四川省雅安市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（含解析）

四川省雅安市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．根据物理中的胡克定律,弹簧伸长的长度与所受的外力成正比.测得一根弹簧伸长长度x和相应所受外力F的一组数据如下：
编号 1 2 3 4 5 6
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
3.08 3.76 4.31 5.02 5.51 6.25
据此给出以下结论：
①这两变量不相关;
②这两个变量负相关;
③这两个变量正相关.
其中所有正确结论的个数是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
2．已知,,则( )
A. B. C. D.
3．一名同学有4本不同的数学书,5本不同的物理书,3本不同的化学书,现要将这些书全部放在一个单层的书架上,且同科目的书不分开,则不同的放法种数为( )
A. B. C. D.
4．某种生态鱼在某个池塘一年的生长量X（单位：克）服从正态分布,则概率为( )
参考数据：①;
②;
③
A.0.8186 B.0.84 C.0.8785 D.0.9759
5．已知函数,有大于-1的极值点,则a的取值范围为( )
A. B. C. D.
6．的展开式中,各项系数和与含项的系数分别是( )
A.4092,495 B.8188,220 C.4092,220 D.8188,495
7．已知函数的最大值为a,令,,则a,b,c的大小关系是( )
A. B. C. D.
8．一个直四棱柱的底面为梯形,这个四棱柱的每两个顶点相连形成多条直线,这些直线最多能组成_______对异面直线( )
A.174 B.180 C.210 D.368
二、多项选择题
9．下列有关样本相关系数r,叙述正确的是( )
A.r的取值范围是
B.r的取值范围是
C.越接近1,表示两变量的线性相关程度越强
D.越接近0,表示两变量的线性相关程度越强
10．在一个大型公司中,技术部门员工占,非技术部门员工占.在技术部门中,有的员工持有硕士学位,而在非技术部门中,只有的员工持有硕士学位.现从该公司随机抽取一名员工.则下列结论正确的是( )
A.抽到的员工是技术部门且持有硕士学位的概率为
B.抽到的员工持有硕士学位的概率为
C.若抽到的员工持有硕士学位,则该员工是技术部门的概率为
D.若抽到的员工持有硕士学位,则该员工是非技术部门的概率为
11．对于可以求导的函数,如果它的导函数也是可导函数,那么将的导函数记为.如果有零点,则称其为的“驻点”;如果有零点,则称点为的“拐点”.某同学对三次函数和进行探究发现,得到如下命题,其中真命题为：( )
A.在“驻点”处取得最值
B.一定有“拐点”,但不一定有“驻点”
C.若有3个零点,则
D.存在实数m,,使得对于任意不相等的两实数,都有
三、填空题
12．已知x,y之间的一组数据：
x 1 4 9 16
y 5.5 4 3.5 3
若y与x满足回归方程,则b的值为_____________.
13．第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行,某高校欲从4名男生、5名女生中选派5名大学生到奥运会的3个项目当志愿者（每个项目必须有志愿者）,则志愿者中至少有4名女生的分配方法共有______________种（用数作答）.
14．已知函数则关于x的方程根的个数为___________.
四、解答题
15．已知的展开式中所有的二项式系数之和为64.
（1）求n的值;
（2）求该展开式的常数项.
16．设,,,两个函数的图象如下图所示.
(1)过点作的切线l,求l的方程;
(2)判断,的图象与,之间的对应关系,根据这些关系,写出一个不等式,并证明.
17．竹编是某地的地方特色,某地区相关部门对该地居民在过去两年内学习竹编次数进行了详尽统计,然后随机抽取了80名居民的学习数据,现将整理后的结果呈现如下表：
学习竹编次数 0 1 2 3 4 5 6 合计
男 1 3 5 7 9 9 6 40
女 5 6 7 7 6 5 4 40
合计 6 9 12 14 15 14 10 80
(1)若将这两年学习竹编的次数为3次及3次以上的,称为学习竹编“先锋”,其余的称为学习竹编“后起之秀”.请完成以下2×2列联表,并依据小概率值的独立性检验,能否认为性别因素与学习竹编有关系;
性别 学习竹编 合计
后起之秀 先锋
男生
女生
合计
(2)若将这两年内学习竹编6次的居民称为竹编“爱好者”,为进一步优化竹编技术,在样本的“爱好者”中,随机抽取3人进行访谈,设抽取的3人中男性人数为Y,求Y的分布列和数学期望.
附：,
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
18．随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量.某研究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息.在软件测试阶段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8；若数据集质量低，则分析准确的概率为0.3.已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1.
（1）求一次数据能被软件准确分析的概率；
（2）在连续次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立.设软件准确分析的数据集个数为X.
①求X的方差；
②当n为何值时，的值最大
19．已知函数,记.
(1)判断的单调性;
(2)若存在极值点,且,
①求a的取值范围;
②求证：.
参考答案
1．答案：C
解析：画出弹簧伸长长度x和相应所受外力F的散点图,
可以判断这两变量相关,且为正相关,故①②错误,③正确.
故选：C.
2．答案：C
解析：因为,
所以.
故选:C.
3．答案：D
解析：将同科目的书视为一个整体,排列3个科目的书有种方法,
再分别排列同科目的书,分别有,,种方法,
所以不同的放法种数为.
故选：D.
4．答案：B
解析：因为,则,,
所以.
故选：B.
5．答案：D
解析：因为的定义域为R,且,
令,可得,
构建,
由题意可知：与在有交点,
则对任意内恒成立,
可知在内单调递增,则,
可得,即,
所以a的取值范围为.
故选：D.
6．答案：A
解析：令,则,
所以各项系数和为4092,
含项的系数为
……
.
故选：A.
7．答案：A
解析：由,当时,,当时,,
即函数在上单调递增,在上单调递减,则当时,,
令函数,求导得,函数在上单调递增,
则,于是,即,因此,
由,得,
所以a,b,c的大小关系是.
故选：A.
8．答案：B
解析：每对异面直线,需4个顶点并且这4个顶点不共面,而不共面的4个点顺次连接构造一个四面体,
一个四面体的3组相对棱都是异面直线,底面是梯形的直四棱柱有8个顶点,
从8个顶点中任取4个有种方法,其中6个表面四边形4个顶点共面,
对角面,,,都是平面四边形,4个顶点共面,
因此从底面是梯形的直四棱柱的8个顶点中任取4个顶点,构成四面体的个数最多有,
所以最多能组成异面直线对数是.
故选：B.
9．答案：AC
解析：对于AB,样本相关系数r的取值范围是,A正确,B错误;
对于CD,越大,越接近于1,两变量的线性相关程度越强,
越小,越接近于0,两变量的线性相关程度越弱,C正确,D错误.
故选：AC.
10．答案：AD
解析：用,分别表示抽到的技术部门员工 非技术部门员工,用B表示抽到的员工持有硕士学位,
依题意,,,,
对于A,,A正确;
对于B,,B错误;
对于C,,C错误;
对于D,,D正确.
故选：AD.
11．答案：BC
解析：对于A,由,得,
由,得或,所以和是的“驻点”,
当或时,,当时,,
所以在和,在上递减,
所以在“驻点”处没有取得最值,所以A错误,
对于B,由,得,
由,方程不一定有根,所以不一定有“驻点”,
由,得,所以一定有“拐点”,所以B正确,
对于C,由,得,由选项A可知在和,在上递减,
所以的极大值为,极小值为,
所以的大致图象如图,
由图可知当时,与的图象有3个不同的交点,
所以有3个零点,则,所以C正确,
对于D,若,则在上单调递增,
所以不存在实数m,,使得对于任意不相等的两实数,都有,所以D错误,
故选：BC.
12．答案：
解析：依题意,的平均数为,
y的平均数为,
所以此曲线必过点,代入方程得,
解得.
故答案为：.
13．答案：
解析：根据题意,选派的5人中,志愿者中至少有4名女生,可分为为两类：
当4女1男时,有种,当5女时,有种,共有种选法,
再把选出的5人分成3组,可分为或的两组,有种,
共有种不同的分配方法.
故答案为：.
14．答案：31
解析：根据题意,
时,,
时,,
所以,
画出函数和的图象,
可知,时,两函数图象有一个交点,
,,,,时,
两函数图象各有两个交点,
且,得,而,
根据的周期性,最后一个交点所在区间为,
所以两函数图象交点个数为,个,
则关于x的方程根的个数为31.
故答案为：31.
15．答案：（1）6;
（2）60.
解析：（1）由的展开式中所有的二项式系数之和为64,得,所以.
（2）由（1）知,展开式的通项公式为,,,
由,得,,
所以展开式的常数项为.
16．答案：(1)
(2)①;②;③,证明见解析
解析：(1)因为,,所以,.
设切点为,则,
代入得,,解得,
所以.
(2)当时,;当时,;当时,.
所以,,在上都是增函数.在区间上,的图象比的图象要“陡峭”;
在区间上,的图象比的图象要“平缓”.
所以,,的图象依次是图中的,,
如图,根据函数图象和第（1）题的切线方程,可以写出以下几个不等式:
①;②;③;
下面证明①.
设,则
当时,,所以为减函数,
当时,,所以为增函数,
所以,即,命题得证.
下面证明②;
,
,
当时,,所以为增函数,
当时,,所以为减函数,
所以,即,命题得证.
下面证明③.
即证,
而恒成立,
所以得证.
17．答案：(1)据小概率值的独立性检验,能认为性别因素与学习竹编有关系;
(2)分布列见解析,数学期望为1.8.
解析：(1)根据统计表格数据可得列联表如下：
性别 学习竹编 合计
后起之秀 先锋
男生 9 31 40
女生 18 22 40
合计 27 53 80
零假设为：性别与学习竹编情况独立,即性别因素与学习竹编无关,
根据列联表的数据计算得,
根据小概率值的独立性检验,推断不成立,
即该地区性别因素与学习竹编有关系,此推断犯错误的概率不超过0.1.
(2)样本中“爱好者”共10名,其中6名男生,4名女生,
则的所有可能取值为0,1,2,3,
,,
,,
所以所求分布列为：
Y 0 1 2 3
P
数学期望.
18．答案：（1）；
（2）①；②
解析：（1）记“输入的数据集质量高”为事件A，“一次数据能被软件准确分析”为事件B，由题意可知：，，，则，所以.
所以一次数据能被软件准确分析的概率0.75.
（2）由（1）可知：，
①依题意，，所以X的方差；
②可知，
令，则，
令，解得，可知当，可得；
令，解得，可知当，可得；
于是
所以当时，最大，即时，的值最大.
19．答案：(1)答案见解析;
(2)①;②证明见解析.
解析：(1)由题知,即,则,为增函数,
当时,,在为增函数,
当时,函数的零点,
在区间上,,则为减函数,
在区间上,,则为增函数.
(2),
当时,在区间为增函数,
所以,为区间上的增函数,不符合题意.
当时,在区间为减函数,在区间为增函数,
所以,
当时,,此时,增函数,无极值点,不合题意,舍去.
当时,
令,,
当时,,为减函数,
当时,,为增函数,
所以,故,
若,
由且在区间为增函数,则在为增函数,
所以,故在无零点,即无正数极值点.
若,
由得,又且,
所以存在,使得,
当,,为减函数,当,,为增函数,
所以是极小值点,即存在正数极值点.
综上所述,a的取值范围是.
②由（1）知,,则,其中,
,
令,,
于是时,,单调递增,时,,单调递减,
故在处取得最大值,故,所以,
所以,.