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人教版八年级上学期数学第十一章质量检测（进阶）
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
评分
第Ⅰ卷
阅卷人 一、选择题（共30分，每题3分）
得分
1．（2024八上·顺平期末）如图，在中，，分别平分，，且交于点，为外角的平分线，的延长线交于点， 则以下结论：；；；．正确的是（ ）
A．①④ B．①③④ C．①②③ D．①②④
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
2．（2024八上·太湖期末）如图，在中，已知分别是边的中点，且阴影部分图形的面积为7，则的面积为（ ）
A．14 B．21 C．28 D．32
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
3．（2020八上·太谷期末）在△ABC中，若∠A+∠B－∠C＝0，则△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B－∠C＝0，
∴∠A+∠B=∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形；
故答案为：A.
【分析】利用三角形的内角和及∠A+∠B－∠C＝0，求出∠C的度数即可得到答案。
4．（2020八上·南昌期中）一个正多边形的每一个内角是 ，则从这个正多边形的一个顶点出发可作（ ）条对角线．
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】一个正多边形的每一个内角是 ，
一个正多边形的每一个外角是180 -135 =45 ，
正多边形的边数：360÷45=8，
从这个正多边形的一个顶点出发，共可以作对角线的条数为：8 3=5，
故答案为：A．
【分析】根据正多边形的性质求出多边形的边数，再根据多边形对角线的规律求解即可。
5．（2024八上·宽城期末） 若一个三角形的三条边长分别为3，2a-1，6，则整数a的值可能是（ ）
A．2，3 B．3，4 C．2，3，4 D．3，4，5
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵ 三角形的三条边长分别为3，2a-1，6，
∴，
解得，2＜a＜5，
∴整数a的值可能是3，4.
故答案为：B.
【分析】根据三角形的三边关系可得不等式组，解不等组求得a的取值范围，即可求解.
6．（2015八上·平邑期末）如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A．AB=2BF B．∠ACE= ∠ACB
C．AE=BE D．CD⊥BE
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，
∴CD⊥BE，∠ACE= ∠ACB，AB=2BF，无法确定AE=BE．
故选C．
【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．依此即可求解．
7．（【3.05项目】初中数学北师大版八年级上册平行线的证明练习题 (7)7）下列几种形状的瓷砖中，只用一种不能够铺满地面的是（ ）
A．正六边形 B．正五边形 C．正方形 D．正三角形
【答案】B
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】A、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺；B、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；C、正方形的每个内角是90°，4个能密铺；D、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺．故选B．
【分析】根据平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能，即可得出答案．
8．（2019八上·洪湖月考）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（ ）
A．180° B．270° C．360° D．720°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】如图，连接AB，
∵∠1+∠2+∠3=180°，∠D+∠E+∠4=180°，且∠3=∠4
∴∠D+∠E=∠1+∠2
在四边形ABCF中，∠FAB+∠ABC+∠C+∠F=360°，
即∠FAD+∠1+∠2+∠CBE+∠C+∠F=360°，
∴∠FAD+∠D+∠E+∠CBE+∠C+∠F=360°，
故答案为：C.
【分析】连接AB，根据三角形内角和与对顶角相等，可得出∠D+∠E=∠1+∠2，再由四边形ABCF内角和为360°，即可得出答案.
9．（2019八上·重庆月考）如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，若∠1、∠2、∠3、∠4对应的邻补角和等于215°，则∠BOD的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】在DO延长线上找一点M，如图所示.
∵多边形AOEFG的外角和为360°，
∴∠BOM=360°-215°=145°.
∵∠BOD+∠BOM=180°，
∴∠BOD=180°-∠BOM=180°-145°=35°.
故答案为：B.
【分析】在DO延长线上找一点M，由多边形外角的和等于360度可求得∠BOM的度数，再根据邻补角的定义可求解.
10．（2023八上·浠水月考）如图，已知C，A，G三点共线，C，B，H三点共线，2∠CAD＝∠BAD，2∠CBD＝∠ABD，∠GAE＝2∠BAE，∠EBH＝2∠EBA，则∠D和∠E的关系满足（ ）
A．2∠E＋∠D＝320° B．2∠E＋∠D＝340°
C．2∠E＋∠D＝300° D．2∠E＋∠D＝360°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
阅卷人 二、填空题（共15分，每题3分）
得分
11．（2024八上·新都期末）如图，在中，，，，则的度数是
【答案】
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°，
∵∠A=20°，∠2=30°，
∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC-∠1）+（∠ACB-∠2）=（∠ABC+∠ACB）-（∠1+∠2）=120°-（20°+30°）=70°，
∴∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-70°=110°，
故答案为：110°.
【分析】先利用三角形的内角和求出∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°，再利用角的运算求出∠DBC+∠DCB=70°，最后利用三角形的内角和求出∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-70°=110°即可.
12．（2024八上·峡江期末）如图，一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠A0B＝120°∠CDB＝20°，则∠AEF＝ ．
【答案】40°
【知识点】角的运算；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方向射出，
∴∠EDO=∠CDB=20°，∠AEF=∠OED，
在△ODE中，∠OED=180°-∠AOB-∠EDO=180°-120°-20°=40°，
∴∠AEF=∠OED=40°，
故答案为：40°.
【分析】先利用三角形的内角和求出∠OED=180°-∠AOB-∠EDO=180°-120°-20°=40°，再求出∠AEF=∠OED=40°即可.
13．（2024八上·雨花期末）如图，是五边形的一个外角．若，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】∵∠1=70°，
∴∠AED=110°，
又 +∠AED=（5-2）×180°，
∴=430°。
故答案为：430°。
【分析】首先根据邻补角求得∠AED=110°，再根据多边形内角和定理求得 +∠AED=（5-2）×180°，进而得出=430°。
14．（2024八上·湖北期末）如图，在△ABC中，∠C＝47°，将△ABC沿着直线折叠，点C落在点D的位置，则∠1－∠2的度数是 ．
【答案】94°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
由折叠的性质得：∠D=∠C=47°，
根据外角性质得：∠1=∠3+∠C，∠3=∠2+∠D，
则∠1=∠2+∠C+∠D=∠2+2∠C=∠2+94°，
则∠1﹣∠2=94°．
故答案为：94°．
【分析】利用折叠的性质可得∠D=∠C=47°，再利用三角形外角的性质及角的运算求出∠1﹣∠2=94°即可.
15．（2023八上·安庆月考）如图，于点E，于点D，AD交EC于点B．若，，，则 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】先根据三角形面积公式即可得到△ABC的面积，进而结合题意即可得到AE。
阅卷人 三、解答题（共66题，16题6分，17题10分，22题10分，
得分
16．（2021八上·杭州期中）已知a，b，c是△ABC的三边长，若b＝2a﹣1，c＝a+5，且△ABC的周长不超过20cm，求a的范围.
【答案】解：由题意得： ，
解得3＜a≤4.
∴a的取值范围为3＜a≤4
【知识点】一元一次不等式组的应用；三角形三边关系
【解析】【分析】根据三角形三边关系可得a+5<2a-1+a，由三角形的周长可得a+5+a+2a-1≤10，联立求解可得a的范围.
17．（2024八上·阿图什期末）如图，已知∠1=∠2=∠3，且∠BAC=70，∠DFE=50，求∠ABC的度数.
【答案】∠ABC=60°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
18．（2023八上·合江期中）设a，b，c是的三边，
（1）化简
（2）若b，c满足，且a为方程的解，判断的形状并说明理由．
【答案】（1）解：∵a，b，c是的三边，
∴，，
∴，，，
∴
（2）解：∵，
∴且，
∴，，
∵a为方程的解，
∴，
∴或，
当时，，故不合题意；
∴，
∴是等腰三角形．
【知识点】三角形三边关系；偶次方的非负性；绝对值的非负性；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】（1）首先根据三角形三边之间的关系，把绝对值符号去掉，然后合并同类项，即可得出结果；
（2）首先根据偶次方的非负性和绝对值的非负性，求得b=2，c=3的值，再解方程 求得a的两个值或， 根据三角形三边之间的关系，舍去不符合题意的值，然后根据三边数值，即可得出 是等腰三角形．
19．（2023八上·惠城期中）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角为对顶角，则与为“对顶三角形”，根据三角形三个内角和是，“对顶三角形”有如下性质：．
（1）如图1，在“对顶三角形”与中，若，则．
（2）如图2，在中，分别平分和，若，比大，求的度数．
【答案】（1）
（2）
【知识点】三角形内角和定理
（2023八上·慈溪期中）请阅读下列材料，并完成相应任务．
在数学探究课上，老师出了这样一个题：如图，锐角内部有一点，在其两边和上各取任意一点，，连接，，求证：．
小丽的证法 小红的证法
证明： 如图，连接并延长至点，，（依据）， 又∵，， ∴． 证明： ∵，，，（量角器测量所得）， ∴，（计算所得）． ∴（等量代换）．
任务：
20．小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：______；
21．下列说法正确的是______．
A．小丽的证法用严谨的推理证明了本题结论
B．小丽的证法还需要改变的大小，再进行证明，本题的证明才完整
C．小红的证法用特殊到一般的方法证明了本题结论
D．小红的证法只要将点在的内部任意移动次，重新测量进行验证，就能证明本题结论
22．如图，若点在锐角外部，与相交于点，其余条件不变，原题中结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出，，，之间的关系并证明．
【答案】20．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
21．；
22．解：不成立，理由如下：
证明：∵是的一个外角，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∴，
∴∠BED-∠DFC=∠BAC+∠EDF，
故∠BED+∠DFC=∠BAC+∠EDF不成立.
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】（1）解：小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
故答案为：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
（2）解：A、由题意，根据三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”进行证明，此结论正确；符合题意；
B、由A可知：小丽是用的一般方法证明的，不需要再改变的大小再证，此结论错误；不符合题意；
C、小红使用的是实验的方法，不是从特殊到一般的证明方法，不具有一般性，证明方法不严谨，此结论错误；不符合题意；
D、小红使用的是实验的方法，不是从特殊到一般的证明方法，不具有一般性，证明方法不严谨，此结论错误；不符合题意.
故答案为：.
【分析】
（）由题意，分析小丽的证明过程，并结合已学过的知识即可判断求解；
（）按照定理的证明的一般步骤，从已知出发经过量角器测量，计算，证明，即可求解；
（）根据三角形外角的性质和等式的性质即可求解.
20．解：小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，
故答案为：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
21．解：由题意，按照定理证明的一般步骤分析，正确；小丽是用的一般方法证明的，不需要再改变的大小再证，故错误；
小红使用的是实验的方法，不是从特殊到一般的证明方法，不管试验几次，证明方法都不严谨，故、错误；
故选：；
22．解：不成立，理由：
∵是的一个外角，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∴．
23．
（1）如图1，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线，已知∠B=30°，∠C=50°．求∠DAE的度数．
（2）如图2，∠BAC的平分线AF交BC于点E，过点F作FD⊥BC于点D，若∠B=x°，∠C=（x+30）°．
①∠CAE= ▲ （含x的代数式表示）．
②求∠F的度数．
【答案】（1）解：∵∠B=30°，∠C=50°，
是的角平分线，
是的高线，
，
（2）解：①（75-x）°
②∵=
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：（2）①∵∠B=x°，∠C=(x+30)°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=（150-2x）°
AF平分∠BAC，
，
故答案为：（75-x）°；
【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理算出∠CAB的度数，由角平分线定义求出∠CAE的度数，由高线定义可得∠ADC=90°，再由直角三角形的两锐角互余算出∠CAD的度数，最后根据角的和差，由∠DAE=∠CAE-∠CAD可算出答案；
（2）①先由三角形的内角和定理算出∠CAB的度数，由角平分线定义求出∠CAE的度数；
②在△ACE中，由三角形的内角和定理可求出∠AEC的度数，由对顶角相等可得极爱哦FED的度数，进而根据垂直的定义及直角三角形的两锐角互余可算出∠F的度数.
24．（2023八上·德州月考）阅读下面材料：
“百年器象——清华大学科学博物馆筹备展”上展出了一件清华校友捐赠的历史文物“Husun型六分仪”（图①），它见证了中国人民解放军海军的发展历程，六分仪是测量天体高度的手提式光学仪器，它的主要原理是几何光学中的反射定律。观测者手持六分仪（图②）按照一定的观测步骤（图③显示的是其中第6步）读出六分仪圆弧标尺上的刻度，再经过一定计算得出观测点的地理坐标。
请大家证明在使用六分仪测量时用到的一个重要结论（两次反射原理）。
已知：在图④所示的“六分仪原理图”中，所观测星体记为S，两个反射镜面位于A，B两处，B处的镜面所在直线FBC自动与O°刻度线AE保持平行（即BC∥AE)，并与A处的镜面所在直线NA交于点C，SA所在直线与水平线MB交于点D，六分仪上刻度线AC与0°刻度线的夹角∠EAC=ω，观测角为∠SDM.(请注意小贴士中的信息)
（1）猜想∠SDM与ω的数量关系。
（2）请证明你的猜想。
【答案】（1）解：∠SDM=2ω
（2）理由如下：
∵BC∥AE，
∴∠C=∠EAC(两直线平行内错角相等)
∵ ∠EAC = ω， ∴ ∠C = ω (等量代换)
∵∠SAN = ∠CAD (对顶角相等)
又 ∵∠BAC=∠SAN = α （小贴士已知）
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD= 2α
∵∠FBA是△ABC的外角，
∴∠FBA=∠BAC+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
即β= α+ω，
∴∠SDM = 180° - ∠DAB-∠ABD
= 180° - 2α- (180°- 2β) = 2（β-a) = 2ω.
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）利用角的运算方法求解即可；
（2）利用平行线的性质及角的运算和等量代换求解即可.
阅卷人 四、实践探究题（共9分）
得分
25．阅读与理解：
三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积，即如图1，AD是△ABC中BC边上的中线，则S△ABD=S△ACD=S△ABC．
操作与探索：
在图2至图4中，△ABC的面积为a．
（1）如图2，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA．若△ACD的面积为S1，则S1= ．（用含a的代数式表示）．
（2）如图3，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE．若△DEC的面积为S2，则S2= （用含a的代数式表示）．
（3）在图3的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，FE，得到△DEF（如图4）．若图4中△DEF的面积为S3，则S3= （用含a的代数式表示）．
【答案】（1）a
（2）2a
（3）7a
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：（1）如图，过点A作AE⊥BD于点E，
∵S△ABC=，S△ACD=，BC=CD，
∴S△ABC=S△ACD=a，即S1=a；
故答案为：a；
（2）如图，连接AD，
根据（1）的方式可得S△ABC=S△ACD=S△AED=a，
∵S△DEC=S△ACD+S△AED，
∴S2=2a；
故答案为：2a；
（3）由（2）可得S△CDE=S△AEF=S△BDF=2a，
∴S△DEF=S△CDE+S△AEF+S△BDF+S△ABC=7a，即S3=7a.
故答案为：7a.
【分析】（1）根据等底同高的三角形面积相等，可知道△ACD的面积和△ABC的面积相等；
（2）根据等底同高的三角形面积相等，可知道S△ABC=S△ACD=S△AED=a，从而可求出结果；
（3）阴影部分的面积为三个三角形，这三个三角形面积相等，从（2）可知都为2a，从而由S△DEF=S△CDE+S△AEF+S△BDF+S△ABC可解出此题.
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姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
评分
第Ⅰ卷
阅卷人 一、选择题（共30分，每题3分）
得分
1．（2024八上·顺平期末）如图，在中，，分别平分，，且交于点，为外角的平分线，的延长线交于点， 则以下结论：；；；．正确的是（ ）
A．①④ B．①③④ C．①②③ D．①②④
2．（2024八上·太湖期末）如图，在中，已知分别是边的中点，且阴影部分图形的面积为7，则的面积为（ ）
A．14 B．21 C．28 D．32
3．（2020八上·太谷期末）在△ABC中，若∠A+∠B－∠C＝0，则△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
4．（2020八上·南昌期中）一个正多边形的每一个内角是 ，则从这个正多边形的一个顶点出发可作（ ）条对角线．
A．5 B．4 C．3 D．2
5．（2024八上·宽城期末） 若一个三角形的三条边长分别为3，2a-1，6，则整数a的值可能是（ ）
A．2，3 B．3，4 C．2，3，4 D．3，4，5
6．（2015八上·平邑期末）如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A．AB=2BF B．∠ACE= ∠ACB
C．AE=BE D．CD⊥BE
7．（【3.05项目】初中数学北师大版八年级上册平行线的证明练习题 (7)7）下列几种形状的瓷砖中，只用一种不能够铺满地面的是（ ）
A．正六边形 B．正五边形 C．正方形 D．正三角形
8．（2019八上·洪湖月考）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（ ）
A．180° B．270° C．360° D．720°
9．（2019八上·重庆月考）如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，若∠1、∠2、∠3、∠4对应的邻补角和等于215°，则∠BOD的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
10．（2023八上·浠水月考）如图，已知C，A，G三点共线，C，B，H三点共线，2∠CAD＝∠BAD，2∠CBD＝∠ABD，∠GAE＝2∠BAE，∠EBH＝2∠EBA，则∠D和∠E的关系满足（ ）
A．2∠E＋∠D＝320° B．2∠E＋∠D＝340°
C．2∠E＋∠D＝300° D．2∠E＋∠D＝360°
阅卷人 二、填空题（共15分，每题3分）
得分
11．（2024八上·新都期末）如图，在中，，，，则的度数是
12．（2024八上·峡江期末）如图，一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠A0B＝120°∠CDB＝20°，则∠AEF＝ ．
13．（2024八上·雨花期末）如图，是五边形的一个外角．若，则的度数为 ．
14．（2024八上·湖北期末）如图，在△ABC中，∠C＝47°，将△ABC沿着直线折叠，点C落在点D的位置，则∠1－∠2的度数是 ．
15．（2023八上·安庆月考）如图，于点E，于点D，AD交EC于点B．若，，，则 ．
阅卷人 三、解答题（共66题，16题6分，17题10分，22题10分，
得分
16．（2021八上·杭州期中）已知a，b，c是△ABC的三边长，若b＝2a﹣1，c＝a+5，且△ABC的周长不超过20cm，求a的范围.
17．（2024八上·阿图什期末）如图，已知∠1=∠2=∠3，且∠BAC=70，∠DFE=50，求∠ABC的度数.
18．（2023八上·合江期中）设a，b，c是的三边，
（1）化简
（2）若b，c满足，且a为方程的解，判断的形状并说明理由．
19．（2023八上·惠城期中）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角为对顶角，则与为“对顶三角形”，根据三角形三个内角和是，“对顶三角形”有如下性质：．
（1）如图1，在“对顶三角形”与中，若，则．
（2）如图2，在中，分别平分和，若，比大，求的度数．
（2023八上·慈溪期中）请阅读下列材料，并完成相应任务．
在数学探究课上，老师出了这样一个题：如图，锐角内部有一点，在其两边和上各取任意一点，，连接，，求证：．
小丽的证法 小红的证法
证明： 如图，连接并延长至点，，（依据）， 又∵，， ∴． 证明： ∵，，，（量角器测量所得）， ∴，（计算所得）． ∴（等量代换）．
任务：
20．小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：______；
21．下列说法正确的是______．
A．小丽的证法用严谨的推理证明了本题结论
B．小丽的证法还需要改变的大小，再进行证明，本题的证明才完整
C．小红的证法用特殊到一般的方法证明了本题结论
D．小红的证法只要将点在的内部任意移动次，重新测量进行验证，就能证明本题结论
22．如图，若点在锐角外部，与相交于点，其余条件不变，原题中结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出，，，之间的关系并证明．
23．
（1）如图1，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线，已知∠B=30°，∠C=50°．求∠DAE的度数．
（2）如图2，∠BAC的平分线AF交BC于点E，过点F作FD⊥BC于点D，若∠B=x°，∠C=（x+30）°．
①∠CAE= ▲ （含x的代数式表示）．
②求∠F的度数．
24．（2023八上·德州月考）阅读下面材料：
“百年器象——清华大学科学博物馆筹备展”上展出了一件清华校友捐赠的历史文物“Husun型六分仪”（图①），它见证了中国人民解放军海军的发展历程，六分仪是测量天体高度的手提式光学仪器，它的主要原理是几何光学中的反射定律。观测者手持六分仪（图②）按照一定的观测步骤（图③显示的是其中第6步）读出六分仪圆弧标尺上的刻度，再经过一定计算得出观测点的地理坐标。
请大家证明在使用六分仪测量时用到的一个重要结论（两次反射原理）。
已知：在图④所示的“六分仪原理图”中，所观测星体记为S，两个反射镜面位于A，B两处，B处的镜面所在直线FBC自动与O°刻度线AE保持平行（即BC∥AE)，并与A处的镜面所在直线NA交于点C，SA所在直线与水平线MB交于点D，六分仪上刻度线AC与0°刻度线的夹角∠EAC=ω，观测角为∠SDM.(请注意小贴士中的信息)
（1）猜想∠SDM与ω的数量关系。
（2）请证明你的猜想。
阅卷人 四、实践探究题（共9分）
得分
25．阅读与理解：
三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积，即如图1，AD是△ABC中BC边上的中线，则S△ABD=S△ACD=S△ABC．
操作与探索：
在图2至图4中，△ABC的面积为a．
（1）如图2，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA．若△ACD的面积为S1，则S1= ．（用含a的代数式表示）．
（2）如图3，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE．若△DEC的面积为S2，则S2= （用含a的代数式表示）．
（3）在图3的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，FE，得到△DEF（如图4）．若图4中△DEF的面积为S3，则S3= （用含a的代数式表示）．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
2．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
3．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B－∠C＝0，
∴∠A+∠B=∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形；
故答案为：A.
【分析】利用三角形的内角和及∠A+∠B－∠C＝0，求出∠C的度数即可得到答案。
4．【答案】A
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】一个正多边形的每一个内角是 ，
一个正多边形的每一个外角是180 -135 =45 ，
正多边形的边数：360÷45=8，
从这个正多边形的一个顶点出发，共可以作对角线的条数为：8 3=5，
故答案为：A．
【分析】根据正多边形的性质求出多边形的边数，再根据多边形对角线的规律求解即可。
5．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵ 三角形的三条边长分别为3，2a-1，6，
∴，
解得，2＜a＜5，
∴整数a的值可能是3，4.
故答案为：B.
【分析】根据三角形的三边关系可得不等式组，解不等组求得a的取值范围，即可求解.
6．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，
∴CD⊥BE，∠ACE= ∠ACB，AB=2BF，无法确定AE=BE．
故选C．
【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．依此即可求解．
7．【答案】B
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】A、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺；B、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；C、正方形的每个内角是90°，4个能密铺；D、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺．故选B．
【分析】根据平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能，即可得出答案．
8．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】如图，连接AB，
∵∠1+∠2+∠3=180°，∠D+∠E+∠4=180°，且∠3=∠4
∴∠D+∠E=∠1+∠2
在四边形ABCF中，∠FAB+∠ABC+∠C+∠F=360°，
即∠FAD+∠1+∠2+∠CBE+∠C+∠F=360°，
∴∠FAD+∠D+∠E+∠CBE+∠C+∠F=360°，
故答案为：C.
【分析】连接AB，根据三角形内角和与对顶角相等，可得出∠D+∠E=∠1+∠2，再由四边形ABCF内角和为360°，即可得出答案.
9．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】在DO延长线上找一点M，如图所示.
∵多边形AOEFG的外角和为360°，
∴∠BOM=360°-215°=145°.
∵∠BOD+∠BOM=180°，
∴∠BOD=180°-∠BOM=180°-145°=35°.
故答案为：B.
【分析】在DO延长线上找一点M，由多边形外角的和等于360度可求得∠BOM的度数，再根据邻补角的定义可求解.
10．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
11．【答案】
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°，
∵∠A=20°，∠2=30°，
∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC-∠1）+（∠ACB-∠2）=（∠ABC+∠ACB）-（∠1+∠2）=120°-（20°+30°）=70°，
∴∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-70°=110°，
故答案为：110°.
【分析】先利用三角形的内角和求出∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°，再利用角的运算求出∠DBC+∠DCB=70°，最后利用三角形的内角和求出∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-70°=110°即可.
12．【答案】40°
【知识点】角的运算；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方向射出，
∴∠EDO=∠CDB=20°，∠AEF=∠OED，
在△ODE中，∠OED=180°-∠AOB-∠EDO=180°-120°-20°=40°，
∴∠AEF=∠OED=40°，
故答案为：40°.
【分析】先利用三角形的内角和求出∠OED=180°-∠AOB-∠EDO=180°-120°-20°=40°，再求出∠AEF=∠OED=40°即可.
13．【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】∵∠1=70°，
∴∠AED=110°，
又 +∠AED=（5-2）×180°，
∴=430°。
故答案为：430°。
【分析】首先根据邻补角求得∠AED=110°，再根据多边形内角和定理求得 +∠AED=（5-2）×180°，进而得出=430°。
14．【答案】94°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
由折叠的性质得：∠D=∠C=47°，
根据外角性质得：∠1=∠3+∠C，∠3=∠2+∠D，
则∠1=∠2+∠C+∠D=∠2+2∠C=∠2+94°，
则∠1﹣∠2=94°．
故答案为：94°．
【分析】利用折叠的性质可得∠D=∠C=47°，再利用三角形外角的性质及角的运算求出∠1﹣∠2=94°即可.
15．【答案】
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】先根据三角形面积公式即可得到△ABC的面积，进而结合题意即可得到AE。
16．【答案】解：由题意得： ，
解得3＜a≤4.
∴a的取值范围为3＜a≤4
【知识点】一元一次不等式组的应用；三角形三边关系
【解析】【分析】根据三角形三边关系可得a+5<2a-1+a，由三角形的周长可得a+5+a+2a-1≤10，联立求解可得a的范围.
17．【答案】∠ABC=60°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
18．【答案】（1）解：∵a，b，c是的三边，
∴，，
∴，，，
∴
（2）解：∵，
∴且，
∴，，
∵a为方程的解，
∴，
∴或，
当时，，故不合题意；
∴，
∴是等腰三角形．
【知识点】三角形三边关系；偶次方的非负性；绝对值的非负性；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】（1）首先根据三角形三边之间的关系，把绝对值符号去掉，然后合并同类项，即可得出结果；
（2）首先根据偶次方的非负性和绝对值的非负性，求得b=2，c=3的值，再解方程 求得a的两个值或， 根据三角形三边之间的关系，舍去不符合题意的值，然后根据三边数值，即可得出 是等腰三角形．
19．【答案】（1）
（2）
【知识点】三角形内角和定理
【答案】20．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
21．；
22．解：不成立，理由如下：
证明：∵是的一个外角，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∴，
∴∠BED-∠DFC=∠BAC+∠EDF，
故∠BED+∠DFC=∠BAC+∠EDF不成立.
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】（1）解：小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
故答案为：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
（2）解：A、由题意，根据三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”进行证明，此结论正确；符合题意；
B、由A可知：小丽是用的一般方法证明的，不需要再改变的大小再证，此结论错误；不符合题意；
C、小红使用的是实验的方法，不是从特殊到一般的证明方法，不具有一般性，证明方法不严谨，此结论错误；不符合题意；
D、小红使用的是实验的方法，不是从特殊到一般的证明方法，不具有一般性，证明方法不严谨，此结论错误；不符合题意.
故答案为：.
【分析】
（）由题意，分析小丽的证明过程，并结合已学过的知识即可判断求解；
（）按照定理的证明的一般步骤，从已知出发经过量角器测量，计算，证明，即可求解；
（）根据三角形外角的性质和等式的性质即可求解.
20．解：小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，
故答案为：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
21．解：由题意，按照定理证明的一般步骤分析，正确；小丽是用的一般方法证明的，不需要再改变的大小再证，故错误；
小红使用的是实验的方法，不是从特殊到一般的证明方法，不管试验几次，证明方法都不严谨，故、错误；
故选：；
22．解：不成立，理由：
∵是的一个外角，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∴．
23．【答案】（1）解：∵∠B=30°，∠C=50°，
是的角平分线，
是的高线，
，
（2）解：①（75-x）°
②∵=
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：（2）①∵∠B=x°，∠C=(x+30)°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=（150-2x）°
AF平分∠BAC，
，
故答案为：（75-x）°；
【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理算出∠CAB的度数，由角平分线定义求出∠CAE的度数，由高线定义可得∠ADC=90°，再由直角三角形的两锐角互余算出∠CAD的度数，最后根据角的和差，由∠DAE=∠CAE-∠CAD可算出答案；
（2）①先由三角形的内角和定理算出∠CAB的度数，由角平分线定义求出∠CAE的度数；
②在△ACE中，由三角形的内角和定理可求出∠AEC的度数，由对顶角相等可得极爱哦FED的度数，进而根据垂直的定义及直角三角形的两锐角互余可算出∠F的度数.
24．【答案】（1）解：∠SDM=2ω
（2）理由如下：
∵BC∥AE，
∴∠C=∠EAC(两直线平行内错角相等)
∵ ∠EAC = ω， ∴ ∠C = ω (等量代换)
∵∠SAN = ∠CAD (对顶角相等)
又 ∵∠BAC=∠SAN = α （小贴士已知）
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD= 2α
∵∠FBA是△ABC的外角，
∴∠FBA=∠BAC+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
即β= α+ω，
∴∠SDM = 180° - ∠DAB-∠ABD
= 180° - 2α- (180°- 2β) = 2（β-a) = 2ω.
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）利用角的运算方法求解即可；
（2）利用平行线的性质及角的运算和等量代换求解即可.
25．【答案】（1）a
（2）2a
（3）7a
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：（1）如图，过点A作AE⊥BD于点E，
∵S△ABC=，S△ACD=，BC=CD，
∴S△ABC=S△ACD=a，即S1=a；
故答案为：a；
（2）如图，连接AD，
根据（1）的方式可得S△ABC=S△ACD=S△AED=a，
∵S△DEC=S△ACD+S△AED，
∴S2=2a；
故答案为：2a；
（3）由（2）可得S△CDE=S△AEF=S△BDF=2a，
∴S△DEF=S△CDE+S△AEF+S△BDF+S△ABC=7a，即S3=7a.
故答案为：7a.
【分析】（1）根据等底同高的三角形面积相等，可知道△ACD的面积和△ABC的面积相等；
（2）根据等底同高的三角形面积相等，可知道S△ABC=S△ACD=S△AED=a，从而可求出结果；
（3）阴影部分的面积为三个三角形，这三个三角形面积相等，从（2）可知都为2a，从而由S△DEF=S△CDE+S△AEF+S△BDF+S△ABC可解出此题.
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