2024-2025学年高三上学期8月试题
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．若随机变量，随机变量，则（ ）
A．0 B． C． D．2
2．已知双曲线（，）的渐近线与交于第一象限内的两点，，若为等边三角形，则双曲线的离心率（ ）
A． B． C．2 D．
3．函数，若对任意，，都有成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利．如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（a，b为常数），若该果蔬在6的保鲜时间为216小时，在24的保鲜时间为8小时，那么在12时，该果蔬的保鲜时间为（ ）小时．
A．72 B．36 C．24 D．16
5．设数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．是等比数列
B．成等差数列，公差为
C．当且仅当时，取得最大值
D．时，的最大值为33
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6．已知是定义在上的函数的导函数，且，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．数列满足，（），，若数列是递减数列，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知定义在R上的函数满足，，当时，，函数，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．的图象关于直线对称
C．的最大值为
D．的图象与直线有8个交点
二．多选题（共3小题，每题6分，共18分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分。）
9．已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）
A．若是等差数列，，则使的最大正整数的值为15
B．若是等比数列，（为常数），则必有
C．若是等比数列，则
D．若，则数列为递增等差数列
10．设是一次随机试验中的两个事件，且，则（ ）
A．相互独立 B．
C． D．
11．设平面直角坐标系中，椭圆的左焦点为，且与抛物线有公共的焦点．若是抛物线
上的一点，下列说法正确的是（ ）
A．椭圆和抛物线存在交点
B．若，则直线与抛物线相切
C．若，则点坐标为
D．若，则点的横坐标为
三．填空题（共3小题，每题5分，共15分。）
12．已知等比数列的首项，其前项和为，若，则 ．
13．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 .
14．设函数，，则函数的值域是 ．
四．解答题（共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（14分）15．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面是的中点，.
(1)求证：.
(2)若 面直线与所成的角为，求四棱锥的体积.
（15分）16．已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性并用定义证明；
(3)解关于的不等式.
（14分）17．已知椭圆C的两个焦点坐标分别是，，且经过点．
(1)求C的标准方程；
(2)已知直线l与平行，且与C有且只有一个公共点，求l的方程．
（16分）18．为了丰富校园文化生活，学校增设了两门全新的课程，学生根据自己的兴趣爱好在这两门课程中任选一门进行学习.学校统计了学生的选课情况，得到如下表格.
选择课程 选择课程
男生
女生
(1)根据上表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断选择课程与性别有关？
(2)现从男生的样本中，按比例分配分层抽样的方法选出人组成一个小组，再从这名男生中抽取人做问卷调查，求这人中选择课程的人数比选择课程的人数多的概率.
附：.
（18分）19．意大利人斐波那契在1202年写的《算盘书（Libe rAbaci）》中提出一个兔子繁殖问题：假设一对刚出生的小兔一个月后能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，此后每个月生一对小兔，这种成长与繁殖过程会一直持续下去.设第个月的兔子对数为，则，观察数列的规律，不难发现，，我们称该数列为斐波那契数列.
(1)若数列是斐波那契数列，求出和的值，并证明.
(2)若数列是斐波那契数列，且，求证：数列是等比数列；
(3)若数列是斐波那契数列，在（2）的条件下，求数列的前项和.数学答案
1．B【详解】由可知：，
又因为，所以，
，
则，
2．B【详解】满足，又满足，故，轴，，
可得，．
3．A【详解】因为对任意，都有成立，
所以是上的减函数，
则，解得．
4．A【详解】当时，；当时，，
则，整理可得，于是，
当时，．
5．D【详解】因为，
所以数列是以为公差，32为首项的等差数列，
所以，所以，
所以当时，，
所以，
因为，所以，
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对于A，因为，
所以是以为公差的等差数列，所以A错误，
对于B，因为，所以，
所以，
因为，
所以成等差数列，公差为，所以B错误，
对于C，，对称轴为，
因为，所以当或时，取得最大值，所以C错误，
对于D，由，得，且，所以的最大值为33，所以D正确，
6．B【详解】令，则，
因为，
所以，
所以在上递减，
因为，所以，
所以，
所以，
7．D【详解】由题意，，两边取倒数可化为，所以，，，由累加法可得，，因为，所以，
所以，因为数列是递减数列，故，即，整理可得，，因为，，所以，故.
8．D【详解】对于A项，由题意知,所以，
所以是定义域为且以4为一个周期的奇函数，所以，，同理，0，故A项正确．
对于项，因为是以4为一个周期的函数，所以也是以4为一个周期的函数，当时，，
所以当时，，
所以当时，，所以，
得到当时，，
当时，，
得到当时，，
则当时，，
当时，，
当时，1），
则当时，，
所以当时，
易知也是以4为一个周期的周期函数，作出的图象，如图，
可知在处取得最大值，所以，故C项正确；
对于B项，由图象知图象的对称轴为，易知当时，，故项正确；
对于D项，作出直线的图象，因为当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，和联立得0，
所以的图象与直线共有9个交点，故D项错误．
9．BD【详解】若是等差数列，，
所以，则，
所以使的最大正整数的值为30.故A错误；
若是等比数列，，则，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以，故B正确；
若是等比数列，则，故C错误；
若，所以，
所以，所以，
即，所以，
所以是以为首项，为公差的递增等差数列，故D正确；
10．ABD【详解】对于A，由题意可知，则，
因此，故A正确；
对于B，，
，故B正确；
对于C，，所以，
因此，故C错误；
对于D，，因此
，
即，故D正确．
11．ABD【详解】对于A，由函数图象可知，椭圆与拋物线必存在交点，A正确；
对于B，由，则直线的方程为，
与抛物线方程联立消去得，
则直线与抛物线相切，B正确；
对于C，由抛物线定义可知，，
则，于是点坐标为，故C错误；
对于D，是抛物线上的一点，设，则有，
若，有，因此，
即，解得，D正确．
12．8
【详解】因为，所以，即，故．
13．
【详解】因为不等式的解集为，
所以是的两个根，且，
可得，所以，
所以得，
即，由得，
所以由解得，
则不等式的解集为.
14．
【详解】，，
令，设，
设，
，
因为，则，，，
即，，
所以函数在上单调递增，又也为增函数，
所以函数在单调递增，，
所以函数的值域为.
15．(1)证明见解析 (2).
【详解】（1）设的中点为，连接，
由四边形是矩形，得.
是的中点，.
平面平面，平面平面，
平面直线两两垂直.
以为坐标原点，所在直线分别为轴 轴 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设.
依题意得，，
.
，
，即.
（2）由（1）可得，
异面直线与所成的角为，
，解得，
由（1）平面，
所以为四棱锥的高，且，
四棱锥的体积为.
16．(1) (2)单调递增，证明见解析 (3)
【详解】（1）由奇函数的性质可知，，
，
.
.
经验证，满足题设.
（2）函数在上单调递增，
证明：令，
，
，
即，
函数在上单调递增.
（3）由已知：，
由（2）知在上单调递增，
，
不等式的解集为.
17．(1) (2)
【详解】（1）由于椭圆的焦点在轴上，
所以设它的标准方程为，
由椭圆的定义知，，
可得，所以，
所以椭圆的标准方程为:.
（2）已知，所以，设直线方程为，
由方程组消去，得，
该方程的判别式，
由，得，
此时与有且只有一个公共点，所以的方程为:.
18．(1)有关； (2).
【详解】（1）零假设：选择课程与性别无关，
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为选择课程与性别有关；
（2）由表可知，男生中选课程的人数占，选课程的人数占，
所以名男生中，选择课程的人数为，
选择课程的人数为，
从人中选人的选法有种，
人中选择课程的人数比选择课程的人数多的选法有：种，
所以人中选择课程的人数比选择课程的人数多的概率为：.
19．(1)，证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）.
；
（2）因为，
所以
.
，即，
即，所以是以为首项，为公比的等比数列.
（3）由（2）得.
即，
令，化简得，
，
因为，所以，
即是以为首项，为公比的等比数列，
故，
即；
法一：
；
法二：由得，
，
，
，
，
累加得，，
即，
所以，.
法三：
利用
..
