建新高中2025届高三第一次模拟考试（8月）
数学
答题时间：120分钟 分值：150分
一、单选题（40分，8题，每题5分）
1．设集合,则
A． B． C． D．
2．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部是（ ）
A． B． C． D．2
3．设是内一点，且，，则（ ）
A． B． C． D．
4．我们学校附近的胜利电影院的放映大厅有20排共680个座位，从第二排开始，每一排都比前一排多两个座位，则该电影院大厅最后一排的座位数为（ ）
A．53 B．51 C．15 D．16
5．若，，满足，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．在100，101，102，…，999这些数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”）顺序排列的数的个数是（ ）
A．120 B．204
C．168 D．216
7．若，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，，为的导函数．若存在直线同为函数与的切线，则直线的斜率为（ ）
A． B．2 C．4 D．
二、多选题（18分，3题，每题6分）
9．若直线不平行于平面，且，则下列说法正确的是（ ）
A．内存在一条直线与平行 B．内不存在与平行的直线
C．内所有直线与异面 D．内有无数条直线与相交
10．设R，用表示不超过的最大整数，则函数被称为高斯函数；例如，，已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数是偶函数
B．函数是周期函数
C．函数的图像关于直线对称
D．方程只有1个实数根
11．已知双曲线：（，）的左右焦点分别为，，是圆：上一动点，线段的垂直平分线交直线于上的点，则（ ）
A．的离心率为2
B．的渐近线方程为
C．到的渐近线的距离为
D．内切圆圆心的横坐标为
三、填空题（15分，3题，每题5分）
12．下列说法正确的有 （填正确命题的序号）
①若函数在处导数不存在，则的函数图像在处无切线．
②若为离散型随机变量，则所有的取值构成的集合可能是无限数集．
③在对数据的相关性分析（回归分析）中，相关系数越大，两个变量的相关性越强．
④正态分布的密度曲线与轴所围成的区域的面积为1．
13．圆心为且与直线相切的圆的方程是 ．
14．对于实数和，定义运算“”： ，设，且关于的方程
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为恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是 ；的取值范围是 ．
四、解答题（77分，5题）
15．（13分）已知数列的前项和为，，.
(1)求的通项公式；（5分）
(2)若，求的前项和.（8分）
16．（15分）如图，三棱柱中，，是的中点，．
(1)证明：平面；（4分）
(2)求点到平面的距离；（5分）
(3)求平面与平面的夹角的余弦值．（6分）
17．（15分）已知函数，求：
(1)函数的图象在点处的切线方程；（4分）
(2)的单调递减区间；（5分）
(3)求的极大值和极小值．（6分）
18．（17分）如图，有一个半圆形场馆，政府计划改建为一个方舱医院，改建后的场馆由病床区（矩形）及左右两侧两个大小相同的休闲区（矩形和）组成，其中半圆的圆心为，半径为50米，矩形的一边在上，矩形的一边在上，点，，，在圆周上，，在直径上，且，设．若每平方米病床区的造价和休闲区造价分别为万元和万元，记病床区及休闲区的总造价为（单位：万元）.
（1）求的表达式；（5分）
（2）为进行改建预算，当为何值时，总造价最大？并求出总造价的最大值．（12分）
19．（17分）已知P为平面上的动点，记其轨迹为Γ.
(1)请从以下两个条件中选择一个，求对应的的方程.①已知点，直线，动点到点的距离与到直线的距离之比为；②设是圆上的动点，过作直线垂直于轴，垂足为，且.（7分）
(2)在（1）的条件下，设曲线的左 右两个顶点分别为，若过点的直线的斜率存在且不为0，设直线交曲线于点，直线过点且与轴垂直，直线交直线于点，直线交直线于点，则线段的比值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.（10分）参考答案：
1．C
【详解】试题分析：
考点：集合运算
2．D
【分析】根据题意可列式，即可解出复数虚部.
【详解】设，，解得
故选：D
3．A
【分析】根据给定条件，求出，再利用向量的线性运算求解作答.
【详解】因是内一点，，则，即有，而，
所以.
故选：A
4．A
【分析】设电影院放映大厅第排座位有个（），由题意数列是公差的等差数列，且，根据数列的前项和公式和通项公式求解即可.
【详解】由题意，设电影院放映大厅第排座位有个（），
由题意，，故数列是公差的等差数列，
且数列的前项和，不妨设第一排座位为，
故，解得：，
故该电影院大厅最后一排的座位数.
故选：A
5．C
【分析】根据题意，构造函数与的图象交点问题，为交点纵坐标，可得，
再将与比较，即可求解.
【详解】由题意，构造函数与交点，
由图象知
，则，
，则，
则
故选：
【点睛】本题考查指数式，对数式比较大小，考查数形结合，属于中等题.
6．B
【分析】根据三个数字中是否有“0”分两类，利用分类加法计数原理求解.
【详解】分两类，第一类不含数字“0”，从1到9的自然数中任意取出3个，都可以得到严格递增或严格递减顺序排列的三位数，共有个；
第二类含有数字“0”，从1到9的自然数中任意取出2个，三个数只能排出严格递减顺序的三位数，共有个，
根据分类加法计数原理，所以共有个.
故选：B
7．C
【分析】设，则原等式可化为，化简后求出即可.
【详解】令，则，
所以由，
得，
即，
即，得，
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所以，
故选：C.
8．C
【分析】设出两个曲线上的切点坐标：，.
用由点斜式写出切线的方程，根据直线同为函数与的切线知也适合切线方程，列出方程组求解.
【详解】∵，，∴，，，
设函数上的切点坐标为，函数上的切点为，则切线斜率，
故切线方程可表示为，由于直线同为函数与的切线，
故，则直线的斜率为4.
故应选：C.
9．BD
【分析】利用直线与直线，直线与平面的位置关系判断.
【详解】A. 若内存在一条直线与平行，则由线面平行的判定定理知 ，故错误；
B. 因为直线不平行于平面，且，所以直线与平面相交，故内不存在与平行的直线，故正确；
C. 因为直线不平行于平面，且，所以直线与平面相交，在内过交点的直线与共面，故错误；
D. 因为直线不平行于平面，且，所以直线与平面相交，在内过交点的直线有无数条与相交，故正确；
故选：BD
10．AD
【分析】确定时的图象，根据的奇偶性确定部分的函数图象，根据的图象确定的图象即可求解.
【详解】选项A，函数的定义域为R，
因为，所以为偶函数，
当时，，
当时，，
当时，，
因为为偶函数，所以函数的图象如下图所示
由可知，在内，
当，Z 时，，
当，且,Z时，，
当或，Z时，，
因为，所以为偶函数，则函数的图象如下图所示
显然不是周期函数，故选项A正确，B错误, C错误;
对于方程，当时，方程有一个实数根，
当时，，此时，方程没有实数根，
当时，，此时，方程没有实数根，
所以方程只有1个实数根，故D正确；
故选：AD.
11．ABD
【分析】由题意可求得，再根据双曲线的几何性质可判断A，B，C选项，根据双曲线的定义可判断D选项．
【详解】由题意，可知，所以．又由题意，知，所以，
所以，故的方程为，所以的离心率为，渐近线方程为，故A，B正确；
焦点到渐近线的距离为，所以C错误；
设的内切圆与轴相切于点，则由双曲线定义得，所以，即内切圆圆心的横坐标为，所以D正确，
故选:ABD．
【点睛】关键点点睛：本题以双曲线为背景，关键在于运用双曲线的定义、标准方程和几何性质，使问题得以解决．
12．②④
【分析】对①，利用函数的导数与切线的斜率之间的关系即可判断；对②，根据离散型随机变量的定义即可判断；对③，根据回归直线方程的应用即可判断；对④，根据正态分布的定义即可判断.
【详解】解：对①，若函数在处导数不存在，说明在该点处的斜率不存在，
不是说函数图象在处无切线，故①错误；
对②，若为离散型随机变量，则所有的取值构成的集合可能是无限数集，故②正确；
对③，在对数据的相关性分析（回归分析）中，相关系数越大，两个变量的相关性越强，故③错误；
对④，正态分布的密度曲线与轴所围成的区域的面积为1，故④正确.
故答案为：②④.
13．
【分析】由点直线的距离公式求得圆心到直线的距离，得到圆的半径，结合圆的标准方程，即可求解.2
【详解】由题意，圆心到直线的距离为，
因为圆且与直线相切，所以圆的半径，
所以圆的方程为.
故答案为：.
14．
【分析】先求得的解析式，画出的图像，将方程为恰有三个互不相等的实数根，等价为的图象与的图象有三个交点，则可得m的范围，当时，由，根据韦达定理，可求得的范围，当时，根据，可求得的最小值，即可得答案.
【详解】当时，，当时，，
所以，即，
图象如图所示：
方程为恰有三个互不相等的实数根，等价于的图象与的图象有三个交点，
当时，，，
由图象可得，
令，解得，所以，
令，解得根为，由图象可得，当最高时，解得最小，此时，
所以，解得或（舍），
所以，
所以，
故答案为：；.
【点睛】解题的关键是先求得解析式，画出图像，将方程求根问题，转化为图象求交点问题，找到临界位置，数形结合，分析计算，即可得结果，属中档题.
15．(1)
(2)
【分析】（1）先利用递推关系得出，再利用递推关系得出的通项公式；
（2）根据，利用列项相消法得出的前项和.
【详解】（1）当时，由得，
又因为，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，
故，，
当时，，
所以，也符合上式，
所以.
（2），
所以.
16．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）先证明平面，得到，再证明平面．
（2）方法一几何法，取的中点，过点作于点，可证平面，点到平面的距离即为，求解得解；方法二向量法，建立空间直角坐标系利用向量法求点面距；
（3）建立空间直角坐标系利用向量法求解.
【详解】（1）因为，是的中点，所以，
因为，，平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为，是的中点，
所以，，平面，
所以平面．
（2）法一：取的中点，连接，可得四边形是平行四边形，
因为，，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面，
过点作于点，平面，
平面平面，则平面，
所以点到平面的距离即为，
因为，所以，又，
所以，故点到平面的距离为．
法二：由（1）知平面，，所以，，两两垂直，以为原点，
以，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，又，，
所以，
，，所以，
所以，，，，，
，，设平面的一个法向量为，
则，即，令，
则为平面的一个法向量，
又，所以点到平面的距离，
故点到平面的距离为．
（3）由（2）法二得，，设平面的一个法向量为，
则得，令，则，，
所以为平面的一个法向量，
又平面，所以是平面的一个法向量，
，
故平面与平面的夹角的余弦值为．
17．(1)
(2)，
(3)极大值为，极小值为
【分析】（1）利用导数的几何意义可求得切线斜率，进而得到切线方程；
（2）根据导函数的正负即可确定所求的单调区间；
（3）根据（2）可求极值.
【详解】（1）由题意得：，
，又，
的图象在处的切线方程为，即.
（2）由（1）知：，
当时，；当时，；的单调递减区间为，.
（3）根据（2）可知，当为函数的极小值点，且，
当为函数的极大值点，且，
所以的极大值为，极小值为.
18．（1）（万元），；（2）当时，总造价的最大值为万元.
【解析】（1）根据直角三角形的边角关系以及倍角公式用表示三个矩形的长和宽，用矩形面积乘以相应造价得出的表达式；
（2）利用导数得出函数的单调性，进而得出最值.
【详解】解：（1）设，由图可知在矩形中，
，
所以
在矩形中，
所以
因为病床区每平方米的造价为万元，休闲区每平方米造价为万元，
（万元），.
（2）由（1）得，
因为，所以
令，解得，因为，所以
当变化时，，的变化情况如下表：
极大值
所以当时，总造价取得极大值
即当时，总造价的最大值为万元.
【分析】（1）根据已知条件列方程或利用代入法求得的方程.
（2）设出直线的方程并与曲线的方程联立，化简写出根与系数关系，求得两点的纵坐标，由此化简来求得正确答案.
【详解】（1）选①，设，由，
化简得，即所求轨迹Γ的方程为.
选②，设，由，得，
代入圆O的方程，，整理得，
即所求轨迹Γ的方程为.
（2）设，
已知直线m的斜率存在且不为0，设过点K的直线m的方程为，
与方程联立得：，
∴.
且
直线AM的方程为，∴.同理，，
∴
其中，，
将代入可得，
，
∴.
