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专题03 导数及其应用
考点1 切线问题
1.（2024·全国甲卷）曲线f（x）＝x6+3x﹣1在（0，﹣1）处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）
A． B． C． D．﹣
【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：，所以切线斜率，
利用点斜式，则切线方程为：y+1=3x，即3x-y-1=0，
令，则；令，则；
所以切线与两坐标轴所围成的三角形面积.
故答案为：A.
【分析】利用求导先求出切线斜率，进而求出切线方程，即可求出与坐标轴的交点，进而求出结果.
2.（2024·全国甲卷）设函数f（x）＝，则曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由f（x）＝，要求在点（0，1）处的切线，
则，
此时切线斜率
利用点斜式，则切线方程为：，即3x-y+1=0；
令，则；令，则；
所以切线与两坐标轴所围成的三角形面积.
故答案为：A.
【分析】利用求导先求出切线斜率，进而求出切线方程，即可求出与坐标轴的交点，进而求出结果.
3.（2024·新高考Ⅰ卷）若曲线y＝ex+x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x+1）+a的切线，则a＝ ．
【答案】ln2
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：∵y＝ex+x，
∴，
此时k=，
故 曲线y＝ex+x在点（0，1）处的切线方程为：y=2x+1，
又∵y＝ln（x+1）+a ，
，
∵切线y=2x+1是公切线，设 曲线y＝ln（x+1）+a的切点为，
∴，解得，故切点为，
代入曲线，有y＝ln+a=0，解得.
故答案为：ln2.
【分析】通过导数求曲线的切线方程，利用公切线得出等量关系即可求出a.
4．（2022·新高考Ⅱ卷）写出曲线 过坐标原点的切线方程： ， ．
【答案】；
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解： 因为 ，当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为 ，又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为 ，又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
故答案为：
【分析】分 和 两种情况讨论，当 时设切点为 ，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出 ，即可求切线方程，当 时同理求解即可.
考点2:单调性、极最值问题
5．（2024·全国甲卷）已知函数f（x）＝（1﹣ax）ln（1+x）﹣x．
（1）当a＝﹣2时，求f（x）的极值；
（2）当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围．
【答案】（1）解：当时，f(x)的定义域为，
所以，
故，
因为在上为增函数，根据单调性的性质，
所以在上为增函数，
又因为，故当时，，当时，，
故在处取极小值且极小值为，无极大值.
（2）解：因为，
所以，
设，
则，
当时，，故在上为增函数，
又，即，所以在上为增函数，
故.
当时，当时，，故在上为减函数，
故在上，即在上即为减函数，
故在上，不合题意，舍去.
当，此时在上恒成立，同理可得在上恒成立，不合题意，舍去；
综上，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性结合零点存在性定理（考察隐零点问题）即可求出函数的极值.
（2）求出函数的二阶导数，根据、、进行分类讨论后可得参数的取值范围.
（分离参数，进行求导运算同样也是可以拿分的）
6．（2024·新高考Ⅰ卷）设函数f（x）＝（x﹣1）2（x﹣4），则（ ）
A．x＝3是f（x）的极小值点
B．当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2）
C．当1＜x＜2时，﹣4＜f（2x﹣1）＜0
D．当﹣1＜x＜1时，f（2﹣x）＞f（x）
【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由 函数f（x）＝（x﹣1）2（x﹣4），
∴f'（x）＝2（x﹣1）（x﹣4）+（x﹣1）2＝，
令f'（x）=0，则x=1或x=3，
∴当x<1或x>3时，f'（x）>0，函数f（x）单调递增；
当1故函数f（x）在x=1时取得极大值，在x=3时取得极小值，故A正确，符合题意；
对于B， 当0＜x＜1时，f（x）单调递增，此时x>x2，故有f（x）>f（x2），故B错误，不符合题意；
对于C， 当1＜x＜2时，则1＜2x-1＜3，f（x）单调递减，-4＜f（2x-1）＜0，故C正确，符合题意；
对于D， ，
故 当﹣1＜x＜1时， 令，此时在R上单调递减，，
故， ，即，故D正确，符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】利用函数求导法则进行求导，分析其单调性极值判断A，进而利用单调性判断BC，对于D可重新构造新函数并分析其最值得出结论.
7．（2023·全国甲卷）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）当时，，
则，
在单调递减；
（2）令
则，
，又，
，解得.
检验当时，，有，
即在上单调递减，
，符合题意，
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)对求导，利用导数判断单调性；
(2)构造，结合，将问题转化为并验证得出答案。
8．（2023·全国乙卷）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
（3）若在存在极值，求a的取值范围.
【答案】（1）当时，，
，
，且 ，
在处的切线方程为，
即
（2）由，
∴，
由，
∴的定义域为，
若存在关于直线对称，
则定义域也对称，即，
且，即，
由得，
若，即，
∴，解得，
综上所述，当时， 曲线关于直线对称.
（3）由 ，
∴，
∵在存在极值 ，
∴在存在变号零点 ，
当，整理得
令
则，
∵，同时注意到
∴
①若，则，此时在上单调递减，结合，
∴在上单调递减，故此时不存在变号零点 ；
②若，
i)，易得，此时在上单调递增，结合，
∴在上单调递增，故此时不存在变号零点 ；
ii)，令，即，则，
此时在上单调递减，在上单调递减，
结合，故成立
(或
令，其中，
则
∴在上单调递增，，
故)
∴若在上存在变号零点，
由零点存在性定理，需证存在有；
即在且时恒成立，
故，
令，，
∴，
故在上单调递增，且，
∴，即，
，
故存在使得在且时恒成立，
综上，当，在上存在变号零点，即 在存在极值.
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)根据导数可求得某点出切线斜率，代入点斜式直线方程得出答案；
(2)由对称函数定义域对称得出对称轴，根据对称函数关系建立等式得出a值；
(3)将存在极值转化为导函数存在变号零点问题，进一步构造函数，由导数正负结合参数a分类分析及零点存在性原理检验变号零点的存在.
9．（2023·新高考Ⅱ卷）
（1）证明：当 时，
（2）已知函数 若是 的极大值点， 求a的取值范围.
【答案】（1）令，，则在恒成立，
在单调递增，，
有
令，，则
则，
，
在单调递增，
在单调递增，
，
有，
综上：当时，.
（2）由函数 可知定义域
是的极大值点，且
∴必然在某个范围内单调递减，
即有
有
，
代入显然
，解得，
.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【分析】（1）构建新函数，求导进行分析单调性与极值，进而作差比较不等式恒成立问题；
（2）由题意可转化为是的变号零点，且由函数在连续，故总存在某个区间使得单调递减，即，同时满足上述条件即得答案.
10．（2022·全国乙卷）已知 和 分别是函数 （ 且 ）的极小值点和极大值点．若 ，则a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解： ，
因为 分别是函数 的极小值点和极大值点，
所以函数 在 和 上递减，在 上递增，
所以当 时， ，当 时， ，
若 时，当 时， ，则此时 ，与前面矛盾，
故 不符合题意，
若 时，则方程 的两个根为 ，
即方程 的两个根为 ，即函数 与函数 的图象有两个不同的交点，令 ，则 ，
设过原点且与函数 的图象相切的直线的切点为 ，
则切线的斜率为 ，故切线方程为 ，
则有 ，解得 ，
则切线的斜率为 ，
因为函数 与函数 的图象有两个不同的交点，
所以 ，解得 ，
又 ，所以 ，
综上所述， 的范围为 .
【分析】由 分别是函数 的极小值点和极大值点，可得 时， ， 时， ，再分 和 两种情况讨论，方程 的两个根为 ，即函数 与函数 的图象有两个不同的交点，构造函数 ，根据导数的结合意义结合图象即可得出答案.
11．（2022·浙江）设函数 ．
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）已知 ，曲线 上不同的三点 处的切线都经过点 ．证明：
（ⅰ）若 ，则 ；
（ⅱ）若 ，则 ．
（注： 是自然对数的底数）
【答案】解：（Ⅰ）
故 的减区间为 ，增区间为 .
（Ⅱ）（ⅰ）因为过 有三条不同的切线，设切点为 ，
故 ，
故方程 有3个不同的根，
该方程可整理为 ，
设 ，
则
，
当 或 时， ；当 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
因为 有3个不同的零点，故 且 ，
故 且 ，
整理得到： 且 ，
此时 ，
设 ，则 ，
故 为 上的减函数，故 ，
故 .
（ⅱ）当 时，同（ⅰ）中讨论可得：
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
不妨设 ，则 ，
因为 有3个不同的零点，故 且 ，
故 且 ，
整理得到： ，
因为 ，故 ，
又 ，
设 ， ，则方程 即为：
即为 ，
记
则 为 有三个不同的根，
设 ， ，
要证： ，即证 ，
即证： ，
即证： ，
即证： ，
而 且 ，
故 ，
故 ，
故即证： ，
即证：
即证： ，
记 ，则 ，
设 ，则 即 ，
故 在 上为增函数，故 ，
所以 ，
记 ，
则 ，
所以 在 为增函数，故 ，
故 即 ，
故原不等式得证.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（Ⅰ）求出导函数，利用导数的性质即可求得函数的单调区间；
（Ⅱ）（i） 因为过 有三条不同的切线，设切点为 ，故有3个不同的根，整理为 ，令 ，由题意得到函数g（x）有三个不同的零点，利用导数求得极值， 故 且 ， 且 ， 设 利用导数性质能证明 ，所以 .
（ⅱ）有三个不同的零点，设 ， ，则转化为 有三个不同的根， 在三个不同的零点，且，推导出要证明结论，只需证明 ，由此能证明 ．
考点3 恒成立与有解问题
12．（2024·上海）记M（a）＝{t|t＝f（x）﹣f（a），x≥a}，L（a）＝{t|t＝f（x）﹣f（a），x≤a}．
（1）若f（x）＝x2+1，求M（1）和L（1）；
（2）若f（x）＝x3﹣3x2，求证：对于任意a∈R，都有M（a） [﹣4，+∞），且存在a，使得﹣4∈M（a）．
（3）已知定义在R上f（x）有最小值，求证“f（x）是偶函数“的充要条件是“对于任意正实数c，均有M（﹣c）＝L（c）”．
【答案】（1）解：由题意，得M（1）＝{t|t＝x2+1﹣2，x≥1}＝[0，+∞）；
．
综上M（1）＝[0，+∞）；L（1）＝[﹣1，+∞）
（2）证明：由题意知，M（a）＝{t|t＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，x≥a}，
记g（x）＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，则g'（x）＝3x2﹣6x＝0 x＝0或2．
x （﹣∞，0） 0 （0，2） 2 （2，+∞）
g'（x） 正 0 负 0 正
g（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
现对a分类讨论，当a≥2，有t＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，x≥a为严格增函数，
因为g（a）＝0，所以此时M（a）＝[0，+∞） [﹣4，+∞）符合条件；
当0≤a＜2时，t＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，x≥a先增后减，3a2﹣4，
因为﹣a3+3a2＝a2（3﹣a）≥0（a＝0取等号），所以4≥﹣4，
则此时M（a）＝[﹣a3+3a2﹣4，+∞） [﹣4，+∞）也符合条件；
当a＜0时，t＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，x≥a，在[a，0）严格增，在[0，2]严格减，在[2，+∞）严格增，
，
因为h（a）＝﹣a3+3a2﹣4，当a＜0时，h'（a）＝﹣3a2+6a＞0，则h（a）＞h（0）＝﹣4，
则此时M（a）＝[tmin，+∞） [﹣4，+∞）成立；
综上可知，对于任意a∈R，都有M（a） [﹣4，+∞]，且存在a＝0，使得﹣4∈M（a）．
（3）证明：必要性：若f（x）为偶函数，
则M（﹣c）＝{t|t＝f（x）﹣f（﹣c），x≥﹣c}，L（c）＝{t|t＝f（x）﹣f（c），x≤c}，
当x≥﹣c，t＝f（x）﹣f（﹣c）＝f（﹣x）﹣f（c），因为﹣x≤c，故M（﹣c）＝L（c）；
充分性：若对于任意正实数c，均有M（﹣c）＝L（c），
其中M（﹣c）＝{t|t＝f（x）﹣f（﹣c），x≥﹣c}，L（c）＝{t|t＝f（x）﹣f（c），x≤c}，
因为f（x）有最小值，不妨设f（a）＝fmin＝m，
由于c任意，令c≥|a|，则a∈[﹣c，c]，所以M（﹣c）最小元素为f（a）﹣f（﹣c）＝m﹣f（﹣c）．
L（c）中最小元素为m﹣f（c），又M（﹣c）＝L（c） f（c）＝f（﹣c）对任意c≥|a|成立，
所以f（a）＝f（﹣a）＝m，
若a＝0，则f（c）＝f（﹣c）对任意c 0成立 f（x）是偶函数；
若a≠0，此后取c∈（﹣|a|，|a|），，
综上，任意c 0，f（c）＝f（﹣c），即f（x）是偶函数．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用定义即可；
(2)先对g（x）＝x3﹣3x2﹣a3+3a2求导，利用导数研究函数的单调性，对a分类讨论即可；
(3)利用偶函数的定义结合题意分充分性和必要性证明即可.
13．（2024·上海）对于一个函数和一个点，定义，若存在，使是的最小值，则称点P是函数到点M的“最近点”.
（1）对于（x＞0），求证，对于点，存在点P，使得P是到点M的“最近点”；
（2）对于，，请判断是否存在一个点P，它是到点M的“最近点”，且直线MP与在点P处的切线垂直；
（3）已知f（x）存在导函数f'（x），函数g（x）恒大于零，对于点M1（t-1，f（t）-g（t）），点M2（t+1，f（t）+g（t）），若对任意t∈R，存在点P同时是f（x）到点M1与点M2的“最近点”，试判断f（x）的单调性．
【答案】（1）解：当时，，
当且仅当，即时等号成立，
故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”．
（2）解：函数，，由定义可得：定义域为，
，易知在上单调递增，当时，解得，
当时，；当时，，
故，此时，
，则函数在点处的切线方程为，
而，故，故直线与在点处的切线垂直．
（3）解：由题意可得，，
，，
若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，
设，则既是的最小值点，也是的最小值点，
因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点，则存在，使得，
即①
②
由①②相等得，即，
即，又因为函数在定义域上恒正，则恒成立，
再证明，
因为既是的最小值点，也是的最小值点，
则，
即，③
，④
③④得
即，因为
则，解得，
则恒成立，故函数严格单调递减.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；基本不等式
【解析】【分析】（1）根据定义，代入，利用基本不等式求解即可；
（2）由题意可得，求导，利用导数判断函数的单调性并求其最小值，则得点，再证明直线与切线垂直即可；
（3）根据题意得到，对两等式化简得，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，最后得到函数单调性.
14．（2023·全国乙卷）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】 ∵函数在上单调递增，
∴在上恒成立，
令，故只需证
则，
则在上单调递增，且
∴，
即，
∴，即，解得或，
又∵
∴，
故答案为：
【分析】结合题意求导将问题转化成导函数大于0恒成立问题，重新构造函数，求导分析计算该函数的最小值大于0即得答案.
15．（2023·全国甲卷）已知
（1）若，讨论的单调性；
（2）若恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）解：当，即 ，
则，
令，即，解得，
令，即，解得，
令，即，解得，
∴在上单调递增，在上单调递减
（2）令，，
∴，，
∴必然存在在单调递减，
∴，即，解得a<3，
检验，当a<3时， 是否恒成立，
令
∴，
令，
∴，
当时，，
∴在单调递增，
∴，即，
∴在单调递减，故此时恒成立；
∴综上所述：a<3.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)将a=代入原函数，求导结合同角三角函数间的关系及变换消元转化成关于cosx的函数表达式，结合因式分解对其导函数正负性分析即可得出 的单调性；
(2)令，注意到结合函数变化易分析，从而缩小a的分析范围，在a<3时，结合整体换元简化式子结构并对再求导分析此时函数极值范围得出其正负性，进而得出的函数单调性继而得出答案.
16．（2022·浙江学考）若 对任意 恒成立，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由 ，可得 ，所以 ，因为函数 在 上单调递增，所以 在 上恒成立，令 ，则 在 上恒成立，令 ，则 ，当且仅当 ，即 时，取等号，所以 。
故答案为：A
【分析】由 ，可得 ，再利用函数 在 上单调递增，所以 在 上恒成立，令 ，则 在 上恒成立，令 ，再利用均值不等式求最值的方法得出的最大值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数的取值范围。
17．（2022·新高考Ⅱ卷）已知函数 ．
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）当 时， ，求a的取值范围；
（3）设 ，证明： ．
【答案】（1）解：解：
当 时， 单调递减；
当 吋， 单调递增.
（2）令
对 恒成立
又
令
则
①若 ，即
所以 ，使得当 时，有 单调递增 ，矛盾
②若 ，即 时，
在 上单调递减， ，符合题意.
综上所述，实数a的取值范围足 .
（3）证明：取 ，则 ，总有 成立，
令 ，则 ，
故 即 对任意的 恒成立.
所以对任意的 ，有 ，
整理得到： ，
故
，
故不等式成立.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）求出，讨论其符号后可得的单调性.
（2）设，求出，令，先讨论时题设中的不等式不成立，再就结合放缩法讨论符号，最后就结合放缩法讨论的范围后可得参数的取值范围.
（3）由（2）可得对任意的恒成立，从而可得对任意的恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.
考点4 极最值问题
18．（2024·上海）定义集合，在使得的所有中，下列成立的是( )
A．是偶函数 B．在处取最大值
C．严格增 D．在处取到极小值
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：A、若存在 是偶函数， 取 ，
则对 ， 但 ， 与题干矛盾，故A错误；
B、构造函数，满足集合，
当时，，当时，，当时，，
则该函数的最大值是，故B正确；
C、假设存在，使得函数严格增，则，与题干矛盾，故C错误；
D、假设存在，使得在处取极小值，则在的左侧附近存在，使得，与题干矛盾，故D错误.
故答案为：B.
【分析】利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断ACD；构造函数即可判断B.
19．（2024·全国甲卷）曲线y＝x3﹣3x与y＝﹣（x﹣1）2+a在（0，+∞）上有两个不同的交点，则a的取值范围为 ．
【答案】（﹣2，1）
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：据题意，令，
分离参数得：，
下研究的函数图象；
由
则，
令，则，
所以，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，并且，，
此时，图象如下所示：
因为曲线y＝x3﹣3x与y＝﹣（x﹣1）2+a在（0，+∞）上有两个不同的交点，
转化为有两个交点，
所以，
故答案为：.
【分析】令由曲线y＝x3﹣3x与y＝﹣（x﹣1）2+a在（0，+∞）上有两个不同的交点，转化为有两个交点，进而利用求导求出的函数图象，进而求出a的取值范围.
20．（2024·新高考Ⅰ卷）已知函数f（x）＝ln+ax+b（x﹣1）3．
（1）若b＝0，且f'（x）≥0，求a的最小值；
（2）证明：曲线y＝f（x）是中心对称图形；
（3）若f（x）＞﹣2当且仅当1＜x＜2，求b的取值范围．
【答案】（1）解：当b=0时，此时函数 f（x）＝ln+ax =，其中，
此时，
由f'（x）≥0，
故，即，
由
故当时，，即，
故，当且仅当x=1时，.
为使得恒成立，
∴.
故a的最小值为-2.
（2）证明：由 f（x）＝ln+ax+b（x﹣1）3 ，其中，
∴，
∴函数f（x）关于(1，a)成中心对称图形
（3）解：由 f（x）＝ln+ax+b（x﹣1）3 在上连续，
且当且仅1＜x＜2时 f（x）＞﹣2 ，即当0＜x＜1时 f（x）<﹣2，
由(2)得，函数f（x）关于(1，a)成中心对称图形，
故可推出 a=-2.
此时 f（x）＝ln-2x+b（x﹣1）3＞﹣2在1＜x＜2恒成立，
故g（x）＝ln-2(x-1)+b（x﹣1）3＞0在1＜x＜2恒成立，此时g（1）=0，
∴，此时.
此时设，
由复合函数单调性可知，x(2-x)在1＜x＜2上单调递减，则在1＜x＜2上单调递增，
在1＜x＜2上单调递增，
则，
①若2+3b≥0，即，
故此时当1＜x＜2，h(x)≥0，，
又∵，
∴g（x）在1＜x＜2上单调递增，
∴，且g（1）=0，即，
故g（x）＝ln-2(x-1)+b（x﹣1）3＞0在1＜x＜2恒成立， 即f（x）＞﹣2恒成立；
②若2+3b<0，即，
故此时当1＜x＜2，存在>1，使得h(x)<0，
即存在>1，，
又∵，
∴存在x1>1，使得g（x）在1＜x＜x1单调递减，
∴，，即，
故g（x）＝ln-2(x-1)+b（x﹣1）3＞0在1＜x＜2不恒成立，不符合题意；
综上所述，b的取值范围是[﹣，+∞）.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)将b=0代入原函数，并利用f'（x）≥0后整理式子进行变量分离，转换为恒成立问题，进而分析函数极值即可；
(2)注意到函数的定义域为(0，2)，故为证明其为中心对称图形，即求证为定值即可；
(3)由f（x）＞﹣2当且仅当1＜x＜2 ，注意理解当且仅当并结合函数连续性故推出a=-2，其次结合导数分析该函数单调性，此处需注意端点处取值均在临界值上，最后利用导数进行单调性及极值逐步分析得出结论.
21．（2023·北京卷）设函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求的值；
（2）设函数，求的单调区间；
（3）求的极值点个数．
【答案】（1）因为，所以，
因为在处的切线方程为，
所以，，
则，解得，
所以.
（2）由（1）得，
则，
令，解得，不妨设，，则，
易知恒成立，
所以令，解得或；令，解得或；
所以在，上单调递减，在，上单调递增，
即的单调递减区间为和，单调递增区间为和.
（3）由（1）得，，
由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增，
当时，，，即
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，在上单调递减，
则，故，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；
所以在上有一个极大值点；
当时，在上单调递增，
则，故，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，，
所以，则单调递增，
所以在上无极值点；
综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）对求导，利用，，求解 的值；
（2）对 求导，求出和区间得到 的单调区间；
（3）通过求解 的变号零点个数来求的极值点个数．
22．（2023·上海卷）公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则 ；
【答案】
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】设斜坡距离为S，消耗总体能W
根据题意，即，则
则
令，∴，即，解得
结合余弦函数及其变换可知，此时
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
即当，取得最小值，
故答案为： .
【分析】根据题意表达出总体能与坡面夹角的函数关系，利用导数分析其单调性与最值得出答案.
23．（2023·天津卷）已知函数．
（1）求曲线在处切线的斜率；
（2）当时，证明：；
（3）证明：．
【答案】（1）解：由 得（x>-1且x≠0）．
∴
故曲线 在处切线的斜率 ；
（2）解： 要证 ，即证，
∵ ，
∴即证，
令
∴
>0，
∴在上单调递增，在上单调递减，且，
∴在上单调递增，此时，
∴，即，
证毕
（3）解：令(n>0且)，
则有，
∴，
令，则，
由(2)得，
∴，
即在定义域范围内单调递减，
此时，
∴有，即证得；
由(2)得，当，，则，
构造，
则，
∴在上单调递减，则有，
即，
整理得，
∴，
∴，
整理得，
∴，
，
.......
累加得：
即，
综上所述， ．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)对求导，此时函数在 切线斜率，即为在该点处的导数；
(2)为证明，整理式子结构即证，结合求导对单调性进行分析得出答案；
(3)构造，由阶乘(n！)与对数运算联想构造作差去阶乘符号得出，将函数单调性问题转化成的正负性问题，求导分析得证单调递减，易得出此时上限；为证明其下限可结合(2)中结论对对数部分进行不等式放缩，逆构造，得出，进而由进行再裂项结合累加求和得证下限；
24．（2022·全国乙卷）函数 在区间 的最小值、最大值分别为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】 ，
由于 在区间 和 上 ，即 单调递增；
在区间 上 ，即 单调递减，
又 ， ， ，
所以 在区间 上的最小值为 ，最大值为 .
故选：D
【分析】利用导数求得 的单调区间，从而判断出 在区间 上的最小值和最大值.
25．（2022·全国甲卷）已知函数 ．
（1）若 ，求a的取值范围；
（2）证明：若 有两个零点 ，则 ．
【答案】（1） 解： 由题意得，函数f(x)的定义域为 ，
，
令f'(x)=0， 得x=1 ，
当x∈（0，1），f'(x)<0， f(x)单调递减，
当x∈（1，+∞），f'(x)>0， f(x)单调递增 ，
若f(x)≥0，则e+1-a≥0， 即a≤e+1 ，
所以a的取值范围为（-∞，e+1）
（2）证明：由题知， 一个零点小于1，一个零点大于1
不妨设
要证 ，即证
因为 ，即证
因为 ，即证
即证
即证
下面证明 时，
设 ，
则
设
所以 ，而
所以 ，所以
所以 在 单调递增
即 ，所以
令
所以 在 单调递减
即 ，所以 ；
综上， ，所以
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解；
（2）由化归思想，将原问题转化要证明 恒成立问题 ，构造函数 ， 再利用导数研究函数的单调性与最值即可得证.
26．（2022·全国甲卷）当 时，函数 取得最大值 ，则 （ ）
A．-1 B． C． D．1
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】因为函数f(x)定义域为（0，+∞），所以依题可知，f(1)=-2 ，f'(1)=0，
又 ，
则，解得 ，
所以，
由f'(x)>0，得01，
因此函数f(x)在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，
则当x=1时取最大值，满足题意，即有．
故选：B.
【分析】根据题意可知f(1)=-2 ，f'(1)=0，列式即可解得a，b，再根据f'(x)即可解出．
27．（2022·新高考Ⅰ卷）已知函数 则（ ）
A．f(x)有两个极值点
B．f(x)有三个零点
C．点(0，1)是曲线 的对称中心
D．直线 是曲线 的切线
【答案】A,C
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：令f'(x)=3x2-1=0，得或，
当或时，f'(x)>0，当时，f'(x)<0，
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，
所以f(x)有两个极值点为或，故A正确；
又所以f(x)只有一个零点，故B错误；
由f(x)+ f(-x)=2可知，点(0，1)是曲线y= f(x)的对称中心，故C正确；
曲线y=f(x)在点(1，1)处的切线的斜率为k=f'(1)=2，则切线方程为y=2x-1，故D错误.
故选：AC
【分析】利用导数研究函数的单调性，极值，零点，以及函数的对称中心，结合导数的几何意义，逐项判断即可.
28．（2022·全国甲卷）已知函数 ，曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线．
（1）若 ，求a：
（2）求a的取值范围．
【答案】（1）解：由题意知， ， ， ，则 在点 处的切线方程为 ，
即 ，设该切线与 切于点 ， ，则 ，解得 ，则 ，解得 ；
（2）解： ，则 在点 处的切线方程为 ，整理得 ，
设该切线与 切于点 ， ，则 ，则切线方程为 ，整理得 ，
则 ，整理得 ，
令 ，则 ，令 ，解得 或 ，
令 ，解得 或 ，则 变化时， 的变化情况如下表：
0 1
- 0 + 0 - 0 +
-1
则 的值域为 ，故 的取值范围为 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）先由f(x)上的切点求出切线方程，设出g(x)上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出a即可；
（2）设出g(x)上的切点坐标，分别由f(x)和g(x)及切点表示出切线方程，由切线重合表示出a，构造函数，求导求出函数值域，即可求得a的取值范围.
考点5 证明不等式
29．（2024·天津）设函数.
（1）求图像上点处的切线方程；
（2）若在时恒成立，求的取值范围；
（3）若证明.
【答案】（1）解：函数定义域为，，
则，，故在点处的切线方程为，即；
（2）解：设定义域为，，当时，解得，
当时，解得，故函数在上单调递减，在上单调递增，则函数在时取最小值，
故在上恒成立，即，当且仅当等号成立，
设，则，
当时，的取值范围是，原问题等价于对任意，恒有成立，
若对任意，恒有，
则对，有，
取，得，故，
再取，得，所以，
若，则对任意，都有，满足条件，
综上可知，的取值范围是.
（3）证明：易证对，有，
证明：由（2）的结论，故，
且，
所以，即，
由，当时，解得；当时，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，有，结论成立；
当时，有，
对任意的，设，则，由于单调递增，
且，
且当，时，由可知，
，
所以在上存在零点，再结合单调递增，当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
①当时，有；
②当时，由于，故取，
从而当时，由，
可得，
再根据在上单调递减，即对，都有；
综合①②可知对任意，都有，即，
根据和的任意性，取，，则，
所以；
当时，根据以上讨论，
可得，，
由的单调性，可知或，
故一定有成立，
综上，成立.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；不等式的证明
【解析】【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求解即可；
（2）先由题设条件得到，再证明时条件满足即可；
（3）先确定的单调性，再对分类讨论，证明即可.
30．（2024·全国甲卷）实数a，b满足a+b≥3．
（1）证明：2a2+2b2＞a+b；
（2）证明：|a﹣2b2|+|b﹣2a2|≥6．
【答案】（1）证明：，
当时等号成立，则，
因为，
所以；
（2）证明：利用三角不等式，则有：
【知识点】不等式的证明；比较法；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）利用放缩法，先比较2a2+2b2与的大小，再利用可得到结果；
（2）利用三角不等式放缩，结合绝对值不等式的化简即可得到结果.
31．（2022·全国乙卷）已知a，b，c都是正数，且 ，证明：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）证明：因为 ， ， ，则 ， ， ，
所以 ，
即 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号．
（2）证明：因为 ， ， ，
所以 ， ， ，
所以 ， ，
当且仅当 时取等号．
【知识点】基本不等式；不等式的证明
【解析】【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；
（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．
32．（2022·北京）已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）设 ，讨论函数 在 上的单调性；
（III）证明：对任意的 ，有 ．
【答案】（Ⅰ） ，则 ，又 ，
故所求切线方程为
（Ⅱ） ，
又 ，
故 对 成立， 在 上单调递增
（III）证明：不妨设 ，
由拉格朗日中值定理可得：
其中 ，即
，其中 ，即
由 在 上单调递增，故
∴
∴ 证毕
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；不等式的证明
【解析】【分析】（1）对函数求导得，分别计算，根据直线的点斜式方程即可求切线方程；
（2）由（1）知，利用放缩法可得，即可判断的单调性；
（3） 不妨设 ，由拉格朗日中值定理可得 ，，即 ， ，由 （2）的结论，得 ， 即，即可证明.
考点6 零点问题
33．（2022·全国乙卷）已知函数 ．
（1）当 时，求 的最大值；
（2）若 恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】（1）解：当 时，
x （0，1） 1 （1，+∞）
f’（x） + 0 -
f（x） ↗ ↘
∴ 的最大值=f（1）=-1-ln1=-1
（2）解： 定义域为（0，+∞）
根据（1）得：a=0时，f（x）max=-1＜0，∴f（x）无零点
当a＜0时， x＞0，ax-1＜0，又x2＞0
x （0，1） 1 （1，+∞）
f’（x） + 0 -
f（x） ↗ ↘
∴ x＞0，f（x）≤f（1）=a-1＜0，∴f（x）无零点
当a＞0时，
①当0＜a＜1时， ＞1
x （0，1） 1 （1， ） （ ，+∞）
f’（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ ↘ ↗
∴ x∈（0， ]，f（x）≤f（1）=a-1＜0，
又 f（x）=+∞，∴f（x）恰有一个零点
②当a=1时， ，
∴f（x）在（0，+∞）上递增，
由f（1）=a-1=0可得，f（x）恰有一个零点
③当a＞1时， ∈（0，1]
x （0， ） （ ，1） 1 （1，+∞）
f’（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ ↘ ↗
∴ x∈[ ，+∞），f（x）≥f（1）=a-1＞0，
又 f（x）=-∞，∴f（x）恰有一个零点
综上所得a取值范围为
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点
【解析】【分析】（1）将 代入，再对函数求导利用导数判断函数的单调性，从而求其最大值；
（2）求导得 ，分a=0、a＜0及a＞0三种情况讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解.
34．（2023·天津卷）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】令 ，
①当时，
即，整理得，
a)若是函数零点，则，解得；
b)若，此时，即方程只有一个解x=-1，
c)若，方程整理得
i)此时若是函数零点，则，解得；
ii)若，即，且成立，此时方程为重根，
同理②当时，
即，整理得，
a)若是函数零点，则，解得；
b)若，此时，与矛盾，
c)若，方程整理得
i)此时若是函数零点，则，解得；
ii)若，即，则与矛盾，
综上，
(1)当时，此时使得成立，是函数零点；使得也是函数零点，
即当时，函数零点分别是，；
(2)当，，时，函数零点分别是-1，；
(3)当时，函数零点是(-1)，此时不满足题意，舍去；
(4)当时，函数零点分别是-1，此时不满足题意，舍去；
(5)当时，函数零点分别是1，-1；
∴当函数有且仅有两个零点时，；
故答案填：
【分析】令将零点转化成方程根问题，不妨先分类与去绝对值得到含参一元二次方程，对根的情况分析且检验是否满足分类前提得出零点存在时参数a的取值，对以上参数a分类整理即可得出答案.
35．（2023·全国乙卷）函数存在3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】由题意得
有三个零点，
有极大值和极小值且异号，.
令，解得，，
，解得
故选：B
【分析】有三个零点转化为的极大值和极小值异号，进而转化为有两个根且，。
36．（2022·天津市）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理
【解析】【解答】设，，由可得.
要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，
解得或.
①当时，，作出函数、的图象如下图所示：
此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
可得，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】设，，由可得x的值，要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，再结合函数的零点与方程的根的等价关系，再结合判别式法得出实数a的取值范围。
①当时，，作出函数、的图象，再利用函数的零点与两函数的图象的交点的横坐标的等价关系，得出此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有个零点，则，所以，进而得出实数a的取值范围；
③当时，，作出函数、的图象，由图结合函数的零点与两函数的图象的交点的横坐标的等价关系可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有个零点，则，可得，从而得出实数a的取值范围，再结合并集的运算法则得出实数的取值范围。
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专题03 导数及其应用
考点1 切线问题
1.（2024·全国甲卷）曲线f（x）＝x6+3x﹣1在（0，﹣1）处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）
A． B． C． D．﹣
2.（2024·全国甲卷）设函数f（x）＝，则曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3.（2024·新高考Ⅰ卷）若曲线y＝ex+x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x+1）+a的切线，则a＝ ．
4．（2022·新高考Ⅱ卷）写出曲线 过坐标原点的切线方程： ， ．
考点2:单调性、极最值问题
5．（2024·全国甲卷）已知函数f（x）＝（1﹣ax）ln（1+x）﹣x．
（1）当a＝﹣2时，求f（x）的极值；
（2）当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围．
6．（2024·新高考Ⅰ卷）设函数f（x）＝（x﹣1）2（x﹣4），则（ ）
A．x＝3是f（x）的极小值点
B．当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2）
C．当1＜x＜2时，﹣4＜f（2x﹣1）＜0
D．当﹣1＜x＜1时，f（2﹣x）＞f（x）
7．（2023·全国甲卷）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围．
8．（2023·全国乙卷）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
（3）若在存在极值，求a的取值范围.
9．（2023·新高考Ⅱ卷）
（1）证明：当 时，
（2）已知函数 若是 的极大值点， 求a的取值范围.
10．（2022·全国乙卷）已知 和 分别是函数 （ 且 ）的极小值点和极大值点．若 ，则a的取值范围是 ．
11．（2022·浙江）设函数 ．
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）已知 ，曲线 上不同的三点 处的切线都经过点 ．证明：
（ⅰ）若 ，则 ；
（ⅱ）若 ，则 ．
（注： 是自然对数的底数）
考点3 恒成立与有解问题
12．（2024·上海）记M（a）＝{t|t＝f（x）﹣f（a），x≥a}，L（a）＝{t|t＝f（x）﹣f（a），x≤a}．
（1）若f（x）＝x2+1，求M（1）和L（1）；
（2）若f（x）＝x3﹣3x2，求证：对于任意a∈R，都有M（a） [﹣4，+∞），且存在a，使得﹣4∈M（a）．
（3）已知定义在R上f（x）有最小值，求证“f（x）是偶函数“的充要条件是“对于任意正实数c，均有M（﹣c）＝L（c）”．
13．（2024·上海）对于一个函数和一个点，定义，若存在，使是的最小值，则称点P是函数到点M的“最近点”.
（1）对于（x＞0），求证，对于点，存在点P，使得P是到点M的“最近点”；
（2）对于，，请判断是否存在一个点P，它是到点M的“最近点”，且直线MP与在点P处的切线垂直；
（3）已知f（x）存在导函数f'（x），函数g（x）恒大于零，对于点M1（t-1，f（t）-g（t）），点M2（t+1，f（t）+g（t）），若对任意t∈R，存在点P同时是f（x）到点M1与点M2的“最近点”，试判断f（x）的单调性．
14．（2023·全国乙卷）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
15．（2023·全国甲卷）已知
（1）若，讨论的单调性；
（2）若恒成立，求a的取值范围．
16．（2022·浙江学考）若 对任意 恒成立，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
17．（2022·新高考Ⅱ卷）已知函数 ．
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）当 时， ，求a的取值范围；
（3）设 ，证明： ．
考点4 极最值问题
18．（2024·上海）定义集合，在使得的所有中，下列成立的是( )
A．是偶函数 B．在处取最大值
C．严格增 D．在处取到极小值
19．（2024·全国甲卷）曲线y＝x3﹣3x与y＝﹣（x﹣1）2+a在（0，+∞）上有两个不同的交点，则a的取值范围为 ．
20．（2024·新高考Ⅰ卷）已知函数f（x）＝ln+ax+b（x﹣1）3．
（1）若b＝0，且f'（x）≥0，求a的最小值；
（2）证明：曲线y＝f（x）是中心对称图形；
（3）若f（x）＞﹣2当且仅当1＜x＜2，求b的取值范围．
21．（2023·北京卷）设函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求的值；
（2）设函数，求的单调区间；
（3）求的极值点个数．
22．（2023·上海卷）公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则 ；
23．（2023·天津卷）已知函数．
（1）求曲线在处切线的斜率；
（2）当时，证明：；
（3）证明：．
24．（2022·全国乙卷）函数 在区间 的最小值、最大值分别为（ ）
A． B．
C． D．
25．（2022·全国甲卷）已知函数 ．
（1）若 ，求a的取值范围；
（2）证明：若 有两个零点 ，则 ．
26．（2022·全国甲卷）当 时，函数 取得最大值 ，则 （ ）
A．-1 B． C． D．1
27．（2022·新高考Ⅰ卷）已知函数 则（ ）
A．f(x)有两个极值点
B．f(x)有三个零点
C．点(0，1)是曲线 的对称中心
D．直线 是曲线 的切线
28．（2022·全国甲卷）已知函数 ，曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线．
（1）若 ，求a：
（2）求a的取值范围．
考点5 证明不等式
29．（2024·天津）设函数.
（1）求图像上点处的切线方程；
（2）若在时恒成立，求的取值范围；
（3）若证明.
30．（2024·全国甲卷）实数a，b满足a+b≥3．
（1）证明：2a2+2b2＞a+b；
（2）证明：|a﹣2b2|+|b﹣2a2|≥6．
31．（2022·全国乙卷）已知a，b，c都是正数，且 ，证明：
（1） ；
（2） ．
32．（2022·北京）已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）设 ，讨论函数 在 上的单调性；
（III）证明：对任意的 ，有 ．
考点6 零点问题
33．（2022·全国乙卷）已知函数 ．
（1）当 时，求 的最大值；
（2）若 恰有一个零点，求a的取值范围．
34．（2023·天津卷）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为 ．
35．（2023·全国乙卷）函数存在3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
36．（2022·天津市）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为 .
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