广东省湛江市第一中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高一下·湛江开学考）（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量减法运算
【解析】【解答】解：根据向量减法运算，，
故，A错误；，B错误；
，C正确；，D错误.
故选：C
【分析】因为，再结合选项及向量加减运算的基本性质依次分析即可.
2．（2024高一下·湛江开学考）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法；简单函数定义域
【解析】【解答】若使得函数表达式有意义，必有，解得，
所以函数的定义域为.
故选：C
【分析】由根式、分式基本存在意义性质求定义域x的具体范围.
3．（2024高一下·湛江开学考）要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】
，
，
要得到函数 图象，
只需将函数 的图象向左平移 个单位长度，故答案为：C.
【分析】化简 ,利用三角函数图象的平移变换法则可得结果.
4．（2024高一下·湛江开学考）已知锐角满足，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】∵，∴，
即，
又∵为锐角，∴，
∴，
即，∴.
故答案为：A
【分析】根据余弦的倍角公式，化简得到，进而得到，集合为锐角，即可求解.
5．（2024高一下·湛江开学考）函数的部分图像大致为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】函数的图象；抽象函数及其应用
【解析】【解答】因为，所以函数为奇函数，排除B，D，
又，
故选A
【分析】由解析式可知，函数为奇函数，因而排除B、D，再由特殊值代入可得，即可选出正确选项．
6．（2024高一下·湛江开学考）在平行四边形中，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】向量加减法的应用；平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】
，，
.
故选：C.
【分析】以为基底表示出，根据向量数量积的定义和运算律利用题目中的已知条件可求得结果.
7．（2024高一下·湛江开学考）已知函数 ，若函数 有且仅有两个零点，则实数 的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的零点
【解析】【解答】由 ，
由函数 和 的图象可知函数 的增区间为 ，减区间为 ，
又由 ，
若函数 有且仅有两个零点，必有 ，
则实数 的取值范围为 ；
故答案为：B.
【分析】将函数整理成分段函数形式，再根据性质法判断单调性与最值，函数有且仅有两个零点，则最小值小于0，解不等式即可得出答案。
8．（2024高一下·湛江开学考）一半径为2m的水轮，水轮圆心O距离水面1m；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．如图所示，建立直角坐标系，将点P距离水面的高度h（单位：m）表示为时间t（单位：s）的函数，记，则（ ）
A．0 B．1 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由题意设，则，，则，
当时，，取，
故，，，
故选：C
【分析】设，由三角函数的性质及图中的几何信息求解的具体表示，再代入题中所求特殊值计算即可．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2024高一下·湛江开学考）下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】对数的概念与表示；指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】对于A，，故A错误；
对于B，根据换底公式正确，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：BC.
【分析】根据对数运算法则可判断ACD 正误，利用换底公式、对数恒等式判断B正误
10．（2024高一下·湛江开学考）已知向量，下列结论正确的是（ ）
A．与能作为一组基底
B．与同向的单位向量的坐标为
C．与的夹角的正弦值为
D．若满足，则
【答案】A,C,D
【知识点】向量的模；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；平面向量的综合题；平面向量夹角的坐标表示
【解析】【解答】对于A，因为，所以不存在实数使得，
所以与能作为一组基底，故A正确；
对于B，因为，
所以，
所以与同向的单位向量的坐标为，故B错误；
对于C，因为，
所以与的夹角的正弦值为，故C正确；
对于D，因为，
所以，解得，故D正确．
故选：ACD．
【分析】对于A因为，所以不存在实数使得，两个不共线的向量可以作为平面的一组基底；对于B与向量同向的单位向量为，与同向的单位向量的坐标为；对于C可以用夹角公式先求夹角的余弦，
，再用平方关系求正弦；对于D代模长公式计算即可
11．（2024高一下·湛江开学考）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 为偶函数
B．函数 的值域为
C．当 时，函数 的图像关于直线 对称
D．函数 的增区间为
【答案】A,D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】对于A，由 ，可知函数 为偶函数，所以A符合题意，
对于B，不妨设 ，此时 ，由 （当且仅当 时取“=”），有 ，可得 ，可知函数 的值域为 ，所以B不符合题意，
对于C，由 ，
，可知当 时，函数 的图像不关于直线 对称，所以C不符合题意，
对于D， ，由函数 的增区间为 ，减区间为 ，可知函数 的增区间为 ，所以D符合题意，
故答案为：AD
【分析】 根据题意直接利用函数的关系式的变换和换元法的应用，函数的奇偶性和单调性的应用，基本不等式的应用，对选项逐一判断即可得出答案。
12．（2024高一下·湛江开学考）设函数 ，已知 在 内有且仅有2个零点，则下列结论成立的有（ ）
A．函数 在 内没有零点
B． 在 内有且仅有1个零点
C． 在 上单调递增
D． 的取值范围是
【答案】B,C,D
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；函数的零点
【解析】【解答】如图，由函数 的草图可知A选项不正确，B选项正确；
若函数 在 有且有2个零点，则 ，得 ，当 时，
，此时函数单调递增，CD符合题意.
故答案为：BCD
【分析】 首先利用图象直接判断A选项；再利用函数f(3)在[0.2元]有且仅有5个零点，结合零点的定义即可求得的范围，并利用整体代入的方法判断出选项B；再利用图象的变换规律，求得变换之后的解析式，由此判断出选项D，从而得出答案。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2024高一下·湛江开学考）已知向量，，若，则的值为 ．
【答案】
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：因为向量，，且，
所以，
解得，
故答案为：
【分析】利用平面向量共线定理列出x相关等式，求解x的值.
14．（2024高一下·湛江开学考）已知，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；抽象函数及其应用；基本不等式
【解析】【解答】因为，则.
因为，则，
所以
当且仅当，即时等号成立.
的最小值为.
故答案为：.
【分析】先根据，，利用1的代换，将函数解析式构造为；再根据基本不等式的性质将原式拆分化简，利用基本不等式及已知x的范围，即可求解最小值.
15．（2024高一下·湛江开学考）某地为了更好地开发当地的旅游资源，决定在两座山头建一条索道，现测得两座山高分别为米，米．从山脚下的处测得处的仰角为，处的仰角为，，点，，在同一水平面内，，，则两座山的山顶，之间的距离是 米．（参考数据：，）
【答案】
【知识点】正弦定理；余弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】在中，，所以米，
在中，米，
在中，
，则米．
故答案为：
【分析】在直角三角形中根据正余弦定理及已知条件，求出、，再由余弦定理计算可得.
16．（2024高一下·湛江开学考）已知函数，若函数有四个不同的零点（其中），则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数的值域；函数的图象；抽象函数及其应用
【解析】【解答】作出函数的图象，如图所示，
由函数有四个不同的零点
结合图形可知，且，．
因为，可得，所以，可得，
又因为，是方程的两实数根，可得，，
因为，
又因为，可得，所以．
故答案为：.
【分析】根据不同取值范围的x，作出函数的图象，根据题意结合图形有四个交点，得到，由，求得，再由，是方程的两实数根，求得，，进而化简得到，根据求得的a的取值范围，可递推得到，即可求解.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（2024高一下·湛江开学考）已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）因为，所以，
所以，
（2）
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式
【解析】【分析】（1）由已知条件和同角三角函数求得，再运用正弦、余弦的二倍角公式代入具体数值可得答案；
（2）根据（1）的结论和正弦的和角公式代入具体数值可求得答案.
18．（2024高一下·湛江开学考）已知向量.
（1）若，求的值；
（2）若，向量与的夹角为锐角，求的取值范围.
【答案】（1）因为，所以，
，
又，所以，
即，解得
（2）因为，所以.
因为向量与的夹角为锐角，
所以且与不共线，
所以，解得且，
即的取值范围是.
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【分析】（1）先根据已知条件及相关数值求出和的坐标，再由，得，从而可求出的值；
（2）由与的夹角为锐角，可得且与不共线，从而列出相关不等式组，可求出的取值范围.
19．（2024高一下·湛江开学考）设函数.
（1）求的图象的对称轴方程和对称中心的坐标；
（2）求在上的最值.
【答案】（1）因为，
令，解得，
所以的对称轴方程为，
令，得，
可得函数图象的对称中心的坐标为
（2），.
因为，所以，
令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，，，故.
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；余弦函数的图象；余弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再利用三角函数的对称轴及对称中心性质求得答案；
（2）利用三角函数的单调性性质，结合题目中已知范围缩小范围求出最值．
20．（2024高一下·湛江开学考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求C；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）解：由余弦定理得，
因为，可得，
又由正弦定理得，
即，可得，又因为，可得.
（2）解：由（1）知，由余弦定理知，
将，代入化简得，解出或（舍去），
所以的面积．
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由余弦定理得到，再由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，由C的取值范围，即可求解；
（2）由（1）可知及，利用余弦定理，列出方程求得的值为4，结合三角形的面积公式，即可求解.
21．（2024高一下·湛江开学考）已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求a的值，并判断的单调性；
（2）已知，且，不等式恒成立，求m的范围.
【答案】（1），在上是减函数；（2）.
（1）因为在是奇函数，所以，令，则
即，所以. 因为，
且是上的增函数，，故在上是减函数.
（2）由（1）知，，且在是奇函数，得
从而不等式：，等价于，
因为在上是减函数，所以，
当时，上式等价于，∴.
当时，上式等价于，∴.又，∴.
综上知.
【知识点】复合函数的单调性；函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】（1）由在是奇函数，得，，求出，所以，由指数函数的基本性质进而得的单调性，因为，且是上的增函数，，故在上是减函数.
（2）由（1）知，，，得不等式等价于，再利用在上是减函数，得到，按和解出m的范围即可.
22．（2024高一下·湛江开学考）已知函数．
（1）求函数的值域；
（2）已知a为实数，函数的最大值为，求．
【答案】（1）解：由，
，
∵
∴，
∴，
∵恒大于0，
∴的值域为；
（2）解：，
令，则，即，
则．
①当时，在上单调递增，；
②当时，开口向上，对称轴为，
在上单调递增，；
③当a<0时，当，即时，在上单调递减，
故，
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
故，
当，即时，在上单调递增，
故.
综上所述：.
【知识点】函数的值域；二次函数的性质
【解析】【分析】(1)易得函数的定义域为[-1，1]，利用完全平方和公式变形可得 ，再由直接法求其值域，即可得函数的值域；
(2)采用换元法， 令， 则，结合二次函数的对称轴与单调性，分类讨论，即可求解出 的值.
1 / 1广东省湛江市第一中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高一下·湛江开学考）（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高一下·湛江开学考）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高一下·湛江开学考）要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
4．（2024高一下·湛江开学考）已知锐角满足，则（ ）
A． B． C．2 D．3
5．（2024高一下·湛江开学考）函数的部分图像大致为
A．
B．
C．
D．
6．（2024高一下·湛江开学考）在平行四边形中，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·湛江开学考）已知函数 ，若函数 有且仅有两个零点，则实数 的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
8．（2024高一下·湛江开学考）一半径为2m的水轮，水轮圆心O距离水面1m；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．如图所示，建立直角坐标系，将点P距离水面的高度h（单位：m）表示为时间t（单位：s）的函数，记，则（ ）
A．0 B．1 C．3 D．4
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2024高一下·湛江开学考）下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高一下·湛江开学考）已知向量，下列结论正确的是（ ）
A．与能作为一组基底
B．与同向的单位向量的坐标为
C．与的夹角的正弦值为
D．若满足，则
11．（2024高一下·湛江开学考）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 为偶函数
B．函数 的值域为
C．当 时，函数 的图像关于直线 对称
D．函数 的增区间为
12．（2024高一下·湛江开学考）设函数 ，已知 在 内有且仅有2个零点，则下列结论成立的有（ ）
A．函数 在 内没有零点
B． 在 内有且仅有1个零点
C． 在 上单调递增
D． 的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2024高一下·湛江开学考）已知向量，，若，则的值为 ．
14．（2024高一下·湛江开学考）已知，则的最小值为 .
15．（2024高一下·湛江开学考）某地为了更好地开发当地的旅游资源，决定在两座山头建一条索道，现测得两座山高分别为米，米．从山脚下的处测得处的仰角为，处的仰角为，，点，，在同一水平面内，，，则两座山的山顶，之间的距离是 米．（参考数据：，）
16．（2024高一下·湛江开学考）已知函数，若函数有四个不同的零点（其中），则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（2024高一下·湛江开学考）已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
18．（2024高一下·湛江开学考）已知向量.
（1）若，求的值；
（2）若，向量与的夹角为锐角，求的取值范围.
19．（2024高一下·湛江开学考）设函数.
（1）求的图象的对称轴方程和对称中心的坐标；
（2）求在上的最值.
20．（2024高一下·湛江开学考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求C；
（2）若，求的面积．
21．（2024高一下·湛江开学考）已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求a的值，并判断的单调性；
（2）已知，且，不等式恒成立，求m的范围.
22．（2024高一下·湛江开学考）已知函数．
（1）求函数的值域；
（2）已知a为实数，函数的最大值为，求．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平面向量减法运算
【解析】【解答】解：根据向量减法运算，，
故，A错误；，B错误；
，C正确；，D错误.
故选：C
【分析】因为，再结合选项及向量加减运算的基本性质依次分析即可.
2．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法；简单函数定义域
【解析】【解答】若使得函数表达式有意义，必有，解得，
所以函数的定义域为.
故选：C
【分析】由根式、分式基本存在意义性质求定义域x的具体范围.
3．【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】
，
，
要得到函数 图象，
只需将函数 的图象向左平移 个单位长度，故答案为：C.
【分析】化简 ,利用三角函数图象的平移变换法则可得结果.
4．【答案】A
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】∵，∴，
即，
又∵为锐角，∴，
∴，
即，∴.
故答案为：A
【分析】根据余弦的倍角公式，化简得到，进而得到，集合为锐角，即可求解.
5．【答案】A
【知识点】函数的图象；抽象函数及其应用
【解析】【解答】因为，所以函数为奇函数，排除B，D，
又，
故选A
【分析】由解析式可知，函数为奇函数，因而排除B、D，再由特殊值代入可得，即可选出正确选项．
6．【答案】C
【知识点】向量加减法的应用；平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】
，，
.
故选：C.
【分析】以为基底表示出，根据向量数量积的定义和运算律利用题目中的已知条件可求得结果.
7．【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的零点
【解析】【解答】由 ，
由函数 和 的图象可知函数 的增区间为 ，减区间为 ，
又由 ，
若函数 有且仅有两个零点，必有 ，
则实数 的取值范围为 ；
故答案为：B.
【分析】将函数整理成分段函数形式，再根据性质法判断单调性与最值，函数有且仅有两个零点，则最小值小于0，解不等式即可得出答案。
8．【答案】C
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由题意设，则，，则，
当时，，取，
故，，，
故选：C
【分析】设，由三角函数的性质及图中的几何信息求解的具体表示，再代入题中所求特殊值计算即可．
9．【答案】B,C
【知识点】对数的概念与表示；指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】对于A，，故A错误；
对于B，根据换底公式正确，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：BC.
【分析】根据对数运算法则可判断ACD 正误，利用换底公式、对数恒等式判断B正误
10．【答案】A,C,D
【知识点】向量的模；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；平面向量的综合题；平面向量夹角的坐标表示
【解析】【解答】对于A，因为，所以不存在实数使得，
所以与能作为一组基底，故A正确；
对于B，因为，
所以，
所以与同向的单位向量的坐标为，故B错误；
对于C，因为，
所以与的夹角的正弦值为，故C正确；
对于D，因为，
所以，解得，故D正确．
故选：ACD．
【分析】对于A因为，所以不存在实数使得，两个不共线的向量可以作为平面的一组基底；对于B与向量同向的单位向量为，与同向的单位向量的坐标为；对于C可以用夹角公式先求夹角的余弦，
，再用平方关系求正弦；对于D代模长公式计算即可
11．【答案】A,D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】对于A，由 ，可知函数 为偶函数，所以A符合题意，
对于B，不妨设 ，此时 ，由 （当且仅当 时取“=”），有 ，可得 ，可知函数 的值域为 ，所以B不符合题意，
对于C，由 ，
，可知当 时，函数 的图像不关于直线 对称，所以C不符合题意，
对于D， ，由函数 的增区间为 ，减区间为 ，可知函数 的增区间为 ，所以D符合题意，
故答案为：AD
【分析】 根据题意直接利用函数的关系式的变换和换元法的应用，函数的奇偶性和单调性的应用，基本不等式的应用，对选项逐一判断即可得出答案。
12．【答案】B,C,D
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；函数的零点
【解析】【解答】如图，由函数 的草图可知A选项不正确，B选项正确；
若函数 在 有且有2个零点，则 ，得 ，当 时，
，此时函数单调递增，CD符合题意.
故答案为：BCD
【分析】 首先利用图象直接判断A选项；再利用函数f(3)在[0.2元]有且仅有5个零点，结合零点的定义即可求得的范围，并利用整体代入的方法判断出选项B；再利用图象的变换规律，求得变换之后的解析式，由此判断出选项D，从而得出答案。
13．【答案】
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：因为向量，，且，
所以，
解得，
故答案为：
【分析】利用平面向量共线定理列出x相关等式，求解x的值.
14．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；抽象函数及其应用；基本不等式
【解析】【解答】因为，则.
因为，则，
所以
当且仅当，即时等号成立.
的最小值为.
故答案为：.
【分析】先根据，，利用1的代换，将函数解析式构造为；再根据基本不等式的性质将原式拆分化简，利用基本不等式及已知x的范围，即可求解最小值.
15．【答案】
【知识点】正弦定理；余弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】在中，，所以米，
在中，米，
在中，
，则米．
故答案为：
【分析】在直角三角形中根据正余弦定理及已知条件，求出、，再由余弦定理计算可得.
16．【答案】
【知识点】函数的值域；函数的图象；抽象函数及其应用
【解析】【解答】作出函数的图象，如图所示，
由函数有四个不同的零点
结合图形可知，且，．
因为，可得，所以，可得，
又因为，是方程的两实数根，可得，，
因为，
又因为，可得，所以．
故答案为：.
【分析】根据不同取值范围的x，作出函数的图象，根据题意结合图形有四个交点，得到，由，求得，再由，是方程的两实数根，求得，，进而化简得到，根据求得的a的取值范围，可递推得到，即可求解.
17．【答案】（1）因为，所以，
所以，
（2）
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式
【解析】【分析】（1）由已知条件和同角三角函数求得，再运用正弦、余弦的二倍角公式代入具体数值可得答案；
（2）根据（1）的结论和正弦的和角公式代入具体数值可求得答案.
18．【答案】（1）因为，所以，
，
又，所以，
即，解得
（2）因为，所以.
因为向量与的夹角为锐角，
所以且与不共线，
所以，解得且，
即的取值范围是.
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【分析】（1）先根据已知条件及相关数值求出和的坐标，再由，得，从而可求出的值；
（2）由与的夹角为锐角，可得且与不共线，从而列出相关不等式组，可求出的取值范围.
19．【答案】（1）因为，
令，解得，
所以的对称轴方程为，
令，得，
可得函数图象的对称中心的坐标为
（2），.
因为，所以，
令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，，，故.
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；余弦函数的图象；余弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再利用三角函数的对称轴及对称中心性质求得答案；
（2）利用三角函数的单调性性质，结合题目中已知范围缩小范围求出最值．
20．【答案】（1）解：由余弦定理得，
因为，可得，
又由正弦定理得，
即，可得，又因为，可得.
（2）解：由（1）知，由余弦定理知，
将，代入化简得，解出或（舍去），
所以的面积．
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由余弦定理得到，再由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，由C的取值范围，即可求解；
（2）由（1）可知及，利用余弦定理，列出方程求得的值为4，结合三角形的面积公式，即可求解.
21．【答案】（1），在上是减函数；（2）.
（1）因为在是奇函数，所以，令，则
即，所以. 因为，
且是上的增函数，，故在上是减函数.
（2）由（1）知，，且在是奇函数，得
从而不等式：，等价于，
因为在上是减函数，所以，
当时，上式等价于，∴.
当时，上式等价于，∴.又，∴.
综上知.
【知识点】复合函数的单调性；函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】（1）由在是奇函数，得，，求出，所以，由指数函数的基本性质进而得的单调性，因为，且是上的增函数，，故在上是减函数.
（2）由（1）知，，，得不等式等价于，再利用在上是减函数，得到，按和解出m的范围即可.
22．【答案】（1）解：由，
，
∵
∴，
∴，
∵恒大于0，
∴的值域为；
（2）解：，
令，则，即，
则．
①当时，在上单调递增，；
②当时，开口向上，对称轴为，
在上单调递增，；
③当a<0时，当，即时，在上单调递减，
故，
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
故，
当，即时，在上单调递增，
故.
综上所述：.
【知识点】函数的值域；二次函数的性质
【解析】【分析】(1)易得函数的定义域为[-1，1]，利用完全平方和公式变形可得 ，再由直接法求其值域，即可得函数的值域；
(2)采用换元法， 令， 则，结合二次函数的对称轴与单调性，分类讨论，即可求解出 的值.
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