∵ △ABC≌△DBE，
∴ BC=BE，
∵ △ABD为等边三角形，
∴ AB=AD，
∴ AE=AB+BE=AD+BC，故D项不符合题意；
而BC⊥DE不一定成立，故C项符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据旋转的性质可得∠ABD=60°，AB=AD，根据等边三角形的判定与性质可得∠DAB=60°，根据平行线的判定可得AD∥BC；根据旋转的性质可得△ABC≌△DBE推出 ∠CAB=∠EDB，再根据外角的性质即可得到 ∠DAC=∠E；根据旋转的性质可得BC=BE，根据等边三角形的性质可得AB=AD，即可判断出D项，而C项无法证明.
8．（2024·眉山） 如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连结，则的周长为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知，EF垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴△BCD的周长为：BD+BC+CD=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10.
故答案为：C.
【分析】由作图可知，EF垂直平分AB，利用垂直平分线的性质，可证得AD=BD；再证明△BCD的周长等于AC+BC，代入计算可求解.
9．（2024·娄底模拟）用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图痕迹如图所示，可得△ODC≌O'D'C'，进一步得到∠O'＝∠O．上述作图中判定全等三角形的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】由作图过程可知OC=O C ，OD=O D ，CD=C D ，故利用“边边边”判定 △ODC≌O'D'C'，
故A正确，B、C、D错误，
正确答案：A.
【分析】作一个角等于已知角，由作图过程（轨迹）知道OC=OD=O C =O D ，CD=C D ，故可以判断利用三边对应相等判定两三角形全等，故对应角相等，作图有理有据。
10．（2024八上·新昌期末）如图，在和中，B，E，C，F在同一条直线上．下面给出5个论断：①，②，③，④，⑤．选其中3个作为条件，不能判定的是（ ）．
A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①②④
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、①②③
∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，即BC=EF.
又∵AB=DE，AC=DF，
∴，A可以判定，不符合题意；
B、②③④
∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，即BC=EF.
又∵∠ACB=∠DFE，AC=DF，
∴，B可以判定，不符合题意；
C、③④⑤
∵∠ACB=∠DFE，AC=DF，∠A=∠D，
∴，C可以判定，不符合题意；
D、①②④
∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，即BC=EF.
当AB=DE，BC=EF，∠A=∠D，∠A和∠D分别是BC和EF的对角，所以不能判定两个三角形全等，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的判定定理判定即可.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024·甘孜州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点F，作射线BF交AC于点G．则∠ABG的大小为 度．
【答案】35
【知识点】等腰三角形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：， ，
，
由题意得为的角平分线，
，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据等腰三角形的性质得到，进而根据作图过程得到为的角平分线，再结合角平分线的定义即可求解.
12．（2024·牡丹江）如图，△ABC中，D是AB上一点，CF∥AB，D、E、F三点共线，请添加一个条件 ，使得AE＝CE．（只添一种情况即可）
【答案】DE＝EF或AD＝CF
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵ CF∥AB，
∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，
添加DE＝EF，
∴△ADE≌△CFE（AAS）
∴AE=CE；
添加AD＝CF，
∴△ADE≌△CFE（ASA）
∴AE=CE；
故答案为：DE＝EF或AD＝CF（答案不唯一）.
【分析】由平行线的性质可得∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，可添加DE＝EF或AD＝CF，可证△ADE≌△CFE，可得AE=CE，据此解答即可.
13．（2024·滨州） 一副三角板如图1摆放，把三角板绕公共顶点O顺时针旋转至图2，即时，的大小为 ．
【答案】75°
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题可知，∠B=45°，∠D=30°，
AB∥OD，
∠BOD=∠B=45°，
∠1=∠BOD+∠D=45°+30°=75°.
故答案为：75°.
【分析】先根据平行线的性质得出∠BOD=∠B=45°，再利用三角形外角的性质求解即可.
14．（2022·常州）如图，在中，是中线的中点.若的面积是1，则的面积是 .
【答案】2
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵AD是BC边上的中线，E为AD的中点，
根据等底同高可知，△ACE的面积=△CDE的面积，
△ABD的面积=△ACD的面积2△ACE的面积，
故答案为：2.
【分析】根据E为AD的中点可得S△ACE=S△DCE=1，根据AD为中线可得D为BC的中点，则S△ABD=S△ACD，据此计算.
15．（2023八上·吴忠期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为52°，则该三角形的底角的度数为 .
【答案】71°或19°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况讨论：
①若∠A＜90°，如图1所示：
∵BD⊥AC，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵∠ABD=52°，
∴∠A=90°-52°=38°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°-38°）=71°；
②若∠A＞90°，如图2所示：
同①可得：∠DAB=90°-52°=38°，
∴∠BAC=180°-38°=142°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°-142°）=19°；
综上所述：等腰三角形底角的度数为19°或71°.
故答案为：19°或71°.
【分析】分两种情况讨论：①若∠A＜90°，如图1所示：根据直角三角形两锐角互余可得∠A的度数，进而根据三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可得该三角形底角的度数；②若∠A＞90°，如图2所示：根据直角三角形两锐角互余可得∠DAB的度数，进而邻补角定义算出∠BAC的度数，最后根据三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可得该三角形底角的度数.
16．（2024·前郭尔罗斯模拟）如图，在△ABC中，∠C＝27°，点D在AC的垂直平分线上，将△ABD沿AD翻折后，使点B落在点B1处，线段B1D与AC相交于点E，则∠CED＝ ．
【答案】81°
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵点D在AC的垂直平分线上，
∴AD=CD，
∴∠C=∠DAC=27°，
∴∠ADB=∠C+∠DAC=54°，
∵将△ABD沿AD翻折后，使点B落在点B1处，
∴∠ADB=∠ADB1=54°，
∵∠ADB+∠ADB1+∠CDE=180°，
∴∠CDE=72°，
∴∠CED=180°-∠C-∠CDE=81°，
故答案为：81°.
【分析】先利用垂直平分线的性质及三角形外角的性质求出∠ADB=∠C+∠DAC=54°，再结合∠ADB+∠ADB1+∠CDE=180°，∠CDE=72°，求出∠CED=180°-∠C-∠CDE=81°即可.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024八上·海曙期末）如图，△ABC中，AB=AC，点E，D，F分别在三边上，且BE=CD，CF=BD．
（1）求证：△BDE≌△CFD；
（2）若∠EDF=50°，求∠A的度数．
【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
在△BDE和△CFD中，
，
∴△BDE≌△CFD（SAS）．
（2）解：∵△BDE≌△CFD，
∴∠BDE=∠CFD．
∵∠EDF=50°，
∴∠BDE+∠FDC=130°，
∴∠CFD+∠FDC=130°，
∴∠C=180°-∠CFD-∠FDC=50°，
∴∠B+∠C=2∠C=100°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=80°．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由等边对等角得∠B=∠C，从而可用SAS证 △BDE≌△CFD ；
（2）由（1）中的全等三角形可得∠BDE=∠CFD，由角的构成和平角的意义可求得∠BDE+∠CDF的度数，于是再根据三角形的内角和定理可求得∠C的度数，然后根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可求解.
18．将两把大小相同的含30°角的三角尺（∠BAC=∠B'A'C=30°）按图①所示的方式放置，固定三角尺A'B'C，然后将三角尺ABC 绕直角顶点C 按顺时针方向旋转（旋转角小于 90°）至图②所示的位置，AB 与A'C相交于点E，AC 与A'B'相交于点F，AB与A'B'相交于点O.
（1）求证：△BCE≌△B'CF.
（2）当旋转角等于30°时，AB 与A'B'垂直吗？ 请说明理由.
【答案】（1）证明：由题意可得，
，
，
.
（2）解： 当旋转角等于30°时，，
，
，
，
，
.
【知识点】余角、补角及其性质；垂线的概念；三角形内角和定理；三角形的外角性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)利用余角的性质得到，再通过ASA判断.
(2)由题意可得，利用三角形的外角性质得到的度数，再通过三角形的内角和定理求得，进而证得.
19．（2024八上·杭州月考）已知，如图，点、、、在同一直线上，，，．
（1）求证：≌；
（2）当，时，求的度数．
【答案】（1）证明：，
，
在和中，
，
；
（2）解：，，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用已知条件可证得AB=ED，利用SAS可证得结论.
（2）利用三角形的内角和定理可求出∠A的度数，再利用全等三角形的对应角相等，可求出∠E的度数.
20．（2024·廉江模拟）综合与实践
主题：研究旋转的奥妙．
素材：一张等边三角形硬纸板和一根木棍．
步骤：如图，将一根木棍放在等边三角形硬纸板上，木棍一端与等边三角形的顶点重合，点在上（不与点重合），将木棍绕点顺时针方向旋转，得到线段，点的对应点为，连接．
猜想与证明：
（1）直接写出线段与线段的数量关系．
（2）证明（1）中你发现的结论．
【答案】（1）解：
（2）证明：如图，连接．
由旋转的性质可知，，，
是等边三角形，．
是等边三角形，，，
，
，即．
在和中，
，．
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】PM=QN，
理由：连接AN，
∵ 将木棍绕点顺时针方向旋转，得到线段，
∴AN=MN，∠AMN=60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴AN=AM，∠MAN=60°，
∵△APQ是等边三角形，
∴AP=AQ，∠PAQ=∠MAN=60°，
∴∠PAM=∠QAN，
在△PAM和△QAN中
∴△PAM≌△QAN（SAS）
∴PM=QN.
【分析】（1）连接AN，利用旋转的性质可知AN=MN，∠AMN=60°，可推出△AMN是等边三角形，利用等边三角形的性质可证得AN=AM，∠MAN=60°，AP=AQ，∠PAQ=∠MAN=60°，即可推出∠PAM=∠QAN，利用SAS证明△PAM≌△QAN，利用全等三角形的对应边线段，可证得结论.
（2）连接AN，利用旋转的性质可知AN=MN，∠AMN=60°，可推出△AMN是等边三角形，利用等边三角形的性质可证得AN=AM，∠MAN=60°，AP=AQ，∠PAQ=∠MAN=60°，即可推出∠PAM=∠QAN，利用SAS证明△PAM≌△QAN，利用全等三角形的对应边线段，可证得结论.
21．（2024八上·叙州期末）
（1）问题发现：如图①，把一块三角板（AB=BC，∠ABC=90°）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知∠D=∠E=90°，在滑动过程中，发现与∠DAB始终相等的角是 ，与线段AD相等的线段是 ．
（2）拓展探究：如图②，在△ABC中，点D在边BC上，并且DA=DE，∠B=∠ADE=∠C．求证：△ADB≌△DEC．
（3）能力提升：如图③，在等边△DEF中，A，C分别为DE、DF边上的点，AE=4，连接AC，以AC为边在△DEF内作等边△ABC，连接BF，当∠CFB=30°时，请求出CD的长度．
【答案】（1）；
（2）证明：，，
，
在和中，
（3）解：如图，过B作BMI EF交DF于点M，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：（1），
，，
，
在和中，
，
，
，
故答案为：；；
【分析】（1）先根据题意进行角的运算得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明即可求解；
（2）先进行角的运算得到，进而根据三角形全等的判定即可求解；
（3）过B作BMI EF交DF于点M，根据等边三角形的性质得到，进而结合平行线的性质进行角的运算得到，再证明即可得到，从而进行线段的运算即可求解。
22．（2024八上·叙州期末）请回忆华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容，该内容阐述了垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端钓距离相等；并给出了证明的方法。
（1）定理证明：根据教材的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
（2）定理应用：如图②，在△ABC中，直线m、n分别是边BC、AC的垂直平分线，直线m、n交于点O，过点O作OH⊥AB于点H．求证：AH=BH．
（3）如图③，在△ABC中，AB=BC，边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E．若∠ABC=120°，AC=9，求DE的值是多少？
【答案】（1）证明：，
在和中， AC=BC
，
；
（2）证明：如图，连接OA、OB、OC，
直线m是边BC的垂直平分线
，
直线n是边AC的垂直平分线
，
，
，
；
（3）解：连结BD，BE，
，
边AB的垂直平分线垂AC于点D，边BC的垂直平分线垂AC于点E，
，
，
，
是等边三角形．
，
，
，
故答案为3
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据垂直得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明即可求解；
（2）先根据垂直平分线的性质得到，，进而结合题意即可求解；
（3）连结BD，BE，根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得到，再根据垂直平分线的性质得到，进而结合题意运用等边三角形的判定与性质得到，从而即可求解。
23．（2024八上·昆明期中）
（1）如图①，在中，的平分线与的平分线交于点O，求证：
（2）如图②，在中， E是边BC延长线上一点，的平分线与的平分线交于点O，求证：；
（3）如图③，在中，D是边延长线上一点，E是边延长线上一点，的平分线与的平分线交于点O. 试探求∠A与的数量关系并证明你的结论；
【答案】（1）证明： ∵BO平分∠ ABC ，CO平分∠ AC
在 中， ，
又 在 中， ，
（2）证明：
而 BO平分∠ ABC ，CO平分∠ ACE
∴∠ACE = 2∠OCE，∠ABC = 2∠OBC，
∴2∠BOC + 2∠OBC = ∠ABC + ∠A，
∴2∠BOC = ∠A
即 .
（3）解：如图，
∵ BO，CO分别是 ABC 的外角∠DBC，∠ECB 的角平分线，
∴∠DBC = 2∠1 = ∠ACB + ∠A，
∠ECB = 2
∠2 = ∠ABC + ∠A，
又
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）由BO平分∠ ABC ，CO平分∠ ACB，可得∠BOC=180°-（∠ABC+∠ACB），再根据∠ABC+∠ACB=180°-∠A，代入求解即可证。
（2）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，结合角平分线的性质，通过转化即可证明。
（3）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，结合角平分线的性质与三角形内角和为180°解题即可。
24．（2023八上·城阳期中）
提出问题：早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者——海伦．一天，一位将军专程拜访他，请教一个百思不得其解的问题：如图1，将军每天从军营出发，先到河边饮马，然后再去军营开会，怎样走才能使路程最短？据说海伦略加思索就解决了它．这个问题被称为“将军饮马”的问题．你知道海伦是怎样解决这个问题的吗？
（1）研究方法：第一步作其中一定点的对称点，第二步连接对称点和另一定点，第三步找与河（对称轴）的交点．如图2，此时最短，由轴对称的性质可得，所以最短．如图3，在直线上任取点，的理由是： ．
（2）如图4，在等边，，，是的中点，是上的一点，则的最小值是 ；（请直接写出答案）
（3）如图5，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在轴上运动，当的值最小时，点的坐标是 ；（请直接写出答案）
（4）如图6，于点，于点，且，，当点在直线上运动时，的最小值是 ．（请直接写出答案）
【答案】（1）两点之间，线段最短（或三角形任意两边之和大于第三边）；方法应用：对称变换在平面几何中有着广泛的应用，特别是在解决有关最值问题时是我们常用的思维方法，请你利用所学知识解决下列问题：
（2）
（3）
（4）
【知识点】两点之间线段最短；等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：线段的性质：两点之间线段最短（或利用三角形任意两边之和大于第三边）；
（2）根据（1）可得：EM+MC=EM+MB，
∴当点B、M、E三点共线时，的值最小，即是BE的长，
∵△ABC是等边三角形，且AB=6，
∴AB=CB=AC=6，
∴BE=BC=×6=，
故答案为：；
（3）过点A作关于x轴的对称点A'，连接A'B，交x轴于点P，
∵点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（2，1），
∴点P的坐标为（1，0），
故答案为：（1，0）；
（4）过点A作关于直线l的对称点A'，连接A'B，交直线l于点P，如图所示：
∵AD=2，，
∴AD=A'D=2，BN=BC-NC=BC-AD=4-2=2，
∴BM=BC+CM=BC+A'D=4+2=6，
在Rt△ABN中，，
∴A'M=AN=，
在Rt△A'MB中，，
故答案为：.
【分析】（1）利用线段的性质或三角形三边的关系分析求解即可；
（2）利用轴对称的性质及等边三角形的性质分析求解即可；
（3）利用“将军饮马”的计算方法分析求解即可；
（4）过点A作关于直线l的对称点A'，连接A'B，交直线l于点P，再利用勾股定理求出A'B的长即可.
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