2024-2025学年第一学期萍实高三年级起点考试
数学试卷
时间：120分钟 总分：150分
姓名：__________ 班级：_________学号：____________
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．（2024·全国·高考真题）已知，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
2．（2024·青海海西·模拟预测）已知向量，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
3．（22-23高二下·重庆江津·期末） 则 （ ）
A．41 B．40 C． D．
4．（23-24高三下·湖南娄底·阶段练习）在中，角的对边分别为，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·青海海西·模拟预测）如图，圆柱形容器内部盛有高度为的水，若放入3个相同的铁球（球的半径与圆柱底面半径相等）后，水恰好淹没最上面的铁球，则一个铁球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·青海海西·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的射线分别与椭圆和圆相交于点，过点作，垂足为为坐标原点，则（ ）
A． B． C．2 D．
7．（2023·福建福州·二模）已知函数的定义域均为，是奇函数，且 ，则（ ）
A．为奇函数 B．为奇函数 C． D．
8．（2024·江苏宿迁·三模）若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球．在四棱锥中，侧面是边长为1的等边三角形，底面为矩形，且平面平面．若四棱锥存在一个内切球，设球的体积为，该四棱锥的体积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
9．（2024·江苏苏州·模拟预测）在某次数学练习中，高三班的男生数学平均分为120，方差为2，女生数学平均分为112，方差为1，已知该班级男女生人数分别为25、15，则下列说法正确的有（ ）
A．该班级此次练习数学成绩的均分为118
B．该班级此次练习数学成绩的方差为16.625
C．利用分层抽样的方法从该班级抽取8人，则应抽取5名男生
D．从该班级随机选择2人参加某项活动，则至少有1名女生的概率为
10．（2024·重庆九龙坡·三模）在棱长为2的正方体中，P，E，F分别为棱的中点，为侧面正方形的中心，则下列结论正确的是（ ）
A．直线平面
B．直线与平面所成角的正切值为
C．三棱锥的体积为
D．三棱锥的外接球表面积为
11．（2024·重庆九龙坡·三模）已知函数及其导函数的定义域为，若为奇函数，，且对任意，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2024·上海·三模）二项式的展开式中含项的系数是 ．
13．（2024高三·全国·专题练习）若方程在内有解，则a的取值范围是 ．
14．（2024·重庆九龙坡·三模）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，若点是满足的阿氏圆上的任意一点，点为抛物线上的动点，在直线上的射影为，则的最小值为 .
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四、解答题（共5小题，77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）（23-24高三下·湖南娄底·阶段练习）农民专业合作社是在农村家庭承包经营的基础上，同类农产品的生产经营者或同类农业生产经营服务的提供者 利用者 自愿联合 民主管理的互助性经济组织，国家给予农民专业合作社在生产 经营 销售等方面全方位的优惠政策.某地大型农民专业合作社不断探索优化生产 经营 销售等方面的科学方案，引入人工智能管理系统，合作社的市场营销研究人员调研该合作社的10个主体项目，统计分析人工智能管理的实际经济收益（单位：万元），与市场预测的经济收益（单位：万元）的相关数据如下表：（注：10个主体项目号分别记为）
项目号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
实际收益 5.38 7.99 6.37 6.71 7.53 5.53 4.18 4.04 6.02 4.23
预测收益 5.43 8.07 6.57 6.14 7.95 5.56 4.27 4.15 6.04 4.49
0.05 0.08 0.2 0.57 0.42 0.03 0.09 0.11 0.02 0.26
并计算得
(1)求该合作预测收益与实际收益的样本相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有较强的线性相关关系；
(2)规定：数组满足为“类营销误差”；满足为“类营销误差”；满足为“类营销误差”.为进一步研究，该合作社的市场营销研究人员从“类营销误差”，“类营销误差”中随机抽取3组数据与“类营销误差”数据进行对比，记抽到“类营销误差”的数据的组数为随机变量.求的分布列与数学期望.
附：相关系数.
16．（本小题满分15分）（2024·四川成都·模拟预测）如图所示，斜三棱柱的各棱长均为， 侧棱与底面所成角为，且侧面底面．
(1)证明：点在平面上的射影为的中点；
(2)求二面角的正切值．
17．（本小题满分15分）（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知椭圆：，焦点为，，椭圆上有一点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点直线交椭圆于，两点，过作轴的垂线交椭圆于另一个点，求证直线过定点.
18．（本小题满分17分）（2024·江西南昌·三模）给定数列，若对任意m，且，是中的项，则称为“H数列”．设数列的前n项和为
(1)若，试判断数列是否为“H数列”，并说明理由；
(2)设既是等差数列又是“H数列”，且，，，求公差d的所有可能值；
(3)设是等差数列，且对任意，是中的项，求证：是“H数列”．
19．（本小题满分17分）（2024·安徽合肥·模拟预测）若为上的非负图像连续的函数，点将区间划分为个长度为的小区间．记，若无穷和的极限存在，并称其为区域的精确面积，记为．
(1)若有导函数，则．求由直线以及轴所围成封闭图形面积；
(2)若区间被等分为个小区间，请推证：．并由此计算无穷和极限的值；
(3)求有限项和式的整数部分2024-2025学年第一学期萍实高三年级起点考试
数学 参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C D A C B C D C BCD ABD BCD
6．C
【分析】根据题意，得到，由椭圆的定义得到，则，得到为的中点，结合中位线定理，即可求解.
【详解】由椭圆，可得，则，
又由圆可化为，可得圆心，半径，则，
根据椭圆的定义，可得，则，
因为，可得为的中点，
又因为为的中点，可得.
故选：C.
7．D
【分析】A选项，根据已知条件推出是周期为4的周期函数，故也是周期为4的周期函数，，故A错误；C选项，推出，，，从而求出；B选项，由得，故B错误；D选项，计算出，，故，结合函数的周期得到答案.
【详解】A选项，因为，所以，
又，则有，
因为是奇函数，所以，
可得，即有与，
即，
所以是周期为4的周期函数，故也是周期为4的周期函数.
因为且. 所以，
所以为偶函数. 故A错误，
C选项，由是奇函数，则，
因为，所以，
又，是周期为4的周期函数，
故，
所以，所以C错误；
B选项，由得，故不是奇函数，所以B错误；
D选项，因为，所以，
.
所以，
所以，所以D选项正确
8．C
【分析】过点作出四棱锥的内切球截面大圆，确定球半径表达式，再借助四棱锥体积求出球半径计算作答.
【详解】如图，取中点，中点，连接，，，
因是正三角形，则，又是矩形，有，
而平面平面，平面平面，平面，平面，
因此平面，平面，
又，则平面，平面，则，，
，平面，则平面，又平面，
所以，而，则，显然，
由球的对称性和正四棱锥的特征知，平面截四棱锥的内切球得截面大圆，
此圆是的内切圆，切，分别于，，有四边形为正方形，
设，又，，则球的半径，
又四棱锥的表面积为，
由，解得，
，，
所以.
故选：C.
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【点睛】关键点睛：本题解题的关键是过点作出四棱锥的内切球截面大圆，利用等体积法求出内切球半径和.
9．BCD
【分析】利用均值、方差、分层随机抽样、古典概型等知识逐项判断即可．
【详解】对于A，该班级此次练习数学成绩的均分，故A错误；
对于B，该班级此次练习数学成绩的方差
，故B正确；
对于C，利用分层抽样的方法从该班级抽取8人，则应抽取的男生人数为，C正确；
对于D，从该班级随机选择2人参加某项活动，则至少有1名女生的概率，故D正确．
故选BCD．
10．ABD
【分析】建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，得出各直线的方向向量和平面的法向量，根据空间关系的向量证明判断A，利用线面角的向量公式求解判断B，利用等体积法求出相应三棱锥的体积判断C，利用补体法求得外接球的半径，即可求解外接球的表面积判断D.
【详解】由题意，在正方体中，棱长为2，分别为棱的中点，为侧面的中心，建立空间直角坐标系如下图所示，
则
对于A项，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为，
又，因为直线平面，
所以直线平面，A正确；
对于B项，
，
设平面的一个法向量为，
则，取，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
所以，所以，
故，故B正确；
对于C项，
，故C不正确；
对于D项，如图，
三棱锥恰好在长方体上，且为体对角线，
所以为三棱锥外接球的直径，由几何知识，
所以三棱锥的外接球表面积为，故D正确.
故选：ABD.
11．BCD
【分析】根据赋值法，结合原函数与导函数的对称性，奇、偶函数的定义、函数周期性进行求解即可.
【详解】由，
令，则，
因为，所以，故A错误；
令，则，①
所以，
因为为奇函数，所以为偶函数，，
所以，②
由①②并整理得，
即，
所以，
所以是周期为的周期函数，故，故B正确；
因为，所以，故C正确；
由上知，
在①中，令，得，所以，
所以，
所以，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数的性质，涉及函数的奇偶性、周期性及导数的计算.解题关键在于熟练地应用函数奇偶性、周期性的定义及导数的计算，利用赋值法推导出函数，的性质.
12．
【分析】利用二项式展开式的通项公式可得答案.
【详解】因为，
令，得，
所以展开式中含项的系数是.
故答案为：.
13．
【分析】设，则问题转化为方程在上有解，再利用一元二次方程的根的分布与系数的关系即可得出答案.
【详解】方程，整理可得，
因为，则，设，
则问题转化为方程 在 上有解．
又方程对应的二次函数 的对称轴为 ，
故有 ，即，解得，
所以a的取值范围是.
故答案为：.
14．
【分析】先求出点的轨迹方程，再结合阿波罗尼斯圆的定义及抛物线的定义可得，从而可得出答案.
【详解】设，
则，
化简整理得，
所以点的轨迹为以为圆心为半径的圆，
抛物线的焦点，准线方程为，
则
，
当且仅当（两点在两点中间）四点共线时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.
15．(1)该合作预测收益与实际收益具有较强的线性相关关系；
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据已知数据和公式计算相关系数，然后进行判断即可；
（2）先求出每类的组数，然后由题意可得的所有可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，从而可求得的分布列与数学期望.
【详解】（1）因为
，
由的值接近于1，所以该合作预测收益与实际收益具有较强的线性相关关系；
（2）由题意得，“类营销误差”有5组，“类营销误差”有3组，“类营销误差”有2组，
若从“类营销误差”和“类营销误差”数据中抽取3组，抽到“类营销误差”的组数的所有可能取值为0，1，2，3，则
，，
，，
所以的分布列为
0 1 2 3
所以.
16．(1)证明见解析；
(2)2
【分析】（1）于，由平面平面，证得平面，再证得为等边三角形，可得为中点；
（2）过作于，则是二面角的平面角，由已知数据计算即可．
【详解】（1）过作于，
由平面平面，平面平面，
平面，，得平面，因此，
又，从而为等边三角形，为中点．
（2）由于是等边三角形，所以，
而平面平面，平面平面，
平面，所以平面，平面，则有，
过作于，连接，，平面，
所以平面，由平面，则，
则是二面角的平面角．
由于，，所以中，．
因此二面角的正切值为.
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据椭圆的定义即可求出，再根据焦点和之间的关系即可求出椭圆方程.
（2）设出直线的方程及点的坐标，将直线的方程用所设点的坐标表示，根据对称性可知所过定点在轴上，联立直线的方程和椭圆的方程，结合根于系数之间的关系即可求出定点坐标.
【详解】（1），
∴，又，∴，
故椭圆的标准方程为.
（2）设直线的方程为，，
联立，
∴，∴
则，直线的斜率，
直线的方程为，
令，有
即
，
∴直线过定点
18．(1)是“H数列”；理由见解析
(2)1，2，3，6；
(3)证明见解析
【分析】（1）根据“H数列”定义判断即可.
（2）由等差数列和“H数列”的定义得到公差的等式关系即可求解.
（3）由等差数列的定义与求和公式，进行分情况讨论，即可证明是“H数列”.
【详解】（1）因为，当时，，
当时，也成立，
所以，
对任意m，且，，
是“H数列”.
（2）因为 ，，，
所以，所以，
由已知得也为数列中的项，
令，即，
所以，所以d为6的正因数，
故d的所有可能值为1，2，3，6.
（3）设数列的公差为d，所以存在，对任意，，即，
当时，则，故，此时数列为“H数列”；
当时，，取，则，所以，，
当时，均为正整数，符合题意，
当时，均为正整数，符合题意，
所以，，
设，，，即，
所以任意m，且，，
显然，所以为数列中的项，
是“H数列”.
【点睛】关键点点睛：本题考查数列定义问题.其中关键点是理解“H数列”定义，并与已学知识等差数列进行结合，利用等差数列的定义与求和公式，分情况讨论即可证明结论.
19．(1)
(2)证明见解析，
(3)
【分析】（1）根据的几何意义，找到对应的、、带入求解即可；
（2）用特值法设，再根据定义即可证明；把转化为，求得，再根据定义求解即可；
（3）由图可以看出，进而求得，从而得解.
【详解】（1）所求面积为，因为，
所以，
故所求面积为.
（2）由被等分为个小区间，则，，，当时，，
因为，不妨设，
从而有，
所以；
取，有，，
，令，
则，
，又因为，
所以，
故.
（3），
与直线，，以及轴围成的图形面积为，
由图，与直线，，
以及轴围成的图形面积大于它下方的个长方形面积和，
即，所以，
所以，
由图，同理可知，所以，
所以，
所以的整数部分为.
【点睛】关键点点睛：本题属于新高考题型，所考知识点紧扣题目给出的定义，关键在于用定义对题目的条件进行转化，数形结合，借助图形面积求解和的问题.
