登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
人教版八年级上学期数学第十一章质量检测（高阶）
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
评分
第Ⅰ卷
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2023八上·永城期末）多边形的每一个外角都是，则此多边形从一个顶点出发的对角线有（ ）条.
A．7条 B．8条 C．9条 D．10条
2．（2023八上·献县月考）小明把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2021八上·温岭竞赛）五条长度均为整数厘米的线段：a1，a2，a3，a4，a5，满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，其中a1＝1厘米，a5＝9厘米，且这五条线段中的任意三条都不能构成三角形，则a3＝（ ）
A．3厘米 B．4厘米 C．3或4厘米 D．不能确定
4．（2020八上·南宁月考）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，CD⊥AC交AB于点D，∠BCD=∠A，则∠BEA的度数（ ）
A．155° B．135° C．108° D．100°
5．（2019八上·涧西月考）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（ ）
A．180° B．360 C．270° D．540°
6．（2018八上·芜湖期末）如图，A，B，C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1BlC1的面积是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．（2024八上·临江期末）有一块直角三角尺DEF放置在△ABC上，三角尺DEF的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B，C．在△ABC中，若，则∠A的度数是（ ）
A．40° B．44° C．45° D．50°
8．如图，∠ABC=∠ACB，AD，BD，CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC，②∠ACB=∠ADB，③∠ADC+∠ABD = 90°， ④∠ADB= 45°-∠CDB，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2019八上·陕县期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上任一点，过D作AB的垂线，分别交边AC、BC的延长线于EF两点，∠BAC∠BFD的平分线交于点I，AI交DF于点M，FI交AC于点N，连接BI.下列结论：①∠BAC=∠BFD；②∠ENI=∠EMI；③AI⊥FI；④∠ABI=∠FBI；其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2022八上·科尔沁期末）如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；……以此类推得到，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
阅卷人 二、填空题
得分
11．（2016八上·端州期末）如图，小明从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10 m，又向右转15°，…，这样一直走下去，他第一次[回到出发点A时，一共走了 m。
12．（2019八上·霍林郭勒期中）如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE⊥AB，OF⊥AC，等边三角形的高为2，则OE+OF的值为 .
13．（2019八上·长兴月考）如图，△ABC的面积为18，BD=2DC，AE=2EC，那么阴影部分的面积是 。
14．（2019八上·台州开学考）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点E是BC的中点，动点P从A点出发，先以每秒2cm的速度沿A→C运动，然后以1cm/s的速度沿C→B运动．若设点P运动的时间是t秒，那么当t= ，△APE的面积等于6．
15．（沪科版八年级数学上册 13.1三角形中的边角关系 同步练习（三））如图，四边形ABCD中，E、F、G、H依次是各边中点，O是形内一点，若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为6、7、8，四边形DHOG面积为 ．
阅卷人 三、解答题
得分
16．（2023八上·凤凰月考）小明在计算某个多边形的内角和时，由于粗心他漏掉一个内角，求得内角和，你能否求得他漏掉的内角度数和多边形内角和的正确结果吗？
17．（2023八上·龙马潭开学考）如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB=3cm，AC=4cm，BC=5cm，∠CAB=90°，求：
（1）AD的长；
（2）△ACE和△ABE的周长的差．
18．（2023八上·诸暨月考）如图1，已知∠MON=60°，A、B两点同时从点O出发，点A沿射线ON运动，点B沿射线OM运动．，点C为△ABO三条内角平分线交点，连接BC、AC．
（1）如图2，当∠OAB=70°，求∠ACB的大小。
（2）在点A、B的运动过程中，∠ACB的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由：
（3）如图3，连接OC并延长，与∠ABM的角平分线交于点P，与AB交于点Q．在△BCP中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出∠BAO的度数．
19．（2023八上·开州开学考）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是，，，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍．
（1）如果一个“梦想三角形”有一个角为，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 ；
（2）如图1，已知，在射线上取一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与、重合），若．判定 “梦想三角形”（填是或者不是）
（3）如图2，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取一点，使得，．若是“梦想三角形”，求的度数．
阅卷人 四、实践探究题
得分
20．（2023八上·南昌月考）
（1）【课本再现】如图1，在中，线经过点且．求证：；
（2）【变式演练】如图2，在中，，点在边上，交于点．若，求的度数；
（3）【方法应用】如图3，直线与直线相交于点，夹角的锐角为，点在直线上且在点右侧，点在直线上且在直线上方，点在直线上且在点左侧运动，点在射线上运动（不与点重合）．当时，平分平分交直线于点，求的度数．
21．（2023八上·日照月考）探究与发现：
（1）如图1，在中，，分别平分和．
①若，则 ；
②若，用含有的式子表示的度数为 ；
（2）如图2，在四边形中，，分别平分和，试探究与的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在六边形中，，分别平分和，请直接写出与的数量关系．
22．（2023八上·兴宁开学考）
（1）【问题背景】小强在学行线一节后，想利用平行线的知识证明“三角形的内角和是180°”；．如图1，是小强为证明三角形内角和是180°所采取的构图方法：过△ABC的顶点A作EF∥BC．
请完成：利用小强的构图，说明∠BAC+∠B+∠C＝180°的理由；
（2）【尝试应用】如图2，直线l1与直线l2相交于点O，夹角为α，点B在点O右侧，点C在l1上方，点A在O点左侧运动，点E在射线CO上运动（不与C，O重合）；
请完成：当α＝60°时，AG平分∠EAB，EF平分∠AEC交直线AG于点G，求∠AGE的度数；
（3）【拓展创新】如图3，点E在线段CO上运动（不与C，O重合），∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB，m+2n＝1，EF交AG于点G；
请完成：当n为何值时，∠AGE不随∠EAB的变化而变化，并用含α的代数式表示∠AGE的度数（写出解答过程）．
23．（2024八上·南山期末）【问题呈现】
如图①，已知线段，相交于点，连结，，我们把形如这样的图形称为“字型”．
（1）证明：．
（2）【问题探究】
继续探究，如图②，、分别平分、，、交于点，求与、之间的数量关系．为了研究这一问题，尝试代入、的值求的值，得到下面几组对应值：
表中 ，猜想得到与、的数量关系为 ；
（3）证明（）中猜想得到的与、的数量关系；
（单位：度）
（单位：度）
（单位：度）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的每一个外角都是30°，
∵多边形的外角和为360°，
∴此多边形的边数为：，
∴从一个顶点出发的对角线共有（条）.
故答案为：C.
【分析】由于任何多边形的外角和都是360°，故用360°除以每一个外角的度数即可得出多边形的边数，进而根据过n边形一个顶点可引（n-3）条对角线即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵△DEF与△ABC是一幅直角三角尺
∴∠D=30°，∠E=90°，∠F=60°，∠A=∠B=45°，∠C=90°
∵∠1=∠D+∠3，∠2=∠E+∠6
∴∠1+∠2=∠D+∠3+∠E+∠6
∵∠3=∠4，∠5=∠6
∴∠3+∠6=∠4+∠5=180°-∠C=90°
∴∠1+∠2=∠D+∠E+∠3+∠6=30°+90°+90°=210°
故答案为：C
【分析】本题考查三角形外角的性质和三角形内角和定理，由∠1=∠D+∠3，∠2=∠E+∠6，可得出∠1+∠2=∠D+∠3+∠E+∠6，由△DEF与△ABC是一幅直角三角尺可得出∠D=30°，∠E=90°，∠F=60°，∠A=∠B=45°，∠C=90°，由对顶角相等可知∠3=∠4，∠5=∠6，所以∠3+∠6=∠4+∠5=180°-∠C=90°代入∠1+∠2=∠D+∠3+∠E+∠6即可得出答案.
3．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，如果五条线段中的任意三条都不能构成三角形且五条长度均为整数厘米的线段，
∵a1＜a2＜a3＜a4＜a5，则a2≥2；
若a1，a2，a3不能构成三角形，则a3 a2≥1，
∴a3≥3；
若a3，a4，a5不能构成三角形，则a5 a4≥a3，即a4≤a5 a3＝6；
若a2，a3，a4不能构成三角形，则a2＋a3≤a4，即a3≤a4 a2＝4；
此时a3＝3或4，但当a3＝4时，没有任何一个整数能使a3、a4、a5不能构成 三角形，故排除；
∴a3＝3．
故答案为：A.
【分析】利用三角形三边关系定理，如果五条线段中的任意三条都不能构成三角形且五条长度均为整数厘米的线段，结合已知可得到a2≥2；分情况讨论：若a1，a2，a3不能构成三角形，可得到a3≥3；若a3，a4，a5不能构成三角形；若a2，a3，a4不能构成三角形；可推出a3＝3或4，但当a3＝4时，没有任何一个整数能使a3、a4、a5不能构成 三角形，由此可得到a3的值.
4．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；邻补角
【解析】【解答】解：∠AEB=∠BCE+∠CBE
=∠ECF+∠BCD+∠CBE
=90°+∠A+∠B，
∠BCE=∠A+∠ABE=∠A+∠B，
∴∠AEB+∠BCE=90°+2（∠A+∠B）=180°，
∴∠A+∠B=45°，
∴∠AEB=90°+∠A+∠B=135°.
故答案为：B.
【分析】利用三角形外角的性质把∠AEB和∠BEC分别用含∠A+∠B的代数式表示，然后利用补角的性质列等式求得∠A+∠B为45°，则∠BCE的度数可知.
5．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】如图，设AF、ED相交于点O，延长AF交DC于点G.
由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得：∠DOF=∠E+∠OFE，∠OGC=∠DOF+∠D.
由等量代换，得：∠OGC=∠E+∠OFE+∠D，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠OFE=∠A+∠B+∠OGC+∠C=（4﹣2）×180°=360°.
故答案为：B.
【分析】根据三角形外角的性质，可得∠DOF与∠E、∠OFE的关系，∠DOF、∠OGC、∠D的关系，根据多边形的内角和公式，可得答案.
6．【答案】D
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】如图，连接AB1，BC1，CA1，
∵A、B分别是线段A1B，B1C的中点，
∴S△ABB1=S△ABC=1，
S△A1AB1=S△ABB1=1，
∴S△A1BB1=S△A1AB1+S△ABB1=1+1=2，
同理：S△B1CC1=2，S△A1AC1=2，
∴△A1B1C1的面积=S△A1BB1+S△B1CC1+S△A1AC1+S△ABC=2+2+2+1=7．
故答案为：D．
【分析】连接AB1，BC1，CA1，首先依据等底等高的三角形的面积相等求出△ABB1，△A1AB1的面积，然后可求得△A1BB1的面积，同理可求△B1CC1的面积，△A1AC1的面积，最后相加即可得解.
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】根据题意可得：∠D=90°，
∴∠DBC+∠DCB=180°-∠D=180°-90°=90°，
∵，
∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-[（∠DBA+∠DCA）+（∠DBC+∠DCB）]=180°-（90°+45°）=45°，
故答案为：C.
【分析】先利用三角形的内角和求出∠DBC+∠DCB，再将其代入∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-[（∠DBA+∠DCA）+（∠DBC+∠DCB）]计算即可.
8．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠EAD=∠DAC，
∵∠EAC=∠EAD+∠DAC= ∠ABC+∠ACB， 且 ∠ABC=∠ACB，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD∥BC，故①正确，
∴ ∠DBC=∠ADB， 故②错误，
∵CD平分∠ACF，
∴∠ACD=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB，
∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=180°，
∴∠ADC+∠ABD=90°，故③正确，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵ ∠DBC=∠ADB，
∴∠ABD=∠ADB，
∵90°-∠ABC=90°-∠ABD=∠DBC+∠BDC=∠ABD+∠BDC，
∴∠BDC=90°-2∠ABD，即 ∠ADB= 45°-∠CDB， 故④错误.
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠ABD=2∠BDC，∠EAC=2∠EAD，∠ACF=2∠DCF，根据三角形内角和定理可得∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，结合三角形外角的性质进行逐步推论即可判断.
9．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠DBF+∠BAC=90°，
∵FD⊥AB，
∴∠BDF=90°，
∴∠DBF+∠BFD=90°，
∴∠BAC=∠BFD，故①正确；
∵∠BAC=∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I，
∴∠EFN=∠EAM，
∵∠FEN=∠AEM，
∴∠ENI=∠EMI，故②正确；
∵由①知∠BAC=∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I，
∴∠MAD=∠MFI，
∵∠AMD=∠FMI，
∴∠AIF=∠ADM=90°，即AI⊥FI，故③正确；
∵BI不是∠B的平分线，
∴∠ABI≠∠FBI，故④错误.
故答案为：C.
【分析】先根据∠ACB=90°可知∠DBF+∠BAC=90°，再由FD⊥AB可知∠BDF=90°，所以∠DBF+∠BFD=90°，通过等量代换即可得出∠BAC=∠BFD，故①正确；
根据∠BAC=∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I可知∠EFN=∠EAM，再由对顶角相等可知∠FEN=∠AEM，根据三角形外角的性质即可判断出∠ENI=∠EMI，故②正确；
由①知∠BAC=∠BFD，因为∠BAC、∠BFD的平分线交于点I，故∠MAD=∠MFI，再根据∠AMD=∠FMI可知，∠AIF=∠ADM=90°，即AI⊥FI，故③正确；
因为BI不是∠B的平分线，所以∠ABI≠∠FBI，故④错误.
10．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，
又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，
∴（∠A+∠ABC）＝∠ABC+∠A1，
∴∠A1＝∠A，
∵∠A＝α，
∴∠A1＝；
同理可得∠A2＝∠A1＝ α＝，
同理可得∠A3＝∠A2＝ ＝，
……
∴∠An＝，
∴∠A2022＝．
故答案为：B．
【分析】根据角平分线的定义及三角形外角的性质分别求出∠A1＝，∠A2＝∠A1＝，∠A3＝∠A2=···，从而得出∠An＝，继而得解.
11．【答案】240
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】∵小明从A点出发最后回到出发点A时正好走了一个正多边形，∴根据多边形的外角和定理可知正多边形的边数为 =24，∴小明一共走了24×10=240m．故答案为240．
【分析】由题可得，15°为这个正多边形的一个外角，而多边形的外角和为360°，所以易得这个多边形为360 ° ÷ 15 ° =24，为正24边形，而边长为10米，所以小明一共走的距离就是正多边形的周长24×10=240m
12．【答案】2
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】连接AO，作AD⊥BC于D
∵△ABC是等边三角形
∴AB=BC=AC
∴OE+OF=AD
又AD=2
∴OE+OF=2
故答案为2.
【分析】连接AO，作AD⊥BC于D，根据等面积法即可得出答案.
13．【答案】3
【知识点】二元一次方程的应用；三角形的面积
【解析】【解答】如图，连接FC，
∵BD=2DC，AE=2EC，
∴设△DFC的面积为x，△EFC的面积为y，则△BFD的面积为2x，△AEF的面积为2y，
∵△BEC的面积=S△ABC=6，
∴3x+y=6①，
∵△ADC的面积=S△ABC=6，
∴x+3y=6②
①+②， 得4(x+y)=12.
解得x+y=3.
故答案为：3.
【分析】 根据BD=2DC，AE=2EC，设△DFC的面积为x，△EFC的面积为y，由等高不同底的两个三角形面积关系得△BFD的面积为2x，△AEF的面积为2y，结合△ABC的面积等于12，求得△ADC和△BEC的面积，于是列出关于x、y的方程，求出x+y的值即可．
14．【答案】1.5或5或9
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：当P在AC上，
则AP=2t， CE=4，
解得t=1.5 ；
当P在CE上时，
PE=4-（t-3）×1=7-t，
解得t=5 ；
当P在EB上时，
PE=（t-3）×1-4=t-7，
解得t=9.
故答案为：1.5或5或9
【分析】分三种情况讨论，即当P在AC上，P在CE上和P在EB上，分别求出△APE的底和高或用含t的代数式表示，代入三角形面积公式，根据面积等于6列等式，即可求出t值。
15．【答案】7
【知识点】等式的基本性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：连接OC，OB，OA，OD，
∵E、F、G、H依次是各边中点，
∴△AOE和△BOE等底等高，所以S△OAE=S△OBE，
同理可证，S△OBF=S△OCF，S△ODG=S△OCG，S△ODH=S△OAH，
∴S四边形AEOH+S四边形CGOF=S四边形DHOG+S四边形BFOE，
∵S四边形AEOH=6，S四边形BFOE=7，S四边形CGOF=8，
∴6+8=7+S四边形DHOG，
解得S四边形DHOG=7．
故答案为：7.
【分析】连接OC，OB，OA，OD，根据E、F、G、H依次是边AB、BC、CD、DA的中点，可知△AOE和△BOE、△BOF和△COF、△COG和△DOG、△DOH和△AOH都是等底等高，故每对面积相等，从而利用等式性质可得四边形ABCD中相对的两个小四边形面积和相等，据此代入即可计算。
16．【答案】少算这个角的度数为，这个多边形的内角和为．
【知识点】多边形内角与外角
17．【答案】（1）解：∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，
∴AB AC＝ BC AD ，
∴AD＝（cm），
即AD的长度为cm；
（2）解：∵AE为斜边BC边上的中线，
∴BE＝CE，
∴△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+CE+AE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝4﹣3＝1（cm），
即△ACE和△ABE的周长的差是1cm．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形相关概念
【解析】【分析】(1)利用“面积法”来求线段AD的长度；根据∠BAC=90°，可知，因为AD是高，所以即可解答。
(2)由于AE是中线，那么BE=CE，于是△ACE的周长-△ABE的周长=AC+AE±CE-(AB+BE+ AE)化简可得△ACE的周长一△ABE的周长= AC-AB.易求其值.
18．【答案】（1）解：
点为三条内角平分线交点，
，，
（2）解：的度数不变，，理由如下：
点为三条内角平分线交点，
，，
，
，
，
，
，
即的度数不变；
（3）①点为三条内角平分线交点，
，，
∴，
为的角平分线，
，
∴，
，
，
整理得：；
②设，则，，
为的角平分线，
，
，点为三条内角平分线交点，
，，
，
，
中有一个角是另一个角的2倍，分两种情况：
（1），则，
解得，此时，
（2），则，
解得，此时，
中有一个角是另一个角的2倍，为
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【分析】本题考查三角形外角的性质，三角形内角和，角平分线，一元一次方程．
（1）已知，根据三角形的内角和定理可得：，据此可得求出.又因为点为三条内角平分线交点，根据角平分线的性质可得：，，再根据三角形的内角和定理：，代入数据可求出的值.
（2）已知点为三条内角平分线交点，根据角平分线的性质可得：，，进而推出.又知，根据三角形内角和定理可得：，结合，可得，进而求出，可知度数不变；
（3）①利用三角形外角的性质和角平分线的定义，分别用∠BAO和∠P表示出∠MBP，据此可得结果；
②设为度，可用表示三个内角，分类讨论：（1）；（2），分别求出的度数，可得出答案．
19．【答案】（1）或
（2）是
（3）或．
【知识点】三角形内角和定理
20．【答案】（1）证明：∵，
∴，，
∵，
∴．
（2）解：如图2中，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：①当点E在点O的上方时，如图3-1：
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
由三角形外角的性质可得：，，
∴，
∴，
即．
②当点E在点O的下方时，如图3-2：
由题意知，，，，
∴，
∴
，
综上所述，或．
【知识点】平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可证；
（2）根据三角形外角性质先求出∠FDC=75°，再根据平行线的性质即可得出答案；
（3）分两种情况，①当点E在点O上方时，根据角平分线和三角形的外角性质可得出答案；②当点E在点O下方时，由三角形内角和定理可得∠OAE+∠OEA=110°，∠AGE=180°-（∠GAE+∠GEA），再根据三角形角平分线的性质即可求出答案.
21．【答案】（1）；
（2）解：，理由如下：
根据题意，得．
，分别平分和，
，．
．
；
（3）解：．
理由如下：
根据题意，得．
，分别平分和，
，．
．
∴
．
【知识点】角的运算；多边形内角与外角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）①∵，分别平分和，
∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，
∴∠P=180°-（∠PDC+∠PCD）=180°-（∠ADC+∠ACD）=180°-（∠ADC+∠ACD）=180°-（180°-∠A）=180°-×130°=115°；
②∵，分别平分和，
∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，
∴∠P=180°-（∠PDC+∠PCD）=180°-（∠ADC+∠ACD）=180°-（∠ADC+∠ACD）=180°-（180°-∠A）=；
故答案为：；.
【分析】（1）利用角平分线的定义可得∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，再利用角的运算和等量代换求解即可；
（2）利用角平分线的定义可得，，再利用角的运算和等量代换可得，从而得解.
22．【答案】（1）解：∵EF∥BC，
∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，
∵∠EAB+∠BAC+∠FAC＝180°，
∴∠BAC+∠B+∠C＝180°；
（2）解：当点E在点O的上方时，
∵α＝60°，
∴∠AOE＝120°，
∵AG平分∠EAB，EF平分∠AEC，
∴∠EAB＝2∠1，∠AEC＝2∠3，
由三角形外角的性质可得：
∠AEC＝∠EAB+120°，∠3＝∠1+∠AGE，
∴2∠AGE＝120°，即∠AGE＝60°．
当点E在点O的下方时，如图2-1中，可得，
综上所述，∠AGE＝60°或120°；
（3）解：由题意得，∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB，∠EAB+∠AEO＝α，
由外角的性质可得：
∠AEF＝∠AGE+∠EAG，∠AEC＝∠AOE+∠EAB＝180°-α+∠EAB，
∴（n-1）∠AEC＝∠AGE-（180°-α）+（m-1）∠EAB，
∵m+2n＝1，
∴m＝1-2n，
∴∠AGE＝n（180°-α）+（3n-1）∠EAB，
当3n-1＝0时，即时，∠AGE为定值，
．
当点E在线段CO的延长线上时，
若AG与EF在直线AE异侧，如图：
由题意得，∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB，∠EAB+∠AEC＝180°-α，
由外角的性质可得：
∠AEF＝∠AGE+∠EAG，∠AEC＝180°-∠AOE-∠EAB＝180°-α-∠EAB，
∴（n-1）∠AEC＝∠AGE-（180°-α）+（m+1）∠EAB，
∵m+2n＝1，
∴m＝1-2n，且m、n均为正数，
∴∠AGE＝n（180°-α）+（n-1）∠EAB，
当n-1＝0时，即n＝1时，1-2n＝-1，故舍去．
若AG与EF在直线AE同侧，如图：
由题意得，∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB，∠EAB+∠AEC＝180°-α，
由三角形内角和可得：
∠AEF＝180°-∠EAG-∠AGE，∠AEC＝180°-∠AOE-∠EAB＝180°-α-∠EAB，
∴（n-1）∠AEC＝α-∠AGE+（1-m）∠EAB，
∵m+2n＝1，
∴m＝1-2n，
∴∠AGE＝n（α-180°）+180°+（3n-1）∠EAB，
当3n-1＝0时，即时，∠AGE为定值，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，结合题意即可求解；
（2）分两种情形，当点E在点O的上方时，根据角平分线的定义可得∠EAB＝2∠1，∠AEC＝2∠3，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠AEC＝∠EAB+120°，∠3＝∠1+∠AGE，求得∠AGE＝60°；当点E在点O的下方时，根据三角形内角和是180°即可求解；
（3）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠AEF＝∠AGE+∠EAG，∠AEC＝∠AOE+∠EAB＝180°-α+∠EAB，求得m+2n＝1，∠AGE＝n（180°-α）+（3n-1）∠EAB，当3n-1＝0时，即时，∠AGE为定值，求得；
当点E在线段CO的延长线上时，若AG与EF在直线AE异侧，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠AEF＝∠AGE+∠EAG，∠AEC＝180°-∠AOE-∠EAB＝180°-α-∠EAB，求得m+2n＝1，∠AGE＝n（180°-α）+（n-1）∠EAB，当n-1＝0时，即n＝1时，1-2n＝-1；若AG与EF在直线AE同侧，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠AEF＝180°-∠EAG-∠AGE，∠AEC＝180°-∠AOE-∠EAB＝180°-α-∠EAB，求得m+2n＝1，∠AGE＝n（α-180°）+180°+（3n-1）∠EAB，当3n-1＝0时，即时，∠AGE为定值，.
23．【答案】（1）证明：在中，，
在中，，
∵，
∴；
（2）；
（3）证明：∵、分别平分、，
∴，
由（）得，①，②，
由，得：，
∴，
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（）解：由表格可得，
当时，有，
当时，有，
∴，
解得，
由此猜想，
故答案为：，；
【分析】（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等，即可证明；
（2）根据表格中的数据可得，猜想得，即可得解；
（3）根据角平分线的定义得到，，再根据“字型”得到，，两等式相减得到，即可得解．
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 2
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
人教版八年级上学期数学第十一章质量检测（高阶）
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
评分
第Ⅰ卷
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2023八上·永城期末）多边形的每一个外角都是，则此多边形从一个顶点出发的对角线有（ ）条.
A．7条 B．8条 C．9条 D．10条
【答案】C
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的每一个外角都是30°，
∵多边形的外角和为360°，
∴此多边形的边数为：，
∴从一个顶点出发的对角线共有（条）.
故答案为：C.
【分析】由于任何多边形的外角和都是360°，故用360°除以每一个外角的度数即可得出多边形的边数，进而根据过n边形一个顶点可引（n-3）条对角线即可得出答案.
2．（2023八上·献县月考）小明把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵△DEF与△ABC是一幅直角三角尺
∴∠D=30°，∠E=90°，∠F=60°，∠A=∠B=45°，∠C=90°
∵∠1=∠D+∠3，∠2=∠E+∠6
∴∠1+∠2=∠D+∠3+∠E+∠6
∵∠3=∠4，∠5=∠6
∴∠3+∠6=∠4+∠5=180°-∠C=90°
∴∠1+∠2=∠D+∠E+∠3+∠6=30°+90°+90°=210°
故答案为：C
【分析】本题考查三角形外角的性质和三角形内角和定理，由∠1=∠D+∠3，∠2=∠E+∠6，可得出∠1+∠2=∠D+∠3+∠E+∠6，由△DEF与△ABC是一幅直角三角尺可得出∠D=30°，∠E=90°，∠F=60°，∠A=∠B=45°，∠C=90°，由对顶角相等可知∠3=∠4，∠5=∠6，所以∠3+∠6=∠4+∠5=180°-∠C=90°代入∠1+∠2=∠D+∠3+∠E+∠6即可得出答案.
3．（2021八上·温岭竞赛）五条长度均为整数厘米的线段：a1，a2，a3，a4，a5，满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，其中a1＝1厘米，a5＝9厘米，且这五条线段中的任意三条都不能构成三角形，则a3＝（ ）
A．3厘米 B．4厘米 C．3或4厘米 D．不能确定
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，如果五条线段中的任意三条都不能构成三角形且五条长度均为整数厘米的线段，
∵a1＜a2＜a3＜a4＜a5，则a2≥2；
若a1，a2，a3不能构成三角形，则a3 a2≥1，
∴a3≥3；
若a3，a4，a5不能构成三角形，则a5 a4≥a3，即a4≤a5 a3＝6；
若a2，a3，a4不能构成三角形，则a2＋a3≤a4，即a3≤a4 a2＝4；
此时a3＝3或4，但当a3＝4时，没有任何一个整数能使a3、a4、a5不能构成 三角形，故排除；
∴a3＝3．
故答案为：A.
【分析】利用三角形三边关系定理，如果五条线段中的任意三条都不能构成三角形且五条长度均为整数厘米的线段，结合已知可得到a2≥2；分情况讨论：若a1，a2，a3不能构成三角形，可得到a3≥3；若a3，a4，a5不能构成三角形；若a2，a3，a4不能构成三角形；可推出a3＝3或4，但当a3＝4时，没有任何一个整数能使a3、a4、a5不能构成 三角形，由此可得到a3的值.
4．（2020八上·南宁月考）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，CD⊥AC交AB于点D，∠BCD=∠A，则∠BEA的度数（ ）
A．155° B．135° C．108° D．100°
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；邻补角
【解析】【解答】解：∠AEB=∠BCE+∠CBE
=∠ECF+∠BCD+∠CBE
=90°+∠A+∠B，
∠BCE=∠A+∠ABE=∠A+∠B，
∴∠AEB+∠BCE=90°+2（∠A+∠B）=180°，
∴∠A+∠B=45°，
∴∠AEB=90°+∠A+∠B=135°.
故答案为：B.
【分析】利用三角形外角的性质把∠AEB和∠BEC分别用含∠A+∠B的代数式表示，然后利用补角的性质列等式求得∠A+∠B为45°，则∠BCE的度数可知.
5．（2019八上·涧西月考）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（ ）
A．180° B．360 C．270° D．540°
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】如图，设AF、ED相交于点O，延长AF交DC于点G.
由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得：∠DOF=∠E+∠OFE，∠OGC=∠DOF+∠D.
由等量代换，得：∠OGC=∠E+∠OFE+∠D，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠OFE=∠A+∠B+∠OGC+∠C=（4﹣2）×180°=360°.
故答案为：B.
【分析】根据三角形外角的性质，可得∠DOF与∠E、∠OFE的关系，∠DOF、∠OGC、∠D的关系，根据多边形的内角和公式，可得答案.
6．（2018八上·芜湖期末）如图，A，B，C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1BlC1的面积是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】如图，连接AB1，BC1，CA1，
∵A、B分别是线段A1B，B1C的中点，
∴S△ABB1=S△ABC=1，
S△A1AB1=S△ABB1=1，
∴S△A1BB1=S△A1AB1+S△ABB1=1+1=2，
同理：S△B1CC1=2，S△A1AC1=2，
∴△A1B1C1的面积=S△A1BB1+S△B1CC1+S△A1AC1+S△ABC=2+2+2+1=7．
故答案为：D．
【分析】连接AB1，BC1，CA1，首先依据等底等高的三角形的面积相等求出△ABB1，△A1AB1的面积，然后可求得△A1BB1的面积，同理可求△B1CC1的面积，△A1AC1的面积，最后相加即可得解.
7．（2024八上·临江期末）有一块直角三角尺DEF放置在△ABC上，三角尺DEF的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B，C．在△ABC中，若，则∠A的度数是（ ）
A．40° B．44° C．45° D．50°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】根据题意可得：∠D=90°，
∴∠DBC+∠DCB=180°-∠D=180°-90°=90°，
∵，
∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-[（∠DBA+∠DCA）+（∠DBC+∠DCB）]=180°-（90°+45°）=45°，
故答案为：C.
【分析】先利用三角形的内角和求出∠DBC+∠DCB，再将其代入∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-[（∠DBA+∠DCA）+（∠DBC+∠DCB）]计算即可.
8．如图，∠ABC=∠ACB，AD，BD，CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC，②∠ACB=∠ADB，③∠ADC+∠ABD = 90°， ④∠ADB= 45°-∠CDB，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠EAD=∠DAC，
∵∠EAC=∠EAD+∠DAC= ∠ABC+∠ACB， 且 ∠ABC=∠ACB，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD∥BC，故①正确，
∴ ∠DBC=∠ADB， 故②错误，
∵CD平分∠ACF，
∴∠ACD=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB，
∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=180°，
∴∠ADC+∠ABD=90°，故③正确，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵ ∠DBC=∠ADB，
∴∠ABD=∠ADB，
∵90°-∠ABC=90°-∠ABD=∠DBC+∠BDC=∠ABD+∠BDC，
∴∠BDC=90°-2∠ABD，即 ∠ADB= 45°-∠CDB， 故④错误.
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠ABD=2∠BDC，∠EAC=2∠EAD，∠ACF=2∠DCF，根据三角形内角和定理可得∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，结合三角形外角的性质进行逐步推论即可判断.
9．（2019八上·陕县期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上任一点，过D作AB的垂线，分别交边AC、BC的延长线于EF两点，∠BAC∠BFD的平分线交于点I，AI交DF于点M，FI交AC于点N，连接BI.下列结论：①∠BAC=∠BFD；②∠ENI=∠EMI；③AI⊥FI；④∠ABI=∠FBI；其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠DBF+∠BAC=90°，
∵FD⊥AB，
∴∠BDF=90°，
∴∠DBF+∠BFD=90°，
∴∠BAC=∠BFD，故①正确；
∵∠BAC=∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I，
∴∠EFN=∠EAM，
∵∠FEN=∠AEM，
∴∠ENI=∠EMI，故②正确；
∵由①知∠BAC=∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I，
∴∠MAD=∠MFI，
∵∠AMD=∠FMI，
∴∠AIF=∠ADM=90°，即AI⊥FI，故③正确；
∵BI不是∠B的平分线，
∴∠ABI≠∠FBI，故④错误.
故答案为：C.
【分析】先根据∠ACB=90°可知∠DBF+∠BAC=90°，再由FD⊥AB可知∠BDF=90°，所以∠DBF+∠BFD=90°，通过等量代换即可得出∠BAC=∠BFD，故①正确；
根据∠BAC=∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I可知∠EFN=∠EAM，再由对顶角相等可知∠FEN=∠AEM，根据三角形外角的性质即可判断出∠ENI=∠EMI，故②正确；
由①知∠BAC=∠BFD，因为∠BAC、∠BFD的平分线交于点I，故∠MAD=∠MFI，再根据∠AMD=∠FMI可知，∠AIF=∠ADM=90°，即AI⊥FI，故③正确；
因为BI不是∠B的平分线，所以∠ABI≠∠FBI，故④错误.
10．（2022八上·科尔沁期末）如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；……以此类推得到，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，
又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，
∴（∠A+∠ABC）＝∠ABC+∠A1，
∴∠A1＝∠A，
∵∠A＝α，
∴∠A1＝；
同理可得∠A2＝∠A1＝ α＝，
同理可得∠A3＝∠A2＝ ＝，
……
∴∠An＝，
∴∠A2022＝．
故答案为：B．
【分析】根据角平分线的定义及三角形外角的性质分别求出∠A1＝，∠A2＝∠A1＝，∠A3＝∠A2=···，从而得出∠An＝，继而得解.
阅卷人 二、填空题
得分
11．（2016八上·端州期末）如图，小明从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10 m，又向右转15°，…，这样一直走下去，他第一次[回到出发点A时，一共走了 m。
【答案】240
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】∵小明从A点出发最后回到出发点A时正好走了一个正多边形，∴根据多边形的外角和定理可知正多边形的边数为 =24，∴小明一共走了24×10=240m．故答案为240．
【分析】由题可得，15°为这个正多边形的一个外角，而多边形的外角和为360°，所以易得这个多边形为360 ° ÷ 15 ° =24，为正24边形，而边长为10米，所以小明一共走的距离就是正多边形的周长24×10=240m
12．（2019八上·霍林郭勒期中）如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE⊥AB，OF⊥AC，等边三角形的高为2，则OE+OF的值为 .
【答案】2
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】连接AO，作AD⊥BC于D
∵△ABC是等边三角形
∴AB=BC=AC
∴OE+OF=AD
又AD=2
∴OE+OF=2
故答案为2.
【分析】连接AO，作AD⊥BC于D，根据等面积法即可得出答案.
13．（2019八上·长兴月考）如图，△ABC的面积为18，BD=2DC，AE=2EC，那么阴影部分的面积是 。
【答案】3
【知识点】二元一次方程的应用；三角形的面积
【解析】【解答】如图，连接FC，
∵BD=2DC，AE=2EC，
∴设△DFC的面积为x，△EFC的面积为y，则△BFD的面积为2x，△AEF的面积为2y，
∵△BEC的面积=S△ABC=6，
∴3x+y=6①，
∵△ADC的面积=S△ABC=6，
∴x+3y=6②
①+②， 得4(x+y)=12.
解得x+y=3.
故答案为：3.
【分析】 根据BD=2DC，AE=2EC，设△DFC的面积为x，△EFC的面积为y，由等高不同底的两个三角形面积关系得△BFD的面积为2x，△AEF的面积为2y，结合△ABC的面积等于12，求得△ADC和△BEC的面积，于是列出关于x、y的方程，求出x+y的值即可．
14．（2019八上·台州开学考）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点E是BC的中点，动点P从A点出发，先以每秒2cm的速度沿A→C运动，然后以1cm/s的速度沿C→B运动．若设点P运动的时间是t秒，那么当t= ，△APE的面积等于6．
【答案】1.5或5或9
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：当P在AC上，
则AP=2t， CE=4，
解得t=1.5 ；
当P在CE上时，
PE=4-（t-3）×1=7-t，
解得t=5 ；
当P在EB上时，
PE=（t-3）×1-4=t-7，
解得t=9.
故答案为：1.5或5或9
【分析】分三种情况讨论，即当P在AC上，P在CE上和P在EB上，分别求出△APE的底和高或用含t的代数式表示，代入三角形面积公式，根据面积等于6列等式，即可求出t值。
15．（沪科版八年级数学上册 13.1三角形中的边角关系 同步练习（三））如图，四边形ABCD中，E、F、G、H依次是各边中点，O是形内一点，若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为6、7、8，四边形DHOG面积为 ．
【答案】7
【知识点】等式的基本性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：连接OC，OB，OA，OD，
∵E、F、G、H依次是各边中点，
∴△AOE和△BOE等底等高，所以S△OAE=S△OBE，
同理可证，S△OBF=S△OCF，S△ODG=S△OCG，S△ODH=S△OAH，
∴S四边形AEOH+S四边形CGOF=S四边形DHOG+S四边形BFOE，
∵S四边形AEOH=6，S四边形BFOE=7，S四边形CGOF=8，
∴6+8=7+S四边形DHOG，
解得S四边形DHOG=7．
故答案为：7.
【分析】连接OC，OB，OA，OD，根据E、F、G、H依次是边AB、BC、CD、DA的中点，可知△AOE和△BOE、△BOF和△COF、△COG和△DOG、△DOH和△AOH都是等底等高，故每对面积相等，从而利用等式性质可得四边形ABCD中相对的两个小四边形面积和相等，据此代入即可计算。
阅卷人 三、解答题
得分
16．（2023八上·凤凰月考）小明在计算某个多边形的内角和时，由于粗心他漏掉一个内角，求得内角和，你能否求得他漏掉的内角度数和多边形内角和的正确结果吗？
【答案】少算这个角的度数为，这个多边形的内角和为．
【知识点】多边形内角与外角
17．（2023八上·龙马潭开学考）如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB=3cm，AC=4cm，BC=5cm，∠CAB=90°，求：
（1）AD的长；
（2）△ACE和△ABE的周长的差．
【答案】（1）解：∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，
∴AB AC＝ BC AD ，
∴AD＝（cm），
即AD的长度为cm；
（2）解：∵AE为斜边BC边上的中线，
∴BE＝CE，
∴△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+CE+AE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝4﹣3＝1（cm），
即△ACE和△ABE的周长的差是1cm．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形相关概念
【解析】【分析】(1)利用“面积法”来求线段AD的长度；根据∠BAC=90°，可知，因为AD是高，所以即可解答。
(2)由于AE是中线，那么BE=CE，于是△ACE的周长-△ABE的周长=AC+AE±CE-(AB+BE+ AE)化简可得△ACE的周长一△ABE的周长= AC-AB.易求其值.
18．（2023八上·诸暨月考）如图1，已知∠MON=60°，A、B两点同时从点O出发，点A沿射线ON运动，点B沿射线OM运动．，点C为△ABO三条内角平分线交点，连接BC、AC．
（1）如图2，当∠OAB=70°，求∠ACB的大小。
（2）在点A、B的运动过程中，∠ACB的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由：
（3）如图3，连接OC并延长，与∠ABM的角平分线交于点P，与AB交于点Q．在△BCP中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出∠BAO的度数．
【答案】（1）解：
点为三条内角平分线交点，
，，
（2）解：的度数不变，，理由如下：
点为三条内角平分线交点，
，，
，
，
，
，
，
即的度数不变；
（3）①点为三条内角平分线交点，
，，
∴，
为的角平分线，
，
∴，
，
，
整理得：；
②设，则，，
为的角平分线，
，
，点为三条内角平分线交点，
，，
，
，
中有一个角是另一个角的2倍，分两种情况：
（1），则，
解得，此时，
（2），则，
解得，此时，
中有一个角是另一个角的2倍，为
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【分析】本题考查三角形外角的性质，三角形内角和，角平分线，一元一次方程．
（1）已知，根据三角形的内角和定理可得：，据此可得求出.又因为点为三条内角平分线交点，根据角平分线的性质可得：，，再根据三角形的内角和定理：，代入数据可求出的值.
（2）已知点为三条内角平分线交点，根据角平分线的性质可得：，，进而推出.又知，根据三角形内角和定理可得：，结合，可得，进而求出，可知度数不变；
（3）①利用三角形外角的性质和角平分线的定义，分别用∠BAO和∠P表示出∠MBP，据此可得结果；
②设为度，可用表示三个内角，分类讨论：（1）；（2），分别求出的度数，可得出答案．
19．（2023八上·开州开学考）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是，，，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍．
（1）如果一个“梦想三角形”有一个角为，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 ；
（2）如图1，已知，在射线上取一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与、重合），若．判定 “梦想三角形”（填是或者不是）
（3）如图2，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取一点，使得，．若是“梦想三角形”，求的度数．
【答案】（1）或
（2）是
（3）或．
【知识点】三角形内角和定理
阅卷人 四、实践探究题
得分
20．（2023八上·南昌月考）
（1）【课本再现】如图1，在中，线经过点且．求证：；
（2）【变式演练】如图2，在中，，点在边上，交于点．若，求的度数；
（3）【方法应用】如图3，直线与直线相交于点，夹角的锐角为，点在直线上且在点右侧，点在直线上且在直线上方，点在直线上且在点左侧运动，点在射线上运动（不与点重合）．当时，平分平分交直线于点，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，，
∵，
∴．
（2）解：如图2中，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：①当点E在点O的上方时，如图3-1：
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
由三角形外角的性质可得：，，
∴，
∴，
即．
②当点E在点O的下方时，如图3-2：
由题意知，，，，
∴，
∴
，
综上所述，或．
【知识点】平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可证；
（2）根据三角形外角性质先求出∠FDC=75°，再根据平行线的性质即可得出答案；
（3）分两种情况，①当点E在点O上方时，根据角平分线和三角形的外角性质可得出答案；②当点E在点O下方时，由三角形内角和定理可得∠OAE+∠OEA=110°，∠AGE=180°-（∠GAE+∠GEA），再根据三角形角平分线的性质即可求出答案.
21．（2023八上·日照月考）探究与发现：
（1）如图1，在中，，分别平分和．
①若，则 ；
②若，用含有的式子表示的度数为 ；
（2）如图2，在四边形中，，分别平分和，试探究与的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在六边形中，，分别平分和，请直接写出与的数量关系．
【答案】（1）；
（2）解：，理由如下：
根据题意，得．
，分别平分和，
，．
．
；
（3）解：．
理由如下：
根据题意，得．
，分别平分和，
，．
．
∴
．
【知识点】角的运算；多边形内角与外角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）①∵，分别平分和，
∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，
∴∠P=180°-（∠PDC+∠PCD）=180°-（∠ADC+∠ACD）=180°-（∠ADC+∠ACD）=180°-（180°-∠A）=180°-×130°=115°；
②∵，分别平分和，
∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，
∴∠P=180°-（∠PDC+∠PCD）=180°-（∠ADC+∠ACD）=180°-（∠ADC+∠ACD）=180°-（180°-∠A）=；
故答案为：；.
【分析】（1）利用角平分线的定义可得∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，再利用角的运算和等量代换求解即可；
（2）利用角平分线的定义可得，，再利用角的运算和等量代换可得，从而得解.
22．（2023八上·兴宁开学考）
（1）【问题背景】小强在学行线一节后，想利用平行线的知识证明“三角形的内角和是180°”；．如图1，是小强为证明三角形内角和是180°所采取的构图方法：过△ABC的顶点A作EF∥BC．
请完成：利用小强的构图，说明∠BAC+∠B+∠C＝180°的理由；
（2）【尝试应用】如图2，直线l1与直线l2相交于点O，夹角为α，点B在点O右侧，点C在l1上方，点A在O点左侧运动，点E在射线CO上运动（不与C，O重合）；
请完成：当α＝60°时，AG平分∠EAB，EF平分∠AEC交直线AG于点G，求∠AGE的度数；
（3）【拓展创新】如图3，点E在线段CO上运动（不与C，O重合），∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB，m+2n＝1，EF交AG于点G；
请完成：当n为何值时，∠AGE不随∠EAB的变化而变化，并用含α的代数式表示∠AGE的度数（写出解答过程）．
【答案】（1）解：∵EF∥BC，
∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，
∵∠EAB+∠BAC+∠FAC＝180°，
∴∠BAC+∠B+∠C＝180°；
（2）解：当点E在点O的上方时，
∵α＝60°，
∴∠AOE＝120°，
∵AG平分∠EAB，EF平分∠AEC，
∴∠EAB＝2∠1，∠AEC＝2∠3，
由三角形外角的性质可得：
∠AEC＝∠EAB+120°，∠3＝∠1+∠AGE，
∴2∠AGE＝120°，即∠AGE＝60°．
当点E在点O的下方时，如图2-1中，可得，
综上所述，∠AGE＝60°或120°；
（3）解：由题意得，∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB，∠EAB+∠AEO＝α，
由外角的性质可得：
∠AEF＝∠AGE+∠EAG，∠AEC＝∠AOE+∠EAB＝180°-α+∠EAB，
∴（n-1）∠AEC＝∠AGE-（180°-α）+（m-1）∠EAB，
∵m+2n＝1，
∴m＝1-2n，
∴∠AGE＝n（180°-α）+（3n-1）∠EAB，
当3n-1＝0时，即时，∠AGE为定值，
．
当点E在线段CO的延长线上时，
若AG与EF在直线AE异侧，如图：
由题意得，∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB，∠EAB+∠AEC＝180°-α，
由外角的性质可得：
∠AEF＝∠AGE+∠EAG，∠AEC＝180°-∠AOE-∠EAB＝180°-α-∠EAB，
∴（n-1）∠AEC＝∠AGE-（180°-α）+（m+1）∠EAB，
∵m+2n＝1，
∴m＝1-2n，且m、n均为正数，
∴∠AGE＝n（180°-α）+（n-1）∠EAB，
当n-1＝0时，即n＝1时，1-2n＝-1，故舍去．
若AG与EF在直线AE同侧，如图：
由题意得，∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB，∠EAB+∠AEC＝180°-α，
由三角形内角和可得：
∠AEF＝180°-∠EAG-∠AGE，∠AEC＝180°-∠AOE-∠EAB＝180°-α-∠EAB，
∴（n-1）∠AEC＝α-∠AGE+（1-m）∠EAB，
∵m+2n＝1，
∴m＝1-2n，
∴∠AGE＝n（α-180°）+180°+（3n-1）∠EAB，
当3n-1＝0时，即时，∠AGE为定值，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，结合题意即可求解；
（2）分两种情形，当点E在点O的上方时，根据角平分线的定义可得∠EAB＝2∠1，∠AEC＝2∠3，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠AEC＝∠EAB+120°，∠3＝∠1+∠AGE，求得∠AGE＝60°；当点E在点O的下方时，根据三角形内角和是180°即可求解；
（3）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠AEF＝∠AGE+∠EAG，∠AEC＝∠AOE+∠EAB＝180°-α+∠EAB，求得m+2n＝1，∠AGE＝n（180°-α）+（3n-1）∠EAB，当3n-1＝0时，即时，∠AGE为定值，求得；
当点E在线段CO的延长线上时，若AG与EF在直线AE异侧，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠AEF＝∠AGE+∠EAG，∠AEC＝180°-∠AOE-∠EAB＝180°-α-∠EAB，求得m+2n＝1，∠AGE＝n（180°-α）+（n-1）∠EAB，当n-1＝0时，即n＝1时，1-2n＝-1；若AG与EF在直线AE同侧，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠AEF＝180°-∠EAG-∠AGE，∠AEC＝180°-∠AOE-∠EAB＝180°-α-∠EAB，求得m+2n＝1，∠AGE＝n（α-180°）+180°+（3n-1）∠EAB，当3n-1＝0时，即时，∠AGE为定值，.
23．（2024八上·南山期末）【问题呈现】
如图①，已知线段，相交于点，连结，，我们把形如这样的图形称为“字型”．
（1）证明：．
（2）【问题探究】
继续探究，如图②，、分别平分、，、交于点，求与、之间的数量关系．为了研究这一问题，尝试代入、的值求的值，得到下面几组对应值：
表中 ，猜想得到与、的数量关系为 ；
（3）证明（）中猜想得到的与、的数量关系；
（单位：度）
（单位：度）
（单位：度）
【答案】（1）证明：在中，，
在中，，
∵，
∴；
（2）；
（3）证明：∵、分别平分、，
∴，
由（）得，①，②，
由，得：，
∴，
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（）解：由表格可得，
当时，有，
当时，有，
∴，
解得，
由此猜想，
故答案为：，；
【分析】（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等，即可证明；
（2）根据表格中的数据可得，猜想得，即可得解；
（3）根据角平分线的定义得到，，再根据“字型”得到，，两等式相减得到，即可得解．
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 2
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1
