山西省太原市2023-2024学年高二下学期期末学业诊断数学试卷（含解析）

山西省太原市2023-2024学年高二下学期期末学业诊断数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．观察下列散点图,关于两个变量x,y的相关关系推断正确的是( )
A.（1）为正相关,（2）不相关,（3）负相关
B.（1）为正相关,（2）负相关,（3）不相关
C.（1）为负相关,（2）不相关,（3）正相关
D.（1）为负相关,（2）正相关,（3）不相关
2．已知离散型随机变量,则( )
A.8 B.2 C.1.6 D.0.8
3．有5名同学要去参加3个兴趣小组,每名同学可自由选择其中1个兴趣小组,则他们不同的选法种数是( )
A. B. C. D.
4．以下说法正确的是( )
A.等高堆积条形图可以直观反映两个分类变量之间是否具有关联性
B.用独立性检验推断的结论可靠,不会犯错误
C.残差平方和越大,则相应模型的拟合效果越好
D.决定系数越小,则相应模型的拟合效果越好
5．北京时间2024年4月26日,神舟十七号航天员乘组和神舟十八号航天员乘组胜利会师“天宫”.随后,两个乘组要拍张“全家福”照片,向全国人民报平安.已知两个乘组各3人,每个乘组有一名指令长.拍照时,要求站两排,前排2人,后排4人.若两个指令长在前排,则不同的排法种数为( )
A.24 B.48 C.360 D.720
6．已知随机变量,均服从两点分布,且,则下列结论正确的是( )
1 0
P
1 0
P
A., B.,
C., D.,
7．一般地,多项选择题有四个选项,其中有两个或三个选项正确,其赋分规则是：选对部分正确选项得部分分,选对全部正确选项得满分6分,有错误选项得0分.某道多项选择题有四个选项,其中有三个选项正确,答题时只能选一个 两个或三个选项.小明随机作答,则他得0分的概率为( )
A. B. C. D.
8．已知展开式中的系数为28,则该展开式的各项系数和为( )
A. B. C.0 D.
二、多项选择题
9．使用经验回归方程进行预测时,下列结论正确的是( )
A.经验回归方程只适用于所研究的样本的总体
B.经验回归方程一般都有时效性
C.解释变量的取值离样本数据的范围越远,经验回归方程的预报效果越好
D.经验回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值
10．已知一个袋中装有（除颜色外完全相同）4个红球,3个白球.现从袋中不放回连续摸球两次,每次摸出一个球.记事件“第一次摸到红球”,“第二次摸到红球”,则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
11．已知某校高二年级数学考试成绩中,男生成绩X服从正态分布,女生成绩服从正态分布,则下列结论正确的是( )
A.和的分布密度曲线相比,的分布密度曲线更“瘦高”
B.成绩低于74分的男生人数在全体男生中的比例小于成绩低于74分的女生人数在全体女生中的比例
C.成绩高于80分的男生人数在全体男生中的比例等于成绩高于80分的女生人数在全体女生中的比例
D.成绩高于90分的男生人数在全体男生中的比例高于成绩低于62分的女生人数在全体女生中的比例
12．已知,则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题
13．已知,则___________.
14．已知变量x,y之间具有线性相关关系,根据10对样本数据求得经验回归方程为.若,,则___________.
15．某电器由三个元件按下图方式连接而成,设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布,各个元件能否正常工作相互独立.当元件1正常工作,且元件2或元件3正常工作时,该电器正常工作.现有200台这样的电器,估计这批电器使用寿命超过1000小时的台数为________________.
16．为备战2024法国巴黎奥运会,某运动队要从6名运动员中选4名参加接力赛训练.现已选定1人跑第1棒或第4棒,在剩下的5人中有2人只能跑第2,3棒,还有1人不能跑第4棒,则此训练的不同方法种数为_______________.
四、解答题
17．求展开式中常数项和的系数.
18．某校化学课题组为改进某项实验技术,减少实验时间,从而提高实验效率.从该校高二化学社团选取40名学生,并将他们平均分成两个实验组.第一组学生用原方法做实验,第二组学生用新方法做实验.现统计两组同学完成实验的时间（单位：min）如下：
第一组完成实验的时间（单位：min）
8 9 10 12 14 14 16 16 17 17
18 18 18 19 19 20 21 21 22 22
第二组完成实验的时间（单位：）
7 8 9 9 9 10 10 11 11 12
12 13 13 14 14 16 16 18 19 21
(1)记这40名学生完成实验时间的中位数为m,根据上述信息完成实验方法和实验时间样本数据的列联表;
实验方法 实验时间 合计
大于m 不大于m
原方法
新方法
合计
(2)依据小概率值的独立性检验,分析新方法的实验效率是否比原方法高.
附：;
0.10 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
19．某市为了解党员对党史知识的掌握情况,在该市随机选取100名党员进行调查,其中不同年龄段的人数分布如下表：
年龄 小于30 大于等于70
人数 5 10 25 35 15 10
(1)已知年龄在的女性党员有3人,现从该年龄段这10人中随机选择3人进行座谈,用X表示这3人中女性党员的人数,求X的分布列和数学期望;
(2)若用样本的频率近似代替概率,现从该市党员中随机抽取20名党员进行调查,用Y表示其中年龄在内的人数,求当取最大值时k的值.
20．在一个抽奖游戏中,主持人在编号分别为1,2,3的空箱（外观相同）中随机选择一个箱子放入奖品,并将箱子都关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是：1.抽奖人有两次选择箱子的机会.第一次在三个箱子中随机选择一个,在开箱之前,主持人只打开另外两个箱子中的一个空箱子（若此时两个箱子都是空的,则从中随机选取一个）,并给抽奖人第二次选择箱子的机会,然后,主持人按照抽奖人第二次的选择打开箱子.2.若奖品在打开的箱子里,则奖品由抽奖人获得;否则,抽奖人未获得奖品.3.游戏结束.已知抽奖人第一次选择了1号箱.
(1)求主持人打开的空箱子是3号箱的概率;
(2)若主持人打开的空箱子是3号箱,请问抽奖人是坚持选择1号箱,还是改选2号箱？请你给出建议,并说明理由.
21．山西某地打造旅游特色村,鼓励当地村民将自己闲置房改造成民宿出租,增加农民收入.为了解在旅游淡季民宿的出租情况,随机选取6间民宿进行调查,统计它们在淡季的100天里的出租情况,得到每间民宿租金x（单位：元/日）与其出租率y（出租天数）的对应关系表和散点图如下：
租金 88 128 188 288 388 488
出租率 0.9 0.7 0.5 0.3 0.2 0.15
(1)请根据散点图判断,与哪个更适合此模型（不用证明）,并根据下表数据（表中）,求其相应的经验回归方程（保留小数点后一位）.
261.3 0.46 5.4 121437.86 1.97 -221.19 -1.04
(2)已知该地一年旅游淡季按100天计算,在此期间,民宿无论是否出租,每天都要支出租金x的的费用.若民宿出租,则每天需要再支付租金x的的开支.请用（1）中结论的模型,计算租金x为多少元时,该民宿在这100天内的收益W最大.
附：;对于一组数据,,,其经验回归方程为.
参考答案
1．答案：A
解析：第一个图点的分布比较集中,且y随x的增加,而增加,是正相关.
第二个图点的分布比较分散,不相关.
第三个图点的分布比较集中,且y随x的增加,而减少,是负相关.
故选：A.
2．答案：B
解析：因为离散型随机变量,
所以.
故选：B.
3．答案：D
解析：由题设,5名同学可分5步完成,任何一个同学有3种选择方法,故他们不同的选法数为：,
故选：D.
4．答案：A
解析：对于A,等高堆积条形图可以直观反映两个分类变量之间是否具有关联性,A正确;
对于B,用独立性检验推断的结论可靠,会犯随机性错误;B错误;
对于C,残差平方和越小,则相应模型的拟合效果越好,C错误;
对于D,决定系数越大,则相应模型的拟合效果越好,D错误.
故选：A
5．答案：B
解析：依题意,排前排2人有种方法,排后排4人有种方法,
由分步乘法计数原理得不同排法种数是.
故选：B.
6．答案：C
解析：依题意,,而,则;
,同理,
,
因此.
故选：C.
7．答案：D
解析：
8．答案：D
解析：根据的展开式通项,,
当与配对时,,故的系数为,
当与配对时,,故的系数为,
所以,故;
故令,则各项的系数和为.
故选：D.
9．答案：AB
解析：对于A,经验回归方程只适用于所研究的样本的总体,A正确;
对于B,经验回归方程适用于有相关关系的两个变量,两者的变化可能会随时间的推移,
互相影响的情况不同,因此经验回归方程一般都有时效性,B正确;
对于C,解释变量的取值范围会影响经验回归方程的适用范围,
解释变量的取值离样本数据的范围越远,经验回归方程的预报效果越差,C错误;
对于D,经验回归方程得到的是响应变量的预报值,不是响应变量的精确值,D错误;
故选：AB.
10．答案：BC
解析：依题意,,,,
对于A,,A错误;
对于B,,B正确;
对于C,,C正确;
对于D,,D错误.
故选：BC.
11．答案：AC
解析：根据题意,男生成绩X服从正态分布,其均值,标准差,
女生成绩Y服从正态分布,其均值,标准差,
对于A,因为,所以和X的分布密度曲线相比Y的分布密度曲线更“瘦高”,故A正确;
对于B,,,
所以,
又因为,
则有,
即成绩低于74分的男生人数在全体男生中的比例大于成绩低于74分的女生人数在全体女生中的比例,故B错误;
对于C,因为,所以,
因为,所以,
根据正态分布性质,,
所以,
故成绩高于80分的男生人数在全体男生中的比例等于成绩高于80分的女生人数在全体女生中的比例,故C正确;
对于D,因为,,
所以,
因为,,
所以,
根据正态分布性质,,
故,故D错误,
故选：AC.
12．答案：BCD
解析：对于A,当时,得,所以A错误,
对于B,因为,
所以,
所以其展开式的通项公式为,
当时,,所以B正确,
对于C,,
令,则,
令,则,
所以两式相减化简得,所以C正确,
对于D,由,
得,
令,得,
所以,所以D正确,
故选：BCD.
13．答案：4
解析：,故或（舍去）,
故答案为：4
14．答案：-3
解析：由,,得,,
则,所以.
故答案为：-3.
15．答案：75
解析：依题意,元件1、元件2、元件3使用寿命超过1000小时的概率均为,
一台这样的电器使用寿命超过1000小时,是元件1使用寿命超过1000小时,
并且元件2、元件3至少一个使用寿命超过1000小时,
因此一台这样的电器使用寿命超过1000小时的概率为,
显然200台这样的电器,使用寿命超过1000小时的台数,,
所以200台这样的电器,估计这批电器使用寿命超过1000小时的台数为75.
故答案为：75.
16．答案：60
解析：设六人中确定甲跑第1棒或第4棒,乙、丙只能跑第2,3棒,丁不能跑第4棒,
当甲排第4棒时,乙、丙均不参与,则丁及其他两人必参加,有种;
乙、丙都参与有,在其他3人任选1人安排在第1棒有,则种;
乙、丙有一人参与且在第2、3棒任选一棒有,最后在3人任选2人安排余下的两棒有,则种;
当甲排第1棒时,乙、丙均不参与,则丁及其它两人必参加,有种;
乙、丙都参与,则丁必不能参与,有种;
乙、丙有一人参与且在第2、3棒任选一棒有,则第4棒在除丁外其他两人选一个有,余下一棒在余下可参与的两人任选一个有,则种;
综上,合适的选择方法种数为种.
故答案为：60.
17．答案：常数项是240,的系数是-160.
解析：二项式展开式的通项公式,,
由,得,,
由,得,,
所以展开式中常数项是240,的系数是.
18．答案：（1）见解析
（2）认为新方法的实验效率比原方法高,即新方法跟实验效率有关
解析：（1）先把数据从小到大排序7,8,8,9,9,9,9,10,10,10,11,11,12,12,12,13,13,14,14,14,14,16,16,16,1717,18,18,18,18,19,19,19,20,21,21,21,22,22中位数,
然后找数据把表格填写完毕.
实验方法 实验时间 合计
大于m 不大于m
原方法 14 6 20
新方法 5 15 20
合计 19 21 40
（2）零假设：新方法的实验效率不比原方法高,即新方法跟实验效率无关.
根据列联表得,
根据小概率值的独立性检验,可推断不成立,即认为新方法的实验效率比原方法高,即新方法跟实验效率有关.
19．答案：（1）分布列见解析,
（2）7
解析：（1）由题意得X服从超几何分布,其中,,
所以,,
,,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以;
（2）由题意可得从该市党员中随机抽取1名党员,其年龄在的概率为,
则,即,
所以,
令,得,
令,得,
所以,
因为,所以当时,最大.
20．答案：（1）
（2）建议抽奖人改选2号箱,理由见解析
解析：（1）设 “奖品在第号箱子里” ,“主持人打开3号箱”,
由全概率公式,得
;
（2）因为,
,
所以,
即建议抽奖人改选2号箱.
21．答案：（1）选,;
（2）181元.
解析：（1）由散点图知,应选更合适.
由,得,则,
,
所以.
（2）依题意,
,求导得,
令,得,解得,
当时,,W随着x的增大而增大,当时,,W随着x的增大而减小,
所以当元时,民宿在这100天内的收益W最大.