第10章 三角恒等变换——2023-2024学年高一数学苏教版（2019）必修第二册单元测试卷（含解析）

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第10章 三角恒等变换——2023-2024学年高一数学苏教版（2019）必修第二册单元测试卷
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．( )
A. B. C. D.
2．已知,则( )
A. B. C. D.
3．古希腊数学家泰特托斯（Theaetetus,公元前417—公元前369年）详细地讨论了无理数的理论,他通过如图来构造无理数,,,…,则( )
A. B. C. D.
4．在中,已知,则的形状是( )
A.等边三角形 B.直角三用形 C.等腰或直角三角形 D.等腰三角形
5．已知，，，则( )
A. B. C. D.
6．已知，且是第二象限角，则( )
A. B. C. D.
7．若，，则( )
A. B. C. D.
8．在中,若,且,那么一定是( )
A. 等腰直角三角形 B.直角三角形
C. 等腰三角形 D.等边三角形
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．若,,则的值是( )
A. B. C. D.
10．下列等式成立的是( )
A. B.
C. D.
11．下列等式成立的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．若，，则的值为_____________.
13．已知,则____________.
14．的值为____________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．求值:
16．利用半角公式，求的值.
17．化简：.
18．已知平面向量，，函数.
（1）求的单调增区间.
（2）在中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若，，求周长的取值范围.
19．矩形ABCD中,P,Q为边AB的两个三等分点,满足,R是折线段（不包括A,B两点）上的动点,设,
（1）当是等腰三角形,求;
（2）当R在线段BC（不包括B,C两点）上运动时,证明：;
（3）当R在线段CD（包括C,D两点）上运动时,求的最大值.
参考答案
1．答案：A
解析：
故选：A.
2．答案：D
解析：.
3．答案：B
解析：由题意可知,,,.可得.故选B.
4．答案：D
解析：因为,
所以
由,,知,,
所以,即.
故选：D.
5．答案：A
解析：将，两个等式两边分别平方再相加,得，，，，，即，得，即.
6．答案：B
解析：由题意得，则.
故选：B.
7．答案：D
解析：.
故选：D.
8．答案：D
解析：,则,
因为A,,所以,则,
又因为,,则,
则,即,
即,又因为A,,则,
所以,即.
即一定是等边三角形,故D正确.
故选：D.
9．答案：CD
解析：因为,,
则或,
故选：CD.
10．答案：ACD
解析：A选项：由二倍角的余弦公式可知：，故A正确；
B选项：，故B不正确；
C选项：，故C正确；
D选项：，解得：，又，所以，故D正确；
故选：ACD.
11．答案：ACD
解析：A选项：由二倍角的余弦公式可知：，故A正确；
B选项：，故B不正确；
C选项：，故C正确；
D选项：，解得：，又，所以，故D正确；
故选：ACD.
12．答案：/
解析：由，，得.
故答案为：.
13．答案：
解析：因为,所以.
14．答案：2
解析：因为,
所以,
所以
.
故答案为:2
15．答案：
解析：
16．答案：
解析：因为，所以、，所以
17．答案：，或
解析：利用辅助角公式提出系数，
得等于或者.
18．答案：（1），
（2）
解析：（1）
，
所以令，
解得，
所以函数的单调递增区间为，
（2）因为，即，
解得，，
即，
因为A为三角形的内角，所以，
又因为，所以，
即，
即，
解得，
又因为a，b，c是的边，
所以，
故周长.
所以周长的取值范围是.
19．答案：（1）或
（2）见解析
（3）见解析
解析：（1）当R和D重合时,,当时,,此时为等腰直角三角形.
.
当R在AP中垂线上时,.
所以或.
（2）证明：设,则有
所以,即,
因为
所以,即
（3）做于M,
设,,,,
（i）M在PQ上时,
（ii）M在BQ,AP上时,两个角的正切值不变,
所以,,
所以.
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