河北省张家口市第一中学2023-2024学年高二下学期开学检测数学试卷（含解析）

张家口市第一中学2023-2024学年高二下学期开学检测数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．若复数z满足，则其共轭复数的模为( )
A.1 B. C. D.
2．设a，b是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A.若，，，则 B.若，，则且
C.若，，，则 D.若，，，则
3．等腰梯形ABCD中，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4．甲 乙两组数据的频率分布直方图如图所示，两组数据采用相同的分组方法，用和分别表示甲 乙的平均数，，分别表示甲 乙的方差，则( )
A.， B.， C.， D.，
5．在中，若，则的形状是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
6．已知，函数在区间上单调递减，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7．已知三棱锥中，底面ABC，，，且该三棱锥所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为( )
A. B. C. D.
8．已知在锐角三角形中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c,若，则的取值范围是( )
A． B. C. D.
二、多项选择题
9．已知A，B是随机事件，则下列结论正确的是( )
A.若A，B是互斥事件，则
B.若事件A，B相互独立，则
C.若A，B是对立事件，则A，B是互斥事件
D.事件A，B至少有一个发生的概率不小于A，B恰好有一个发生的概率( )
10．在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个选项中正确的是
A.若，则
B.若，，，则有两个解
C.若，则为钝角三角形
D.若，则一定为等腰三角形
11．关于函数，下列说法正确的有( )
A.的最小正周期为
B.
C.在上单调递增
D.若在区间上的最小值为1，最大值为2，则实数t的取值范围为
12．.已知正方体的各棱长均为2，下列结论正确的是( )
A.该正方体外接球的直径为
B.该正方体内切球的表面积为
C.若球O与正方体的各棱相切，则该球的半径为
D.该正方体外接球的体积为
三、填空题
13．中，点M为AC上的点，且，若，则的值是________.
14．.函数的值域为________.
15．函数零点的个数为________.
16．已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的底边长为a，高为h，球的体积为，则这个正四棱柱的侧面积的最大值为________.
四、解答题
17．已知复数z使得，，其中i是虚数单位.
（1）求复数z的共轭复数；
（2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.
18．
（I）求的单调区间；
（II）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求面积的最大值.
19．如图，在四棱锥中，底面，，点E在线段上，且.
（1）求证：平面；
（2）若，，，，求四棱锥的体积
20．从①，②，
③这三个条件中任选一个，补充在下面的已知中，并解答.
已知：的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且__________.
（1）求角C；
（2）求的取值范围.
21．某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在，，，，，单位：克中，经统计得频率分布直方图如图所示.
（1）经计算估计这组数据的中位数；
（2）现按分层抽样从质量为，的芒果中随机抽取6个，再从这6个中随机抽取3个，求这3个芒果中恰有1个在内的概率.
（3）某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出如下两种收购方案：
A：所有芒果以10元千克收购；
B：对质量低于250克的芒果以2元个收购，高于或等于250克的以3元个收购.
通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？
22．如图，在平行四边形中，，.E为线段的中点，将沿直线翻折成，使平面平面，F为线段的中点.
（1）求证：平面；
（2）设M为线段的中点，求直线与平面所成角的余弦值.
参考答案
1．答案：A
解析：，，，
2．答案：A
解析：在A中，若，，则，又，因此，故A正确；
在B中，若，，则有可能且，有可能或，故B错误；
在C中，若，，，则或a，b相交或a，b异面，故C错误；
在D中，若，，则，又，则或，故D错误
3．答案：C
解析：由可知，且，过点D作，垂足为E，则，所以向量在向量上的投影向量为.故答案为C.
4．答案：B
解析：平均数是每个矩形的底边中点的横坐标乘以本组频率（对应矩形面积）再相加，因为两组数据采取相同分组且面积相同，故，由图观察可知，甲的数据更分散，所以甲方差大，即
5．答案：D
解析：，所以或0(即).由正弦定理，所以，的所以或，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，故选D.
6．答案：A
解析：时，由，得，
而函数在区间，上单调递减，
则,，解得的取值范围是，，
又，取，得，故选A.
7．答案：B
解析：由题意，将三棱锥扩充为长方体，长方体的对角线为外接球的直径，，半径为，球O的表面积为，故选B.
8．答案：C
解析：由可得，得
是锐角三角形，，即.，，那么：
则，故选：C
9．答案：CD
解析：对于A，若A，B是互斥事件，则；
对于B，若事件A，B相互独立，则；
对于C，根据对立事件的定义，若A，B是对立事件，则A，B是互斥事件，正确；
对于D，A、B可能的发生共有只有A发生、只有B发生、AB都发生、AB都不发生四种情况，A、B至少有一个发生包括：只有A发生、只有B发生、AB同时发生三种情况，故其概率是75%；而恰有一个发生很明显包括只有A发生或只有B发生两种情况，故其概率是50%，事件A，B至少有一个发生的概率不小于A，B恰好有一个发生的概率，正确.故选CD.
10．答案：AC
解析：由正弦定理得，因为，所以，故A项正确；
对于选项B，由正弦定理得，所以，因为，所以，所以B为锐角，所以只有一个解，故B项错误；
对于选项C，由得，所以，整理得，因为A为三角形内角，所以，所以，所以B为钝角，故为钝角三角形，故C项正确；
对于选项D，若，则，即，所以或，三角形为等腰三角形或直角三角形，所以D项错误.故选AC.
11．答案：BC
解析：，其图象可看作是函数的图象保留x轴上方的部分并将x轴下方的图象沿x轴翻折而得到的.
由的最小正周期为，可知最小正周期为，所以A错误；
，所以B正确；
当时，，单调递减，且，所以在上单调递增，所以C正确；，若的最大值为2，则，且，解得，所以D错误.故选BC.
12．答案：ABC
解析：若正方体的棱长为2，则：①若球为正方体的外接球，则外接球直径等于正方体体对角线，即，故A正确，外接球体积为，故D错误；
②若球为正方体的内切球，则内切球半径为棱长的一半，故，
球的表面积为，故B正确；
③若球与正方体的各棱相切，则球的直径等于正方形对角线长，
即，球的半径为，故C正确.
13．答案：
解析：因为，所以，
若，则，，.
14．答案：
解析：，设，则，
故，
，即的值域为.
故答案为.
15．答案：4
解析：在同一直角坐标系中画出函数，的图象，如图所示：
函数的零点，即方程的实数根，
，，
结合图可知当时，函数和的图象的交点个数为4，
即的零点有4个.
故答案为4.
16．答案：
解析：设球的半径为R，则，解得
所以，即
所以，侧面积，即侧面积的最大值为.
17．答案：（1）；
（2）
解析：（1）设，则，
，，又，
，
综上，有
（2）m为实数，且
由题意得，解得故，实数m的取值范围是
18．答案：（I）的单调递增区间是；单调递减区间是；
（II）
解析：（I）由题意知：.
由，，可得，；
由，，可得，.
所以的单调递增区间是；单调递减区间是.
（II）由，得，由题意知角A为锐角，所以.
由余弦定理，可得，即，当且仅当时等号成立.因此，所以面积的最大值为.
19．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）因为底面，平面，所以.因为，，所以.又，所以平面.
（2）由（1）可知，在中，，
，因为，则.又，，
所以四边形为矩形，四边形为梯形.因为，所以，
，
，于是四棱锥的体积为.
20．答案：（1）；
（2）
解析：选：（1）利用正弦定理，可得，
，
得.，.
，
（2），
，，
的取值范围为.
21．答案：（1）268.75；
（2）；
（3）B方案获利更多，应选B方案
解析：（1）的频率为，
的频率为，
该样本的中位数为：.
（2）抽取的6个芒果中，质量在和内的分别有4个和2个.
设质量在内的4个芒果分别为A，B，C，D，质量在内的2个芒果分别为a，b.从这6个芒果中选出3个的情况共有20种，分别为：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共计20种，
其中恰有一个在内的情况有：
，，，，，，，，，，，，共计12种，
这3个芒果中恰有1个在内的概率为.
（3）方案A：
元，
方案B：低于250克：元，
高于或等于250克：元，
总计元，
由，故B方案获利更多，应选B方案.
22．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）证明：如图所示，取的中点G，连接，，
由条件易知，，，，所以，，
故四边形为平行四边形，所以.
因为平面，平面，所以平面.
（2）在平行四边形中，设，则，.
连接，因为，在中，可得.
在中，可得.在中，因为，所以.
在正三角形中，M为的中点，所以.
由平面平面，可知平面，所以.
取的中点N，连接，，则.则，.
因为交于点M，所以平面，
则为直线与平面所成的角.
在中，，，，则，
所以直线与平面所成角的余弦值为.